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Deformaciones y desplazamientos Lineales...

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Análisis Estructural I Deformaciones y desplazamientos

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Ing. Raúl Kaufmann

1 . DEFORMACIONES Y DESPLAZAMIENTOS Todas las estructuras se deforman, al ser cargadas, y el cambio de configuración geométrica hace que sus puntos experimenten pequeños desplazamientos. En la mayoría de los casos esa deformación no es apreciable a simple vista, y entonces el observador la pasa por alto y asume que la estructura es completamente rígida; pero en la realidad todos los materiales se deforman, en mayor o menor medida. Cuando se analiza una estructura siempre resulta necesario prestar atención a las deformaciones. A veces se piensa, erróneamente, que es suficiente obtener los esfuerzos internos y conocer las tensiones que se producen en los distintos puntos del sistema para que el estudio quede completado. Pero eso es solamente una parte del problema: hace falta también estudiar lo que sucede con las deformaciones, para comprobar si se hallan o no dentro de límites aceptables. De hecho, con frecuencia es necesario dar a una pieza una sección mayor que la obtenida al estudiar las tensiones, con el objeto de volverla menos deformable. En tales casos, el dimensionamiento resulta definido por la rigidez, no por la resistencia. Consideremos la viga en voladizo representada en la figura 1. Después de determinar sus esfuerzos internos (momento flector, esfuerzo de corte), se ha adoptado una sección para que esos esfuerzos sean resistidos con el debido margen de seguridad. El problema tensional ha sido solucionado, por lo tanto; pero ¿qué sucede con las Figura 1 deformaciones de esta estructura? La barra, inicialmente recta, se deforma cuando actúan cargas sobre ella. Esas cargas mueven los puntos en que están aplicadas, haciéndolos descender, y como consecuencia la pieza se curva, modificando levemente su geometría original. A la posición final del eje de la barra se la llama “línea elástica”, o más brevemente, “elástica”. También se la suele denominar “deformada”.

Posición inicial

Posición final

La elástica mostrada en la figura 1 está dibujada en forma muy exagerada, para poder ser apreciada claramente. Esto es usual; los desplazamientos siempre tienen un orden de magnitud mucho menor que las dimensiones de la estructura, de modo que no pueden ser representados en la misma escala. Como consecuencia, las pendientes de la curva no se corresponden con la realidad; los ángulos resultan amplificados excesivamente. Es preciso recordar esto, al observar una elástica; las tangentes no giran decenas de grados, como representa la figura, sino sólo pequeñas fracciones de grado. La curvatura de la pieza provoca el desplazamiento de sus puntos, que comienzan a descender. En este caso, el extremo derecho de la barra es el que más va a bajar; de modo que controlando el movimiento de ese punto nos aseguramos que la deformación de todo el sistema resulte aceptable. Por lo tanto, además de analizar las tensiones, debemos calcular el descenso del extremo del voladizo (la “flecha” ) para comprobar si su valor es el esperado. Si no lo es, habrá que aumentar la sección para incrementar la rigidez y rebajar así las deformaciones. 

Posición inicial

Al observar un sector cualquiera de la ménsula anterior, y en él una sección  (figura 2), veremos que esa sección efectúa dos movimientos: un descenso δ y una rotación ϕ .

ϕ

δ

t La tangente al eje, t  gira lo mismo que la sección, ya que los lados de los dos ángulos resultantes son siempre ϕ perpendiculares. Por lo tanto, cuando hablemos de la rotación ϕϕ que se produce en un cierto punto, haremos referencia al giro de la tangente y al de la sección, indistintamente. 

