Tarea 3 grupo 203042-52 PDF

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UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIAUNADTRABAJO COLABORATIVO DE LA TAREA 3SEÑALES Y SISTEMASTutor:PAOLA ANDREA MATUSGrupo:203042 -IntegrantesLUIS MIGUEL ARCE. C. 1113661118FREDI ALEXANDER SANCHEZ. C. 18402148CRISTIAN GARCIA. C. 1113688666OSCAR ALEXANDER HERNANDEZ. C. 88239843PALMIRANOVIEMBRE D...

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UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD

TRABAJO COLABORATIVO DE LA TAREA 3 SEÑALES Y SISTEMAS

Tutor: PAOLA ANDREA MATUS

Grupo: 203042-52

Integrantes LUIS MIGUEL ARCE. C.C. 1113661118 FREDI ALEXANDER SANCHEZ. C.C. 18402148 CRISTIAN GARCIA. C.C. 1113688666 OSCAR ALEXANDER HERNANDEZ. C.C. 88239843

PALMIRA NOVIEMBRE DE 2020

INTRODUCCIÓN

El presente trabajo tiene como objetivo demostrar la comprensión de los temas vistos en la unidad 3 transformada de Laplace y análisis de sistemas. El trabajo comprende la elaboración de ejercicios teóricos y pruebas simuladas en programas de apoyo. Cada alumno ejecuta un ejercicio y comprensión de teoría las cuales fueron expuestas en un foro. La transformada de Laplace es un tipo de transformada integral frecuentemente usada para la resolución de ecuaciones diferenciales ordinarias. Este tema trabajado en la unidad 3 se desarrolló con ejercicios teóricos por cada uno de los integrantes del grupo. Junto a este tema se realizaron ejercicios de función de transferencia, filtros analógicos.

OBJETIVOS

• • • • • •

Transformar funciones del dominio del tiempo al dominio de Laplace Graficar el plano con los polos y ceros Expresar la función en el dominio de la place en su forma de fracciones parciales. Analizar señales continuas mediante la definición y conceptualización de preguntas teóricas sobre transformada de Laplace y funciones de transferencia. Resolver ejercicios que permiten el análisis en el dominio del tiempo a través de las propiedades de la transformada de Laplace, polos y ceros en funciones de transferencia. Comprobar el análisis matemático mediante simulación práctica en software especializado.

CUERPO DEFINICIÓN DE CONCEPTOS: a. Si una función de transferencia tiene un polo en el eje real del semiplano derecho del plano s, ¿cómo será la respuesta en el tiempo asociada a este polo? La estabilidad que da el sistema es cuando la función de transferencia es propia y que los polos estén situados en el semiplano izquierdo, que sean polos con parte real negativa. Un polo en el semiplano derecho (RHP), se tiene una respuesta no acotada para cualquier entrada acotada o no. b. ¿Qué propiedad hace posible encontrar la transformada inversa de Laplace, como la suma de las transformadas de funciones más simples halladas al aplicar fracciones parciales? Explique. Siguiendo la tabla 11.2 la propiedad que sirve aplicar será la de superposición

Podemos concluir que la función respuesta es la suma de componentes separadas, cada una que obtenida dejando una fuente activa mientras por otro lado las otras son cero. c. De acuerdo con la Ecuación 11.1 (Pg. 330) del Libro de Ambardar, la Transformada de Laplace ( 𝑠) de una señal ( 𝑡) se define como una integral. Plantee la integral para la transformada 𝑋(𝑠) de la señal 𝑥(𝑡) = 𝑒 −3𝑡 𝑐𝑜𝑠(4𝑡) 𝑢(𝑡). **Tenga en cuenta que sólo se le pide plantear la integral, NO resolverla. 𝑥(𝑡) = 𝑒 −3𝑡 𝑐𝑜𝑠(4𝑡) 𝑢(𝑡). ∞

