5.1.- Triangulo de Potencia PDF

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TRIANGULO DE POTENCIAS III.- Triangulo de Potencias. El triángulo de potencias es una representación gráfica, de forma sencilla mediante un triángulo se explica la relación entre las diferentes potencias asociadas a la corriente alterna. Para determinar cada uno de los componentes del triángulo, seguiremos utilizando las características del circuito inductivo anteriormente planteado. El diagrama de los vectores de la tensión y corriente está representado en la figura No. 8a. Para determinar el triángulo de potencias, inicialmente invertimos el diagrama vectorial tomando en cuenta la convención de los signos, el vector de la corriente "𝐼" descomponemos en la corriente activa "𝐼𝑎" en fase con la tensión y la corriente reactiva "𝐼𝑟"en cuadratura con la tensión, figura No. 8b.

I V

Ir = I Sen(φ)

φ

φ I

Ia = I Cos(φ)

Figura No. 8a

Figura No. 8b

Ahora multiplicamos cada componente de la corriente con una tensión de valor “V”, y obtenemos el triángulo de potencias representado en la figura No. 6a, el vector horizontal representa la potencia activa, valor igual a la de la ecuación (9), el vector vertical denominado como potencia reactiva valor igual a la ecuación (14) y la hipotenusa como la potencia aparente “S”. III.1.- Potencias Activa, Potencia Reactiva y Potencia Aparente. La figura No. 9a representa el triángulo de las potencias para un circuito inductivo, como se observa en la figura la potencia reactiva está en cuadratura con la potencia activa, pero dirigida hacia arriba sentido positivo, el diagrama de la figura No. 9b representa el triángulo de potencias para un circuito capacitivo, el vector de potencia reactiva es vertical pero en sentido, negativo y contrario al del circuito inductivo.

S=VI

Q =V Ir Q = I Sen(φ)

P = V Ia = V I Cos(φ) φ

φ P = V Ia = V I Cos(φ) Figura No. 9a

S=VI

Q =V Ir Q = I Sen(φ)

Figura No. 9b

III.1.1.- Potencia Activa. La potencia activa o potencia media, como indicamos anteriormente, se constituye en la potencia útil cuando se trata del aprovechamiento de la energía eléctrica, el consumo de energía eléctrica, lo que nos facturan las empresas de distribución está asociada a este tipo de potencia.

El instrumento con el que se mide la potencia se denomina “VATIMERO” y dependiendo si el sistema es monofásico o trifásico, el instrumento mide la potencia monofásico o trifásica. (18) …………….𝑃 = 𝑉 ∙ 𝐼 ∙ 𝐶𝑜𝑠𝜑 Según la ley de Ohm; (𝑎) ……………𝑉 = 𝑍 ∙ 𝐼 (𝑏) ……………𝐶𝑜𝑠𝜑 =

𝑅 𝑍

(18.𝑎) …… …….𝑃 = (𝑍 ∙ 𝐼) ∙ 𝐼 ∙

𝑅 𝑍

Simplificando la impedancia del circuito. (19) …………….𝑃 = 𝑅 ∙ 𝐼2 La ecuación (19) se denomina efecto “JOULE”, la potencia es función cuadrática de la corriente y la resistencia por donde circula. En el campo de la ingeniería eléctrica es utilizada para determinar la potencia y por lo tanto la energía que se pierde en los conductores eléctricos. III.1.2.- Potencia Reactiva. Muchos de los equipos eléctricos que utilizamos, motores, transformadores necesitan para funcionar campos magnéticos, en otros es necesario condensadores, por ejemplo se utilizan condensadores para arrancar de los motores monofásicos, también para mejorar el factor de potencia. Son estos dispositivos que desarrollan la potencia reactiva, que durante el periodo de la onda se constituye en una potencia fluctuante entre la fuente y el receptor. En las figuras No. 6a y 6b, se representa la potencia reactiva, la ecuación (20) para las inductancias, la ecuación (21) para los capacitores, el signo negativo representa el sentido contrario a la potencia reactiva de los bobinas. (20) ………….𝑄 = 𝑉 ∙ 𝐼 ∙ 𝑆𝑒𝑛𝜑 (21) ………….𝑄 = −𝑉 ∙ 𝐼 ∙ 𝑆𝑒𝑛𝜑 La unidad de medición de denomina como Voltamperio reactivo (VAR). Con el mismo razonamiento de la potencia activa, para la reactiva se puede realizar el siguiente cambio. La ley de Ohm; (𝑎) ……………𝑉 = 𝑍 ∙ 𝐼 (𝑏) ……………𝑆𝑒𝑛𝜑 =

