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1Tarea 4 Teoría de conjuntosCristian Felipe TuberquiaMarleny Parra RomeroLógica Simbólica–Código-Grupo: 20Presentado a:María Gladis Osorio (tutora)Universidad Nacional Abierta y a Distancia – UNADEscuela de Ciencias de la Educación - ECEDU9 mayo de 2022IntroducciónEn el presente trabajo se evidencia...

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LÓGICA SIMBÓLICA 1

Tarea 4 Teoría de conjuntos

Cristian Felipe Tuberquia Marleny Parra Romero

Lógica Simbólica–Código-511016 Grupo: 20

Presentado a: María Gladis Osorio (tutora)

Universidad Nacional Abierta y a Distancia – UNAD Escuela de Ciencias de la Educación - ECEDU 9 mayo de 202

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Introducción En el presente trabajo se evidencia la teoría de conjuntos y los diversos componentes que hacen parte de ella, por esto se busca demostrar las diversas definiciones de la teoría, sus notaciones, y una serie de ejercicios demostrando la ideal aplicación de las diferentes teorías de conjuntos existentes.

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Desarrollo de la actividad

1. Defina los siguientes conceptos relacionados con la teoría de conjuntos:

Concepto

Definición

Notación

Teoría de conjuntos

Rama de la matemática que busca proporcionar una base lógicamente sólida en la cual fundamentar esta disciplina.

Todo conjunto se escribe entre llaves { } y se le denota mediante letras mayúsculas A, B, C,..., sus elementos se separan mediante punto y coma. Ejemplo: El conjunto de las letras del alfabeto; a, b, c, ..., x, y, z. se puede escribir así: 𝐿 = {𝑎; 𝑏; 𝑐; … . ; 𝑥; 𝑦; 𝑧}

Conjunto

Es una colección de objetos, símbolos o entidades bien definidas, que reciben el nombre de miembros o elementos del conjunto.

Teoría axiomática de conjuntos

Modelo formal de una realidad que se quiere estudiar y que está compuesta por axiomas, es decir, oraciones a partir de las cuales, usando sólo reglas lógicas, podemos obtener todas las propiedades de aquello que se quiere moldear.

Igualdad de conjuntos

Referente a los conjuntos que poseen los mismos elementos.

Equivalencia entre conjuntos

Se define conjunto Equivalente a aquel conjunto que tiene el mismo número de elementos que otro.

Conjunto vacío

𝑨 = {𝒙⁄𝒙 𝒔𝒆𝒂 𝒖𝒏𝒂 𝒗𝒐𝒄𝒂𝒍}

𝒁𝑭

𝑨=𝑩

[𝑨] = {𝒙 ∈ 𝑨 𝒂 = 𝒙 }

LÓGICA SIMBÓLICA 4 Es aquel que no contiene ningún elemento. Por tanto el conjunto vacío es único. Subconjuntos

Conjuntos pares

Unión de conjuntos

Intersección de conjuntos

Conjunto de elementos que tienen las mismas características y que está incluido dentro de otro conjunto más amplio. Un par ordenado es una combinación entre elementos del conjunto A y elementos del conjunto B. Siempre, el primer elemento pertenece al primer conjunto y el segundo elemento, al segundo conjunto, pero no al revés porque su representación no es conmutativa; es decir, no se puede alterar el orden. La Unión de dos o más conjuntos es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a ambos conjuntos. La intersección de dos o más conjuntos es el conjunto formado por los elementos que tienen en común ambos conjuntos.

Teoremas relacionados con el álgebra de conjuntos:

𝑨 ⊆ 𝑩 pero A ≠ B

“A ⊂ B”

(𝒂, 𝒃)

𝑨 ∪ 𝑩 = {𝒙 ⁄𝒙 ∈ 𝑨,∨, 𝒙 ∈ 𝑩}

𝑨 ∩ 𝑩 = {𝒙 ⁄𝒙 ∈ 𝑨,∧, 𝒙 ∈ 𝑩}

𝑨 − 𝑩 = {𝒙⁄𝒙 ∈ 𝑨,∧, 𝒙 ∉ 𝑩}

Diferencia de conjuntos Complemento de un conjunto

𝑨 = {∅}

El complemento de un conjunto o conjunto complementario es otro conjunto que contiene todos los elementos que no están en el conjunto original. Los teoremas son una proposición matemática demostrable a partir de

𝑨𝒄 = {𝒙⁄ 𝒙

,∧, 𝒙 ∉ 𝑨}

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- Asociatividad

axiomas o de proposiciones ya demostradas. - propiedad en el álgebra y la lógica proposicional que se cumple si, dados tres o más elementos cualquiera de un conjunto determinado, se verifica que existe una operación, que cumpla la igualdad.

