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Università Parthenope DISAE

Scelte di Portafoglio Monica Paiella

Problem set 3 Il CAPM

Esercizio 1 Siano A e B due titoli rischiosi, con rendimento atteso E(RA)=7,00% e E(RB)=6,00%, varianza dei rendimenti di 2A= 0,001167 e 2B = 0,0007 e covarianza pari a covA,B=0,00065. a) Si determini la varianza del portafoglio Zeta (2Z), composto al 40% dal titolo A e al 60% dal titolo B. b) Sapendo che la varianza dei rendimenti del portafoglio di mercato ( 2m) è pari a 0,10 e che la covarianza tra i rendimenti del portafoglio Zeta e quelli del portafoglio di mercato (Zm) è pari a 0,08, si calcoli il beta del portafoglio Zeta. c) Sapendo che il beta del titolo A (ßA) è 1,4, e che il titolo A e il portafoglio Zeta hanno rendimenti attesi (da CAPM) pari rispettivamente a rA=11% e rZ=8%, si determinino il rendimento atteso sul portafoglio di mercato e il tasso risk-free. SOLUZIONE a) La varianza del portafoglio Zeta è pari a: 𝜎𝑍2 = 𝑥𝐴2 𝜎𝐴2 + 𝑥𝐵2 𝜎𝐵2 + 2𝑥𝐴 𝑥𝐵 𝜎𝐴𝐵 = 0.0007507 b) Il beta del portafoglio Zeta è pari a: 𝛽𝑍 =

𝜎𝑍,𝑚 2 𝜎𝑚

=

0,08 0.1

= 0.8

d) È possibile mettere a sistema le equazioni che, in base al CAPM, portano al rendimento atteso sul titolo A e sul portafoglio Zeta: rf+ßA (rm-rf)=11% rf+ßAB (rm-rf)=8% Risolvendo tale sistema si ottiene rm=9,0% e rf=4,0%.

Esercizio 2 Considerate i seguenti titoli: Titolo A B

Beta 0,6 1,2

 0,15 0,28

Rend. Atteso 6,60% 10,20%

a) Determinate il tasso privo di rischio e il premio per il rischio di mercato; b) Il sig. Rossi possiede un portafoglio composto da A e B, che offre un rendimento atteso pari al 8,58%. Determinate i pesi dei titoli A e B nel portafoglio del sig. Rossi; c) Sapendo che il coefficiente di correlazione tra i titoli A e B è pari a 0,6, calcolate, quindi, il beta e la deviazione standard del portafoglio del sig. Rossi; d) Il sig. Bianchi ha una disponibilità di € 10.000 e vuole utilizzare il titolo A (e l’attività priva di rischio) per costruire un portafoglio che abbia un rendimento atteso pari al 10%. Che portafoglio deve costruire? 1

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SOLUZIONE a) Il rendimento atteso da ciascuno dei titoli considerati è: ri = rf + ß (rm -rf) Nel caso dei titoli A e B si avrà: 6,6% = rf + 0,6 (rm -rf) 10,2% = rf + 1,2 (rm -rf) Mettendo a sistema le due equazioni sui ricavano le due incognite: rf = 3,00% rm = 9,00% Premio per il rischio di mercato = 6,00% b) Occorre trovare i pesi da attribuire ai titoli A e B che soddisfano la seguente equazione: X rA + (1-X) rB = 0,0858 e cioè: X 0,066 + (1-X) 0,102 = 0,0858 da cui si ricava: quota da investire in A = 0,45 quota da investire in B = 0,55 c) Di conseguenza, il beta del nuovo portafoglio sarà: ßp = 0,45 ßA + 0,55 ßB = 0,93 Per il calcolo della deviazione standard del portafoglio così composto è necessario applicare la formula della varianza di portafoglio: 𝜎𝑝2 = 𝑥𝐴2 𝜎𝐴2 + 𝑥𝐵2 𝜎𝐵2 + 2𝑥𝐴 𝑥𝐵 𝜌𝐴𝐵 𝜎𝐴 𝜎𝐵 = 0.04074625 e σ = 20,19% d) Per ottenere un portafoglio con un rendimento atteso pari al 10%, è necessario ricorrere all'indebitamento. In particolare, occorre individuare il peso X tale che: X 0.066 + (1-X) 0.03 = 0,10 Da cui: X=1,945 1-X=-0,945 Ciò significa che occorre indebitarsi per un ammontare pari a € 9.450 ed investire € 19.450 nel titolo A. ed investire € 19.450 nel titolo A.