𝑋 𝑍

(20.𝑎) …… …….𝑃 = (𝑍 ∙ 𝐼) ∙ 𝐼 ∙

𝑋 𝑍

Reemplazando los valores anteriores, se tiene que; (22) …………….𝑄 = 𝑋 ∙ 𝐼2

El factor X en la ecuación (22), puede ser inductivo "X L "o capacitivo "XC " III.1.3.- Potencia Aparente. Del triángulo de potencias podemos determinar la potencia aparente, como la composición de las potencias activa como reactiva, se define como; (10) …………….𝑆 = 𝑉 ∙ 𝐼 También se puede escribir en función de las potencias activa como reactiva. (11) …………….𝑆 = √𝑃2 +𝑄 2 La potencia aparente puede ser interpretado como capacidad o tamaño, de donde puedes obtener potencia activa o reactiva. El aprovechamiento de la potencia aparente, para transformarla en potencia útil o activa, depende del factor de potencia. III.1.4.- Factor de Potencia. El factor de potencia está definido como el coseno del ángulo entre la tensión y la corriente.

V

V

V

I

I

φC φR

φL

I

φL

I

I

Resistencia

Capacitancia Inductancia

φ = 0º Cosφ = 1

φ =  90º Cosφ = 0

Figura No. 10a

φC

Figura No. 10b

Predominio Predominio Capacitivo Inductivo 0º  φ   90º 0 < Cosφ < 1 Figura No. 10c.

En la figura No. 10a, la tensión y la corriente en fase, el ángulo es cero, el factor de potencia igual a la unidad. En la figura No. 10b, ángulo ± 90°, factor de potencia cero, no importa si es inductivo o capacitivo. En la figura No. 10c, el ángulo está comprendido entre 0° y 90° por lo que factor esta entre cero y uno “0 < Cos φ < 1”.

Q S

φ P Figura No. 11 La figura No. 11 representa el triángulo de potencias, se constituyen en triángulo rectángulo, de donde se puede deducir las siguientes ecuaciones. (12) ……………𝐶𝑜𝑠𝜑 = (13) ……………𝐶𝑜𝑠𝜑 =

𝑃 𝑆 𝑃 √𝑃2 +𝑄 2

El factor de potencia se puede interpretar como la relación de la potencia activa referida a la potencia aparente. (14) ……………𝑃 = 𝑆 ∙ 𝐶𝑜𝑠𝜑 La ecuación No. (14) tiene una mejor interpretación, muestra la proporción de la potencia activa extraída de la potencia aparente. Por otra parte el factor de potencia es importante al calcular la corriente eléctrica de un receptor, repasemos la ecuación ya desarrollada como la potencia activa, de donde podemos despejar la corriente eléctrica. (𝑎) ……………𝑃 = 𝑉 ∙ 𝐼 ∙ 𝐶𝑜𝑠𝜑 (15) ……………𝐼 =

𝑃 𝑉 ∙𝐶𝑜𝑠𝜑

Por ejemplo para una potencia de 100 (W), tensión de 220 (V) y factor de potencia igual a la unidad, la corriente eléctrica necesaria será; (𝑏) ……………𝐼 =

1000 = 4.5 (𝐴) 220∙1

Si el factor de potencia es 0.5, la corriente para la misma carga sería de; (𝑐) ……………𝐼 =

1000 = 9.1 (𝐴) 220∙0.5

Para la misma potencia ahora la corriente es de 9.1 (A), resulta el doble comparado con el factor de potencia es igual a la unidad, por esta razón a partir de la potencia no se podría calcular correctamente la corriente si no conoce el factor de potencia. En el siguiente cuadro No. 1, exponemos las características de algunos equipos eléctricos de uso general.