𝑨 ∪ (𝑩 ∪ 𝑪) = (𝑨 ∪ 𝑩) ∪ 𝑪, 𝑨 ∩ (𝑩 ∩ 𝑪) = (𝑨 ∩ 𝑩) ∩ 𝑪

𝑨 ∪ 𝑨 = 𝑨,

- Idempotencia

- La conmutatividad del producto es consecuencia de que un producto cartesiano de conjuntos tiene el mismo número de elementos independientemente de cómo se realice este producto.

𝑨 ∪ 𝑨 = 𝑨, 𝑨 ∩ 𝑨 = 𝑨

- Absorción

- Es la propiedad para realizar una acción determinada varias veces y aun así conseguir el mismo resultado que se obtendría si se realizase una sola vez.

𝑨 ∪ (𝑨 ∩ 𝑩) = 𝑨,

- Existencia de neutro

- Es una forma lógica de argumento válido y una regla de inferencia de la lógica proposicional.

– Distributuvidad

- Elemento dentro de un conjunto que tiene la propiedad de no alterar a otro.

𝑨 ∪ (𝑩 ∩ 𝑪) = (𝑨 ∪ 𝑩) ∩ (𝑨 ∩ 𝑪)

- Leyes de Morgan

– Es la propiedad de las operaciones binarias que generaliza la propiedad distributiva del álgebra elemental. - Par de reglas de transformación que son ambas reglas de inferencia válidas.

𝐴 − (𝐵 ∪ 𝐶) = (𝐴 − 𝐵) ∩ (𝐴 − 𝐶), 𝐴 − (𝐵 ∩ 𝐶) = (𝐴 − 𝐵) ∪ (𝐴 − 𝐶) 𝐴−𝐴 =∅ 𝐴 = (𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 − 𝐵)

- Conmutatividad

𝑨∩𝑨=𝑩∩𝑨

𝑨 ∩ (𝑨 ∪ 𝑩) = 𝑨 𝑨 ∪ ∅ = 𝑨,

𝑨∩∅= ∅

𝑨 ∩ (𝑩 ∪ 𝑪) = (𝑨 ∩ 𝑩) ∪ (𝑨 ∩ 𝑪)

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2. Realicen de forma colaborativa los ejercicios enunciados en las págs. 31 y 32 del libro de referencia Lewin, R. (2010). La teoría de conjuntos y los fundamentos de la matemática. de acuerdo con el siguiente listado de ejercicios: Ejercicio 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Subejercicios para desarrollar a-c-e a-c a-c completo a-c-e a-c-e a-c a-c Todo a-c

1) Determine si A pertenece a, es subconjunto de, o ni pertenece ni es subconjunto de alguno de los siguientes conjuntos. a. {{𝑨}, 𝑨} 1. Tenemos que 𝐶 = {{𝐴}, 𝐴} 2. Como podemos observar 𝐶 es un conjunto con dos elementos los cuales son 𝑨 y el otro conjunto cuyo único elemento es 𝐴. 3. Por tanto {𝐴} ∈ 𝐶 por ser uno de sus elementos, y {𝐴} ⊆ 𝐶 por su pertenencia en el mismo. 4. Resulta entonces que 𝐶 ⊆ 𝐶 , para cualquier conjunto 𝐶.

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𝐜. ∅ ∩ 𝑨 Determinando que:

∅ ∩ 𝑨, ⊆ ∅ ⟹ Por definición del vacío tenemos que, el vacío siempre va hacer subconjunto de cualquier conjunto, por tanto siempre se va a cumplir esta inclusión. 𝐞. {𝑨} ∪ 𝑨 Se sabe que {A} ⊆ 𝐴 para todo 𝑥 ∈ 𝐴 Luego es claro que si 𝑥 ∈ 𝐴, luego 𝑥 ∈ {𝐴}, así: {𝐴} ⊆ 𝐴 Entonces sea: 𝐴 = {1,2,3,4, } {𝐴} = {3,4,5} Por tanto:

{𝑨} ∪ 𝑨 = {1,2,3,4,5, } 1) Nótese que los elementos de {A}: 3 y 4, también son elementos de A. se dice que {A} es un subconjunto de, o que A está incluido en {A}, {A}∪ 𝑨. 2) Demuestre que: a. ⋃{{𝒂, 𝒃, 𝒄}, {𝒂, 𝒅, 𝒆}, {𝒂, 𝒇}} = {𝒂, 𝒃, 𝒄, 𝒅, 𝒆, 𝒇} 1. Sea A={{𝑎, 𝑏, 𝑐}, {𝑎, 𝑑, 𝑒}, {𝑎, 𝑓}} ∪𝐴=𝐵 En efecto,

y B= {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒, 𝑓} se debe demostrar

2. ∪ 𝐴 =∪ {{𝑎, 𝑏, 𝑐}, {𝑎, 𝑑, 𝑒 }, {𝑎, 𝑓}} = ( {𝑎, 𝑏, 𝑐 } ∪ {𝑎, 𝑑, 𝑒}) ∪ {𝑎, 𝑓} 3. ∪ 𝐴 = {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒} ∪ {𝑎, 𝑓} = {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒, 𝑓 } 𝑝𝑜𝑟 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜, 4. ∪ 𝐴 = 𝐵 , 𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑟 ∪ {{𝒂, 𝒃, 𝒄}, {𝒂, 𝒅, 𝒆}, {𝒂, 𝒇}} = {𝒂, 𝒃, 𝒄, 𝒅, 𝒆, 𝒇}

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𝒄. ⋃{𝑨} = 𝑨 =∩ {𝑨}, 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒕𝒐𝒅𝒐 𝒄𝒐𝒏𝒋𝒖𝒏𝒕𝒐 𝑨 Pruebe que: a) 𝑺𝒊 𝑨 ∩ 𝑪 = ∅, 𝒆𝒏𝒕𝒐𝒏𝒄𝒆𝒔 𝑨 ∩ (𝑩 ∪ 𝑪) = 𝑨 ∩ 𝑩 ∪ {𝐴} = 𝐴 ∪ 𝐴 ∪ … . .∪ 𝐴,

𝑃𝑜𝑟 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑢𝑛𝑖ó𝑛 𝑔𝑒𝑛𝑒𝑟𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎𝑑𝑎

∪ {𝐴} = 𝐴 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑖𝑒𝑑𝑎𝑑 𝑖𝑑𝑒𝑚𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑠 𝑣𝑒𝑐𝑒𝑠. Ahora, se tiene que: ∩ {𝐴} = 𝐴 ∩ 𝐴 ∩ … .∩ 𝐴 𝑃𝑜𝑟 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑠𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑔𝑒𝑛𝑒𝑟𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎𝑑𝑎. ∩ {𝐴} = 𝐴 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑖𝑒𝑑𝑎𝑑 𝑖𝑑𝑒𝑚𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑠 𝑣𝑒𝑐𝑒𝑠. 𝑃𝑜𝑟 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜, ∪ {𝐴} = 𝐴 𝑦 ∩ {𝐴} = 𝐴 Por tanto se tiene que: ∪ {𝑨} = 𝑨 =∩ {𝑨}

𝑷𝒂𝒓𝒂 𝒕𝒐𝒅𝒐 𝒄𝒏𝒋𝒖𝒏𝒕𝒐 𝑨

3) Pruebe que: a) 𝑆𝑖 𝐴 ∩ 𝐶 = 𝜙, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝐴 ∩ (𝐵 ∪ 𝐶 ) = 𝐴 ∩ 𝐵 Tenemos que:

1. 𝐴 ∩ (𝐵 ∪ 𝐶) = (𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∩ 𝐶) ⟶ 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝐴 ∩ 𝐶 = 𝜙, 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠 𝐴 ∩ (𝐵 ∪ 𝐶 ) = (𝐴 ∩ 𝐵) ∪ 𝜙 2. 𝐴 ∩ (𝐵 ∪ 𝐶) = (𝐴 ∩ 𝐵) ⟹ 𝑃𝑜𝑟 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑛𝑒𝑢𝑡𝑟𝑜. Por tanto comprobando tenemos: 𝑨 ∩ (𝑩 ∪ 𝑪) = (𝑨 ∩ 𝑩)