Posición final

Figura 2

Adoptaremos la siguiente convención de signos para los corrimientos de los puntos de una estructura: verticales

δv

+

Desplazamientos lineales horizontales Desplazamientos angulares

ϕ

δh

+

+

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Los movimientos mencionados constituyen corrimientos totales, absolutos. Pero también puede interesar el desplazamiento relativo entre dos puntos de la estructura, o sea lo que se mueve uno respecto del otro. Consideremos dos secciones diferentes,  y , de la barra anterior, y sus respectivos corrimientos (figura 3):

Posición inicial

Posición final

Figura 3

δ ϕ

δ δ

t

ϕ

ϕ

=

ϕ

=

δ

δ

ϕ

t

La diferencia entre los descensos de las dos secciones es el descenso relativo de ambas, y es designado como δδ  δ δ − δ  La diferencia entre los giros de las dos secciones es el giro relativo de ambas, y es designado como ϕ  ϕ  ϕ  − ϕ  Como puede deducirse fácilmente, el giro relativo de dos secciones resulta igual al ángulo que forman sus tangentes respectivas. En estas expresiones, los δ y los ϕ deben incorporarse con su correspondiente signo. Cuando la estructura presenta dos barras unidas por una rótula, en esa unión se producen dos rotaciones diferentes, a un lado y a otro, y entonces allí se tiene un giro relativo en un mismo punto. En la viga Gerber mostrada en la figura 4, por ejemplo, la elástica presenta una discontinuidad en el punto, con dos tangentes diferentes, a izquierda y a derecha de la rótula. Figura 4

No puede hablarse del giro de la sección , porque en ese lugar hay dos rotaciones distintas: 

ϕ , inmediatamente a la izquierda de  (valor negativo, en este caso) 

ϕ

ϕ Elástica

ϕ  , inmediatamente a la derecha de  (valor positivo, en este caso) El giro relativo en     ∆ϕ  ϕ  − ϕ    

t Elástica

t

∆ϕ

Como ϕ   es negativo, aquí el giro relativo resulta ser la suma de los valores absolutos de los dos giros totales. --- -----------------------------------------------------------------------------------En esta parte de nuestro curso estudiaremos cómo calcular los desplazamientos de los puntos de una estructura, una vez determinados los esfuerzos internos que se desarrollan en la misma. Llegaremos a obtener expresiones matemáticas donde el movimiento buscado resulta una función de las solicitaciones M, Q , N que se producen en la estructura. Aquí es necesario aclarar lo siguiente: Si bien para calcular el movimiento de un cierto punto nos servimos de los esfuerzos internos M, Q, N, previamente determinados, debemos recordar que esos esfuerzos no son la causa de ese desplazamiento. La causa son las deformaciones de la pieza. (Los esfuerzos M, Q, N, son simplemente una forma de visualizar el campo tensional que se produce en el interior de la estructura, es decir, una manera de agrupar las tensiones para facilitar su estudio. Y esas tensiones son generadas por las deformaciones; no son la causa de éstas). Por lo tanto, sería incorrecto afirmar que tal barra de un reticulado se alarga porque su esfuerzo axial es de

tracción. Lo que sucede en realidad es lo opuesto: desarrolla tensiones de tracción porque se alarga. De la misma forma, si se habla de la flecha de una viga no debe decirse que es debida a los momentos flectores, porque éstos no generan esa flecha. Diremos más bien que ese descenso está en correspondencia con tales momentos, o que se produce cuando se tienen esos momentos.

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2. DEFORMACIONES DE UN SECTOR DE BARRA EN EL PLANO La figura siguiente muestra, en vista, parte de una barra perteneciente a una estructura plana. Se ha señalado en ella una rebanada de espesor diferencial, ds . ds

El material de esta pieza verifica la Ley de Hooke. h

En el cuadro que sigue se han indicado las deformaciones que presenta la rebanada en correspondencia con los esfuerzos internos M, Q y N que se producen en esa sección.

VISTA

SECCION

Convención de signos: serán positivos cuando tengan el sentido indicado en las figuras anteriores, y negativos en caso contrario. Hay entonces una correspondencia entre el signo de cada esfuerzo interno y el de la deformación respectiva. En cuanto a las deformaciones correspondientes a una variación de temperatura ∆ t : Llamando

resulta, considerando que ∆  varía en forma lineal a lo largo de la altura de la sección:

serán positivos cuando tengan el sentido indicado en las figuras anteriores, y negativos en caso contrario.

