3.4. Deformaciones POR Rotación^J Deformación Lineal Y Angular^J 3.5. Deformaciones Y Direcciones Principales Y 3.6. ECUA- Carlos Muñoz PDF

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INSTITUTO TECNOLÓGICO NACIONAL DEMÉXICOCAMPUS TAPACHULAALUMNO: MUÑOZ HERNÁNDEZ CARLOS VICENTERESPONSABLE ANDRADE CAMPOS FRANCISCO ANTONIOSEMESTRE: 4ºA CARRERA: INGENIERÍA CIVIL FECHA: 17 DE MAYO DE 2021ÍNDICE INTRODUCCIÓN. 3 DEFORMACIONES POR ROTACIÓN, DEFORMACIÓN, LINEAL Y ANGULAR. Deformación Esta...

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INSTITUTO TECNOLÓGICO NACIONAL DE MÉXICO CAMPUS TAPACHULA

SEMESTRE: 4ºA

ALUMNO: MUÑOZ HERNÁNDEZ CARLOS VICENTE

RESPONSABLE ANDRADE CAMPOS FRANCISCO ANTONIO

CARRERA: INGENIERÍA CIVIL FECHA: 17 DE MAYO DE 2021

ÍNDICE INTRODUCCIÓN. .....................................................................................................................3

3.4 DEFORMACIONES POR ROTACIÓN,DEFORMACIÓN, LINEAL Y ANGULAR. ..............4 Deformación ..........................................................................................................................6 Estado de deformaciones en un punto ................................ ¡Error! Marcador no definido.7 Para obtener el valor de la deformación unitaria δ ................................................................9 Representación de Mohr .....................................................................................................10

3.5 DEFORMACIONES Y DIRECCIONES PRINCIPALES. ...................................................12 Cálculo de deformaciones principales .................................................................................13 Cálculo de las deformaciones principales............................................................................14 Dirección principal definición matemática ............................................................................15 Dirección principal ...............................................................................................................15 Ejes principales de inercia ...................................................................................................15

3.6 ECUACIONES DE COMPATIBILIDAD .............................................................................16

CONCLUSIÓN ........................................................................................................................19

BIBLIOGRAFÍA .......................................................................................................................20

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INTRODUCCIÓN. En la presente investigación se conocerán los enfoques que tiene en proporcionar información acerca del tema “Estado de Deformación”, el cual se divide a su vez en subtemas, esto para explicar la metodología con la cual se desarrollan los cálculos en el ámbito de la física, es decir, permite el aprendizaje completo de nuevos conceptos relacionados a los tensores, vectores, figuras tridimensionales y partículas en movimiento aplicando las fórmulas y teoremas ya establecidas por investigadores que permiten realizar tales cálculos. Desarrollados estos temas se puede comprender el estudio de las fuerzas aplicadas a cuerpos, con lo cual se puede determinar valores como posición, velocidad y tiempo. Y finalmente por medio del estudio de este material se puede conocer los principios para poder resolver problemas en relación con los temas aquí presentados.

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3.4 DEFORMACIONES POR ROTACIÓN, DEFORMACIÓN, LINEAL Y ANGULAR. Los cuerpos se deforman debido a la acción de las fuerzas aplicadas. Para conocer la deformación de un cuerpo es preciso conocer primero la deformaciónde uno cualquiera de los paralelepípedos elementales que lo forman. Veremos a continuación cómo la deformación de un paralelepípedo elemental se puede descomponer en cuatro partes: Una traslación que lleva el origen del paralelepípedo del punto O al punto O’

Una rotación del paralelepípedo alrededor de un eje que pasa por O’

Estas dos primeras partes van a originar el movimiento del paralelepípedo, pero sin deformarse. Unas deformaciones lineales de las aristas del paralelepípedo

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Unas deformaciones angulares “simétricas” de los ángulos que forman las aristas del paralelepípedo, inicialmente a 90º