𝐜) 𝑺𝒊 𝑨 ∩ 𝑩 = ∅,

𝒚 𝑨 ∪ 𝑩 = 𝑪, 𝒆𝒏𝒕𝒐𝒏𝒄𝒆𝒔 𝑨 = 𝑪 − 𝑩

Entonces tenemos: 1. 𝑪 − 𝑩 = 𝑪 ∩ 𝑩𝒄 ⟹ 𝑝𝑜𝑟 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑦 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑢𝑛 𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠 2. 𝑪 − 𝑩 = (𝐴 ∩ 𝐵) ∩ 𝑩𝒄 ⟹ 𝒑𝒐𝒓 𝒉𝒊𝒑ó𝒕𝒆𝒔𝒊𝒔 𝑨 ∪ 𝐵 = 𝐶 3. 𝑪 − 𝑩 = (𝐴 ∩ 𝑩𝒄 ) ∪ (𝐵 ∩ 𝑩𝒄 ) 4. 𝑪 − 𝑩 = (𝐴 ∩ 𝑩𝒄 ) ∪ 𝜙 5. 𝑪 − 𝑩 = (𝐴 ∩ 𝑩𝒄 ) 6. 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝜙, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 (𝐴 ∩ 𝐵)𝑐 = 𝜙 𝑝𝑜𝑟 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 = 𝑈 7. (𝐴 ∩ 𝐵)𝑐 = 𝐴𝑐 ∪ 𝐵𝑐 , 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝐴𝑐 ∪ 𝐵𝑐 = 𝑈 8. 𝐴 ∩ (𝐴𝑐 ∪ 𝐵𝑐 ) = 𝐴 ∩ 𝑈

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9. (𝐴 ∪ 𝐴𝑐 ) ∪ (𝐴 ∩ 𝑩𝒄 ) = 𝐴 10. 𝜙 ∪ (𝐴 ∩ 𝑩𝒄 ) = 𝐴 11. (𝐴 ∩ 𝑩𝒄 ) = 𝐴 Entonces tenemos que como 𝑪 − 𝑩 = (𝐴 ∩ 𝑩𝒄 ) y (𝐴 ∩ 𝑩𝒄 ) = 𝐴 ⟹ 𝑪 − 𝑩 = 𝑨 4) ¿Qué relación hay entre 𝑃 ∪ 𝐵 y 𝑃(𝐴) ∪ 𝑃(𝐵)? Entonces tenemos que: 1. 𝑆í 𝑥 ∈ 𝑃 (𝐴 ∪ 𝑩), 𝑝𝑜𝑟 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 𝑥 ∈ 𝐴 ∪ 𝑩 2. 𝑥 ∈ 𝑃(𝐴), 𝑦 𝑥 ∈ 𝑃(𝐵) Por tanto: 𝑥 ∈ 𝑃(𝐴) ∪ 𝑃(𝐵) 5) Pruebe que: a. ⋃𝑷(𝑨) = 𝑨 Demuestra que 𝐴 ⊆ ⋃𝑷(𝑨) Se sabe que 𝐴 ⊆ 𝐴, para todo 𝑥 ∈ 𝐴 𝑃(𝐴) = {𝑥: 𝑥 ⊆ 𝐴}, definición de conjunto potencia de A. ⋃𝑃(𝐴) = {𝑥: 𝑥 ∈ 𝑎, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑎𝑙𝑔ú𝑛 𝑎 ∈ 𝐴} Luego es claro que si 𝑥 ∈ 𝐴, luego 𝑥 ∈ ⋃𝑷(𝑨), así: 𝐴 ⊆ ⋃𝑷(𝑨) Ahora se demuestra que ⋃𝑷(𝑨) ⊆ 𝑨 Sea 𝑥 ∈ ⋃𝑷(𝑨), luego, 𝑥 ∈ 𝑎, para algún 𝑎 ∈ 𝐴, es decir: 𝑥 ∈ 𝑎 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴, luego 𝑥 ∈ 𝐴 Por lo que: ⋃𝑷(𝑨) ⊆ 𝑨 Por las dos contenencias, se concluye que ⋃𝑷(𝑨) = 𝑨

