Tarea 1 - Lógica y cálculo proposicional grupo 20 PDF

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tarea 1 de la asignatura contiene ejercicios y teoría....

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LÓGICA SIMBÓLICA

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Unidad 1 - Tarea 1 - Lógica y cálculo proposicional

Cristian Felipe Tuberquia Mónica Hermelinda Gallego Marleny Parra Romero Naddali Montero

Lógica Simbólica–Código-511016 Grupo: 20

Presentado a: María Gladis Osorio (tutora)

Universidad Nacional Abierta y a Distancia – UNAD Escuela de Ciencias de la Educación - ECEDU 06 marzo de 2021

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Introducción

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Desarrollo de la actividad 1) Elaborar un cuadro resumen con las definiciones a utilizar y comprender en el desarrollo de esta unidad: 2) Tabla 1 Definiciones Conceptos unidad 1 Categoría

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Proposición

Definición

Es el nombre que asigna la lógica a los sucesos, estos suelen ser simples y compuestos.

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Valor de las proposiciones

Los términos verdadero (V) o falso (F).

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Negación de una proposición

También conocida como complemento lógico es una operación que se hace entre proposiciones se puede identificar con la función de verdad que cambia su valor de verdadero a falso y viceversa

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Proposición simple

Es aquella que contiene solo una afirmación y se simboliza con las letras p, q, r, s, t. Las cuales son llamadas variables proporcionales.

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Proposición compuesta

Son aquellas que están formadas por dos o más proposiciones simples o es la negación de una preposición simple, estas siempre estarán ligadas por medio de conectivos lógicos.

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Conectivos lógicos

Se denominan conectivas lógicas las expresiones que sirven para formar proposiciones compuestas, a partir de las proposiciones simples. Son los siguientes: Negación, conjunción, disyunción, condicional y bicondicional.

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Tablas de verdad

Nos muestra todos los valores posibles de una preposición y los resultados de cada caso, de igual manera no se necesita construir una tabla de verdad para conocer si es verdadera o falsa cuando sabemos el valor de verdad de cada proposición

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Interpretaciones Booleanas

Una variable booleana es una variable que toma únicamente dos valores 0 ó 1. Una función Booleana es una expresión algebraica que relaciona variables Booleanas por medio de las operaciones +,  , y .

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Equivalencia lógica

Se dice que para que dos proposiciones sean lógicamente equivalentes deben coincidir sus resultados para los mismos valores de verdad. Se indican como p º q.

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Satisfacibilidad o contingencia

Se dice que una proposición es satisfacible cuando existe al menos una combinación de valores de verdad que lo hace verdadero.

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Insatisfacibilidad o contradicción

Es una incompatibilidad entre dos o más proposiciones expresan contradicciones lógicas se evidencia porque todos sus resultados son falsos.

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3) De acuerdo con el nombre, conectivo lógico y símbolo presentado en la siguiente tabla: Nombre Conjunción Disyunción inclusiva Disyunción exclusiva Condicional Bicondicional

Conectivo Lógico y o o Si…entonces Si y solo si

Símbolo

∧ ∨ ⊗ → ↔

Complete el siguiente cuadro con ejemplos relacionados con su cotidianidad:

Proposición

Valor

Negación de la proposición

p: Yo juego futbol todos los días

v (p) = V

¬ p = No es cierto que yo juego futbol todos los días

=F

q: Caparrapí es un pueblo grande

v (q) = F

¬ q= No es cierto que Caparrapí sea un pueblo grande

=V

r: La tarea 1 de lógica simbólica es colaborativa

v (r) = V

¬ r = No es cierto que la tarea 1 de lógica simbólica es colaborativa

=F

s: Oriana llora todos los días

v (s) = F

t: Mi familia no es sociable

v (t) = F

Valor

¬ v (p)

¬ v (q)

¬ v (r)

¬ s = Oriana no llora todos los

¬ v (s)

días

=V

¬ t = No es cierto que mi familia no es sociable.