Estas dos últimas partes son las que originan la deformación propiamente dicha del paralelepípedo. Observación: En la 4ª parte nos hemos referido a Deformaciones Angulares “Simétricas”. El porqué de ello lo veremos a continuación: Supongamos la cara del paralelepípedo contenida en el plano XOY y supongamos, por ejemplo, que la arista OA gira 4º en sentido antihorario y la arista OB gira 2º en sentido horario. Estas deformaciones angulares las podemos obtener como suma de dos acciones: en una primera acción hacemos girar las aristas el mismo ángulo, lo que denominaremos deformación angular simétrica, que sería la media aritmética de las dos, o sea: 3º y en la segunda acción completamos la deformación angular inicial, con lo cual la arista OA habría que girarla 1º más ensentido antihorario y la arista OB restarla 1º, ósea, girarla 1º en Esta acción sería:

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Deformaciónangular simétrica

Deformación angular

Rotación

Deformación Como consecuencia de la deformación propiamente dicha del paralelepípedo: deformaciones lineales y deformaciones

angulares

simétricas,

el

vértice

D del paralelepípedo

experimentará el desplazamiento DD’, con lo cual e𝜹l elemento lineal OD, modifica su longitud y gira un ángulo transformándose en el elementolineal OD’.

Se denomina deformación unitaria (δ) del elemento lineal OD, al cociente entre el desplazamiento sufrido por su extremo: DD´ y la longitud del elemento lineal: OD, es decir:

Si observamos la figura anterior Se ve que δ es el desplazamiento que sufre el vector unitario ODo en la dirección del elemento lineal OD. En efecto, por semejanza de triángulos ODD’y ODoDo’s e obtiene:

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Descompondremos a continuación el vector δ en dos componentes: una sobre la propia dirección del elemento lineal OD, a la que denominaremos: deformación longitudinal unitaria (𝛿 ) y otra en dirección perpendicular al elemento lineal OD, a la que denominaremos: deformación angular unitaria (𝛾/2). Se cumplirá:

Estado de deformaciones en un punto Como se verá a continuación, va a existir una analogía entre el Estado de Tensiones y el Estado de Deformaciones, tal y como se vio ‘’ a cada superficie S que pase por un punto O de un sólido le corresponde una tensión ρ, con componentes: σ (tensión normal) y τ (tensión cortante) ’’ y “al conjunto de todas las tensiones que pueda haber en un punto O se las denomina: Estado de Tensiones del punto O”

En el caso de las deformaciones va a ocurrir algo similar: “A cada elemento lineal que pasa por un punto O de un sólido le corresponde una deformación unitaria δ, con componentes: ε (deformación longitudinal unitaria) y 𝛾/2 (deformación angular unitaria).”, “Al conjunto de

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todas las deformaciones que pueda haber en el punto O se le denomina: Estado de Deformaciones del punto O”. Siguiendo con dicha analogía, ‘’de las infinitas Tensiones que puede haber en un punto O correspondientes a las infinitas superficies que pasan por él, conocidas 6 de ellas: 𝜎𝑥, 𝜎𝑦, 𝜎𝑧, 𝜏𝑥𝑦, 𝜏𝑦𝑧, 𝜏𝑧𝑥 , denominadas componentes del estado de tensiones en el punto O , podremos conocer todas las demás a travésde la ecuación siguiente:

Pues bien, en el caso de las Deformaciones ocurrirá algo similar y así podremosdecir: “De las infinitas Deformaciones que puede haber en un punto O, correspondientes a las infinitas direcciones de elementos lineales que puedan pasan por él, conocidas 6 de ellas: ∑ 𝒙 , ∑ 𝒚 , ∑ 𝒛 , 𝜸𝒙𝒚 , 𝜸𝒚𝒛, 𝜸𝒛𝒙, denominadas componentes del estado de deformaciones en el punto O, podremos conocer todas las demás, a través de una ecuación matricial, que como ahora se verá, será similar a la de las tensiones anteriores” Sea un punto O del interior de un sólido en el que se suponen conocidas las 6 componentes del estado de deformaciones: ∑ 𝒙 , ∑ 𝒚 , ∑ 𝒛 , 𝜸𝒙𝒚 , 𝜸𝒚𝒛, 𝜸𝒛𝒙, y sea OD un elemento lineal cuya deformación unitaria δ se desea conocer. La dirección del elemento lineal OD la definiremos por su vector unitario: u = ODo, dado por sus cosenos directores: 𝑢(𝑐𝑜𝑠𝛼, 𝑐𝑜𝑠𝛽, 𝑐𝑜𝑠𝛾). Construyamos

