4.1 Conducción transitoria. Parámetros concentrados PDF

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4. Conducción en estado transitorio En esta unidad se estudiará la transferencia de calor por conducción, con la temperatura del sistema variando no solamente de un punto a otro, sino también con el tiempo. Los procesos de conducción en los que la temperatura varía con el tiempo se llaman inestables, no estacionarios o transitorios. La conducción transitoria tiene lugar en el calentamiento o enfriamiento de diversas piezas durante los tratamiento térmicos, en la manufactura del vidrio, en el calentamiento de un techo expuesto a la radiación solar, en la vulcanización del caucho, en los periodos de puesta en marcha de equipos térmicos como los intercambiadores de calor, los hornos, etc. Durante la conducción transitoria ocurre un aumento o disminución de la energía interna del sistema debido al cambio de temperatura. En estos apuntes se exponen algunos problemas sencillos de la conducción en estado transitorio unidimensional para aprender el método de análisis empleado en la obtención de relaciones matemáticas para los cálculos prácticos.

4.1 Análisis de parámetros concentrados Cuando un sólido está dentro de un fluido a distinta temperatura hay transferencia de calor por conducción y convección. En el proceso se tienen dos resistencias térmicas: una resistencia externa de convección en la interfase sólido-fluido y una resistencia interna de conducción. La relación entre la resistencia interna de conducción de un cuerpo sólido y la resistencia externa de convección está dada por el número de Biot. Esto es,

L Resistencia interna de conducción hL Bi  número de Biot =  k  1 k Resistencia externa de convección h

(4.1)

donde h es el coeficiente de transferencia de calor por convección en la interfase sólido-fluido, L es una longitud característica para describir una geometría dada (en una placa infinita la longitud característica para el número de Biot es la mitad del espesor de ésta, en un cilindro infinito es el radio, en una esfera es el radio), k es la conductividad térmica del material del sistema. Muchos problemas de conducción transitoria pueden resolverse con exactitud aceptable suponiendo que la temperatura del sistema es prácticamente uniforme en cualquier instante. Esto es, la temperatura no depende de la distancia, solamente del tiempo. Esta condición se da cuando la conductividad térmica del material del sistema es suficientemente alta para hacer que la caída de temperatura en su interior sea insignificante, cuando las dimensiones físicas del sistema son suficientemente pequeñas para que las diferencias de temperatura en su interior no sean apreciables, cuando el coeficiente de transferencia de calor por convección en la interfase sólido-líquido es muy pequeño.

1

De lo anterior se puede concluir que la resistencia interna de conducción es muy pequeña comparada con la resistencia externa de convección y Bi  0 . Puede suponerse que la temperatura dentro del cuerpo es uniforme cuando Bi 

hL  0.1 . El k

análisis de la conducción de calor en estos sistemas se conoce como análisis de parámetros concentrados. Considere un cuerpo, como el mostrado en la figura 4.1, de volumen V, superficie A, hecho con un material homogéneo que tiene una densidad ρ, una conductividad térmica k y un calor específico C. Inicialmente está a una temperatura uniforme To y se sumerge en un fluido con una temperatura constante T . El coeficiente de transferencia de calor por convección entre la superficie del cuerpo y el fluido es h y se mantiene constante. La diferencia de temperatura entre la superficie del cuerpo y el fluido produce la transferencia de calor por convección desde la superficie del cuerpo hacia el fluido y la temperatura del cuerpo varía con el tiempo. Se supone que la resistencia interna (de conducción) es despreciable comparada con la resistencia externa (de convección); por lo tanto, la temperatura del cuerpo sólo es función del tiempo, esto es, T (t ) .

T (t )

Fluido a T ,

h

q por convección

Figura 4.1 Cuerpo enfriándose en un fluido de temperatura constante.

Balance de energía:

En este sistema:

  dt  sistema

E

Eentra  Eg en era da  0 ,

E sale  q convección

(4.2)

dT  dU   VC   dt  dt  sistema

Entonces, el balance de energía, se reduce a

También,

 dT   hA(T  T )  CV    dt 

(4.3)

dT hA (T  T )  0  dt  cV

(4.4)

Si se define la diferencia de temperaturas   T  T ,

resulta 2

d  hA 0  dt  cV

(4.5)

Esta ecuación diferencial requiere de una condición inicial: cuando t  0 o también, cuando

t 0

  0  T0  T

T  T0 , (4.6)

La ecuación 4.5 es una ecuación diferencial homogénea de primer orden que puede resolverse separando variables, entonces

d

 Integrando,



ln( )  

hA dt VC

(4.7)

hA t  C1  VC

Al obtener el antilogaritmo, resulta,

 e



hA

VC

t  C1

e e C1



hA

VC

t

 C2 e



hA t ρVC

La ecuación 4.8 es la solución general de la ecuación diferencial 4.5 y

(4.8)

C2 es una constante

de integración que se obtiene a partir de una condición inicial. Al sustituir en la ecuación 4.8 la condición inicial dada por la ecuación 4.6, se obtiene que C2   0 . Por lo tanto, la variación de temperatura con respecto al tiempo será

hA

  T  T   e VC o To  T

t

(4.9)

T del cuerpo en cualquier tiempo t . Si se hace t  0 entonces T  T0 . Al aumentar el tiempo, la temperatura T disminuye

Con la ecuación 4.9 es posible calcular la temperatura aproximándose a la temperatura del fluido.

