Speranza Matematica Esercizi PDF

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SPERANZA MATEMATICA E GIOCO EQUO ESERCIZIO 1 Si consideri un incontro all’interno di una manifestazione sportiva tra due squadre: Squadra A vs Squadra B Le quote scommesse relative all’evento sportivo sopra citato sono le seguenti: q(1) = 1,50 q(X) = 4,33 q(2) = 6,00 a) Determinare il coefficiente di proporzionalità (K) e le relative probabilità che rendono la scommessa equa b) Determinare le quote sportive senza il ricarico (aggio) dell’Agenzia ESERCIZIO 2 Si consideri il seguente gioco al casinò. Un giocatore lancia una coppia di dadi e vince 2 Euro se la somma dei valori usciti sui due dadi è 7, in tutti gli altri casi perde 1 Euro. a) Calcolare la speranza matematica b) Determinare la somma in caso di vincita, affinché il gioco sia equo

ESERCIZIO 3 Una casa da gioco ha deciso di introdurre un nuovo gioco d'azzardo. Consiste nel lancio di un dado a forma ottagonale (ottaedro), nel quale le facce 1, 2, 3, 4 sono tra loro equiprobabili, così come pure sono tra loro equiprobabili le facce 5, 6, 7, 8, tuttavia, le due piramidi contrapposte che formano il dado sono realizzate in materiali diversi, così che di fatto la piramide 1-4 ha una probabilità tripla rispetto a quella della piramide 5-8. Il giocatore lancia una sola volta il dado e se esce 1, 2, 3 o 5 perde 10 Euro, mentre se esce 4, 6, 7 o 8 egli vince X euro. Determinare il valore di X in modo che il gioco sia equo. ESERCIZIO 4 Consideriamo 3 urne, la prima contiene 2 palline bianche e 3 nere, la seconda contiene 4 palline bianche e una nera, la terza contiene 3 palline bianche e 4 nere. a) Si scegli a caso un'urna e si estrae una pallina bianca, qual è la probabilità che questa provenga dalla prima urna? b) Ogni pallina bianca estratta comporta la vincita di 40 Euro, mentre se si estrae una pallina nera si perdono 50 Euro. Si ripongono tutte le palline in un'unica urna e se ne estraggono 5 senza reimmissione. Calcola la probabilità di ottenere un profitto e la speranza matematica relativa.

SOLUZIONE ESERCIZIO 1 a) Calcoliamo le probabilità p(1), p(X) e p(2): p(1) = 1 / 1,50 = 0,67 p(X) = 1 / 4,33 = 0,23 p(2) = 1 / 6 = 0,17 p(1) + p(X) + p(2) = (0,67 + 0,23 + 0,17) = 1,07 > 1 K · 1,07 = 1

K = 1 / 1,07 = 0,9346

p(1) = 0,9346 · 0,67 = 0,63 p(X) = 0,9346 · 0,23 = 0,21 p(2) = 0,9346 · 0,17 = 0,16

b) q(1) = 1 / 0,63 = 1,59 q(X) = 1 / 0,21 = 4,76 q(2) = 1 / 0,16 = 6,25 SOLUZIONE ESERCIZIO 2 a) Ω è lo spazio campionario formato da tutte le coppie possibili. Definiamo l'evento A: "la somma delle facce dei due dadi è 7" Pertanto A = {(1 ; 6) , (2 ; 5) , (3 ; 4) , (4 ; 3) , (5 ; 2) , (6 ; 1)} #(Ω) = 36, dunque P(A) = 6/36 = 1/6 Di conseguenza P(Ā) = 1 - 1/6 = 5/6 E[A] = 2 · (1/6) - 1 · (5/6) = - 0,50 Euro b) E[A] = X · (1/6) - 1 · (5/6) = (X - 5)/6 = 0 --> X = 5 Euro

SOLUZIONE ESERCIZIO 3 Poniamo P(5) = P(6) = P(7) = P(8) = p. Di conseguenza P(1) = P(2) = P(3) = P(4) = 3p Per l'assioma fondamentale della probabilità abbiamo che 4 · 3p + 4 · p = 1 --> 12p + 4p = 16p = 1 --> p = 1/16 Definiamo l'evento A: "il giocatore vince" e Ā: "il giocatore perde" P(A) = 3/16 + 1/16 + 1/16 + 1/16 = 6/16 = 3/8 P(Ā) = 1 - 3/8 = 5/8 E[A] = X · 3/8 - 10 · 5/8 = (3X - 50) / 8 = 0 --> 3X = 50 --> X ≈ € 16,70 SOLUZIONE ESERCIZIO 4 A) Applicando la formula di Bayes si ottiene:

p(U1|B) =

P ( B|U 1 ) · P(U 1) P ( B|U 1 ) · P ( U 1 ) +P ( B|U 2 ) · P ( U 2 ) +P ( B|U 3 ) · P(U 3)

14 57

B) A: " escono almeno 3 palline bianche" = {B3 U B4 U B5} B3: escono 3 palline bianche

P (X = 3) =

(93 )· (82 ) ( 175)

= 0,38

=

2 1 · 5 3 2 · 1 4 ·1 3· 1 + + 5 3 5 3 7 3

=

B4: "escono 4 palline bianche"

P (X = 4) =

(94 )· ( 81 ) ( 175)

= 0,16

B5: "escono 5 palline bianche"

P (X = 5) =

(95 ) (175 )

= 0,02

´A : “escono al massimo 2 palline bianche” = {B0 U B1 U B2}

B0: “non escono palline bianche/escono 5 palline nere”

P (X = 0) =

(85 ) (175 )

= 0,01

B1: “esce una pallina bianca”

P (X = 1) =

(91 )· (84 ) ( 175)

= 0,10

P (X = 2) =

(92 )· (83 ) ( 175)

= 0,33

B2: “escono 2 palline bianche”

P[A] = 0,38 + 0,16 + 0,02 = 0,56 = 56% I profitti: - 3B + 2N: € (120 – 100) = € 20,00

P[ ´A ] = 0,01 + 0,10 + 0,33 = 0,54 = 54%

- 4B + 1N: € (160 – 50) = € 110,00 - 5B: € 200,00 Le perdite: - 3N + 2B: €(150 – 80) = € 70,00 - 4N + 1B: €(200 – 40) = € 160,00 - 5N = € 250,00 E[A] = (20 · 0,38 + 110 · 0,16 + 200 · 0,02) – (70 · 0,33 + 160 · 0,10 + 250 · 0,01) = E[A] = (7,6 + 17,6 + 4) – (23,1 + 16 + 2,5) = 29,2 – 41,6 = - 12,4 < 0...