487697800 Tarea 3 Grupo 41 1 pdftyhthgyhujiuyhtthyjuiolplyxvcbvnsdfghjklñpoiuytr rewsdcvghjkijuyhtgrfedfghjklñlkjhgfd PDF

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Summary

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Description

TRABAJO COLABORATIVO DE LA TAREA 3 SEÑALES Y SISTEMAS

Tutor: PAOLA ANDREA MATEUS

Grupo: 203042-41

Presentado por: CRISTIAN ALONSO BAYONA. C.C. 1,096,191,613 ISAI LOZANO. C.C. 1082835781 CARLOS ADOLFO GARIZABALO. C.C. 91.475.933 JOSE FERNANDO ROBLES. C.C. 1,096,201,986

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS E INGENIERÍAS INGENIERÍA ELECTRÓNICA SEÑALES Y SISTEMAS

2020 – 1604

INTRODUCCIÓN

La transformada de Laplace es un tipo de transformada integral frecuentemente usada para la resolución de ecuaciones diferenciales ordinarias. La transformada de Laplace de una función definida para todos los números positivos.

Hacia principios del siglo XX, la transformada de Laplace se convirtió en una herramienta común de la teoría de vibraciones y de la teoría de circuitos, dos de los campos donde ha sido aplicada con más éxito. En general, la transformada es adecuada para resolver sistemas de ecuaciones diferenciales lineales con condiciones iniciales en el origen. Una de sus ventajas más significativas radica en que la integración y derivación se convierten en multiplicación y división. Esto transforma las ecuaciones diferenciales e integrales en ecuaciones polinómicas, mucho más fáciles de resolver.

OBJETIVOS

• • • •

Analizar señales continuas a través de la transformada de Laplace y funciones de transferencia. Comprender el concepto y la importancia de la transformada de Laplace. Aplicar lo aprendido para obtener el diagrama de polos y ceros de un sistema. Aplicar los conceptos necesarios para obtener la transformada de Laplace inversa.



CUERPO

DEFINICIÓN DE CONCEPTOS: a. Si una función de transferencia tiene un polo en el eje real del semiplano derecho del plano s, ¿cómo será la respuesta en el tiempo asociado a este polo? R/ la respuesta es una exponencial creciente, por lo tanto es inestable según el criterio de estabilidad BIBO b. Que propiedad hace posible encontrar la transformada inversa de Laplace, como la suma de las transformadas de funciones más simples halladas al aplicar fracciones parciales? Explique. R/ la propiedad de superposición, ya que las fracciones parciales consisten en descomponer un fraccionario en fracciones mas simples y de esta forma obtener la transformada inversa total como la suma de las transformadas inversas de cada fracción. c. De acuerdo con la Ecuación 11.1 (Pg. 330) del Libro de Ambardar, la Transformada de Laplace �(�) de una señal �(�) se define como una integral. Plantee la integral para la transformada �(�) de la señal �(�) = �−3 3 cos(4�) �(�). R/

d. Descomponga en fracciones parciales la expresión (Ver sección 11.4.1, pg. 340):

R/

Ya que solo tiene factores distintos:

5�−4 �1=(� −2)�(�)|�=2 = � |�=2 =2 �+1 � � 5� −4 �2=(� +1)�(�)|�=−1 = � |−1 =3 �−2 � � � 5�−4 3 2 + = �(�) = 2 � � −�−2 � −2 � +1 � � � � � e. Encuentre la función de transferencia �(�) para el diagrama de polos y ceros de la figura 1. (Ver ejemplo 11.5, pag. 339) �

Figura 1. Señal para trabajar en la pregunta e R/ laconstante K=4. El grado del numerador es 2 y sus ceros son -2. s=0 El y s= grado del denominador es 2 y sus polos son s=3 -3. y s= 4�(� +2) �(�) = � � (� +3)(�−3) � � �

EJERCICIO 1 TRANSFORMADA DE LAPLACE Nombre del estudiante: CRISTIAN ALONSO BAYONA Código universitario: 1,096,191,613 Constante a: 19 Constante b: 21

Solución parte teórica: Verifique si sus resultados corresponden con la tabla de transformadas de la página 331 del libro guía. a)

