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Rango Matrice...

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“R ANGO DI UNA MAT RICE” PROF.SSA ROSSEL LA PISCO PO

Indice 1

Rango di una matrice .................................................................................................................... 3 1.1

2

Matrici invertibili ........................................................................................................................ 11 2.1

3

Calcolo del rango................................................................................................................... 6

Calcolo dell’inversa ............................................................................................................. 12

Matrici a gradini e algoritmo di riduzione .................................................................................. 16 3.1

Le matrici elementari........................................................................................................... 16

3.2

Matrici a gradini e rango di una matrice ............................................................................. 18

3.3

Algoritmo di riduzione (Gauss-Jordan) ............................................................................... 20

3.4

Calcolo dell’inversa con l’algoritmo di riduzione ............................................................... 22

Bibliografia ........................................................................................................................................ 24

1 Rango di una matrice DEFINIZIONE: Sia 𝐴 ∈ 𝑀𝑚,𝑛 (𝕂) si definisce rango di 𝐴 il massimo numero di righe (rango

per righe) o di colonne (rango per colonne) linearmente indipendenti

OSSERVAZIONE: Il rango per righe e il rango per colonne coincidono.

DEFINIZIONE: Il valore comune del rango per righe e del rango per colonne si denota con

𝑟𝑔(𝐴) ed è tale che 𝑟𝑔(𝐴) ≤ min{𝑚, 𝑛}, ∀𝐴 ∈ 𝑀𝑚,𝑛 (𝕂). Ovvero il rango è minore o al più uguale

al minimo fra il numero di righe e il numero di colonne

RICORDIAMO: Considerato uno spazio vettoriale 𝑉 sul campo 𝕂 e un sottoinsieme finito

{𝑣1 , 𝑣2 , … , 𝑣𝑛 } di elementi di 𝑉 si dice rango del sistema il massimo numero di elementi linearmente indipendenti.

RICORDIAMO: I vettori 𝑣1 , 𝑣2 , … , 𝑣𝑛 si dicono linearmente indipendenti se 𝑎1 𝑣1 + 𝑎2 𝑣2 + ⋯ + 𝑎𝑛 𝑣𝑛 = 0 ⇒ 𝑎1 = 𝑎2 = ⋯ = 𝑎𝑛 = 0

se una loro combinazione lineare è uguale allo zero, implica, necessariamente, che tutti gli scalari sono nulli. In caso contrario si dicono linearmente dipendenti

PROPOSIZIONE: Per il rango di una matrice, valgono le seguenti proprietà 𝑟𝑔(𝑂) = 0; 𝑟𝑔(𝐼𝑛 ) = 𝑛;

1. 2.

Un matrice riga o colonna non nulle ha rango 1;

3.

𝑎1 𝑟𝑔 �𝑏 1

Per ogni coppia di vettori 𝑎 = (𝑎1 , 𝑎2 , … , 𝑎𝑛 ); 𝑏 = (𝑏1 , 𝑏2 , … , 𝑏𝑛 ) si ha

𝑎2 𝑏2

⋯ 𝑎𝑛 ⋯ 𝑏𝑛 � = 1 ⇔i due vettori sono proporzionali cioè ∃𝜌 ∈ 𝕂 tale che 𝑎 =

𝜌𝑏. In caso contrario, il rango è 2. 4.

Se 𝐴, 𝐵 sono matrici tra loro moltiplicabili

𝑟𝑔(𝐴𝐵) ≤ min{𝑟𝑔(𝐴), 𝑟𝑔(𝐵)}

ESEMPIO: Si consideri la matrice 2 2 1 −1 0 1 𝐴 = �0 3 −2

1 3

� −1 la matrice ha rango pari a 2 in quanto la terza riga è combinazione lineare delle prima due (il

doppio della prima meno la seconda).