Esercizio 3 I rendimenti conseguiti dall’azione Siemens negli ultimi 6 anni sono i seguenti: Anno 1 2 3 4 5 6

Rendimento (%) -40 -3 32 37 51 19

a) Determinate rendimento e deviazione standard dell’azione Siemens. Assumete ora che i tassi di rendimento attesi e le deviazioni standard dei rendimenti delle società Siemens e Volkswagen, del portafoglio di mercato (approssimato dall’indice azionario DAX) e dell’attività priva di rischio (Bund) siano elencati di seguito: 2

Università Parthenope DISAE Attività Siemens Volkswagen DAX Bund

R (%) 16 9 12 3

Scelte di Portafoglio Monica Paiella SQM (%) 30 20 15 0

b) Assumendo che i rendimenti delle attività siano spiegati dal CAPM, calcolate i Beta delle azioni Siemens e Volkswagen. c) Individuate la composizione di un portafoglio LAMBDA – formato esclusivamente dal portafoglio di mercato e dall’attività priva di rischio – che offra un rendimento atteso pari a quello dell’azione Siemens. d) Calcolate il rischio complessivo (SQM) e il rischio sistematico del portafoglio LAMBDA. e) Confrontate rendimento e rischio (complessivo e sistematico) del portafoglio LAMBDA da voi individuato al punto c) con quello dell’azione Siemens. Si può dire che uno dei due è chiaramente preferibile? Perché? SOLUZIONI a)

R=16.00%;

Var=0.090467;

SQM=30.08%

b) Si calcolano risolvendo l’equazione del CAPM rispetto a Beta. Siemens: 16% = 3% + BetaS (12%-3%) Volkswagen: 9% = 3% + BetaVW (12%-3%) BetaS = 1.44; BetaVW = 0.67 c) Il portafoglio (LAMBDA) deve essere tale che la media dei rendimenti dei titoli è = al rendimento di Siemens, ossia: 16% = XDAX 12% + (1-XDAX) 3% Di qui, si calcolano i pesi: XDAX = 1.44; XBund = – 0.44 d) Il rischio complessivo del portafoglio si calcola dalla deviazione standard del portafoglio, che è pari a XDAX2 VAR(DAX). Pertanto: SQM(LAMBDA) = XDAX SQM(DAX) = 1.44 x 0.15 = 0.216 < 0.30 ( SQM(Siemens) ). Il rischio sistematico di LAMBDA è la media ponderata dei rischi sistemativi dei titoli che lo compongono. Poiché il titolo risk free ha beta pari a 0, mentre il portafoglio di mercato ha beta pari a 1, si ottiene: Beta (LAMBDA) = 1.44 e) Il portafoglio LAMBDA e l’azione Siemens hanno pari rendimento (e pari beta). Ma il portafoglio Lambda espone a rischio complessivo nettamente inferiore ed è quindi preferibile. Il punto d) è risolubile indipendentemente dal punto c), costruendo il grafico della CML (il portafoglio sta – per costruzione – sulla CML, l’azione Siemens ha uguale ordinata ma sta “a destra” della CML).