V

¬ v (t) =

4) En un cuadro comparativo establezcan las diferencias y semejanzas entre los diversos conectivos lógicos con ejemplos prácticos que permitan su interpretación.

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Tabla 2 Cuadro comparativo conectivos lógicos Cuadro comparativo

Conectivo lógico

Semejanzas

Diferencias

Ejemplo práctico

Conjunción: ˄

Son proposiciones compuestas que resultan de enlazar dos proposiciones simples mediante un conectivo lógico. Tanto en la conjunción como en la disyunción inclusiva y exclusiva, si todas sus proposiciones son falsas, entonces esta será falsa. En el condicional y bicondicional, son verdaderas, si las proposiciones que la conforman toman el mismo valor de verdad. La disyunción, en sus dos formas, guardan relación en sus tablas de verdad, excepto por la combinación entre proposiciones de verdad, que da como falso en la exclusiva.

Su conectivo lógico es ˄. Es verdadera si todas las proposiciones simples que la conforman son verdaderas y falsa si alguna de ellas es falsa.

Madrid y Sevilla son ciudades de España.

Disyunción Inclusiva: ˅

Disyunción Exclusiva:

⨂

Condicional: →

Su conectivo lógico es ˅ Es verdadera si alguna de las proposiciones simples que la conforman es verdadera y falsa si todas ellas son falsas Su conectivo lógico es ⨂ Es verdadera si los valores de verdad de las proposiciones son contrarios.

Voy al cine cuando hay una buena película y cuando tengo dinero.

Para ir a Toluca puedo tomar la carretera federal o tomar la autopista de cuota. Puedo ir a Itagüí en Metro o en bus.

Mi vecino tiene una vestimenta que puede parecer cristiano o musulmán. Dada la situación el examen de mañana se aprueba o se suspende.

Su conectivo lógico es → El condicional es falso, si su antecedente es verdadero y su consecuente es falso,

Si Mario tiene calor, entonces se coloca una chaqueta. Un profesional dice "Si ahorro me

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Bicondicional: ↔

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en los demás casos es verdadero.

podré comprar una casa en tres años”.

Su conectivo lógico es ↔ Es verdadera si las proposiciones que la conforman toman el mismo valor de verdad y falsa si los valores son contrarios.

.Pago la cuenta de servicios si y solo si la empresa de empresas públicas me envía el recibo a mi domicilio. Una persona puede votar, si y sólo si, tiene cédula de ciudadanía.

5) Dadas las siguientes proposiciones, defina una interpretación para cada uno de los átomos y evalúen mediante su valor de verdad, cada proposición. Asignen con ejemplos propios los valores del átomo respectivo.

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p: La leche es un producto nacional. q: Antioquia es un departamento de Colombia. r: Medellín es la capital de Antioquia. s: Medellín tiene su empresa de Electricaribe en Pamplona.

Proposición ¬ (p ˄ ¬ q) ˄ (¬ r ˄ ¬ s)

Interpretación v (p)= V, v (¬ q) = F, v (¬r) = F,

Evaluación proposición v ¬ (p ˄ ¬ q) ˄ (¬ r ˄ ¬ s) = F

(p ˄ ¬ q) ˄ (r ˄ s)

v (¬ s) = V v (p)= V, v (¬ q) = F, v (r) = V,

v (p ˄ ¬ q) ˄ (r ˄ s) = F

(¬ p ˅ ¬ q) ˅ ¬ (r ˅ ¬ s)

v (s) = F v (¬ p) = F, v (¬ q) = F, v (r) = V,

v (¬ p ˅ ¬ q) ˅ ¬ (r ˅ ¬ s) = F

¬ (p ˅ q) ˅ (¬ r ˄ ¬ s)