ahora un paralelepípedo con diagonal entre vértices opuestos ODo = 1

(ver fig. 8).El paralelepípedo así construido tendrá por aristas: cos𝛼(en dirección del eje OX), cosβ (en dirección del eje OY) y cos 𝛾(en dirección del eje OZ).

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Para obtener el valor de la deformación unitaria δ Calcularemos y sumaremos los correspondientes desplazamientos sufridos por el punto Do debidos a las deformaciones longitudinales y angulares unitarias dadas, correspondientes al punto O: , εy, εz, εxy , εyz, εzx. Desplazamiento δ debido a las deformaciones longitudinales: εx, εy, εz.

Desplazamiento δ debido a las deformaciones angulares: 𝛾𝑥𝑦, 𝛾𝑦𝑧, 𝛾𝑧𝑥

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Sumando finalmente todos los desplazamientos δ obtenidos quedaría:

(Pérez, Estado de Deformaciones, 2018)

Representación de Mohr Criterios de signos para las deformaciones, al utilizar el método gráfico de Mohr Deformaciones longitudinales (ε):

Se consideran positivas las deformaciones longitudinales

cuando indican un alargamiento. Negativas en caso contrario.

Deformaciones angulares (g/2): se consideran positivas cuando impliquen un giro en sentido horario. Negativas en caso contrario

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Como las tensiones cortantes (τ) son las que producen las deformaciones angulares (g/2), se observa por lo visto en la sección del tema de Tensiones, que hay coherencia con los criterios de signos dados para las tensiones cortantes y el dado ahora para las deformaciones angulares: τ > 0 → g/2 > 0.

Los criterios de signos utilizados para las deformaciones angulares, en la representación gráfica de Mohr, no coinciden con los dados en4 .3. Para la resolución analítica. Este hecho habrá de tenerse siempre en cuenta en la resolución de los problemas. Ejemplo:

analítica

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3.5 DEFORMACIONES Y DIRECCIONES PRINCIPALES. De las infinitas Deformaciones que puede haber en un punto O de un sólido, relativas a las infinitas direcciones OD que se puedan considerar, habrá unas que tengan los valores máximo y mínimo a las que se denominará: deformaciones principales. A las direcciones correspondientes en la que eso ocurre, se las denominará: direcciones principales. Ocurrirá pues igual que con las tensiones, que en las direcciones principales se cumplirá que: γ/ 2 = 0 y por tanto: δ=ε.

Una

Deformación físicamente admisible de un sólido deformable viene caracterizada por un difeomorfismo TD cuyo jacobiano DTD(x,y,z) es positivo en todo instante y para todos los puntos del cuerpo. A partir de esta deformación admisible podemos construir el campo vectorial de desplazamientos y a partir de sus derivadas primeras construimos el llamado tensor deformación. Puede demostrarse que fijado un punto de un sólido deformable, toda deformación físicamente

admisible

puede

aproximarse

localmente

por

tres alargamientos

(o

acortamientos) ε i según direcciones perpendiculares, el valor de estos alargamientos ∑ 𝑖 puede determinarse resolviendo para cada punto la siguiente ecuación:

Las tres direcciones según las cuales se producirían estos alargamientos son precisamente las rectas que pasan por el punto considerado y son paralelas a cada uno de los vectores ni.

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Si para una determinada dirección principal ∑ 𝑖 > 0 entonces en esa dirección tenemos alargamiento, mientras que ∑ 𝑖 < 0

corresponde a direcciones principales donde existe

acortamiento.