NOMBRE DEL EQUIPO Ducha eléctrica Cocina eléctrica Tubo Fluorescente Tubo LED LED Bulbo Lampara LED Tipo Planfón Micro Ondas Refrigerador FREEZER Computadora Escritorio Estufa electrica Lavadora

Potencia (W) 5,000 9,000 36 20 20 24 1,050 170 500 2,500 1,800

Tension Factor de (V) potencia 220 1.0 230 1.0 220 0.5 220 0.92 220 0.6 220 0.5 230 0.88 220 0.92 230 0.45 220 1.0 230 0.81

Cuadro No. 1 Como indicamos al inicio del estudio de potencia, los circuitos eléctricos, están compuestos por diferentes componentes, Resistencia, Reactancia Inductiva, Reactancia Capacitiva, si el componente es solamente una resistencia, habrá solamente potencia activa, si es reactancia inductiva o capacitiva la potencia será solamente la potencia reactiva, figura No. 12. Para determinar la potencia total, se procede como indica la figura No. 13, por la suma de cada uno de los vectores. Q Inductivo Cosφ = 0 QI QC

P Cos φ = 1

Q = QI Q C

φ P

Q Capactivo Cos φ = 0

Figura No. 12

Figura No. 13

IV.1.- Potencia Aparente, Número Complejo. A partir de la figura No. 9a, conocemos que el producto de la magnitud tensión por la magnitud de la corriente representa la potencia aparente, aclaremos, la figura representa la magnitud o tamaño de la potencia aparente. Pero qué pasa si multiplicamos los fasores de la tensión y la corriente, sigamos utilizando el circuito inductivo, pero ahora asumiremos la tensión con desfase “θ”, por lo que las ecuaciones de la tensión y la corriente serían de; (𝑐) ……………𝑉 󰇍 = 𝑉 ∠𝜃 (𝑏) ……………𝐼

= 𝐼∠( 𝜃 − 𝜑)

El producto de los fasores seria de;

(𝑒) ……………𝑆 = 𝑉 ∙𝐼∠(𝜃 + 𝜃 − 𝜑) = 𝑉 ∙𝐼∠(2𝜃−𝜑) (𝑓) ……………𝑆 = 𝑉 ∙𝐼 ∙𝐶𝑜𝑠(2𝜃 −𝜑) + 𝑗 𝑆𝑒𝑛 (2𝜃 − 𝜑) Si desarrollamos la ecuación “e” y obtenemos la ecuación (f), con seguridad son diferentes que las ecuaciones 18 y 20, por lo que no sería correcto. Para determinar la potencia aparente utilizando los fasores de la tensión y la corriente, y que el resultado sea otro número complejo y reproduzcan las potencias activa y reactiva se plantea la siguiente definición. Que la potencia aparente como número complejo (potencia compleja) es el producto de del fasor tensión y el conjugado del fasor de la corriente eléctrica. (16) …………….𝑆

=𝑉󰇍 ∙𝐼 ∗

Veamos si esto es cierto; (𝑓) ………………𝐼

= 𝐼∠ − ( 𝜃 − 𝜑)

(𝑐) ………………𝑆

= 𝑉 ∙𝐼∠(𝜃 − ( 𝜃 − 𝜑) = 𝑉 ∙𝐼∠𝜑

(11) …………….𝑆

= 𝑉 ∙ 𝐼∠𝜑 = 𝑉 ∙ 𝐼 ∙ 𝐶𝑜𝑠𝜑 + 𝑗 𝑉 ∙ 𝐼 ∙ 𝑆𝑒𝑛𝜑

(12) …………….𝑆

= 𝑃+𝑗𝑄

Efectivamente la ecuación 12, reproduce las ecuaciones de las potencias activa y la potencia reactiva, por lo tanto la potencia aparente se puede representar en el plano complejo como número complejo, en el eje real la potencia activa e imaginario la potencia reactiva, figura No 7. Para las magnitudes anteriormente mencionadas, la potencia compleja sería de; (16.1) … … … … 𝑆 = 220∙ 10∙𝐶𝑜𝑠30+ 𝑗 220∙ 10∙ 𝑆𝑒𝑛30 (16.2) … … … … 𝑆 = 1905+ 𝑗 1100

j

PLANO COMPLEJO

POTENCIA COMPLEJA"S"

1,200

+

950 700

+

−

450 200

−

Figura No. 14

R -50

-50

200

450

700

950

1,200 1,450 1,700 1,950

Figura No. 15

Por lo tanto, cuando el circuito es inductivo la potencia reactiva se encuentra en primer cuadrante del plano complejo, positivo y cuando el circuito es capacitivo la potencia se encuentra en el cuarto cuadrante del plano complejo, negativo, por esta consideración invertimos los triángulos y se obtuvo las figuras 9a y 9b. La figura No 15, representa la potencia compleja de la ecuación 16.2.