Esercizio 4 Considerate i seguenti portafogli: Portafoglio A B

Beta 1.3 0.5

Varianza 670 430

Rendim. atteso 13% 9% 3

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Determinare: a) Il tasso privo di rischio e il premio per il rischio di mercato; b) Il coefficiente di correlazione di A e B rispetto al portafoglio di mercato, sapendo che la varianza dei rendimenti del portafoglio di mercato è pari a 380; c) Il beta del portafoglio C risultante dalla combinazione di titoli A e B il cui rendimento atteso sia pari al 10%; d) Avendo una disponibilità di € 10.000, si utilizzi il portafoglio C per costruire un altro portafoglio che abbia un rendimento atteso pari al 15%. SOLUZIONE a) Il rendimento atteso da ciascuno dei portafogli considerati è: E(ri) = rf + ßi(rM -rf) Nel caso dei portafogli A e B si avrà: 13% = rf + 1.3 (rM -rf) 9% = rf + 0.5 (rM -rf) Mettendo a sistema le due equazioni sui ricavano le due incognite: rf = 6,50% rM = 11,50% Premio per il rischio di mercato = 5,00% b) Sapendo che: 𝛽𝐴 = Si ricava: 𝜌𝐴𝑀 =

𝛽𝐴 𝜎𝐴 𝜎𝑀

𝜌𝐴𝑀 𝜎𝐴 𝜎𝑀

; 𝛽𝐵 =

𝜌𝐵𝑀 𝜎𝐵 𝜎𝑀

= 0.979; 𝜌𝐵𝑀 =

𝛽𝐵 𝜎𝐵 𝜎𝑀

= 0.470

c) Il problema consiste nel trovare il beta di portafoglio dal quale risulti: 10%=6,5%+ß5% e dunque: ß = 3,5%/5%=0,7 In alternativa, è possibile trovare la combinazione di titoli A e B dalla quale deriva un rendimento atteso del 10%, e cioè: X rA + (1-X) rB = 0.1, ovvero: X 0.13 + (1-X) 0.09 = 0.1 da cui si ricava: quota da investire in A = 0,25 quota da investire in B = 0,75 Di conseguenza, il beta del nuovo portafoglio sarà: ßp = 0.25 ßA + 0.75 ßB = 0,7 d) Poiché il portafoglio C ha un rendimento atteso pari al 10%, è necessario ricorrere all'indebitamento. In particolare, occorre individuare il peso X tale che: X 0.10 + (1-X) 0.065 = 0.15 Da cui : X=2,43 1-X=-1,43 Ciò significa che occorre indebitarsi per un ammontare pari a € 14.286 ed investire € 24.286 nel portafoglio C.

Esercizio 5 Il tasso corrente privo di rischio è pari al 4%. Le azioni della società Ratatouille hanno un beta pari a 1,3 e un rendimento atteso del 10,5%. Il titolo della società si colloca sulla SML. a) Qual è il premio per il rischio di mercato (Rm – rf)? 4