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3. DEFORMACIONES DE UN SECTOR DE BARRA EN EL ESPACIO La figura siguiente muestra parte de una barra perteneciente a una estructura espacial. Se ha señalado en ella una rebanada de espesor diferencial, ds . La terna de ejes x , y , z corresponde a los ejes locales de la sección, con origen en el baricentro de la misma. El eje x coincide con el eje de la barra (o con su tangente, si la misma es curva) , en tanto que y , z , son los ejes principales de la sección. El material de esta pieza verifica la Ley de Hooke. En el cuadro que sigue se han indicado las deformaciones que presenta la rebanada en correspondencia con los esfuerzos internos que se producen en esa sección.

Deformaciones correspondientes a una variación de temperatura: aplicar lo visto en el Punto 2.

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4. RELACION ENTRE DEFORMACIONES Y DESPLAZAMIENTOS Figura 1

Cualquier estructura de barras, como la ménsula que muestra la figura 1, por ejemplo, puede ser considerada como una serie de infinitos segmentos de espesor diferencial ds , colocados uno a continuación del otro.



 ds

La deformación de cada una de esas rebanadas incide en el corrimiento de los puntos de la estructura. El movimiento total del extremo  por ejemplo, es el resultado de lo que sucede con ese conjunto de infinitos elementos yuxtapuestos que constituyen la barra, los cuales provocan ese movimiento al deformarse Veamos a continuación cómo evaluar el aporte de cada rebanada al desplazamiento de . En la figura 2 se han representado los diagramas de esfuerzos internos generados por la carga que actúa sobre la ménsula. Se ha señalado una de sus secciones, , y sus respectivos valores de M y Q .







Figura 2

M

Diagrama M

Supongamos ahora que solamente la rebanada correspondiente a  es deformable; mientras que todas las Diagrama Q Q restantes son perfectamente rígidas. Según hemos visto anteriormente, la rebanada situada en J se deformará como lo indica la figura 3: con un giro relativo calculable en función del momento flector en ese punto, y con un desplazamiento trasversal de las dos caras Figura 3 M proporcional al esfuerzo de corte en dϕ = ds ds



Las restantes rebanadas no tendrían deformación, según la hipótesis planteada.

M

ds

δm =

Q

κ

Q



ds

De manera que la barra  se comportaría como se muestra en la figura 4. Figura 4

El extremo B tendría entonces los siguientes movimientos:  

Un giro igual al dedϕ Un descenso igual a la suma del provocado por ese giro y el debido al movimiento trasversal en  dϕ . a + δ m





 a

Debido a d ϕ

d ϕ.a

dϕ Debido a

dϕ

δm

δm

Estos son los aportes de la deformación que sufre  al corrimiento del extremo  del voladizo. Como en la realidad todas las rebanadas que constituyen la barra se deforman, y no únicamente la que hemos considerado, todas producirán una contribución al giro y al descenso del punto . Para obtener el movimiento completo de ese punto es necesario, entonces, sumar esos infinitos aportes; es decir, plantear una integral definida para calcular el giro completo de  y otra para su descenso total. Ambas tendrán como dominio de integración la barra completa, o sea el intervalo . Previamente, será necesario expresar M , Q, , etc., como funciones matemáticas de una coordenada s que recorra toda la estructura (figura 5). Las expresiones resultantes serán las siguientes: Figura 5

ϕ =





ϕ = 



 

  



 s

L 

δ =







ϕ ( ! − ) +







δ =





 !   +  ( − )







κ   

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Lo visto en este caso es aplicable a cualquier otra estructura donde interese hallar los desplazamientos de un punto cualquiera. Sólo es necesario que se hayan obtenido previamente las funciones matemáticas de sus esfuerzos internos M , Q , N , y además que estén ya definidos material y secciones. No siempre el camino indicado resulta tan simple como en el caso visto. A veces puede complicarse un poco, como se puede comprobar con los ejemplos que siguen. - - - Ejemplo 1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - Cálculo del giro y el descenso del punto  en la siguiente viga Gerber.



