Cap.11 Separata desplazamientos pequeños PDF

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PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL PERÚ ESTUDIOS GENERALES CIENCIAS ESTÁTICA Unidad 10 SEPARATA 1 GEOMETRÍA DE LOS DESPLAZAMIENTOS PEQUEÑOS DESPLAZAMIENTOS PEQUEÑOS EN SÓLIDOS RÍGIDOS Desplazamientos pequeños:  Son magnitudes despreciables con relación a las dimensiones del sólido.  No afectan la...

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PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL PERÚ ESTUDIOS GENERALES CIENCIAS ESTÁTICA

Unidad 10 SEPARATA 1 GEOMETRÍA DE LOS DESPLAZAMIENTOS PEQUEÑOS DESPLAZAMIENTOS PEQUEÑOS EN SÓLIDOS RÍGIDOS Desplazamientos pequeños:  Son magnitudes despreciables con relación a las dimensiones del sólido.  No afectan la geometría inicial del sólido. Desplazamiento y deformación: Son producidos por las SOLICITACIONES (cargas, etc.) que actúan sobre el cuerpo. Desplazamiento: Cambio de POSICIÓN.

.

B

B

A

A

 

B

A Eje de rotación

A

O

B = A

Punto A  trayectoria circular Punto O  centro de rotación

TRASLACIÓN PURA

ROTACIÓN PURA

B

B

A

A

B

A

MOVIMIENTO GENERAL: TRASLACIÓN + ROTACIÓN

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Consideración geométrica para desplazamientos pequeñoS Si los desplazamientos son pequeños  los giros también son pequeños  los desplazamientos son perpendiculares a la línea que une la partícula con el centro de rotación.

A ’

Eje de rotación

A’’

AA’ = r ø

AA’ = AA’’

AA’’ = r tg (ø)

ø

o

 ø  tg (ø)

A

Relación entre los desplazamientos pequeños de dos puntos de un sólido rígido (Teorema de Mohr) Desplazamiento A = traslación + rotación (desplazamiento de B) (giro en torno a B)

A’ A

A/B

A

A’’ A = B + A/B

B A-B

A = B + (B – A) x ø

ø

B’

B

B A

Propiedad equiproyectiva de los desplazamientos pequeños.-

A = B + (B – A) x ø Multiplicando por (B – A)

A (B –A)= B (B –A) + [(B – A) x ø] (B –A) A AB = B AB Movimiento plano: todas las partículas del sólido se desplazan en planos paralelos. Placa plana: sección del sólido paralela a los desplazamientos de sus partículas.

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Polo

PLACA PLANA en

B

A

plano Q // plano 

Q

Eje de

 Para la determinación del movimiento plano de un sólido rígido, es suficiente estudiar una PLACA PLANA del mismo

Centro de rotación o POLO Punto de intersección del eje de rotación con el plano de la placa plana. Puede estar contenido o no en la placa plana. El polo NO tiene desplazamiento. Determinación gráfica:

R

1. Se conocen A y ø

A C

ø L

A

2. Se conocen A y ø

R

A

B

C A

C

A

A

B

B

B

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B A C

A

B

A 

B ø ø 

Nota: Se trabaja con dos escalas distintas, una para desplazamientos y otra para distancias y longitudes. CADENA CINEMÁTICA Unión de dos o más placas planas mediante vínculos relativos (Externos o Internos). En el curso analizaremos cadenas de 1 grado de Libertad.

GRADO DE LIBERTAD:

GDL = 3N – (VE + VI)

N : Número de PLACAS VE: Restricciones de Vínculos Externos VI : Restricciones de Vínculos Internos

N = 2

VI = 1 x 2 = 2 1 Articulación

VE = 2 x 2 = 4 2 Apoyos

GDL = 0

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S2 S3

S4

S1 1 Biela N = 4

VI = 2 x 2 + 1 x 1 = 5 2 Articulaciones

2 Apoyos simples VE = 1 x 2 + 2 x 1 = 4 1 Apoyo fijo

GDL = 3

POLOS ABSOLUTOS Y RELATIVOS Notación: Oi = Polo Absoluto de la placa Si Tiene desplazamiento cero. Oij = Polo Relativo entre las placas Si y Sj Si se fija un sólido, el otro rota alrededor de Oij. Oij es un punto “común” de ambos sólidos. TEOREMAS DE LINEALIDAD 1.- Dadas dos placas Si y Sj de una cadena, Oi, Oj y Oij están en una misma recta. 2.- Dadas tres placas Si, Sj y Sk de una cadena, Oij, Oik y Ojk están en una misma recta.