Cálculo de deformaciones principales Para obtener el valor de las deformaciones principales, recodemos que si εi es el valor de una de ellas; por ser

εti = 0 resultará de acuerdo a: Para que el sistema homogéneo de dos ecuaciones con dos incógnitas admita soluciones distintas de la trivial (sen αi = cos αi = 0), la que no representa solución para el problema físico planteado, puesto que no cumple la ecuación de condición sen 2 αi + cos2 αi =1

Y cuyas raíces son:

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Para ubicar las direcciones principales, bastará con plantear la nulidad de la deformación específica transversal

Si la ecuación XVI se satisface para αi = ϕI, también lo hará para 2ϕI + π = 2ϕIIPor lo tanto ϕII = ϕI + π/2 Es decir, que existen en el plano (x-y) dos direcciones ortogonales entre sí paralas cuales ε tr resulta nula. Resulta claro que ambas direcciones resultan también normales al eje z (tercera dirección principal).

Cálculo de las deformaciones principales Las ecuaciones correspondientes para calcular las Deformaciones Principales se obtendrán, por lo dicho antes, haciendo los cambios:

Y quedarán las ecuaciones:

Resolviendo este determinante, que da lugar a una ecuación de tercer grado, seobtendrán las Deformaciones Principales: 𝛿1, 𝛿2, 𝛿3 y se cumplirá𝛿: 1 = 𝜀1 , 𝛿2 = 𝜀2, 𝛿3 = 𝜀3

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Dirección principal definición matemática Dada una magnitud física de tipo tensorial T se plantea el problema matemático de buscar los vectores no nulos v que cumplan la ecuación:

Dicho problema constituye un problema matemático de vectores propios, donde los autovalores (o valores principales) son valores del parámetro λ para los que existe solución y cada una de las rectas generadas por un vector v se llama dirección principal. El significado físico tanto de los valores y direcciones principales varía según la magnitud tensorial considerada. En los siguientes apartados se explica el significado e importancia de valores y direccionesprincipales para algunas magnitudes tensoriales importantes.

Dirección principal En física e ingeniería, una dirección principal se refiere a una recta de puntos formada por vectores propios de alguna magnitud física de tipo tensorial. Los dos ejemplos más notorios son las direcciones principales de inercia, usualmente llamadas ejes principales de inercia y las direcciones principales de tensión y deformación de un sólido deformable. Este artículo resume las propiedades matemáticas de las direcciones principales y el significado físico de las mismas en diferentes los contextos.

Ejes principales de inercia Como es sabido en mecánica del sólido rígido, la inercia rotacional de un cuerpo viene caracterizada por un tensor llamado tensor de inercia, que en una base ortogonal se expresa mediante una matriz simétrica.

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Los ejes principales de inercia son precisamente las rectas o ejes formadas por vectores propios del tensor de inercia. Tienen la propiedad interesante de que un sólido que gira libremente alrededor de uno de estos ejes no varía su orientación en el espacio. En cambio, si el cuerpo gira alrededor de un eje arbitrario que no sea principal, el movimiento de acuerdo con las ecuaciones de Euler presentará cambios de orientación en forma de precesión y nutación. El hecho de que el giro alrededor de un eje principal sea tan simple se debe a que, cuando un sólido gira alrededor de uno de sus ejes principales, el momento angular L y la velocidad angular ω son vectores paralelos por estar ambosalineados con una dirección principal:

Donde λ es una magnitud escalar que coincide con el momento de inercia correspondiente a dicho eje. En general, un cuerpo rígido tiene tres momentos principales de inercia diferentes. Puede probarse además que si dos ejesprincipales se corresponden a momentos principales de inercia diferentes, dichos ejes son perpendiculares. Todo cuerpo sólido tiene al menos un sistema de tres ejes de inercia principales (el tensor de inercia siempre se puede diagonalizar) aunque, en particular, el número sistemas de ejes de inercia principales puede llegar a ser infinito si el sólido rígido presenta simetría axial o esférica. En el caso de la simetría axial dosde los momentos de inercia relativos a sendos ejes tendrán el mismo valor y, en el caso de la simetría esférica, todos serán iguales. Los sólidos rígidos que tienen simetría esférica se denominan peonzas esféricas y, los que sólo tienen simetríaaxial, peonzas simétricas. (Pérez, Estado de Deformaciones, 2018)