ESEMPIO: Si consideri la matrice 1 𝐴 = �−1 1

2 0 2 2 1 1� 1 1 −1

Il minore tra il numero di righe e di colonne è 3, ovvero il numero di righe. Questo vuol dire che il rango della matrice può essere al più 3. Si osserva facilmente, che le righe sono tra loro linearmente indipendenti, infatti, considerata una loro combinazione lineare: 𝑎(1,2,0,2) + 𝑏(−1,2,1,1) + 𝑐(1,1,1, −1)

con 𝑎, 𝑏, 𝑐 scalari qualsiasi, se si considera la combinazione lineare uguale allo zero si avrà: 𝑎(1,2,0,2) + 𝑏(−1,2,1,1) + 𝑐(1,1,1, −1) = (0,0,0,0)

𝑐, 2𝑎 + 𝑏 − 𝑐) = (0,0,0)

⇔ (𝑎 − 𝑏 + 𝑐, 2𝑎 + 2𝑏 + 𝑐, 𝑏 +

Identificando componente per componente, si ottiene il seguente sistema:

𝑎−𝑏+𝑐 = 0 𝑎 + 2𝑐 = 0 𝑑𝑎𝑙𝑙𝑎 𝑞𝑢𝑎𝑟𝑡𝑎 𝑎 + 2𝑎 = 0 𝑎+𝑐+𝑐 = 0 𝑠𝑒 𝑑𝑎𝑙𝑙𝑎 𝑠𝑖 𝑟𝑖𝑐𝑎𝑣𝑎 𝑎 𝑡𝑒𝑟𝑧𝑎 𝑠𝑖 𝑟𝑖𝑐𝑎𝑣𝑎 𝑏 2 𝑎 − 2 𝑐 + 𝑐 = 0 2𝑎 + 2𝑏 + 𝑐 = 0 ������������ � � ⇔ � 2𝑎 − 𝑐 = 0 � ��������� � 2𝑎 − 𝑎 = 0 𝑏 = −𝑐 𝑏 = −𝑐 𝑏+𝑐 =0 𝑏 = −𝑐 𝑎=𝑐 2𝑎 − 2𝑐 = 0 2𝑎 − 𝑐 − 𝑐 = 0 2𝑎 + 𝑏 − 𝑐 = 0 3𝑎 = 0 3𝑎 = 0 𝑑𝑎𝑙𝑙𝑎 𝑠𝑒𝑐𝑜𝑛𝑑𝑎 ⇔ � 𝑎 = 0 � ��������� � 𝑎 = 0 𝑏=0 𝑏 = −𝑐 𝑎=𝑐 𝑐=0

i tre scalari sono necessariamente nulli e quindi le righe sono linearmente indipendenti. Analogo discorso si fa per le colonne. Il rango certamente non può essere 4, perché si è visto che minore o uguale a più piccolo tra il numero di righe e il numero di colonne e, in questo caso, è minore o uguale a 3. Si dimostra, con calcoli lunghi che le quattro colonne non sono linearmente indipendenti, ma una di esse dipende dalle altre e si può scrivere come una loro combinazione lineare. Vi sono solo 3 colonne linearmente indipendenti. Il rango della matrice è certamente 3.

DEFINIZIONE: Considerate due matrici 𝑀, 𝑁 ∈ 𝑀𝑚,𝑛 (𝕂), queste si dicono equivalenti a

sinistra (risp. a destra) ∃𝐴 ∈ 𝑀𝑚 (𝕂) �risp. 𝐴 ∈ 𝑀𝑛 (𝕂)� t. c. 𝐴𝑀 = 𝑁 (risp. 𝑀𝐴 = 𝑁). Le

matrici si dicono equivalenti a destra e a sinistra se ∃𝐴 ∈ 𝑀𝑚 (𝕂), 𝐶 ∈ 𝑀𝑛 (𝕂) 𝑡. 𝑐. 𝐴𝑀𝐶 = 𝑁

LEMMA: Due matrici equivalenti hanno lo stesso rango. PROPOSIZIONE: Considerate le matrici 𝐴 ∈ 𝑀𝑚 (𝕂), 𝐵 ∈ 𝑀𝑚,𝑛 (𝕂), 𝐶 ∈ 𝑀𝑛 (𝕂) si ha: 𝑟𝑔(𝐴𝐵) = 𝑟𝑔(𝐵) = 𝑟𝑔(𝐵𝐶 )

Di seguito si enuncia un teorema di fondamentale importanza per le matrici quadrate e il loro studio. Il teorema sarà utile anche nella risoluzione dei sistemi lineari e toccherà anche parecchi argomenti di algebra lineare. PROPOSIZIONE: Per ogni matrice quadrata 𝐴 ∈ 𝑀𝑛 (𝕂) sono equivalenti le condizioni: 1.