O2

O12 O23 S2

S1

O1

O13

S3

O3

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DETERMINACIÓN DE DESPLAZAMIENTOS PEQUEÑOS EN CADENAS CINEMÁTICAS DE UN GRADO DE LIBERTA Para conocer el desplazamiento del punto P de la placa Si, se requiere conocer:  La ubicación del polo absoluto Oi  El giro de la placa i  La distancia entre el punto P y el polo Oi. Se puede entonces aplicar la expresión vectorial: P = i x (P – Oi) Sin embargo, normalmente será más conveniente utilizar expresiones escalares, dado que se trata de movimiento plano. El vector giro se identifica mediante su magnitud y el sentido será horario o antihorario. Los desplazamientos de cada punto tienen en general dos componentes (x, y), referidos a algún origen predefinido. Así, tenemos que: II P II = II i II II (P –Oi)I P = (x, y) I x P I I( i) (distancia en “y” entre P y Oi)I I y P I  I( i) (distancia en “x” entre P y Oi)I i > 0 (Antihorario) o i < 0 (Horario) Como se trata de cadenas cinemáticas de grado de libertad 1, si se conoce el desplazamiento de un punto cualquiera de una de las placas, será posible hallar el desplazamiento de cualquier otro punto de la cadena, así como los giros de todas las placas. El procedimiento general es el siguiente: 1. Hallar el grado de libertad de la cadena cinemática; si es igual a 1, continuar. 2. Ubicar los polos absolutos y los polos relativos entre placas contiguas. 3. A partir del desplazamiento conocido de un punto de la placa Si, hallar el giro de la placa a la que pertenece este punto i (el dato también puede ser el giro). 4. Hallar el desplazamiento del polo relativo entre las placas Si y Sj : Oij. 5. Con este desplazamiento Oij se puede calcular el giro de la placa Sj. 6. Continuar hasta hallar el giro de la placa a la que pertenece el punto cuyo desplazamiento es la incógnita y aplicar la expresión vectorial o la expresión escalar para calcular su desplazamiento. En el caso de collarines (o correderas), suele buscarse la relación entre el desplazamiento relativo del collarín dentro de la barra en la que se desliza con los de otros puntos de la cadena. El desplazamiento absoluto del collarín C( C2) puede obtenerse como la suma vectorial del desplazamiento de C como integrante de la barra en la que se desliza (S1) mas el desplazamiento relativo de C dentro de la barra (paralelo a la barra).

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 Crelativoij =  C2   C1

C S1 S2 A 30º

O12

60º

O1

O2 C2/1

B

C1

20 cm C2

1

2 S1

O12

1 O1

2 O2

O12

Ejemplo: Hallar el giro de la barra CE, si la barra AB gira 1 x 10-6 radianes en sentido horario. 200 kg

50 cm

200 kg

M

50 cm

50 cm

30 cm

80 cm

40 cm 40 cm

50 cm

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En S1: O1 = A y B = O12 En S3: O3 = E y C = O23 Por teorema de linealidad hallamos O2 Por Geometría  arc tg (100/50) = 63.435º

O2 2 dC

63.435º

O23

2

S3 O12

S2

100 cm 3

dB S1

O3

dP

1

63.435º

O1

80 cm

40 cm

40 cm

50 cm

Por geometría:

25 71.565º

C 50

45º

63.435º

B

X 80 105

O2 B= 99 cm O2 C= 22.35

O2 X= 78.26 cm

O2 C= 78.26 – 50/(sen(63.435º))

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En el sólido S1:

O1 B = 80 2 cm

1 = 1 x 10-6 rad

B = O1 B 1

Luego B = 113.13 x 10 -6 cm

En el sólido S2 : 2 = B /(O2 B) = 113.13 x 10-6/99 = 1.14 x 10-6 rad Luego C = O2 C 2 = 1.14 x 10 –5 cm En el sólido S3 : 3 = C /(CO3 )

3 = 2.55 x 10 –5 / 111.8



CO3 =

1002  502 = 111.80 cm

3 = 2.28 x 10-7 rad

PRINCIPIO DEL TRABAJO VIRTUAL Trabajo de una fuerza.- Consideramos una fuerza F, aplicada sobre una partícula que experimenta un desplazamiento diferencial s a lo largo de su trayectoria.

El diferencial de trabajo W producido por F, es la cantidad escalar:

W = F . s W = F s cos  NOTA: El trabajo realizado por las fuerzas internas es nulo, por ser estas iguales dos a dos en módulo, dirección y sentidos opuestos.