𝑋(𝑠) = ∫ 𝑒 −3𝑡 𝑐𝑜𝑠(4𝑡)𝑒 −𝑠𝑡 𝑑𝑡 0−

d. Descomponga en fracciones parciales la expresión (Ver sección 11.4.1, pg. 340): 5𝑥 – 4

𝑥2

−𝑥−2

Las fracciones parciales consisten es escribir la función de la siguiente manera 𝑘1 𝑘2 5𝑥 – 4 = + (𝑥 + 1)(𝑥 − 2) 𝑥 + 1 𝑥 − 2 En donde los términos k1 y k2 se encuentran siguiendo la fórmula 11.18 del libro guía 𝑘1 =

5𝑥 − 4 5(−1) − 4 −9 =3 = = −3 𝑥 − 2 𝑥=−1 −1 − 2

𝑘2 =

5𝑥 − 4 5(2) − 4 6 = = =2 3 𝑥 + 1 𝑥=2 2+1

Una vez obtenidos los coeficientes se escribe la expresión en forma de fracciones parciales 3 2 + 𝑥+1 𝑥−2 e. Encuentre la función de transferencia (𝑠) para el diagrama de polos y ceros de la figura 1. (Ver ejemplo 11.5, pag. 339)

El numerador contiene a los ceros el denominador contiene los polos 𝐻(𝑠) = 4 ∗

EJERCICIO 1 TRANSFORMADA DE LAPLACE

𝑠(𝑠 + 2) (𝑠 + 3)(𝑠 − 3)

Nombre del estudiante: Fredy Alexander Sanchez Código universitario: 18,402,148 Constante a: 19 Constante b: 17

Solución parte teórica:

Sustituimos los valores de a y b en los puntos 17 a) 𝑥 (𝑡) = 2 ∗ 𝑡 4 . 𝑢 (𝑡) b) 𝑥 (𝑡) = 19 ∗ 𝑠𝑒𝑛 2 (17 ∗ 𝑡 ). 𝑢 (𝑡) c) Realizamos las transformadas con la tabla 11.1 del libro guia ademas de hacer cada transformada en la web como se indica para su comprobacion

a) 𝑋(𝑠) =

17 4! ∙ 2 𝑠5

b) 𝑋(𝑠) = 19

Resultados simulación A

=

17

∙

24

2 𝑠5 2∗172 ∙ 2 𝑠(𝑠 +4∗172 )

=

=

204

𝑠5 10982

𝑠(𝑠2 +1156)

B

Nombre del estudiante: Francisco Javier Sanchez Código universitario: XXXXXXXXXXXXXXXXXXX Constante a: 19 Constante b: 18 Solución parte teórica: XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX Solución práctica:

Resultados simulación

XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX

Nombre del estudiante: CHRISTIAN GARCIA Código universitario: 1,113,688,666 Constante a: 19 Constante b: 19 Solución parte teórica:

a) 𝑥 (𝑡) =

19 2

∗ 𝑡 4 . 𝑢 (𝑡 )

𝑋(𝑠) =

b) 𝑥 (𝑡) = 19 ∗ 𝑠𝑒𝑛 2 (19 ∗ 𝑡 ). 𝑢 (𝑡) 𝑋(𝑠) =

Solución práctica:

Resulados simulación

228 𝑠5

13718 𝑠(𝑠 2 + 1444)

Nombre del estudiante: Oscar Alexander Hernández Código universitario: 88,239,843 Constante a: 19 Constante b: 20

Solución parte teórica: 𝑎

a) 𝑥 (𝑡) = 2 ∗ 𝑡 4 . 𝑢(𝑡)

𝑋(𝑠) =

20 4! 10 24 240 ∙ = ∙ = 5 𝑠 2 𝑠5 1 𝑠5

b) 𝑥 (𝑡) = 𝑎 ∗ 𝑠𝑒𝑛 2 (𝑏 ∗ 𝑡 ). 𝑢(𝑡)

𝑥 (𝑡) = 19 ∗ sin2 (20 ∗ 𝑡 ). 𝑢 (𝑡) 1 1 𝑥 (𝑠) = 19 ( − cos(2 ∗ 20𝑡) ) 2 2 19 19 cos(40𝑡) 𝑥 (𝑠 ) = − 2 2𝑠 19 19 s − 2𝑠 2 𝑠 2 + 1600 15200 𝑥 (𝑠 ) = 𝑠(𝑠 2 + 1600 )

𝑥 (𝑠 ) =

Solución práctica:

Resultados simulación a)

b)

Nombre del estudiante: LUIS MIGUEL ARCE Código universitario: 1,113,661,118 Constante a: 19 Constante b: 21

Solución parte teórica: a.