2. 3.

𝑟𝑔(𝐴) = 𝑛;

det(𝐴) ≠ 0;

Le righe e le colonne di 𝐴 sono linearmente indipendenti

OSSERVAZIONE: La proposizione assicura che una matrice quadrata non singolare 1 ha rango massimo, ovvero rango uguale al numero di righe e di colonne.

Esempio: Si consideri la matrice 1 0 1 𝐴 = � 1 1 4� 1 2 9 La matrice ha determinante 1 0 1 det 𝐴 = �1 1 4� = (9 + 2) − (1 + 8) = 11 − 9 = 2 ≠ 0 1 2 9

1

Ovvero con determinante non nullo.

ha determinante non nullo, quindi è una matrice non singolare. Si vedrà che il rango della matrice è pari a 3. Infatti, considerata una combinazione lineare delle righe e posta uguale a zero, si prova che gli scalari sono necessariamente nulli:

𝑎(1,0,1) + 𝑏(1,1,4) + 𝑐(1,2,9) = (𝑎 + 𝑏 + 𝑐, 𝑏 + 2𝑐, 𝑎 + 4𝑏 + 9𝑐) = (0,0,0)

si ottiene il sistema:

𝑎 − 2𝑐 + 𝑐 = 0 𝑎+𝑏+𝑐 =0 𝑎 −𝑐 = 0⇔𝑎 = 𝑐 � 𝑏 + 2𝑐 = 0 ⇔ 𝑏 = −2𝑐 ⇔ � ⇔� 𝑏 = −2𝑐 𝑏 = −2𝑐 𝑎 + 4𝑏 + 9𝑐 = 0 𝑎 − 8𝑐 + 9𝑐 = 0 𝑎 + 𝑐 = 0 ⇔ 𝑎 = −𝑐

Poiché 𝑎 = 𝑐 = −𝑐 deve essere necessariamente 𝑎 = 0 perché 0 è l’unico numero uguale al

suo opposto. Di conseguenza tutti gli scalari sono nulli e le righe sono linearmente indipendenti. Analoga cosa di può fare per le colonne:

𝑎(1,1,1) + 𝑏(0,1,2) + 𝑐(1,4,9) = (𝑎 + 𝑐, 𝑎 + 𝑏 + 4𝑐, 𝑎 + 2𝑏 + 9𝑐) = (0,0,0)

si ottiene il sistema:

𝑎 = −𝑐 𝑎 = −𝑐 𝑎 + 𝑐 = 0 ⇔ 𝑎 = −𝑐 � 𝑎 + 𝑏 + 4𝑐 = 0 ⇔ � −𝑐 + 𝑏 + 4𝑐 = 0 ⇔ � 𝑏 + 3𝑐 = 0 ⇔ 𝑏 = −3𝑐 −𝑐 + 2𝑏 + 9𝑐 = 0 2𝑏 + 8𝑐 = 0 ⇔ 𝑏 = −4𝑐 𝑎 + 2𝑏 + 9𝑐 = 0

poiché 𝑏 = −3𝑐 = −4𝑐 deve essere necessariamente 𝑐 = 0. Di conseguenza, tutti gli

scalari, anche in questo caso gli scalari sono tutti nulli.

Il rango della matrice è quindi pari a 3, ovvero uguale all’ordine della matrice quadrata, uguale al numero di righe e di colonne della matrice.

1.1

Calcolo del rango Nel presente paragrafo si fornirà un primo metodo per stabilire il calcolo del rango di una

matrice. DEFINIZIONE: Sia 𝐴 ∈ 𝑀𝑚,𝑛 (𝕂), un minore è una sottomatrice quadrata di ordine 𝑟 della

matrice 𝐴 con 𝑟 ≤ min{𝑚, 𝑛}

DEFINIZIONE: Sia 𝐴 ∈ 𝑀𝑚,𝑛 (𝕂) e 𝑀 un suo minore di ordine p, indicato con di 𝑀 =

�𝑖1 , 𝑖2 , … , 𝑖𝑝 |𝑗1 , 𝑗2 , … , 𝑗𝑝 �. Si dice orlato con la riga 𝐴(𝑖) e la colonna 𝐴(𝑗) il minore 𝑀𝑖𝑗 ottenuto

