Soluzioni Esercizi 2 Unitelma PDF

Preview

Summary

Esercizi per l'esame...

Description

Esercizi importanti di Matematica Gli esercizi che seguono sono finalizzati al superamento della prova scritta dell’esame di Matematica. Le soluzioni sono disponibili su richiesta: inviare una mail a [email protected]. Si offre anche la disponibilit a correggere lo svolgimento completo di alcuni o tutti gli esercizi. Preparare in questo caso un file (ad esempio in word) con lo svolgimento completo, CON TUTTI I PASSAGGI, di ogni esercizio, e inviarlo a [email protected]. Il docente lo corregger e invier la correzione allo studente. Per risolvere gli esercizi, di enorme aiuto sono le slide del corso (oltre, ovviamente, alle videolezioni), ma anche (direi, soprattutto!) gli esercizi svolti presenti in rete, e le tre simulazioni di prova di esame, presenti sempre in rete. • Esercizio 1 Calcolare le derivate delle seguenti funzioni: (a) f (x) = 4x5 − log (3x + 2) − e2x ;

(b) f (x) = e7x−1 − 3log (2x2 − x + 1) − 3x8 + 2;

(c) f (x) = (2x − 8)5 + 4log (x − x2 ) + 1 + 5ex−3 ; 2

(d) f (x) = 4ex

−4

− 2log (−3x + 1) − 3(x5 + 2);

(e) f (x) = 3(4x + 5)2 − 4log (x2 − 3x − 9) + x4 − 7. Soluzione (a) f ′ (x) = 20x4 − 3/(3x + 2) − 2e2x ;

(b) f ′ (x) = 7e7x−1 − 3(4x − 1)/(2x2 − x + 1) − 24x7 ;

(c) f ′ (x) = 10(2x − 8)4 + 4(1 − 2x)/(x − x2 ) + 5ex−3 ; 2

(d) f ′ (x) = 8xex

−4

+ 6/(−3x + 1) − 15x4 ;

(e) f ′ (x) = 24(4x + 5) − 4(2x − 3)/(x2 − 3x − 9) + 4x3 . • Esercizio 2 Studiare il segno delle seguenti forme quadratiche: (a) Q(x1 , x2 ) = −x21 − 2x1 x2 + 8x22 ;

(b) Q(x1 , x2 ) = 3x21 + 2x1 x2 + 2x22 ; (c) Q(x1 , x2 ) = 3x21 − 2x1 x2 − x22 ; (d) Q(x1 , x2 ) = x21 + x1 x2 + x22 ;

(e) Q(x1 , x2 ) = 6x21 − 7x1 x2 + 2x22 ;

(f) Q(x1 , x2 ) = −2x21 + 10x1 x2 + x22 ;

Soluzione (a) INDEFINITA (b) DEFINITA POSITIVA (c) INDEFINITA (d) DEFINITA POSITIVA 1

(e) INDEFINITA (f) INDEFINITA • Esercizio 3 Trovare gli autovalori delle seguenti matrici: (a) µ

¶

2 1 1 −4

(b) µ

4 3 3 7

¶

(c) µ

2 −3

−3 5

¶

(d) µ

1 5 5 2

¶

(e) µ

0 −4

−4 4

¶

µ

−1 −2 −2 −5

¶

(f)

Soluzione √ 10 √ λ1,2 = (11 ± 45)/2 √ λ1,2 = (7 ± 45)/2 √ λ1,2 = (3 ± 101)/2 √ λ1,2 = 2 ± 20 √ λ1,2 = −3 ± 8

(a) λ1,2 = −1 ±

(b) (c)

(d) (e) (f)

• Esercizio 4 Calcolare i seguenti limiti di funzioni: (a) lim

x→−∞

(b)

x2 + 5 ; 3x2 − 2x + 6

−7x3 − 5x2 + 3x − 2 ; x→+∞ 4x5 − x4 + 3x3 − 1 lim

2

(c) x5 − 3x4 + x ; + x2 + x + 15

lim

x→−∞ 3x4

(d) 8x4 − 2x2 + 5x + 3 ; x→1 −9x4 − 6x3 + x2 − 8x − 1 lim

(e)

x3 − x2 − 3x + 4 . x→−3 5x2 + 2x − 3 lim

Soluzione (a) 1/3 (b) 0 (c) −∞

(d) −14/23 (e) −23/24

• Esercizio 5 Risolvere i seguenti sistemi lineari (a) usando il metodo della matrice inversa:   x + 2y − 2z = 1 4x + 2y + z = 2  −x − 2y = −3

(b) usando il metodo di Cramer:   5x + 3y − z = 1 −3x − 2y + 7z = 0  3x + 4y − z = −4

Soluzione (a)

(b)

• Esercizio 6

  x = −2/3 y = 11/6  z=1   x = 51/35 y = −73/35  z = 1/35

3

(a) Calcolare il valore attuale C odierno relativo alla somma M = 200 euro, disponibile tra 7 anni, nel regime degli interessi semplice, usando un tasso di interesse annuo i = 3, 5%. (a-bis) Calcolare il valore attuale C odierno relativo alla somma M = 200 euro, disponibile tra 7 anni, nel regime degli interessi composto, usando un tasso di interesse annuo i = 3, 5%. (b) Calcolare il montante M tra 12 anni relativo alla somma disponibile alla data odierna C = 1750 euro, nel regime degli interessi semplice, usando un tasso di interesse annuo i = 4, 1%. (b-bis) Calcolare il montante M tra 12 anni relativo alla somma disponibile alla data odierna C = 1750 euro, nel regime degli interessi composto, usando un tasso di interesse annuo i = 4, 1%. Soluzione (a) V (0)RIS = 160, 6426. (a-bis) V (0)RIS = 157, 1982. (b) MRIS = 2611. (b-bis) MRIS = 2834, 306. • Esercizio 7 Consideriamo una rendita annua posticipata, → a rata costante R; → di durata n;

→ con valore attuale V (0);

→ con tasso di interesse annuo i. Rispondere alle seguenti domande. (a) Calcolare R, sapendo che n = 7 anni, V (0) = 1200 euro, i = 4, 5%; (b) Calcolare n, sapendo che R = 125 euro, V (0) = 2300 euro, i = 3, 1%; Soluzione (a) R = 203, 64 (b) n = 14, 7836 • Esercizio 8 Determinare il Campo di Esistenza (o Dominio) delle seguenti funzioni: (a) f (x) = (b)

p

x2 − 3 + x3 ;

f (x) = log (3x − 4) + 4

2x ; x2 − 3x + 2

(c)

ex + 2 ; 5x2 − x + 1

f (x) = (d) f (x) = 3 (e)

p 2

f (x) = e3x

1 + x2 + 2x − 3;

−2x−1

+ 2x4 − 3x.

Soluzione √ √ (a) D = (−∞, − 3] ∪ [ 3, +∞) (b) D = (4/3, 2) ∪ (2, +∞) (c) D = R

(d) D = R (e) D = R • Esercizio 9 Determinare massimi e minimi delle seguenti funzioni in R: (a) f (x) =

2x − 1 ; 3x + 5

(b) f (x) = log (3x2 − 4x); (c) 2

f (x) = ex

−3x+2

+ 4;

(d) f (x) = −x3 − x2 . Soluzione (a) D = {x 6= −5/3}, non ci sono massimi e minimi

(b) D = (−∞, 0) ∪ (4/3, +∞), x0 = 2/3 ´e un minimo

(c) D = R, x0 = 3/2 ´e un minimo

(d) D = R, x0 = −2/3 ´e un minimo, x1 = 0 ´e un massimo.

5...