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6) Se define 𝐴 + 𝐵 = (𝐴 − 𝐵) ∪ (𝐵 − 𝐴), para A y B conjuntos. Pruebe que si 𝐴, 𝐵, 𝐶 son conjuntos. Entonces: 𝐚. 𝐀 + ∅ = 𝐀 𝑨⊆∅⇔𝐀≠∅ 𝑨⊆∅⇔𝐀≠∅ 𝑨∩∅=𝐀 Por definición del vacío tenemos que, el vacío siempre va hacer subconjunto de cualquier conjunto, por tanto siempre se va a cumplir esta inclusión. 𝐜. 𝐀 + (𝑩 + 𝑪) = (𝑨 + 𝑩) + 𝑪 Determinando el conjunto dado como: (𝑨 + 𝑩) + 𝑪 = 𝑨 + (𝑩 + 𝑪) 𝑈𝐴 + (𝑩 + 𝑪) ⊆ (𝑨 + 𝑩) + 𝑪 𝑼𝑨 + (𝑩 + 𝑪) ∈ (𝑨 + 𝑩) + 𝑪 = 𝑨 + (𝑩 + 𝑪) (𝑨 + 𝑩) ∈ 𝐀 + (𝑩 + 𝑪) = (𝑨 + 𝑩) + 𝑪 𝑨 + (𝑩 + 𝑪) ∈ 𝐀 + (𝑩 + 𝑪) = (𝑨 + 𝑩) + 𝑪 𝐞. 𝐀 − 𝐁 ⊆ 𝐀 + 𝐁 7) Para las siguientes afirmaciones, dé una demostración o contraejemplo. 𝐚. (𝑨 − 𝑩) − 𝑪 = 𝑨 − (𝑩 − 𝑪) Por doble inclusión tenemos: (𝑨 − 𝑩) − 𝑪 donde 𝒙 ∈ (𝑨 − 𝑩) 𝑥 ∈𝐴∧𝑥 ∉𝐵∧𝑥 ∉𝐶 =𝐴 − (𝐵 − 𝐶) demostrando la igualdad 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∉ (𝐵 − 𝐶) Por tanto queda demostrado que cumple la igualdad. 𝐜. 𝐒í 𝐀 ∪ 𝐁 = 𝐀 ∪ 𝐂 y 𝑨 ∩ 𝑩 = 𝑨 ∩ 𝑪, entonces 𝑩 − 𝑪 Demostrando que: 𝐀∪𝐁=𝐀∪𝐂 𝒙 ∈ 𝑨 ∪ 𝑩, 𝒚 𝒙 ∈ 𝐀 ∪ 𝐂 entonce 𝐀 ∪ 𝐁 ⊆ 𝐀 ∪ 𝐂 Demostrando 𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ 𝐶 entonces A y C están contenidos en 𝑨 ∪ 𝑩

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8) Pruebe que la inclusión ⊆ de conjunto cumple: 𝐚. 𝑨 ⊆ 𝑨 (𝑟𝑒𝑓𝑙𝑒𝑥𝑖𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 ). 𝒙∈𝑨𝒚𝒙∈𝒂 Entonces 𝐴 ⊆ 𝐴 𝐜. 𝑆í 𝐀 ⊆ 𝐁 y 𝑩 ⊆ 𝑪, entonces 𝑨 ⊆ 𝑪 (𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑖𝑑𝑎𝑑) 𝒙∈𝑨𝒚𝑨⊆ 𝑪 𝒙∈𝑩𝒚𝑩⊆𝑪 Entonces 𝑨 ⊆ 𝑪 9) 𝑆í 𝑩 ⊆ 𝑨 y 𝑪 ⊆ 𝑨, pruebe que 𝑩 ⊆ 𝑪 𝑠𝑖 𝑦 𝑠𝑜𝑙𝑜 𝑠𝑖 (𝑨 − 𝑪) ⊆ (𝑨 − 𝑩). 𝐵 ⊆ 𝐴 ⟺ ∀𝑥: 𝑥 ∈ 𝐵 ⟹ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐶 ⊆ 𝐴 ⟺ ∀𝑥: 𝑥 ∈ 𝐶 ⟹ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ 𝐶 ⟺ ∀𝑥: 𝑥 ∈ 𝐵 ⟹ 𝑥 ∈ 𝐶 𝐴 − 𝐶 = {𝑥|𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 𝑥 ∉ 𝐶} 𝐴 − 𝐵 = {𝑥|𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 𝑥 ∉ 𝐵} (𝐴 − 𝐶) ⊆ (𝐴 − 𝐵) ⇔ ∀𝑥: 𝑥 ∈ (𝐴 − 𝐶) ⟹ 𝑥 ∈ (𝐴 − 𝐵) Sea 𝐴 = {1,2,3,4,5} 𝐵 = {3,5} 𝐶 = {1,3,5} 10) Nótese que los elementos de B: 3 y 5, también son elementos de A. se dice que B es un subconjunto de A, o que B está incluido en A 𝑩 ⊆ 𝑨. 11) Nótese que los elementos de C: 1,3 y 5, también son elementos de C. Se dice que B es un subconjunto de A, o que C está incluido en A 𝑪 ⊆ 𝑨. 12) Nótese que los elementos de B: 3 y 5, también son elementos de C. Se dice que B es un subconjunto de C, o que B está incluido en C 𝑩 ⊆ 𝑪.