𝑥 (𝑡 ) =

21 4 ∗ 𝑡 . 𝑢 (𝑡 ) 2

𝑥 (𝑠 ) =

21 24 ∗ 2 𝑠5

𝑥 (𝑠 ) = b.

252 𝑠5

𝑥(𝑡) = 19 ∗ sin2(21 ∗ 𝑡). 𝑢(𝑡) 1 1 𝑥(𝑠) = 19 ( − cos(2 ∗ 21𝑡) ) 2 2 𝑥( 𝑠 ) =

19 19 𝑠 − 2 2𝑠 2 𝑠 + 1764

𝑥 (𝑠 ) = Solución práctica:

Resultados simulación a)

16758 + 1764)

𝑠 (𝑠 2

b)

Ítem Grupal de transformada de Laplace Constante a: 19

Solución parte teórica:

Solución parte teórica:

𝑥(𝑡) = 𝑡19 ∗ 𝑒 −19∗𝑡 ∗ cos(19 ∗ 𝑡 )𝑢(𝑡) 𝑑19 (𝐿{𝑒 −19𝑡 cos(19𝑡)}) 𝑑𝑠19 𝑠 + 19 𝑥 (𝑠 ) = (𝑠 + 19)2 + 361

𝑥(𝑠) = (−1)19

Solución práctica:

Resultados simulación

EJERCICIO 2 FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA (POLOS Y CEROS) Nombre del estudiante: Fredy Alexander Sánchez Código universitario: 18,402,148 Constante a: 19 Constante b: 17

Solución parte teórica: Sustituimos los valores de a y b en el sistema 19 '' x (t)+10x' (t) 2 Tomamos la transformada de Laplace del sistema para pasar al dominio de S y encontrar la función de transferencia 𝑆3 𝑌 (𝑆) + 2𝑆 2 𝑌 (𝑆) + 17𝑆𝑌 (𝑆) + 8𝑌(𝑆) = 9.5𝑆 2 𝑋(𝑆) + 10𝑆𝑋(𝑆) 𝑌(𝑆)(𝑆 3 + 2𝑆2 + 17𝑆 + 8) = 𝑋(𝑆)(9.5𝑆 2 + 10𝑆) Y(S) 9.5𝑆 2 + 10𝑆 = 3 = 𝐻(𝑆) X(S) 𝑆 + 2𝑆 2 + 17𝑆 + 8 Tomamos el numerador y el denominador y los resolvemos como polinomios 9.5𝑆 2 + 10𝑆 𝑆 =0 ; 𝑆 = −1.052 3 S +2S2 +17S+8 𝑆 = −0.754 + 3.961𝑖 ; 𝑆 = −0.754 − 3.961𝑖 ; 𝑆 = −0.4921 La solución de numerador representa los ceros y la del denominador los polos y''' (t)+2y'' (t)+17y' (t)+8y(t)=

Solución práctica:

Código:

Imágenes resultantes:

Nombre del estudiante: Francisco Javier Sanchez Código universitario: XXXXXXXXXXXXXXXXXXXX Constante a: XXXXXXXXXXXXXXXXXXXX Constante b: XXXXXXXXXXXXXXXXXX Solución parte teórica: XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX Solución práctica:

Código:

Imágenes resultantes:

XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX

XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX

Nombre del estudiante: Luis Miguel Arce Código universitario: 1113661118 Constante a: 19 Constante b: 21 Solución parte teórica: 𝑦 ′′′ (𝑡) + 2𝑦′′(𝑡) + 21𝑦 ′ (𝑡) + 8𝑦(𝑡) =