3

Ejemplo 4.1. Una esfera de aluminio (ρ = 2 720 kg/m3, C = 895 J/kg K, k = 210 W/m K) de 3 cm de diámetro se encuentra inicialmente a 200°C y se pone en contacto con aire a 100°C. Si el coeficiente de transferencia de calor es 20 W/m2 K, calcule el tiempo necesario para que la temperatura de la esfera disminuya hasta 150°C. El cálculo del número de Biot implica el uso de una longitud característica, en una esfera esta longitud es el radio, entonces,

Bi 

hL hR (20 W / m2 K )(1.5x102 m)    0.0014 210 W/mK k k

Dado que el número de Biot es mucho menor que 0.1 se puede aplicar el análisis de parámetros concentrados y puede considerarse que la temperatura solamente es función del tiempo. La variación de temperatura con respecto al tiempo está dada por la ecuación 4.9. Esto es, hA

  T  T   e VC  o To T 

t

3h 3(20 W / m2 K) hA h(4 R2 )     1.64 x10 3 s 1 2 3 4 cV cR (2720 kg / m )(895 J / kgK )(1.5 x 10 m )    c   R3   3 

T  T 150 100   0.5 To  T  200  100

Sustituyendo en la ecuación 4.9 se tiene que, 2

0.5  e ( 1.64x10

)t

donde t está en segundos. La ecuación se resuelve usando logaritmo natural, entonces,

ln(0.5)  ( 1.64x10 3 )t Por lo tanto, t  422.65 s  7.04 minutos

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Ejemplo 4.2. Una corriente eléctrica de 10 A se hace pasar repentinamente por un alambre de cobre (k = 386 W/m K, ρ = 8 950 kg/m 3, C = 383 J/kg K, ρe = resistividad eléctrica = -8 1.8x10 Ω m) de 1 mm de diámetro con una temperatura inicial de 25°C. Obtenga una expresión para la temperatura del alambre como función del tiempo. Calcule la temperatura del alambre después de 100 segundos (t = 100 s) de haber iniciado el paso de la corriente eléctrica. Suponga que la temperatura ambiente es 25°C y el coeficiente de transferencia de calor es 25 W/m2 K.

Bi 

hL (25 W/m 2 K)(0.0005 m)   3.24x10  5  0.1 k 386 W/m K

Entonces aplica el análisis de parámetros concentrados y Balance de energía:

T  T(t)

 dE  E entra  E generada  E sale     dt sistema

Ningún flujo de energía entra, el flujo de energía generada en el alambre se debe a la corriente eléctrica, el flujo de energía que sale es por convección hacia el aire. Entonces,

qV  hA(T  T )  VC

dT dt

Cambio de variable:   T  T

qV  hA  VC

d dt

d hA q   C dt VC

Esta es una ecuación diferencial no homogénea. La solución general de la ecuación diferencial es

  C 1e



hA

VC

t



q V hA

Condición inicial:

cuando

t  0,

qV   T  T  0 , entonces C 1   

hA

5

 t  q V  1  e VC   hA   hA

Por lo tanto,

q

  T  T 

la solución particular es:

 ei 2 ( L /  R 2 )i 2 (1.80x10  8 m )(10 A) 2 R i2  e    2918.05 kW / m 3 ( R 2) 2 ( (0.0005 m) 2) 2 R L  R2L

q    hA h(2 RL) 2 h

05 kW / m3 )(0.0005 m )  29.18 °C 2(25 W/m2  C )

2h 2(25 W / m K) hA h (2 RL )     0.0292 s 1 2 3  VC  ( R L)C  CR (8950 kg / m )(383 J / kg C)(0.0005 m) 2

Entonces, la variación de la temperatura en el alambre como función del tiempo queda dada por la ecuación

T  25  29.18(1 e 0.0292 t ) donde la temperatura está en °C y el tiempo en segundos. Cuando el tiempo es 100 s ( t  100 s ) la temperatura del alambre es 52.6 °C; la temperatura de estado estable (cuando t   ) es 54.18 °C.

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