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13) 𝐴 − 𝐶 = {2,4} 14) 𝐴 − 𝐵 = {1,2,4} 15) 𝑩 ⊆ 𝑪 ⟺ (𝑨 − 𝑪) ⊆ (𝑨 − 𝑩)

16) Sean B,C,D subconjuntos del conjunto A. Abreviaremos "𝑨 − 𝒙" por "𝒙′ ". Pruebe o de un ejemplo de: 𝐚. 𝑩 ⊆ 𝑪 𝑠𝑖 𝑦 𝑠𝑜𝑙𝑜 𝑠𝑖 𝑩 ∩ 𝑪′ = ∅

𝑥 ∈ 𝐵 ˄ 𝑥 ∈ 𝐶 ↔ ∀ 𝑥 ∈𝐵 ˄ 𝑥 ∉ C ≠ ∅ Afirmación falsa Proponiendo un contra ejemplo

𝐵 ⊆ C entonces B ∩ C = ∅ 𝑥 ∈ 𝐵 → 𝑥 ∈ 𝐶 ˄ 𝑥 ≠ ∅ Afirmamos lo dicho.

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3. Defina los siguientes conceptos relacionados con temáticas asociadas a las relaciones y funciones.

Concepto

Definición

Notación

Relación

Las relaciones se establecen entre los elementos de un conjunto, cuando algunos de ellos verifican una condición con respecto a otros. Dos conjuntos están relacionados si uno es subconjunto de otro. La misma relación de pertenencia es, una relación entre conjuntos. Cuando decimos que tenemos una cierta relación entre elementos de un conjunto, a menudo escribimos: “tal o cual elemento está relacionado con este otro y este está relacionado con aquel. Podemos entender las relaciones como conjuntos de pared ordenados. Aquellos pares que, en un cierto orden, verifican la relación están en ese conjunto y aquellos pares que no la verifican no están en el conjunto. Las relaciones no necesariamente se establecen entre pares de objetos, también pueden ser entre tres o más objetos. (Lewin, R., 2010) Una función es una regla que asigna a cada elemento de un conjunto un único elemento de otro conjunto (no necesariamente distinto). Toda función establece una relación entre cada elemento de su dominio y un elemento de su recorrido definiéndose así un conjunto de pares ordenados formados por cada elemento del dominio y su imagen bajo la función. Dentro de la teoría de conjuntos las funciones son un tipo de relación. El concepto de relación tiene en esta una connotación distinta del concepto de función. (Lewin, R., 2010). Cada elemento de 𝑑𝑜𝑚 𝑅 pertenece a ∪ (∪ 𝑅), por lo tanto, es virtud del Axioma de Separación. El dominio de una función es un conjunto. (Lewin, R., 2010). Cada elemento de 𝑅𝑒𝑐 𝑅 pertenece a ∪ (∪ 𝑅), por lo tanto, es virtud del Axioma de Separación. El

Dados dos conjuntos A y B, un subconjunto R de A x B es una relación. Hablamos entonces de una relación entre los elementos de A y los elementos de B, o que R es una relación entre A y B o una relación de A en B. Observemos que todos los elementos de una relación son pares ordenados. (Lewin, R., 2010).

Funciones

Dominio de una función

Recorrido de una función

Una relación F es una función si y solo si, Si (𝑥, 𝑦) ∈ 𝐹 y (𝑥, 𝑧) ∈ 𝐹 entonces 𝑦 = 𝑧. (Lewin, R., 2010).

𝐷𝑜𝑚 𝐹 = {𝑥: (𝑥, 𝑦) ∈ 𝐹 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑎𝑙𝑔𝑢𝑛 𝑦}. (Lewin, R., 2010). R𝑒𝑐 𝐹 = 𝑦: (𝑥, 𝑦) ∈ 𝐹 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑎𝑙𝑔𝑢𝑛 𝑥. (Lewin, R., 2010).