19 ′′ 𝑥 (𝑡) + 10𝑥′(𝑡) 2

Vamos a hallar su funcion de transferencia apoyados en la tabla de la transformada de Laplace. 𝑠3 𝑌 (𝑠) + 2𝑠 2 𝑌(𝑠) + 21𝑠𝑌 (𝑠) + 8𝑌(𝑠) = 9.5𝑠 2 𝑋(𝑠) + 10𝑠𝑋(𝑠) Ahora factorizamos 𝑌 (𝑠)[𝑠 3 + 2𝑠2 + 21𝑠 + 8] = 𝑋(𝑠)[9.5𝑠 2 + 10𝑠] La función de transferencia será el cociente entre la salida y la entrada 𝑌(𝑠) 9.5𝑠 2 + 10𝑠 = 3 𝑋(𝑠) 𝑠 + 2𝑠 2 + 21𝑠 + 8 Los ceros son las raíces del numerador y los polos son las raíces del denominador Como el denominador tiene exponente mayor al numerador decimos que la función es racional propia Ceros

Polos

9.5𝑠 2 + 10𝑠 𝑠1 = 0 𝑠2 = −1.0526 𝑠3 + 2𝑠 2 + 21𝑠 + 8 𝑠1 = −0.8036 + 4.4411𝑖 𝑠2 = −0.8036 − 4.4411𝑖 𝑠3 = −0.3928

Solución práctica:

Código:

Imágenes resultantes:

Nombre del estudiante: Crhistian Garcia Código universitario: 1,113,688,666 Constante a: 19 Constante b: 19

Solución parte teórica:

La función de transferencia obedece a la forma siguiente: 𝑌 (𝑠) 𝐻 (𝑠) = 𝑋 (𝑠) Para esto vemos que debemos tener la transformada de la función Y y la función X, se aplicara la transformada de la siguiente forma: 𝑠 3 𝑌(𝑠) + 2𝑠 2 𝑌(𝑠) + 19𝑠𝑌 (𝑠) + 8𝑌 (𝑠) = 9.5𝑠 2 𝑋 (𝑠) + 10𝑠𝑋(𝑠) 𝑌(𝑠)[𝑠 3 + 2𝑠 2 + 19𝑠 + 8 ] = 𝑋(𝑠)[9.5𝑠 2 + 10𝑠] 𝑌(𝑠) 9.5𝑠 2 + 10𝑠 = 3 𝑋(𝑠) 𝑠 + 2𝑠 2 + 19𝑠 + 8

Los ceros de la función son los valores que hacen cero el numerador de la función de transferencia, para esto resolvemos el polinomio siguiente: 9.5s 2 + 10s 𝑠1 = 0 𝑠2 = −1.0526 Los polos de la función son los valores que hacen cero el denominador de la función de transferencia, para esto resolvemos el polinomio siguiente: s 3 + 2s2 + 20s + 8 𝑠1 = −0.7816 + 4.2079𝑖 𝑠2 = −0.7816 − 4.2079𝑖 𝑠3 = −0.4367 Solución práctica:

Código:

Imágenes resultantes:

Nombre del estudiante: Oscar Alexander Hernández Código universitario: 88,239,843 Constante a: 19 Constante b: 20

Solución parte teórica: Primero sustituimos

y''' (t)+2y'' (t)+20y' (t)+8y(t)= Función de transferencia 𝐻(𝑠) = Resolvemos

19 '' x (t)+10x' (t) 2

𝑌 (𝑠 ) 𝑋 (𝑠 )

𝑠3 𝑌 (𝑠) + 2𝑠 2 𝑌(𝑠) + 20𝑠𝑌 (𝑠) + 8𝑌(𝑠) = 9.5𝑠 2 𝑋(𝑠) + 10𝑠𝑋(𝑠) 𝑌 (𝑠)[𝑠 3 + 2𝑠2 + 20𝑠 + 8] = 𝑋(𝑠)[9.5𝑠 2 + 10𝑠] 𝑌 (𝑠 ) 9.5𝑠 2 + 10𝑠 = 3 𝑋(𝑠) 𝑠 + 2𝑠 2 + 20𝑠 + 8