v (¬s) = V v (p)= V, v (q) = V, v (¬r) = F,

v v ¬ (p ˅ q) ˅ (¬ r ˅ ¬ s) = V

(¬ s) = V v (¬ p) = F, v (¬ q) = F, v (r) = V,

v (¬ p ǿ ¬ q) ˅ ¬ (r ǿ ¬ s) = V

v (¬s) = V v (p)= V, v (q) = V, v (¬r) = F,

v ¬ (p ǿ q) ˄ (¬ r ǿ ¬ s) = V

v (¬ s) = V v (¬ p) = F, v (¬ q) = F, v (r) = V,

v (¬ p → ¬ q) → ¬ (r → ¬ s) = F

s) ¬ (p → q) → (¬ r → ¬

v (¬s) = V v (p)= V, v (q) = V, v (¬r) = F,

v ¬ (p → q) → (¬ r → ¬ s) = V

s) (p ↔ ¬ q) ↔ (r ↔ s)

v (¬ s) = V v (p)= V, v (¬ q) = F, v (r) = V,

(¬ p ↔ q) ↔ ¬ (r ↔ ¬

(s) = F v (¬ p) = F, v (q) = V, v (r) = V, v

(¬ p ǿ ¬ q) ˅ ¬ (r ǿ ¬ s) ¬ (p ǿ q) ˄ (¬ r ǿ ¬ s) (¬ p → ¬ q) → ¬ (r → ¬

s)

v v (p ↔ ¬ q) ↔ (r ↔ s) = F v (¬ p ↔ q) ↔ ¬ (r ↔ ¬ s) = V

(¬s) = V

6) Definan desde su argumentación el concepto de tablas de verdad y a su vez, elaboren los valores constantes para p con dos (2) y cuatro (4) formulas atómicas, según la siguiente disposición: Tablas de verdad: son un diagrama que te permite determinar claramente cuando una proposición compuesta es verdadera, falsa o variada. Entonces tenemos que si todos los valores de verdad de una proposición son verdaderos se denomina (Tautología), si son falsos (Contradicción) o de lo contrario se llama indeterminada o contingencia.

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p V V F F

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(p ∧ q) V F F F

q V F V F

p V V V V F F F F

q V V F F V V F F

r V F V F V F V F

(p ∨ q) V V V F

(p ∧ q) V V F F F F F F

(p ⨂ q) F V V F

(p v r) V V V V V F V F

(q ⨂ r) F V V F F V V F

(p → q) V F V V

(p ↔ q) V F F V

(p → r) V F V F V V V V

p↔r V F V F F V F V

7) Completen la tabla de verdad para las siguientes fórmulas proposicionales. a. ¬ (p ⋁¬q) → (p ⋀¬q) p

q

¬p

¬q

V V F F

V F V F

F F V V

F V F V

(p ⋁ ¬q) V V F V

¬ (p ⋁ ¬q)

(p ⋀¬q)

¬ (p ⋁¬q) → (p ⋀¬q)

F F V F

F V F F

V V F V

b. (¬p ↔ q) (¬p ⋀ q) ∨ ¬ (p ⨂ ¬p) c. (¬� ⋀ �) (� → �) ↔ ( � ⋁ ¬r) Nota aclaratoria: no se puede dar solución a las proposiciones b y c ya que carecen de un conectivo lógico. Por tanto se identifica un error que impide solucionarlos.

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8) Formalizar a lógica proposicional los siguientes razonamientos. Para ello se debe elaborar las proposiciones atómicas y su representación lógica. Finalmente, presenten las conclusiones respectivas.

a. Si la complejidad computacional del algoritmo es logarítmica, será porque se implementó un algoritmo muy eficiente y porque se aplicaron técnicas de optimización del código. Proposiciones atómicas p: Si la complejidad computacional del algoritmo es logarítmica. ⟶ q: se implementó un algoritmo muy eficiente ∧ r: porque se aplicaron técnicas de optimización del código. Representación lógica ( p ⟶q )∧ r

Validación de la contingencia p V V V V F F F F

q V V F F V V F F

r V F V F V F V F

( p ⟶q ) V V F F V V V V

( p ⟶ q )∧ r V F F F V F V F

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Conclusión: Al analizar la conclusión, observamos que tenemos afirmaciones falsas y verdadederas, por tanto, se presenta una contingencia, lo que significa que es probable pero no se tiene la certeza, de que la complejidad computacional del algoritmo sea logarítmica debido a que se implementara un algoritmo muy eficiente y porque se hayan aplicado técnicas de optimización del código.