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Función inyectiva

Función Biyectiva

Función Sobreyectiva

Función Compuesta

Función inversa

Relaciones de orden

recorrido de una función es un conjunto. (Lewin, R., 2010). La caracterización de inyectividad que se usa Una función F se dice habitualmente en matemáticas es la dada por inyectiva o uno a uno si para todo 𝑥 𝑒 𝑦 si 𝑥 ≠ 𝑦 entonces el teorema pero en la práctica es más fácil de utilizar. La forma virtual de construir conjuntos en 𝑓(𝑥) ≠ 𝑓(𝑦) es decir, a matemáticas no es trivial y requiere de un Axioma conjuntos distintos especial, el Axioma de Reemplazo. F asigna conjuntos La función f es inyectiva si cada elemento del distintos. La función F es conjunto final Y tiene un único elemento del inyectiva si y solo si conjunto inicial X al que le corresponde. Es decir, para todo 𝑥 𝑒 𝑦. no pueden haber más de un valor de X que tenga la Si 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑦) entonces 𝑥 = 𝑦 misma imagen Y. Reciben también el nombre de es decir, si conjuntos tienen la funciones “uno a uno”. misma imagen, son iguales. No siempre todos los elementos del conjunto (Lewin, R., 2010). final Y deben corresponderse con alguno del conjunto inicial X. (Requena, B., 2015). Una función f es biyectiva si es al mismo tiempo La función F de A en B se inyectiva y sobreyectiva. Es decir, si todo elemento dice biyectiva si es inyectiva y del conjunto final Y tiene al menos un elemento sobreyectiva. (Lewin, R., del conjunto inicial X al que le corresponde y todos 2010). los elementos del conjunto inicial X tiene una única imagen en el conjunto final Y. (Requena, B., 2015). Una función f es sobreyectiva si todos los Una función F de A elementos del conjunto final Y tienen al menos un en B se dice sobreyectiva si elemento del conjunto inicial X al que le para todo 𝑦 ∈ 𝐵 existe 𝑥 ∈ corresponde. (Requena, B., 2015). 𝐴 tal que 𝑦 = 𝑓(𝑥), es decir, todo elemento de B es asignado a algún elemento del dominio de F. (Lewin, R., 2010). Una función compuesta es una función formada por la composición o aplicación sucesiva de otras f ∘ 𝑔 = 𝑓(𝑔(𝑥)) dos funciones. Para ello, se aplica sobre el argumento la función mas próxima al mismo, y al resultado del cálculo anterior se le aplica finalmente la función restante. Si 𝑓 es una función que asigna elementos de I en J, en ciertas condiciones será posible definir la 𝑓−1 −1 función 𝑓 que realice el camino de vuelta, de J a I. En ese caso, diremos que 𝑓−1 es la función inversa de 𝑓. Relaciones de orden son aquellas que cumplen < , >, ≤, ≥ las siguientes 3 propiedades:  Reflexiva: ∀𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥𝑅𝑥  Antisimétrica: ∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝐴 → 𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑥 → 𝑥=𝑦  Transitiva: : ∀𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝐴 → 𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑧 → 𝑥𝑅z

LÓGICA SIMBÓLICA 15 Función Isótona

Reflexividad de una función

Simetría de una función

Transitividad de una función

En matemáticas, una función entre conjuntos ordenados se dice monótona (o isótona) si conserva el orden dado. Las funciones de tal clase surgieron primeramente en calculo, y fueron luego generalizadas al entorno más abstracto de la teoría del orden. Una relación R sobre un conjunto A es reflexiva si para todo x ∈ A entonces (x,x) ∈ R. En otras palabras una relación es reflexiva si todo elemento del conjunto sobre el que está definida, está relacionado consigo mismo, es decir, ∀ x ∈ A se cumple que (x,x) ∈ R. Ejemplo: R= {(1,1), (2,2), (3,3), (4,4)}. Una relación R sobre un conjunto A es simétrica si para todo x ∈ A, y ∈ A, si (x, y) ∈ R entonces (y, x) ∈ R. Dicho de otra forma: ∀ x, y ∈ A se cumple que si (x, y) ∈ R entonces (y, x) ∈ R. Ejemplo: R = { (1,1), (1,3), (2,2), (2,4), (3,1), (4,2), (4,4) } Una relación R sobre un conjunto A es transitiva si para todo x ∈ A, y∈ A, z∈ A si (x,y) ∈ R y (y,z) ∈ R entonces (x,z) ∈ R. ∀ x,y,z ∈ A se cumple que si (x,y), (y,z) ∈ R entonces (x,z) ∈ R. Ejemplo: R={(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3)}.