Los ceros de la función son los valores que hacen cero el numerador de la función de transferencia, para esto resolvemos el polinomio siguiente: 9.5s2 + 10s 𝑠1 = 0 𝑠2 = −1.0526 Los polos de la función son los valores que hacen cero el denominador de la función de transferencia, para esto resolvemos el polinomio siguiente: s3 + 2s2 + 20s + 8 𝑠1 = −0.7932 + 4.3261𝑖 𝑠2 = −0.7932 − 4.3261𝑖 𝑠3 = −0.4136 Solución práctica:

Código:

Imágenes resultantes:

EJERCICIO 3 TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE Nombre del estudiante: Fredy Alexander Sánchez Código universitario: 18,402,148 Constante a: 19 Constante b: 17 Solución parte teórica: Sustituimos los valores de a y b en la función

17 (𝑠 2 + 2𝑠 + 39)(𝑠 + 19)

Tomamos las fracciones parciales de la función 17 𝑎 𝑏 𝑐 + + = (𝑠 + 1 + 6.082𝑖 )(𝑠 + 1 − 6.082𝑖) (𝑠 + 19) 𝑠 + 1 + 6.082𝑖 𝑠 + 1 − 6.082𝑖 𝑠 + 19 Y los coeficientes serán los siguientes

17 ] = −0.023 + 0.069𝑖 (𝑠 + 1 − 6.082𝑖 ) (𝑠 + 19) 𝑠=−1−6.082𝑖 17 ] = −0.023 − 0.069𝑖 𝑏= (𝑠 + 1 + 6.082𝑖 ) (𝑠 + 19) 𝑠=−1+6.082𝑖 17 𝑐= ] = 0.047 (𝑠 + 1 + 6.082𝑖 )(𝑠 + 1 − 6.082𝑖 ) 𝑠=−19 𝑎=

Aplicamos la transformada inversa a cada termino −0.023 + 0.069𝑖 −0.023 − 0. 069𝑖 + → [0.139𝑒 −𝑡 𝑠𝑒𝑛(𝑡) − 0.047𝑒 −𝑡 cos(𝑡)]𝑢(𝑡) 𝑠 + 1 + 6.082𝑖 𝑠 + 1 − 6.082𝑖

Sumando las dos soluciones

0.047 → 0.047𝑒 −19𝑡 𝑢(𝑡) 𝑠 + 19

[0.139𝑒 −𝑡 𝑠𝑒𝑛(𝑡) − 0.047𝑒 −𝑡 cos(𝑡)]𝑢(𝑡) + 0.047𝑒 −19𝑡 𝑢(𝑡) Nombre del estudiante: Francisco Javier Sanchez Código universitario: XXXXXXXXXXXXXXXXXXXX Constante a: XXXXXXXXXXXXXXXXXXXX Constante b: XXXXXXXXXXXXXXXXXX Solución parte teórica: XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX

Nombre del estudiante: Crhistian Garcia Código universitario: 1,113,688,666 Constante a: 19 Constante b: 19

Solución parte teórica: Se expresa la fracción como fracciones parciales para poder aplicar linealidad a la transformada inversa 19 19 = 2 (𝑠 + 2𝑠 + 38)(𝑠 + 19) (𝑠 + 1 − 6.0828𝑖 )(𝑠 + 1 + 6.0828𝑖 ) (𝑠 + 19) A B C + + 𝑠 + 1 − 6.0828𝑖 𝑠 + 1 + 6.0828𝑖 s + 19 19 𝐴= ∗ (𝑠 + 1 − 6.0828𝑖 )| (𝑠 + 1 − 6.0828𝑖 )(𝑠 + 1 + 6.0828𝑖 ) (𝑠 + 19) 𝑠=−1+6.0828𝑖 = −0.0263 − 0.0779𝑖 19 ∗ (𝑠 + 1 + 6.0828𝑖 )| 𝐵= (𝑠 + 1 − 6.0828𝑖 )(𝑠 + 1 + 6.0828𝑖 ) (𝑠 + 19) 𝑠=−1−6.0828𝑖 = −0.0263 + 0.0779𝑖