b. El bajo rendimiento de los estudiantes no logrará mejorarse a no ser que se logre identificar su causa y se consiga encontrar alternativas adecuadas o bien para prevenirlo o mejorarlo. Proposiciones atómicas p: El bajo rendimiento de los estudiantes no logrará mejorarse q: se logre identificar su causa ∧ r: se consiga encontrar alternativas adecuadas ∨ s: bien para prevenirlo ∨ t: mejorarla

Representación lógica p⟶ ( q ∧ r ) ∨ ( s ⨂ t )

Validación de la de la contingencia

p V V V

q V V V

r V V F

s V V F

t V F V

(q ∧ r ) V V F

p⟶ ( q ∧ r ) V V F

(s ⨂ t ) F V V

p⟶ ( q ∧ r ) ∨ ( s ⨂ t ) V V V

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V V V V V V V V V V V V V F F F F F F F F F F F F F F F F

V F F F F V V V V F F F F V V V V F F F F V V V V F F F F

F V V F F V V F F V V F F V V F F V V F F V V F F V V F F

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F V V F F V V F F V V F F V V F F V V F F V V F F V V F F

F V F V F V F V F V F V F V F V F V F V F V F V F V F V F

F F F F F V V F F F F F F V V F F F F F F V V F F F F F F

F F F F F V V F F F F F F V V V V V V V V V V V V V V V V

F F V V F F V V F F V V F F V V F F V V F F V V F F V V F

F F V V F V V V F F V V F V V V V V V V V V V V V V V V V

Conclusión: Al analizar la conclusión, observamos que tenemos afirmaciones falsas y verdaderas, por tanto, se presenta una contingencia, lo que significa que es probable pero no se tiene la certeza de que el consecuente del condicional sea la única alternativa para prevenir o mejorar al antecedente.

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c. Si el américa gana la copa de futbol o llega a las finales, será debido a que tiene muy buenos jugadores y a que tendrá la afición a su favor. Proposiciones atómicas p: el américa gana la copa de futbol ∨ q: el américa llega a las finales ⟶ r: tiene muy buenos jugadores ∧ s: el américa tendrá la afición a su favor

Representación lógica

( p∨ q ) ⟶ ( r ∧ s )

Validación de la de la contingencia p

q V V V V V V V V F F F F F F F F

V V V V F F F F V V V V F F F F

r V V F F V V F F V V F F V V F F

( p∨ q )

s V F V F V F V F V F V F V F V F

V V V V V V V V V V V V F F F F

(r ∧ s) V F F F V F F F V F F F V F F F

( p∨ q ) ⟶ ( r ∧ s ) V F F F V F F F V F F F V F F F

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Conclusión: Al analizar la conclusión, observamos que tenemos afirmaciones falsas y verdaderas, por tanto, se presenta una contingencia, lo que significa que es probable pero no se tiene la certeza de que el consecuente del condicional sea la única alternativa para prevenir o mejorar al antecedente.

d. A no ser que haya derechos de petición, el resultado de la convocatoria saldrá públicamente el jueves. Proposiciones atómicas ¬ p: no hay derechos de petición

⟶ q: el resultado de la convocatoria saldrá públicamente el jueves.

Representación Lógica ¬ p⟶q

Conclusión:

¬p

q

¬ p⟶q

V V F F

V F V F

V F V V

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Al analizar la conclusión, observamos que tenemos afirmaciones falsas y verdaderas, por tanto, se presenta una contingencia, lo que significa que es probable pero no se tiene la certeza de que los resultados sean publicados el jueves.

9. Una formula proposicional es válida si su valor es verdadero en toda interpretación, lo que se define como una formula lógicamente equivalente. Con la anterior definición, establezca si las siguientes formulas son válidas mediante el desarrollo de la tautología respectiva, utilizando la formalización de proposiciones.

a. Si juan mide 178 cm de altura entonces Nicolás es más alto que Juan. Si juan o Nicolás son altos, entonces Juan es más bajo que Nicolás.