𝑓 ↑ para funciones crecientes, y 𝑓 ↓ para funciones decrecientes.

𝑥𝑅𝑥, ∀ 𝑥 ∈ 𝐴

𝑥𝑅𝑦 ⇒ 𝑦𝑅𝑥, ∀ 𝑥, 𝑦 ∈ A

x𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑧 ⇒ 𝑥𝑅𝑧, ∀ 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ A

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4. Realicen de forma colaborativa los ejercicios enunciados en las págs. 52- 56 del libro de referencia Lewin, R. (2010). La teoría de conjuntos y los fundamentos de la matemática. de acuerdo con el siguiente listado de ejercicios:

Ejercicio 5

Subejercicios a desarrollar 1. Pruebe a) ∩ (𝑎, 𝑏) = {𝑎} b) ∩∩ (𝑎, 𝑏) = 𝑎 =∪∩ (𝑎, 𝑏) c) ∩∪ (𝑎, 𝑏) = 𝑎 ∩ 𝑏

6 a) 𝐴 × 𝐵 = 𝐵 × 𝐴 𝑠𝑖 𝑦 𝑠𝑜𝑙𝑜 𝑠𝑖 𝐴 = ∅ ó 𝐵 = ∅ ó 𝐴 = 𝐵 𝑆𝑖 𝐴 = ∅ 𝐴×𝐵=𝐵×𝐴 ∅×𝐵=𝐵×∅ ∅=∅ 𝑆𝑖 𝐵 = ∅ 𝐴×𝐵=𝐵×𝐴 𝐴×∅=∅×𝐴 ∅=∅ 𝑆𝑖 𝐴 = 𝐵 𝐴×𝐵=𝐵×𝐴 𝐴×𝐴=𝐴×𝐴 𝐴=𝐴 b) 𝐴 ≠ ∅ 𝑦 𝐴 × 𝐵 ⊆ 𝐴 × 𝐶 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝐵 ⊆ 𝐶 𝐴 × 𝐵 ⊆ 𝐴 × 𝐶 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝐵 ⊆ 𝐶 ∅ × 𝐵 ⊆ ∅ × 𝐶 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝐵 ⊆ 𝐶 c) (𝐴 × 𝐵) × 𝐶 = 𝐴 × (𝐵 × 𝐶)

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No es posible probar que no es cierto, ya que por propiedad distributiva se cumple una igualdad. Ejemplo: (2 × 5) × 6 = 2 × (5 × 6) 10 × 6 = 2 × 30 60 = 60 12

Considere funciones 𝐹: 𝑁 → 𝑁. De ejemplo de función tales que: a) 𝑓 no es inyectiva ni sobreyectiva. Ejemplo: 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 − 4𝑥 2

b) 𝑓 es inyectiva pero no sobreyectiva. Ejemplo: 𝑓(𝑥) = 6x

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c) 𝑓 es sobreyectiva pero no inyectiva. Ejemplo: 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 − 5𝑥 + 6

13

Pruebe que no toda inyección de un conjunto en si mismo es sobreyectiva. 𝑇𝑜𝑑𝑜𝑠 𝑙𝑜𝑠 ℤ 𝑥 = {−6, −4, −2,2,4,6} La ecuación es 𝑥2 – 1

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16

Sea 𝑓: 𝑎 → 𝑏 función. Se define G por 𝐺(𝑦) = 𝐹−1 [{𝑦}]. Probar que G es función. Determine su dominio y su recorrido. Demuestre que si F es sobreyectiva entonces G es inyectiva. Probar también que el reciproco es Falso.

17

Determine cuáles de las siguientes relaciones son funciones: a) R es relación de R en R tal que (𝑎, 𝑏) ∈ 𝑅 si y solo si 𝑎2 + 𝑏2 = 1 b) R es relación de R en R tal que (𝑎, 𝑏) ∈ 𝑅 si y solo si 0 ≤ 𝑎 < 1 𝑦 𝑏 =

𝑎 1−𝑎

R es relación de 𝑅 × 𝑅 y R tal que ((𝑎, 𝑏), 𝑐) ∈ 𝑅 si y solo si 𝑐 = 18