𝐶=

19 = 0.0526 ∗ (𝑠 + 19)| (𝑠 + 1 − 6.0828𝑖 )(𝑠 + 1 + 6.0828𝑖 ) (𝑠 + 19) 𝑠=−19

Con las fracciones parciales completas podemos aplicar la transformada inversa a cada termino de las fracciones parciales y encontrar la respuesta −0.0263 − 0.0779𝑖 −0.0263 + 0.0779𝑖 ] ℒ− [ + 𝑠 + 1 + 6.0828𝑖 𝑠 + 1 − 6.0828𝑖 = 2𝑒 −𝑡 [−0.0263 cos(6.0828𝑡) + 0.0779 sin(6.0828𝑡)]𝑢(𝑡) 0.0526 ] = 0.0526𝑒 −19𝑡 𝑢(𝑡) ℒ− [ s + 19 ℎ(𝑡) = 2𝑒 −𝑡 [−0.0263 cos(6.0828𝑡) + 0.0779 sin(6.0828𝑡)]𝑢(𝑡) + 0.0526𝑒 −19𝑡 𝑢(𝑡) Nombre del estudiante: Oscar Alexander Hernandez Código universitario: 88,239,843 Constante a: 19 Constante b: 20

Solución parte teórica: Sustituimos los valores de a y b en la función

(𝑠 2

20 + 2𝑠 + 39)(𝑠 + 19)

Tomamos las fracciones parciales de la función 20 𝑎 𝑏 𝑐 + + = (𝑠 + 1 + 6.082𝑖 )(𝑠 + 1 − 6.082𝑖) (𝑠 + 19) 𝑠 + 1 + 6.082𝑖 𝑠 + 1 − 6.082𝑖 𝑠 + 19 Y los coeficientes serán los siguientes 20 𝑎= ] = −0.024 + 0.079𝑖 (𝑠 + 1 − 6.082𝑖 ) (𝑠 + 19) 𝑠=−1−6.082𝑖 20 ] = −0.024 − 0.079𝑖 𝑏= (𝑠 + 1 + 6.082𝑖 ) (𝑠 + 19) 𝑠=−1+6.082𝑖 20 𝑐= ] = 0.055 (𝑠 + 1 + 6.082𝑖 )(𝑠 + 1 − 6.082𝑖 ) 𝑠=−19 Aplicamos la transformada inversa a cada termino −0.024 + 0.079𝑖 −0.024 − 0. 079𝑖 → [0.163𝑒 −𝑡 𝑠𝑒𝑛(𝑡) − 0.055𝑒 −𝑡 cos(𝑡)]𝑢(𝑡) + 𝑠 + 1 − 6.082𝑖 𝑠 + 1 + 6.082𝑖

Sumando las dos soluciones

0.047 → 0.055𝑒 −19𝑡 𝑢(𝑡) 𝑠 + 19

[0.163𝑒 −𝑡 𝑠𝑒𝑛(𝑡) − 0.055𝑒 −𝑡 cos(𝑡)]𝑢(𝑡) + 0.055𝑒 −19𝑡 𝑢(𝑡)

Nombre del estudiante: Luis Miguel Arce Código universitario: 1113661118 Constante a: 19 Constante b: 21

Solución parte teórica:

𝐻 (𝑠 ) =

21 (𝑠 + 1 − 6.0828𝑖 )(𝑠 + 1 + 6.0828𝑖 )(𝑠 + 19)

Aplicamos la transformada

𝐾3

𝐾2

𝐾1

𝑠 + 1 − 6.0828𝑖 𝑠 + 1 + 6.0828𝑖 𝑠 + 19 𝐿−1 { 𝐿−1 {

𝑠+1

} : 𝑒−𝑡 cos(√37𝑡) (𝑠 + 1)2 + 37 1

1

}:

(𝑠 + 1)2 + 37

√37

𝑒−𝑡 sin(√37𝑡)

21 −19𝑡 21 }: 𝑒 𝐿−1 { 361(𝑠 + 19) 361 Obtenemos

simplificamos

21

361 21

361

𝑒−𝑡 cos(√37𝑡) +

𝑒−𝑡 cos(√37𝑡) +

378

361

𝑒−𝑡

378

1

√37

361√37

sin(√37𝑡) +

𝑒−𝑡 sin(√37𝑡) +

21

361 21

361

𝑒−19𝑡

𝑒−19𝑡

Ítem Grupal transformada inversa de Laplace Constante a: 19

Solución parte teórica: Sustituimos los valores de a y b en la función

(𝑠 2

17 + 2𝑠 + 39)(𝑠 + 19)

Tomamos las fracciones parciales de la función 𝑏 𝑐 17 𝑎 + + = 𝑠 + 1 − 6.082𝑖 𝑠 + 19 (𝑠 + 1 + 6.082𝑖 )(𝑠 + 1 − 6.082𝑖) (𝑠 + 19) 𝑠 + 1 + 6.082𝑖

Y los coeficientes serán los siguientes 17 ] = −0.023 + 0.069𝑖 𝑎= (𝑠 + 1 − 6.082𝑖 ) (𝑠 + 19) 𝑠=−1−6.082𝑖 17 𝑏= ] = −0.023 − 0.069𝑖 (𝑠 + 1 + 6.082𝑖 ) (𝑠 + 19) 𝑠=−1+6.082𝑖 17 ] = 0.047 𝑐= (𝑠 + 1 + 6.082𝑖 )(𝑠 + 1 − 6.082𝑖 ) 𝑠=−19 Aplicamos la transformada inversa a cada termino −0.023 + 0.069𝑖 −0.023 − 0. 069𝑖 + → [0.139𝑒 −𝑡 𝑠𝑒𝑛(𝑡) − 0.047𝑒 −𝑡 cos(𝑡)]𝑢(𝑡) 𝑠 + 1 + 6.082𝑖 𝑠 + 1 − 6.082𝑖

Sumando las dos soluciones

0.047 → 0.047𝑒 −19𝑡 𝑢(𝑡) 𝑠 + 19

[0.139𝑒 −𝑡 𝑠𝑒𝑛(𝑡) − 0.047𝑒 −𝑡 cos(𝑡)]𝑢(𝑡) + 0.047𝑒 −19𝑡 𝑢(𝑡)

CONCLUSIONES -

Con este trabajo se logró el objetivo de analizar señales continuas a través de la transformada de Laplace y funciones de transferencia. Los estudiantes comprobaron el analizar teórico obtenido en cada uno de los ejercicios comparándolos con el software de apoyo. La transformada de Laplace es una herramienta matemática útil para el análisis de sistemas dinámicos lineales. Esta nos permite resolver ecuaciones diferenciales lineales mediante la transformación de ecuaciones algebraicas con la que se facilita su estudio.

BIBLIOGRAFÍA

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Ambardar, A. (2002). Procesamiento de señales analógicas y digitales: Polos y Ceros de la Función de Transferencia. Cengage Learning, (2nd ed, pp. 339-358). Recuperado de https://link.gale.com/apps/doc/CX4060300118/GVRL?u=unad&sid=GVRL&xid=8ebb1d0e

Ambardar, A. (2002). Procesamiento de señales analógicas y digitales: Polos y Ceros de la Función de Transferencia. Cengage Learning, (2nd ed, pp. 398-458). Recuperado de https://link.gale.com/apps/doc/CX4060300133/GVRL?u=unad&sid=GVRL&xid=46da252e

Valderrama, F. (2016). Curso de Señales y Sistemas Unidad 3. Duitama: Universidad Nacional Abierta y a Distancia. Recuperado de http://hdl.handle.net/10596/9578...