aggiungendo ad 𝑀 come (𝑝 + 1) −esima riga gli elementi di posto𝑗1 , 𝑗2 , … , 𝑗𝑝 , 𝑗 di 𝐴(𝑖) e come (𝑝 + 1) −esima colonna gli elementi di posto 𝑖1 , 𝑖2 , … , 𝑖𝑝 , 𝑖 di 𝐴(𝑗) . Data la matrice di tipo 𝑚 × 𝑛

𝐴=�

si consideri il minore di ordine 𝑝

𝑎11 ⋮ 𝑎𝑚1

⋯ 𝑎1𝑛 ⋱ ⋮ � ⋯ 𝑎𝑚𝑛

𝑎𝑖1 𝑗1 𝑀 = �𝑖1 , 𝑖2 , … , 𝑖𝑝 |𝑗1 , 𝑗2 , … , 𝑗𝑝 � = � ⋮ 𝑎𝑖𝑝 𝑗1

⋯ 𝑎𝑖1 𝑗𝑝 ⋱ ⋮ � ⋯ 𝑎𝑖𝑝 𝑗𝑝

Per rappresentazione matriciale, l’orlato è rappresentato dal minore di ordine 𝑝 + 1. 𝑎𝑖1 𝑗1 ⋯ 𝑎𝑖1 𝑗𝑝 𝒂𝒊 𝒋 𝟏 ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ 𝑀𝑖𝑗 = � 𝑎𝑖 𝑗 ⋯ 𝑎𝑖𝑝 𝑗𝑝 𝒂𝒊𝒑 𝒋� 𝑝 1 𝒂𝒊𝒋𝟏 … 𝒂𝒊𝒋𝒑 𝒂𝒊𝒋

OSSERVAZIONE: Gli orlati sono necessariamente matrici quadrate.

ESEMPIO: Si consideri la matrice di tipo 4 × 5 1 0 𝐴 = �1 0

2 1 2 1

1 3 1 3 −1 −1 0 1 0� 2 0 1

Si consideri un suo minore di ordine 3, ad esempio 2 3 1 𝑀(134|245) = � 2 1 0� 1 0 1 ovvero, quello ottenuto considerando gli elementi sulle righe 1,3,4 e sulle colonne 2,4,5. I possibili orlati del minore sono 𝑀13

2 3 1 3 2 3 1 1 2 1 0 0 � ; 𝑀34 = � 2 1 0 1� =� 1 0 1 0 1 0 1 2 2 1 0 1 2 3 1 1

ottenuti orlando con la prima riga e la terza colonna e prendendo gli elementi della prima riga che sono sulle colonne 2,4,5, considerate per definire il minore. Analogamente, si scelgono gli elementi della terza colonna che sono sulle righe 1,3,4. L’ultimo elemento dell’orlato, nell’angolo

in basso a sinistra è l’elemento 𝑎13 della matrice di partenza. l secondo minore, secondo la stessa logica, si è provveduto ad orlare con la terza riga e la quarta. Il minore può essere ulteriormente orlato con la seconda riga e la quinta colonna

2 3 2 1 = �1 0 2 1

1 3 0 1 𝑀25 1 0� 0 1 I minori di una matrice e i rispettivi orlati, rivestono un ruolo fondamentale per stabilire il rango di una matrice, vale, infatti, il seguente teorema: TEOREMA DEGLI ORLATI: Sia 𝐴 ∈ 𝑀𝑚,𝑛 (𝕂), allora

𝑟𝑔(𝐴) = 𝑟 ⇔ ∃ un minore di ordine 𝑟 tale che ogni suo orlato è una matrice singolare.

Il teorema degli orlati è di facile applicazione. Di seguito, si descrivono semplici passi, che discendono dal teorema degli orlati, per stabilire il rango della matrice

METODO DEGLI ORLATI PER IL RANGO:

Sia 𝐴 ∈ 𝑀𝑚,𝑛 (𝕂), per stabilire il suo rango, si procede come segue: 1.

si determina un minore 𝑀 con determinante non nulle (minore non singolare)

e si considerano i suoi orlati con colonne e righe differenti da quelli che costituiscono 𝑀 (detti orlati essenziali); 2.