La salida X(s) es 1 �(�) ⟺ � � 228 �(�) = 5 �

b) �(�) = � ∗���2(� ∗�) .�( �) � � �

La salida X(s) es �2 + 2� 2 �(�) ⟺ 2 �(� + 4�2) � 1 1 = � {21( − cos(2 ∗19�) ∗ ) } 2 � 2 13608 = �(�2 + 1444)

Nombre del estudiante: Carlos Adolfo Garizábalo Código universitario: 91475933 Constante a: 19 Constante b: 19 Solución parte teórica: a)

Pasos:

Utilizar la propiedad de la multiplicación constante de la transformada de Laplace, para la función () y una constante a:ℒ {({∗ ()} = ∗

ℒ { { {4} Usamos la tabla de las transformadas de Laplace

La transformada de t

Solución práctica: Resulados en Symbolab

Solución parte teórica:

y al multiplicar por una constante la respuesta sería:

= Simplificar Multiplicar

19 2� 19 2

19

�

�

= 2 +14444 �

� �

19 19 � − ∗2 � 2� 2 � +1444 � �

− 2 ∗�2+1444 19�

�

∗�2+1444 : 2(�2+1444)

Multiplicar fracciones: ∗� = �∗� �∗� � � �

19� 2 +1444 � )

2(� � 19 19� = − 2 � 2� 2(� +1444) � � Mínimo común múltiplo de2�(2�2 +1444) � � Reescribir las fracciones basándose en el mínimo común denominador: 19(�2 +1444) 19�2 − � ) 2(��2 +1444) 2(�2 +1444 � � Factorizar 19(�2+1444) −19�2:27436 � � 27436 = ) 2�(�2 +14444 �� Dividir 27436 = 13718 2 Respuesta: 13718 �(�2 +1444) �� Solución práctica: Resultados en Symbolab

Nombre del estudiante: Isai Lozano Código universitario: 1082835781 Constante a: 19 Constante b: 20 Solución parte teórica: c) () = 10 ∗

4

.(()

La transformada de t4 sería:

Solución práctica: Resulados en Symbolab

es 24 y al multiplicar por una constante la respuesta

Solución parte teórica: d) () = 19 ∗ 2

(bt) es: La tansformada de sen

Solución práctica:

Resulados en Symbolab

2

(20 ( ∗ ). ( ) es 2222 2 y multiplicando por la contante la solución

Nombre del estudiante: Jose Fernando Robles Calderon Código universitario: 1,096,201,986 Constante a: 19 Constante b: 18

Solución parte teórica:

DESARROLLO TAREA 3 Ejercicio 1

la tabla 11.1

Usando la transformada

�(�) = 19∗���2(18∗�).�(�) Usando la transformada 13 de la tabla 11.1 � � número � 2 ∗182 �(�) = 19∗ 2 �(� + 4 ∗182) 12312 �(�) = �(�2 + 1296) Solución práctica:

Resultados simulación

número 5 de

Ítem Grupal de transformada de Laplace

= =

=

�2

� + 192

�2

� + 361

(� − (−19)) (� − ( −19)) 2 + 361

=

� + 19 (� + 19)2 + 361 = (−1)19

Respuesta: = −1 Solución práctica: Resulados en Symbolab

EJERCICIO 2 FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA (POLOS Y CEROS) Nombre del estudiante: CRISTIAN ALONSO BAYONA Código universitario: 1,096,191,613 Constante a: 19 Constante b: 21 Solución parte teórica:

Nombre del estudiante: Isai Lozano Código universitario: 1082835781 Constante a: 19 Constante b: 20 Solución parte teórica:

Aplicando transformada de Laplace se obtiene:

Factorizando:

Despejando la función de transferencia es:

Los ceros se calculan igualando el numerador a cero:

1 2 92 � +1 � =0 �2 0 � �2 =0 �1 =−0 1 � � Los polos se calculan igualando 9 el denominador a cero: �3+2�2+2 �+8=0 =− =− 0 .41 �2 � 0.79 �1 � +4.32 0 � � �3=−0.79 −4.32 � 3 6 � 3 6 �� 4 � �

Dado que no hay polos ubicados en el semiplano derecho, el sistema es estable. Solución práctica: Código:

Imágenes resultantes:

Nombre del estudiante: Carlos Adolfo Garizabalo Código universitario: 91475933 Constante a: 19 Constante b: 19

Solución parte teórica: �′′′(2 () + 2′′(9 () + 19′(8(5 () + 8() = 9. 5′′(0 () + 10′() Aplicando transformada de Laplace se obtiene: �3(2) + 22)(9(8(5 ( + 1 9() + 8() = 9. 52)(0( ( + 1 0() Factorizando: ()[[3 2 + 2 22 + 9 (59 1 + 8] = ()[9. 52 + 0 0 1 0] Así,

Despejando la función de transferencia es: � (�) =

9.5�2 + 10� �3 + 2�2 + 19� +8

Los ceros se calculan igualando el numerador a cero: 9.5�2 + 10� = 0 � = −1.0526 Los polos se calculan igualando el denominador a cero:

�3 + 2�2 + 19� +8 = 0 �1 = −0.437 �2 = −0.782+ 4.208� �3 = −0.782− 4.208� � �

Dado que no hay polos ubicados en el semiplano derecho, e l sistema es estable. Solución práctica:

Código: 914759 33

Imágenes resultantes:

Nombre del estudiante: Jose Fernando Robles Calderon Código universitario: 1,096,201,986 Constante a: 19 Constante b: 18

Solución parte teórica:

Ejercicio 2

La transformada de las derivadas son: �′′′() = 3() �′′( ) = 2)( �′()(= () )( = ( () Con esto podemos aplicar la transformada de Laplace al sistema quedando en el dominio de S �3(2 )( + 22(8(8(5 )( + 1 8() + 8() = 9. 52)(0( ( + 1 0() Teniendo el sistema en el dominio de S buscamos la forma de la función de transferencia la

cual es la siguiente

El numerador de la función de transferencia se resuelve para poder encontrar los polos del sistema

El denominador de la función de transferencia se resuelve para poder encontrar los ceros del sistema S3+2S2+ S+8 Solución

Código:

práctica:

Imágenes resultantes:

EJERCICIO 3 TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE

Ítem Grupal transformada inversa de Laplace Constante a: 19 Constante b: 21 Solución parte teórica:

Las variables a=21 y b =19

Aplicando fracciones parciales obtenemos:

= 9 9 −0.017 − 0.058 9

1 1 9 9 (9 ℎ() = 19−2 )(7 ( + 0.01 7−0.058 [cos(0.058 939]( 9) + 6.40 3(0.058 9) ]()

CONCLUSIONES

XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX XXXXXXXXXXXXXXXX

BIBLIOGRAFÍA

symbolab, [página web]. Recuperado de: https://es.symbolab.com/solver/pre-calculus-polynomialfactorizationcalculator/factorizar Ambardar, A. (2002). Procesamiento de señales analógicas y digitales: Transformada de Laplace. Cengage Learning, (2nd ed, pp. 330-337). Recuperado de http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2081/ps/retrieve.do?resultListType=RELATE D_DOCUMENT&userGroupName=unad&inPS=true&contentSegment=&prodId=G VRL&isETOC=true&docId=GALE|CX4060300114 Función de transferencia: Ambardar, A. (2002). Procesamiento de señales analógicas y digitales: Polos y Ceros de la Función de Transferencia. Cengage Learning, (2nd ed, pp. 339-358). Recuperado de de http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2081/ps/retrieve.do?resultListType=RELA TED_DOCUMENT&userGroupName=unad&inPS=true&contentSegment=&prodId =GVRL&isETOC=true&docId=GALE|CX4060300119 Filtros Analógicos: Ambardar, A. (2002). Procesamiento de señales analógicas y digitales: Polos y Ceros de la Función de Transferencia. Cengage Learning, (2nd ed, pp. 398-458). Recuperado de http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2081/ps/retrieve.do?resultListType=RELAT ED_DOCUMENT&userGroupName=unad&inPS=true&contentSegment=&prodId= GVRL&isETOC=true&docId=GALE|CX4060300193...