3.6 ECUACIONES DE COMPATIBILIDAD Con frecuencia, en

problemas

mecánicos

o

de

resistencia

de materiales

hiperestáticos el cálculo de alguna fuerza u otra magnitud resulta insuficiente a partir de las condiciones de equilibrio. En ese caso, las ecuaciones de equilibrio forman un sistema compatible indeterminado. Puesto que la situación física real sí presenta una solución unívoca, es decir, las piezas mecánicas toman valores de tensión concretos y las reacciones reales tienen valores totalmente determinados, concluimos que las ecuaciones de equilibrio deben ser complementadas con algún otro tipo de información adicional que haga que el problema sea determinado.

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De hecho, muchos problemas se vuelven completamente determinados si tenemos en cuenta que los desplazamientos observados en la realidad tienen valores determinados. Así si introducimos ecuaciones que expresen ciertos desplazamientos en función del resto de variables, podemos llegar a construir un sistema de ecuaciones compatible determinado. Dicho sistema estaría formado por las ecuaciones de equilibrio, y varias ecuaciones adicionales llamadas ecuaciones de compatibilidad.

(Fig. 1) Problema unidimensional estáticamente indeterminado. Por ejemplo, en la figura (Fig. 1) se muestra un problema unidimensional consistente en la aplicación de una fuerza en un punto intermedio empotrado en sus extremos. En este caso, el problema

es estáticamente indeterminado o hiperestáticoel análisis de fuerzas

lleva a una única ecuación para las dos reacciones incógnita existentes:

En este caso P es una fuerza conocida. Para poder determinar las reacciones observamos que la parte izquierda (entre RAy P) está traccionada y por tanto se estirará, mientras que la parte derecha (entre P y RB) está comprimida y por tanto se encogerá. Puesto que la pieza es un único sólido deformable el estiramiento de parte izquierda compensará exactamente el estiramiento de la parte derecha, de lo contrario la pieza se rompería. Por tanto, estiramiento y acortamiento deben ser compatibles, ésa es precisamente la condición de compatibilidad adicional que resuelve el problema:

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Las ecuaciones adicionales pueden obtenerse por diversos métodos, por ejemplo usando los teoremas de Castigliano o usando la ecuación de la curva elástica. Si el problema es suficientemente sencillo, como en el ejemplo anterior, puede encontrarse la ecuación de compatibilidad directamente. (Pérez, Estado de Deformaciones, 2018)

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CONCLUSIÓN En la investigación presentada anteriormente se concluye con la información acerca del tema de Estado de Deformación en la cual determinamos cada palabra clave y concepto específico que nos explicaba de manera precisa la metodología con la cual se desarrollaron los cálculos en el ámbito de la física. Desde mi punto de vista, lo presentado en este material nos permitió el aprendizaje de nuevos conceptos importante que tuvieron una relación con los tensores, vectores, figuras tridimensionales, partículas en movimiento, etc., con el fin de desarrollar una mayor facilidad de entendimiento en el tema general de deformación aplicando las fórmulas y teoremas ya establecidas que permiten realizar tales cálculos. Finalmente podremos decir que la importancia de dicha investigación es fundamental para la materia de Fundamentos de la Mecánica de los Medios Continuos, ya que permite un mayor entendimiento del tema para una mayor facilidad en el análisis y resolución de los problemas que se puedan desarrollar.

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BIBLIOGRAFÍA Pérez, C. (07 de Noviembre de 2018). Estado de Deformaciones. Recuperado el 10 de Mayo de 2021, de Scribd: https:/...