Se tali orlati considerato sono tutti singolari, allora il rango della matrice è

uguale all’ordine del minore scelto; 3.

Se almeno uno degli orlati è non singolare (ha determinante non nullo), si

sceglie questo orlato come nuovo minore e si itera il precedente procedimento, 4.

Si procede finché non si arriva a un minore i cui orlati sono tutte matrici

singolari, oppure che non si può orlare ulteriormente.

DEFINIZIONE: Il minore individuato, non ulteriormente orlabile o on orlati con determinante nullo, si dice minore fondamentale e il suo ordine coincide con il rango della matrice.

OSSERVAZIONE: il minore fondamentale è una matrice quadrata, per questo si può parlare di ordine.

ESEMPIO: Si consideri la matrice di tipo 4 × 3

1 2 0 𝐴=� 2 4 0 −1 0 −2 � 1 0 2 Si può considerare il minore ottenuto considerando la prima e terza riga e le prime due colonne:

𝑀(13|12) = �

1 −1

2 � 0

Il minore è una matrice quadrata di ordine 2 non singolare det 𝑀 = �

orlati con colonne e righe differenti da quelli che lo costituiscono sono 1 2 0 1 𝑀23 = � −1 0 −2 � ; 𝑀43 = �−1 2 4 0 1

1 2 � = 2 ≠ 0. I suoi −1 0

2 0 0 −2 � 0 2

perché posso orlare solo con le righe 2 e 3 e la terza colonna. Per stabilire se gli orlati sono o meno matrici singolari, si calcola il loro determinante 1 2 0 𝑀23 = �−1 0 −2� = 0 perché la prima e la terza riga sono proporzionali 𝑅3 = 2𝑅1 2 4 0

1 2 0 𝑀43 = �−1 0 −2� = 0 la seconda e la terza riga sono proporzionali secondo lo scalare 1 0 2

1, 𝑅2 = −1𝑅3 .

Si è, quindi trovato, un minore fondamentale, perché i suoi orlati sono tutte matrici singolari,

di ordine 2. Il rango della matrice di partenza sarà uguale all’ordine del minore, ovvero 2.

ESEMPIO: Si consideri la matrice di tipo 4 × 5 1 0 𝐵=� −1 1 si parte da un minore di ordine 2

2 −1 3 0 1 1 2 1 0 1 0 1� 3 −2 4 0

1 2 � 𝑀(12|12) = � 0 1

si verifica che il minore sia non singolare

1 2 det 𝑀 = � �=1≠0 0 1 Si possono considerare i suoi orlati 𝑀33 = �

Si calcola il determinante dell’orlato 1 ) det(𝑀33 = � 0 −1

2 1 0

2 −1 1 1 � −1 0 1 1 0

−1 1 � = (1 − 2) − (1) = −1 − 1 = −2 ≠ 0 1

Secondo il metodo degli orlati, si considera come nuovo minore 𝑀33 = M(123|123) e se ne

studiano i relativi orlati. Il minore può essere orlato solo con la quarta riga e la quarta colonna o quarta riga e quinta colonna, allora 𝑀33 e i suoi orlati sono 𝑀44

1 = M(123|123) = � 0 −1

1 2 −1 3 = � 0 1 1 2� ; 𝑀45 = � −1 0 1 0 1 3 −2 4

I due orlati hanno determinante nullo det 𝑀44

= ⏟

𝑠𝑣𝑖𝑙𝑢𝑝𝑝𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑠𝑒𝑐𝑜𝑛𝑑𝑜 𝐼𝐼𝐼 𝑟𝑖𝑔𝑎

det 𝑀45

2 −1 1 1� 0 1

1 0 −1 1

2 −1 0 1 1 1� 0 1 1 3 −2 0

2 −1 3 1 2 3 − 1 ∙ (−1)3+1 � 1 1 2� + 1 ∙ (−1)3+3 �0 1 2� 1 3 4 3 −2 4

= −1 ∙ [(8 − 6 − 6) − (9 − 8 − 4)] + [(4 + 4) − (3 + 6)] = −1 − 1 = 0 2 −1 1 2 −1 0 1 1� 0 1 � + 1 ∙ (−1)3+4 � 3 −2 1 3 −2 = [(3 + 2) − (3 + 4)] − [(−2 + 2) − (−1 + 3)] = −2 + 2 = 0