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b) Le azioni della società Remì hanno un beta pari a 0,6. Facendo uso dei risultati di cui al punto a), qual è il rendimento atteso delle azioni Remì secondo il CAPM? Se il rendimento offerto dalla Remì fosse pari al 7,8%, il titolo sarebbe sottovalutato o sopravvalutato? Si collocherebbe sopra o sotto la SML? c) Si supponga di aver investito 10.000 Euro in azioni Ratatouille e Remì e che il beta del portafoglio sia pari a 0,81. Qual è l’ammontare in Euro investito in ciascun titolo? Qual è il rendimento atteso del portafoglio? d) Sapendo che potete investire o indebitarvi al tasso privo di rischio, come potreste ottenere un rendimento atteso del 13% investendo in azioni Ratatouille? SOLUZIONE a) In base alla relazione del CAPM, rRat = rf + ßRat (Rm - rf ). Poiché r Rat, rf e ßRat sono noti, è possibile ricavare Rm = 9% e Rm – rf = 5%. b) Poiché le azioni della Remì hanno ßRemì = 0,6, l’applicazione della formula del CAPM porta a: rRemì = 4%+ 0,6(9%- 4%) = 7%. Se il rendimento offerto dall’azione fosse pari al 7,8% il titolo risulterebbe sottovalutato e si collocherebbe sopra la SML . c) Il beta del portafoglio risulta dalla seguente relazione: ßPort = ßRat *x+ßRemì *(1- x). Essendo noti i beta del portafoglio e delle due azioni che lo compongono, si ricava la percentuale x = 0,3 investita nell’azione Ratatouille e la percentuale 1 -x = 0,7 investita nell’azione Remì. L’ammontare investito nell’azione Ratatouille è pertanto pari a Euro 3.000, mentre quello investito nell’azione Ratatouille è pari a 7.000. Inoltre, applicando la relazione del CAPM, si ricava che il rendimento atteso sul portafoglio è pari a: rPort = rf + ßPort (Rm - rf) = 4%+ 0,81*(9%- 4%) = 8,05% d) Poiché il rendimento atteso sull’azione Ratatouille è pari al 10,5%, è necessario sfruttare la leva finanziaria affinché il rendimento atteso sia pari al 13%. In particolare, avendo la possibilità di indebitarsi al tasso del 4%, occorre calcolare i pesi del seguente portafoglio: rPort = x*rRat + (1- x)*rf Sostituendo i valori delle variabili note è possibile ricavare i pesi del portafoglio: 13%= x*10,5%+ (1- x)*4%, e cioè x = 1,384 e 1-x = 0,384. Ciò significa che l’investitore deve indebitarsi per 0,384 Euro per ogni Euro di capitale che destina all’investimento.

Esercizio 6 (solo per 10 CFU) La Young Partners Spa, società attiva nel settore della consulenza, è strutturata in tre divisioni: -Asset management, il cui beta è pari a 1,2; -Private Equity, il cui beta è pari a 1,8; -Insurance, il cui beta è pari a 0,8. Il bilancio a valori di mercato della società si presenta come segue: Young Partners Spa Asset Management Private Equity Insurance

6.000 10.000 13.000

Equity

29000

Totale attivo

29.000

Totale passivo

29.000

a) Determinate il beta delle azioni della società. 5

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Supponete ora che la divisione Private Equity venga venduta e il ricavato investito per metà in titoli privi di rischio e per metà nella divisione Insurance. b) Determinate il nuovo beta delle azioni della società. Ipotizzate ora che, dopo la vendita della divisione Private Equity e la riallocazione del ricavato nelle forme prima descritte al punto b), la società contragga debito per 3.000, il cui beta sia stimato pari a 0,3. La somma così ottenuta è interamente investita in attività prive di rischio. Sapendo che: i) il tasso privo di rischio è pari a 3,5%; ii) non esistono imposte; iii) il premio per il rischio di mercato è pari al 5%: c) Costruite il nuovo stato patrimoniale a valori di mercato; d) Determinate il beta dell’attivo dell’impresa; e) Determinate il beta delle azioni della società; SOLUZIONE 6000

10000

13000

a) 𝛽𝑎𝑡𝑡𝑖𝑣𝑜 = 1.2 29000 + 1.8 29000 + 0.8 = 1,227 29000 che è ovviamente anche il beta delle azioni della società. 6000

b) 𝛽𝑎𝑡𝑡𝑖𝑣𝑜 = 1.2 29000 + 0

5000 29000

+ 0.8

18000 29000

= 0,774

c) Il nuovo stato patrimoniale a valori di mercato è il seguente: Young Partners Spa Asset Management Risk free asset Insurance