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Trabajo de un par

Se tiene Tales que F1 = - F2

W = F1  r1 + F2  r2 _

_

__

r2 = r1 + r2/1

Pero:

Reemplazando

_

_

_

_

_

W = F1  r1 + F2  (r1 + r2/1 )

_

_

_

_

W = (F1 + F2)  r1 + F2  r2/1 ------- es cero _ _ W = F2  r2/1 además r2/1 = r 

_ _  W =

M 

Positivo si M y  tienen el mismo sentido Negativo si M y  tienen sentido contrario

Principio de Trabajo Virtual (PTV) “Si una partícula, sólido rígido o un sistema de sólidos rígidos conectados entre si están en equilibrio, el trabajo virtual realizado por las fuerzas y pares exteriores, durante un desplazamiento virtual compatible con las restricciones o vínculos, es nulo”. Este principio es un método alternativo a las ecuaciones de equilibrio.

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CASOS 

Si se tiene un sistema de GDL = 1, con una incógnita tal como una fuerza o momento externo o un dato geométrico (cota o ángulo), se aplica el PTV para resolverla.



Si se desea calcular alguna componente de reacción externa en un sistema de GDL igual a 0, se “libera” el GDL restringido por dicha componente y se aplica el PTV para resolverla.

Ejemplo: ¿Cuál debe ser el valor del par M para que el sistema se encuentre en equilibrio? 200 kg

50 cm

200 kg

M

50 cm

50 cm

30 cm

80 cm

40 cm 40 cm

50 cm

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200 kg O2 2 63.435º

2

O23

M O12

dC

S3

S2

100 cm

200 kg

3

45º dB

50 cm S1 1

O3

dP 63.435º

O1

80 cm

40 cm

Por geometría:

40 cm

50 cm

O2 25 71.565º

C 50

45º

63.435º

B

X 80 105

105 / (sen (71.565º)) = O2 (X) /(sen (45)) = O2 (B) /(sen (63.435º)) O2 B= 99 cm O2 C= 22.35

O2 X= 78.26 cm O2 C= 78.26 – 50/(sen(63.435º)) B = O12 C = O23

Por linealidad  O2

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Suponemos en el sólido S1 que 1 Luego dB = O2 B 1

O B = 80 2 cm

dB = 113.13 1

dB = dB (cos 45º , cos 45º)

O1 P = 50 2 cm

dP = 70.71 1

En el sólido S2

dP = O1 P 1 dP = dP (cos 45º , cos 45º)

dB = O2 B 2 = 99 2 = 113.13 1  2 = 1.14 1 2 = 1.14 1 k

dC = O2 C 2 = 22.35(1.14 1) = 25.48 1 dC = dC (sen 63.435º, cos 63.435º) En el sistema tenemos: F1 = 200 kg i en P M =  M k en S2 F2 = 200 kg j en C Las reacciones en los apoyos fijos no hacen trabajo. Por el P.T.V. el trabajo es nulo: F1 x dP + F2 x dC + M x 2 = 0 200 (70.71 1) cos 45º + 200 (25.48 1) cos 63.435º + ( M)(1.14 1) = 0 M = 10772 kg x cm

Ejemplo: Si  = 45°, hallar la componente de reacción horizontal en el apoyo C.

B 0.7 m

0.6 m

200 N º A

C

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Liberamos el GDL restringido por Cx, la cual se convierte en fuerza externa.

B 0.7 m

0.6 m 200 N º

Cx

A

En el

ABC, por ley de senos:

sen  / 0.6 =sen 45º / 0.7   = 37.307º  el ángulo ABC = 180 – 45 –  = 97.693º  sen ABC / AC = sen 45º /0.7  AC = 0.981 m En C suponemos que se desplaza () En S1 : A = O1 B = O12 O2 se encuentra en la intersección de O1O12 y la perpendicular a c = ( - xc, 0 ) En S2 : 2 = xc/ O2 C  xc = 0.981 2  = B O2  B O2 = A O2 – AB A O2 0.981 2 1.387 m B O2 = 7.87 m   = 0.787 2

O2 2 B

0.981

2 O12 1 Ax

45º O1

 xC

C Cy

0.981

Cx

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En S1 : 2 = xc/ O2 C  xc = 0.981 2  = AB    sen 45º , cos 45º) Por el P. T. V. (0,  200) x + Cx xc = 0 0 =  200 (0.787 2)cos 45º + Cx (0.9812)  Cx = 113.45N...