1 1 ∙ (−1)2+4 �−1 𝐼𝑉 𝑐𝑜𝑙𝑜𝑛𝑛𝑎 1 = ⏟

e 𝑀33 è un minore fondamentale di ordine 3. Quindi, il rango della matrice B, essendo

uguale all’ordine del minore fondamentale, è pari a 3.

2 Matrici invertibili DEFINIZIONE: Sia 𝐴 ∈ 𝑀𝑛 �𝕂 � diremo che 𝐴 è invertibile se ∃𝑀 ∈ 𝑀𝑛 �𝕂 � tale che 𝐴𝑀 = 𝑀𝐴 = 𝐼𝑛

LEMMA: L’inversa di una matrice è unica

Dim: Data la matrice 𝐴 ∈ 𝑀𝑛 �𝕂 �, si supponga, per assurdo, che esistono due inverse

𝑀, 𝑁 ∈ 𝑀𝑛 �𝕂 � allora

𝐴𝑀 = 𝑀𝐴 = 𝐼𝑛 e 𝐴𝑁 = 𝑁𝐴 = 𝐼𝑛

⇒

𝑀 = 𝑀𝐼𝑛 = 𝑀(𝐴𝑁) = (𝑀𝐴)𝑁 = 𝐼𝑛 𝑁 = 𝑁.

OSSERVAZIONE: La matrice identica è invertibile e coincide con la sua inversa. DEFINIZIONE: Sia 𝐴 ∈ 𝑀𝑛 �𝕂 � si indica con 𝑨−𝟏l’inversa della matrice 𝐴.

OSSERVAZIONE: L’inversa di una matrice può essere calcolata solo per una matrice quadrata. LEMMA: ∀𝐴 ∈ 𝑀𝑛 risulta

(𝐴−1)−1 = 𝐴

L’inversa dell’inversa è la matrice stessa.

LEMMA: Siano 𝐴, 𝐵 ∈ 𝑀𝑛 invertibili, allora 𝐴𝐵 è invertibile e (𝐴𝐵)−1 = 𝐵−1 𝐴−1 Dim: Per dimostrare il lemma, basta applicare la definizione

𝐵−1𝐴−1 𝐴𝐵 = 𝐵−1(𝐴−1𝐴)𝐵 = 𝐵−1𝐼𝑛 𝐵 = 𝐵−1 𝐵 = 𝐼𝑛

LEMMA: La trasposta di una matrice invertibile è invertibile e (𝐴𝑇 )−1 = (𝐴−1)𝑇 Dim: Basta applicare la definizione

𝐴𝑇 (𝐴−1)𝑇 = (𝐴−1 𝐴)𝑇 = (𝐼𝑛 )𝑇 = 𝐼𝑛

TEOREMA: Una matrice quadrata di ordine 𝑛 è invertibile ⇔ ha rango 𝑛 ⇔ ha rango massimo ⇔ è non singolare ⇔ ha determinante diverso da zero. ESEMPIO: Si consideri la matrice

−4 −3 𝐴=� � −3 −2

Proviamo che la sua inversa è la matrice

infatti

2 𝐴−1 = � −3

2 −4 −3 �� 𝐴𝐴−1 = � −3 −2 −3

𝐴−1𝐴 = �

2 −3

−3 � 4

−3 −8 + 9 �=� −6 + 6 4

12 − 12� = �1 0 � 9−8 0 1

1 0 −8 + 9 −6 + 6 −3 −4 −3 �=� � �� �=� 12 − 12 9 − 8 0 1 4 −3 −2

DEFINIZIONE: Sia 𝐴 ∈ 𝑀𝑛 �𝕂 � diremo che 𝐴 è una matrice ortogonale se 𝐴𝑇 𝐴 = 𝐼𝑛 ⇔ 𝐴𝑇 = 𝐴−1

2.1

Calcolo dell’inversa

DEFINIZIONE: Si chiama matrice dei cofattori della matrice 𝐴 ∈ 𝑀𝑛 (𝕂) e si denota con

𝑐𝑜𝑓(𝐴) la matrice che ha come elemento di posto 𝑖, 𝑗 il complemento algebrico dell’elemento 𝑎𝑖𝑗 di 𝐴.