6.000 8.000 18.000

Debito Equity

3000 29000

Totale attivo

32.000

Totale passivo

32.000

6000

d) 𝛽𝑎𝑡𝑡𝑖𝑣𝑜 = 1.2 32000 + 0 e) 𝛽𝑝𝑎𝑠𝑠𝑖𝑣𝑜 = 𝛽𝑑𝑒𝑏𝑖𝑡𝑜 3000

8000 32000

+ 0.8

𝑑𝑒𝑏𝑖𝑡𝑜 𝑑𝑒𝑏𝑖𝑡𝑜+𝑒𝑞𝑢𝑖𝑡𝑦

0,675 = 0,3 32000 + 𝛽𝑒𝑞𝑢𝑖𝑡𝑦

18000 32000

= 0,675

+ 𝛽𝑒𝑞𝑢𝑖𝑡𝑦

𝑒𝑞𝑢𝑖𝑡𝑦 𝑑𝑒𝑏𝑖𝑡𝑜+𝑒𝑞𝑢𝑖𝑡𝑦

29000 32000

da cui si ricava che il beta dell’equity è pari a: 0,714

Esercizio 7 Operate in un mercato finanziario con le seguenti caratteristiche: esiste un’attività priva di rischio che offre un rendimento pari al 3%; il portafoglio di mercato ha un rendimento atteso pari al 7%. a) Tracciate su un grafico la Security Market Line; Considerate ora i portafogli Omicron e Phi, che hanno le seguenti caratteristiche: P R Beta Omicron 0.05 0.25 Phi 0.06 0.8 b) Dite dove si collocano i due portafogli rispetto alla SML; 6

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c) Dite se essi sono prezzati correttamente dal mercato ovvero sono sopra-o sotto-valutati. Sapete inoltre che il portafoglio di mercato ha un rischio complessivo (in termini di deviazione standard -SQM- dei rendimenti) pari al 32%. d) Tracciate su un grafico la Capital Market Line; Ipotizzate che Omicron e Phi abbiano correlazione con il mercato pari rispettivamente a 0,5 e a 0,8. e) Calcolate lo SQM dei due portafogli Omicron e Phi. f) Dite dove si collocano i due portafogli rispetto alla CML. g) Dite se essi rappresentano combinazioni di investimento accessibili agli investitori; h) Dite se essi sono efficienti in termini di combinazione rischio/rendimento. SOLUZIONI a) La Security Market Line ha equazione Ri = Rf + ßi (Rm-Rf) b) I portafogli Omicron e Phi hanno R “da CAPM” pari a: ROmicron = 0.03 + 0.25 (0.07 – 0.03) = 0.04 RPhi = 0.03 + 0.8 (0.07 – 0.03) = 0.062 Omicron ha R maggiore dell’R da CAPM; sta sopra la SML. Phi ha R minore dell’R da CAPM; sta sotto la SML. Il punto va risolto via equazione della SML (non per via grafica). c) Quindi Omicron è sottovalutato, mentre Phi è sopravvalutato. La seconda parte si può risolvere via equazione della CML o proporzioni. d) L’equazione della Capital Market Line si ricava mettendo a sistema Ri = a + b SQM, sapendo che: i titoli Rf e Rm hanno: Rf=0.03; SQMf = 0; Rm=0.07; SQMm = 0.32. Si ricava: Ri = 0.03 + 0.125 SQM e) Lo SQM dei portafogli Omicron e Phi si ricava sapendo che ßi = ρim x si / sm. Conoscendo i beta, le correlazioni dei titoli e lo SQM del mercato, si ricava: SQMOmicron = 0.25 x 0.32 / 0.5 = 0.16 SQMPhi = 0.8 x 0.32 / 0.8 = 0.32 f) Sostituendo gli SQM di Omicron e Phi nell’equazione si vede che Omicron sta esattamente sulla CML, Phi sta sotto. g) Sono ambedue accessibili agli investitori. Omicron si trova sulla CML che indica le combinazioni rischio e rendimento ottenibili …; Phi è nell’area delimitata dalla frontiera MV a cui la CML è tangente. h) Ma solo Omicron è efficiente in termini di combinazione rischio/rendimento.