Paso 1: Definición de las proposiciones atómicas Letra proposicional p q r s t

Proposición atómica juan mide 178 cm de altura Nicolás es más alto que Juan Juan es alto Nicolás es alto Juan es más bajo que Nicolás

Paso 2: representación de los argumentos:

( p⟶ q ) ( r ∨ s) ( r ∨ s) ⟶ t

Sí juan mide 178 cm de altura entonces Nicolás es más alto que Juan Juan o Nicolás son altos Si Juan o Nicolás son altos, entonces Juan es más bajo que Nicolás

Paso 3: validación de la tautología

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p

q

r

s

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t

( p⟶ q )

( r ∨ s)

( r ∨ s) ⟶ t

( p⟶ q ) ∧ ( r ∨ s ) ⟶ t

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V V V V V V V V V V V V V V V V F F F F F F F F F F F F F F F F

V V V V V V V V F F F F F F F F V V V V V V V V F F F F F F F F

V V V V F F F F V V V V F F F F V V V V F F F F V V V V F F F F

V V F F V V F F V V F F V V F F V V F F V V F F V V F F V V F F

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V F V F V F V F V F V F V F V F V F V F V F V F V F V F V F V F

V V V V V V V V F F F F F F F F V V V V V V V V V V V V V V V V

V V V V V V F F V V V V V V F F V V V V V V F F V V V V V V F F

V V V V V V F V V V V V V V F V V V V V V V F V V V V V V V F V

V V V V V V F V F F F F F F F F V V V V V V F V V V V V V V F V

Paso 4: Al analizar la conclusión, se observa que no todas las interpretaciones son verdaderas,

por tanto, es una fórmula es válida, ya que al ser dos condicionales unidas por una conjunción necesariamente ambas deben ser verdaderas. Por tanto podemos concluir que Juan es más bajo que Nicolás.

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b. Las vacas solo están locas si no actúan normalmente o se dejan cuidar por su dueño. Paso 1: Definición de las proposiciones atómicas Letra proposicional

Proposición atómica Las vacas están locas no actúan normalmente se dejan cuidar por su dueño

p

¬ q r

Paso 2: representación de los argumentos: ( p ⟷¬ q) (¬q ∨r )

Las vacas solo están locas si no actúan normalmente no actúan normalmente o se dejan cuidar por su dueño

Paso 3: validación de la tautología p V V V V F F F F

¬q V V F F V V F F

r V F V F V F V F

(¬q ∨r ) V V V F V V V F

p ⟷(¬q ∨ r ) V V V F F F F V

Paso 4: Al analizar la conclusión, se observa que no todas las interpretaciones son verdaderas,

por tanto, es una fórmula es válida, ya que se deben cumplir las dos condiciones para que opere el bicondicional; en caso de que una de las dos sea falsa se estaría dando una contradicción y el no cumplimiento de dicha proposición. c. Para que ganen el partido de futbol Santa fe o América el domingo, ese día no debe de llover.

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Paso 1: Definición de las proposiciones atómicas Letra proposicional p q ¬ r

Proposición atómica El partido de futbol lo gana Santafé el domingo El partido de futbol lo gana América el domingo No debe llover ese día

Paso 2: representación de los argumentos: ( p ∨q) ( p ∨q)⟶ ¬ r

El partido de futbol lo gana Santafé o América el domingo Para que ganen el partido de futbol Santa fe o América el domingo, ese día no debe de llover

Paso 3: validación de la tautología p

q

¬ r

V V V V F F F F

V V F F V V F F

V F V F V F V F

( p ∨q) V V V V V V F F

( p ∨q)⟶ ¬ r V F V F V F V F

Paso 4: Al analizar la conclusión, se observa que no todas las interpretaciones son verdaderas,

por tanto, es una fórmula es válida, d. Las prá...