IV.1.1.- Potencia Resistencia Pura.(𝑐) ……………𝑉 󰇍 = 𝑉 ∠0° (𝑏) ……………𝐼

=𝐼∠0°

El ángulo es cero por lo que 𝐶𝑜𝑠𝜑=𝐶𝑜𝑠(0) =1 (17) ………….𝑃 = 𝑉 ∙ 𝐼 ∙ 𝐶𝑜𝑠𝜑 = 𝑉 ∙ 𝐼 Para la potencia reactiva, 𝑆𝑒𝑛 (0) =0, por lo que no hay presencia de potencia reactiva. (18) …………….𝑄 = 𝑉 ∙ 𝐼 ∙ 𝑆𝑒𝑛𝜑 = 0 La potencia compleja, potencia aparente. (19) ……………𝑆

=𝑉∠0∙𝐼∠0= 𝑉 ∙𝐼

Esta última ecuación nos muestra que para las resistencias puras; (20) …………𝑆 = 𝑃 En la figura No. 16, se representa el fasor de la potencia activa o media, en el eje horizontal en el del plano complejo, no hay componente en el eje de los números imaginarios.

CIRCUITO RESISTENCIA PURA

R 0

250

500

750

1000

1250

1500

1750

2000

Figura No. 16 II.1.4.- Potencia Reactancia Inductancia, Reactancia Capacitiva Pura.II.1.4.1.- Potencia Reactancia Inductiva Pura. Para la reactancia inductiva pura que está constituida por una bobina, la corriente se atrasa 90° ó π/2 radianes a la tensión. Las ecuaciones que describen el comportamiento POTENCIA CIRCUITO de la tensión y la corriente son las siguientes; INDUCTIVO PURO

(𝑎) ……………𝑉 󰇍 =𝑉∠0° =𝐼∠90°

POTENCIA REACTIVA INDUCTIVA

(𝑏) ……………𝐼

2,000 1,500 1,000 500 0

Figura No. 17 Evaluemos que es lo que pasa con la potencia activa, para el ángulo de desfase de 90°, el 𝐶𝑜𝑠𝜑=𝐶𝑜𝑠(90°) =0, por lo tanto no hay potencia activa; (21) ………….𝑃 = 𝑉 ∙ 𝐼 ∙ 𝐶𝑜𝑠(90°)=0 Para la potencia reactiva, con el desfase de 90°, 𝑆𝑒𝑛(90°) =1. (22) …………….𝑄 = 𝑉 ∙ 𝐼 ∙ 𝑆𝑒𝑛(90°) = 𝑉 ∙𝐼 La potencia compleja, potencia aparente. (23) ……………𝑆

=𝑉∠0° ∙ 𝐼∠90° = 𝑉 ∙ 𝐼∠90° = 𝑗 𝑉 ∙ 𝐼

La figura No. 17, representa la potencia reactiva, en el eje positivo del plano complejo. II.1.4.2.- Potencia Reactancia Capacitiva Pura.

POTENCIA CIRCUITO CAPACITIVO PURO POTENCIA REACTIVA CAPACITIVA

0 -500

-1,000 -1,500

-2,000

−

Figura No. 18 Para la reactancia capacitiva pura que está constituida por un condensador, la corriente se adelanta 90° ó π/2 radianes a la tensión. Los fasores que describen el comportamiento de la tensión y la corriente son las siguientes; (𝑎) ……………𝑉 󰇍 =𝑉∠0° (𝑏) ……………𝐼

= 𝐼∠−90°

Para los condensadores igual de las bobinas, la potencia activa también es nula, desfase de 90°, el 𝐶𝑜𝑠𝜑=𝐶𝑜𝑠(90°) =0; (24) ………….𝑃 = 𝑉 ∙ 𝐼 ∙ 𝐶𝑜𝑠(90°)=0 Para la potencia reactiva, con el desfase de 90°, 𝑆𝑒𝑛(−90°) =−1. (24) …………….𝑄 = 𝑉 ∙ 𝐼 ∙ 𝑆𝑒𝑛(−90°) = − 𝑉 ∙ 𝐼 La potencia compleja, potencia aparente.

(26) ……………𝑆

=𝑉∠0°∙ 𝐼∠−90°= 𝑉 ∙ 𝐼∠90° = − 𝑗 𝑉 ∙ 𝐼

La figura No. 18, representa el fasor de la potencia reactiva en el plano complejo, eje negativo....