Esercizio 8 - NO SOLUZIONE: fare da soli! Operate in un mercato finanziario con le seguenti caratteristiche: esiste un’attività priva di rischio che offre un rendimento pari al 4%; il portafoglio di mercato delle attività rischiose ha un rendimento atteso pari al 10% e un rischio complessivo (in termini di scarto quadratico medio SQM -dei rendimenti) pari al 30%. a) Tracciate su un grafico la Capital Market Line; Considerate ora i portafogli Zeta ed Epsilon, che hanno SQM pari al 45% e rendimento atteso pari rispettivamente al 10% e al 13%. 7

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b) Dite dove si collocano i portafogli Zeta e Epsilon rispetto alla CML; c) Dite se essi rappresentano combinazioni di investimento accessibili agli investitori; d) Dite se essi sono efficienti in termini di combinazione rischio/rendimento. Ipotizzate che Zeta e Epsilon abbiano correlazione con il mercato pari a 0,85. e) Tracciate su un grafico la Security Market Line; f) Dite qual è il coefficiente Beta dei due portafogli; g) Dite dove si collocano i due portafogli rispetto alla SML; h) Dite se essi sono prezzati correttamente dal mercato ovvero sono sopra- o sotto-valutati.

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Domande di teoria 1) Il beta del titolo A è maggiore del beta del titolo B, A>B. In base al CAPM, questa differenza implica che: A. La deviazione standard dei rendimenti di A è maggiore di quella dei rendimenti di B. Vero o 2 falso? Perché? (Falso.  i= im/ m=imi/ m. A> B implica AmA>= Bm B. Ne consegue che la differenza non dice nulla sulle deviazioni standard. Ciò che conta è la correlazione tra i rendimenti dei titoli e il rendimento sul portafoglio di mercato) B. Il premio per il rischio di A è maggiore di quello di B. Vero o falso? Perché? (Vero. Secondo il CAPM, rpi= i(rpm). Poiché rpm è uguale per i due titoli, e A ha beta maggiore di B, ne consegue che anche rpA sia maggiore di rpB.) C. Lo ‘Sharpe-ratio’di A è maggiore di quello di B. Vero o falso? Perché? (Falso. A differenza del beta, lo Sharpe ratio non dipende dale covarianze dei rendimenti delle attività con il rendimento del portafoglio di mercato. Quindi il confronto tra i beta non dice nulla su eventuali differenze tra gli Sharpe ratio.) D. La covarianza dei rendimenti di A coi rendimenti del portafoglio di mercato è inferiore a quella di B. Vero o falso? Perché? (Falso. Se A>B,  mA > mB .) 2) In equilibrio, il rendimento atteso sul portafoglio di mercato è del 6% e il rendimento sul titolo privo di rischio è del 2%. Le azioni della società ACME hanno rendimenti medi del 4% e beta dell’1.5. A. Le azioni Acme sono sottovalutate se vale il CAPM. Vero o falso? Perché? (Falso. Secondo il CAPM, A=0.02+1.5*(0.06-0.02)=0.08=8%. Un titolo è sottovalutato, se il rendimento medio è superiore al quello d’equilibrio, per cui il prezzo è basso rispetto al prezzo d’equilibrio.) B. Le azioni Acme sono sopravvalutate se vale il CAPM. Vero o falso? Perché? (Vero, perché il rendimento medio è inferiore al rendimento d’equilibrio, per cui il prezzo è alto rispetto al prezzo d’equilibrio.) C. I rendimenti di Acme sono coerenti con il CAPM, ovvero coincidono con le predizioni del modello. Vero o falso? Perché? (Falso. Sono inferiori.) D. I rendimenti di Acme offrono opportunità di arbitraggio, prendendo a prestito al tasso privo di rischio e investendo nei titoli Acme. Vero o falso? Perché? (Falso. L’investimento di fondi acquisiti tramite indebitamento al tasso privo di rischio nelle azioni Acme può portare a un guadagno o a una perdita: il payoff è quindi incerto e, pertanto, non esiste un’opportunità di arbitraggio.)

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