 

s



Si queremos obtener aquí el movimiento del extremo  siguiendo el método aplicado anteriormente, nos encontramos con el siguiente inconveniente: En el punto  hay una rótula, y por lo tanto existe un giro finito (no diferencial) ∆ϕ  que no conocemos. Allí se tiene una rebanada “especial” con un comportamiento diferente, ya que presenta una rotación∆ϕ que no es infinitésima, cuyo valor es desconocido. Resulta necesario determinar correctamente ese valor, pues su aporte al movimiento buscado es muy importante, y no puede ser omitido. Para hallarlo, podemos hacer lo siguiente: calcular un corrimiento particular, de valor conocido de antemano, y en cuya expresión matemática figure ese ∆ ϕ como única incógnita. En este caso sabemos que el corrimiento vertical del punto  es nulo, por estar vinculado con un apoyo móvil. Planteamos entonces el descenso de ese punto, y llegamos a una ecuación donde todos los términos resultan calculables, excepto el giro relativo que nos interesa: 

δ =





 ϕ (  − ) + ∆ϕ  + 





 ϕ (  − ) + 





δ = " → ∆ϕ

=





 Ahora sí estamos en condiciones de obtener los desplazamientos que buscábamos:

ϕ =

δ =



 



 ϕ + ∆ϕ +





ϕ + 

 

 + ∆ϕ  + 





ϕ=







+ 





 + =  

- - - Ejemplo 2 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - Cálculo del giro y el descenso del punto  en la siguiente viga con voladizo.



 s



A diferencia de la viga Gerber anterior, en el extremo inicial de esta barra no hay un empotramiento, sino un apoyo fijo. Por lo tanto, en ese punto se producirá una rotación ϕ  de la tangente a la barra; rotación de valor finito que incidirá mucho al calcular el desplazamiento de y que será necesario conocer. Se trata de una situación similar a la del ejemplo anterior: hace falta calcular previamente otro corrimiento para poder obtener el que realmente interesa. Si miramos el vínculo del punto  como un empotramiento común, al cual llega una barra



con una articulación en su extremo, veremos por qué este caso es parecido al otro : La barra presenta una primera rebanada con posibilidad de tener giros finitos, no infinitésimos. Es lo que sucedía con el punto  de la viga Gerber anterior: hay una rebanada “especial”, distinta de las demás, y por lo tanto es necesario determinar la rotación entre las dos caras de la misma.

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Puesto que la cara izquierda no puede moverse, y sólo la derecha lo hace, el giro relativo de esa rebanada es simplemente el giro absoluto de la cara derecha, o sea de la tangente a la barra en ese lugar, ϕ . 

Sabiendo que el corrimiento vertical del punto es nulo, planteamos:

δ = ϕ  +





 ϕ (  −  ) + 



 

δ = " → ϕ

= 

Y ahora empleamos este resultado para obtener

ϕ  = ϕ +





ϕ + 

δ = ϕ  +







ϕ =  



+







 +  =



- - - Ejemplo 3 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - Cálculo del giro y el descenso del punto  en la siguiente viga con dos voladizos.



 



En este caso, el extremo izquierdo de la estructura no está vinculado, de modo que tendrá un descenso y una rotación que habrá que calcular previamente. Para ello podemos plantear estas dos ecuaciones, donde aparecen ambas magnitudes como únicas incógnitas: Descenso de  = " Descenso de  = " Pero en vez de seguir este camino, resulta más práctico considerar el sectoren vez de la estructura completa; o sea tomar como inicio del circuito al punto , no al extremo . De esa forma, sólo resultará necesario calcular previamente un solo valor, en vez de dos: la rotación en . Como el descenso de ese punto es nulo, no requiere ninguna ecuación adicional para ser determinado. Por lo tanto, podemos resolver este problema repitiendo exactamente el camino seguido en el ejemplo 2, tomando sólo el sector  como conjunto de rebanadas deformables. El voladizo , aunque no figure en forma explícita, interviene también, porque sus cargas inciden en las reacciones y en los esfuerzos internos de toda la estructura; y por lo tanto influye en el valor de la rotación que se produce en . Observamos, sin embargo, que con este planteo las deformaciones de sus rebanadas no figuran en las integrales que deben resolverse. ¿Es correcto esto? Sí, lo es: el voladizo  actúa como acción mecánica sobre el sistema, generando determinadas fuerzas que participan del equilibrio total; pero no interesa si se deforma mucho o poco, al tiempo de definir cómo es la elástica del resto de la estructura. Su curvatura será grande o pequeña, según su rigidez; pero esto no tiene consecuencias en los movimientos de los puntos situados a la derecha de . ------------...