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Dal piano allo spazio I solidi di rotazione I solidi di rotazione sono dei solidi che si ottengono tramite la rotazione di un segmento o una figura piana attorno a un asse. I solidi di rotazione che solitamente di incontrano nella scuola dell’infanzia e nella scuola primaria sono il cilindro, il cono e la sfera.

Prendiamo una retta r, e un segmento AB ad essa parallela

Con una rotazione di 360° del segmento intorno all’asse di rotazione r otterremo la “superficie cilindrica di un tubo” Ora prediamo un rettangolo con un lato su r

Con una rotazione dii 360° del rettangolo intorno all’ asse di rotazione r otterremo un cilindro. Riusciamo a ottenere un cilindro con una rotazione di soli 180°? Come?

Ogni volta possiamo evidenziare l’ampiezza della rotazione necessaria per ottenere il solido desiderato: può essere di 360° o di 180° a seconda della figura piana di partenza e dell’asse attorno al quale si esegue la rotazione.

Prendiamo una retta r,

e un segmento AB incidente in un suo estremo ad essa  con una rotazione di 360° del segmento intorno all’asse di rotazione r otterremo un “cappello cinese” o un triangolo rettangolo con un cateto sulla retta  con una rotazione di 360° del triangolo rettangolo intorno all’asse di rotazione r otterremo un cono

prendiamo una retta r

e un trapezio rettangolo con il lato perpendicolare agli altri due sulla retta  con una rotazione di 360° del trapezio intorno all’asse di rotazione r otterremo un tronco di cono.

In geometria, i primi due solidi sono detti “sfera" e “toro” Come si possono ottenere i tre solidi? (A partire da quali figure piane? Attorno a quali assi? Riusciresti a farlo con rotazioni di soli 180°?)

Sviluppi Lo sviluppo di un solido è la rappresentazione della sua superficie sul piano. - Ogni faccia del poliedro corrisponde a un unico poligono dello sviluppo e viceversa; - È possibile combinare i “lati” dei poligoni dello sviluppo in modo tale che ad ogni coppia corrisponde un unico spigolo del poliedro. Nel caso dei poliedri si tratta di una figura piana data dall’unione di poligoni, collegati a coppie da un unico segmento.

Due esempi di possibili sviluppi di un parallelepipedo rettangolo

così si passa dallo sviluppo al solido

la figura sotto non rappresenta lo sviluppo di un parallelepipedo rettangolo, perché lo sviluppo di un poliedro dev’essere una figura connessa (“un’unica figura”)

Gli sviluppi del cubo sono 11 in tutto:

Gli sviluppi dei solidi di rotazione:

- esempi di sviluppo di un cilindro e di un cono

Nella scuola primaria è importante giocare tra il mondo dello spazio e del piano, proponendo attività nello spazio in modo da trattare anche del piano. Nelle Indicazioni nazionali tra gli obiettivi di apprendimento al termine della classe quinta troviamo : -costruire e utilizzare modelli matematici e nello spazio e nel piano come supporto a una prima capacità di visualizzazione. -Riconoscere rappresentazioni piane di oggetti tridimensionali , identificare punti di vista diversi di uno stesso oggetto. Tra i traguardi per lo sviluppo delle competenze al termine della scuola primaria , troviamo: -riconosce e rappresenta forme del piano e dello spazio, relazioni e strutture che si trovano in natura o che sono state create dall’ uomo. CAMMINI MINIMI Cammini minimi sugli spigoli del cubo Immaginiamo prima che la formica possa camminare solo sugli spigoli, cioè sullo scheletrato del cubo: •Che percorso potrebbe fare la formica per andare dal vertice A al vertice B in maniera economica? •Quanto sono lunghi i cammini minimi? A e B •Quanti ne esistono? vertici opposti

Le strade più brevi sono lunghe 3 spigoli e ne sono 6 in tutto. Cammini minimi sulla superfice del cubo Quale sarà un cammino economico che unisce i vertici opposti A e B, se immaginiamo di poter percorrere anche la parte interna delle facce?

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due esempi di possibili strade

Esistono 6 percorsi minimi e tutti passano per il punto medio di uno spigolo del cubo

Sezioni

Ogni piano passante per un punto interno di un poliedro individua un poligono contenuto nel poliedro, detto sezione del poliedro. Il piano dividerà così il poliedro in due poliedri in esso contenuti, aventi una faccia in comune (la sezione, appunto!). Sezioni del cubo Immaginiamo di tagliare un cubo con un piano. Quali sezioni possiamo ottenere? Rispondiamo con Geogebra Il software consente di ruotare il cubo, a seconda del punto di vista che preferiamo assumere per i nostri scopi; muovere i tre punt evidenziati in rosso a piacimento lungo tutti gli spigoli, per individuare sezioni diverse del cubo. (Ricorda: per tre punti non allineati nello spazio passa uno e un solo piano) Quali sezioni possiamo ottenere? Come? E quali coppie di poliedri rimangano individuati dalle particolari sezioni?

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Sicuramente una sezione quadrata…come? Basta che il piano che seziona sia parallelo a due facce (e perpendicolare alle altre quattro). E in quali poliedri viene diviso il cubo? In due parallelepipedi rettangoli!

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Ma possiamo ottenere anche una sezione rettangolare (generica) …come? Per avere un rettangolo generico, basta che il piano che seziona sia perpendicolare a una sola coppia di facce; rimarranno individuati dei prismi.

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Quale sarà la sezione rettangolare di estensione massima? Come si ottiene? Bisogna tagliare per due spigoli paralleli non aventi facce in comune (ossia, lungo le diagonali di due facce opposte). Come sono i prismi nei quali viene diviso il cubo? Sono prismi triangolari e congruent!

questa sezione conterrà due diagonali del cubo

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E come si otterranno sezioni triangolari? Con un piano che passa per tre spigoli che escono da uno stesso vertice

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E una sezione triangolare di estensione massima? Tagliando con un piano che contiene le diagonali di tre diverse facce del cubo!

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Ma si possono ottenere anche sezioni meno usuali: trapezi generici (ossia quadrilateri con esattamente due lati paralleli), pentagoni ed esagoni. A scuola ci si può aiutare con un cubo di plastilina e un coltello, oltre che con Geogebra. Provare a costruire queste sezioni qui : https://www.geogebra.org/m/QgPDTDeA...