OSSERVAZIONE: Si ricorda che (−1)𝑖+𝑗 𝑑𝑒𝑡 �𝐴𝑖𝑗 � è il complemento algebrico e 𝐴𝑖𝑗 è il

minore di ordine (𝑛 − 1), ottenuto eliminando dalla matrice A la i-esima riga e la j-esima colonna.

DEFINIZIONE: Si chiama matrice aggiunta della matrice 𝐴 ∈ 𝑀𝑛 (𝕂) e si indica con 𝐴𝑔𝑔(𝐴)

la trasposta della matrice dei cofattori 𝐴𝑔𝑔(𝐴) = �𝑐𝑜𝑓(𝐴)�

𝑇

ESEMPIO: Si consideri la matrice

1 −2 1 �2 𝐴=�0 1 0 � 1 1 �3 2

Si considerino i minori di ordine 2 della matrice

𝐴21

−2 = �1 �3

1 𝐴11 = �1 �3 1�

0 0 0 10 1 31� = −1; 2� = 2; 𝐴22 = �1 2� = 0; 𝐴13 = � �

2� = − 25; 𝐴 = �1 22 6 2 1

1 = − ; 𝐴32 = �1 2 0

1� 7 3 1 1−2� = 2� = ; 𝐴31 = �−2 �3 ; 𝐴23 = �1 1 2 3 2

1� 2� = 0; 𝐴33 = �1 −2� = 1; 0 1 0

1� 2� 0

ESEMPIO: Si consideri la matrice

1 −2 1 �2 𝐴=�0 1 0 � 1 1 �3 2

per calcolare la matrice dei cofattori si considerano i complementi algebrici de singoli elementi: 1 𝑎11 → (−1)1+1 �1

0 2� =

3

1�

0 0 0 0; 𝑎13 → (−1)1+3 �1 2; 𝑎12 → (−1)1+2 � � = ⏟ 1 2 𝑙𝑎 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑐𝑒 ℎ𝑎

−3 7

𝑎21

1

3

𝑢𝑛𝑎 𝑟𝑖𝑔𝑎 𝑛𝑢𝑙𝑙𝑎

−2 → (−1)2+1 � 1 3

1 2

= −1

1 1 3 25 � = ; 𝑎22 → (−1)2+2 �1 2 � = ; 𝑎23 → (−1)2+3 �1 6 2 2 1 2

1 −2 2 0; 𝑎33 = ⏟ � = − ; 𝑎32 → (−1)3+2 �1 2 � 𝑎31 → (−1)3+1 � 2 0 0 𝑙𝑎 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑐𝑒 ℎ𝑎 1 0 1

1 → (−1)3+3 � 0

−2 �=1 1

Allora la matrice di cofattori è

1

𝑢𝑛𝑎 𝑟𝑖𝑔𝑎 𝑛𝑢𝑙𝑙𝑎

−2 1 �= 3

25 2 ⎛ 𝑐𝑜𝑓(𝐴) = ⎜ 6 1 − ⎝ 2

−1 7⎞ ; − 3⎟ 1 ⎠

3 0 2 0

Facendo la trasposta della matrice dei cofattori, si ottiene la matrice aggiunte ⎛ 𝐴𝑔𝑔(𝐴) = ⎜ 0 ⎜

2

⎝−1

25 6 3 2 7 − 3

−

1 2⎞

0 ⎟ ⎟

1 ⎠

PROPOSIZIONE: Sia 𝐴 ∈ 𝑀𝑛 (𝕂) una matrice non singolare, allora 𝐴−1 =

ESEMPIO: Si consideri la matrice

𝐴𝑔𝑔(𝐴) det(𝐴)

2 𝐴=� 1

0 � −3

è una matrice quadrata di ordine 2. Il suo determinante è

2 0 � = −6 ≠ 0 det 𝐴 = � 1 −3

La matrice è non singolare e, pertanto, invertibile. Se ne calcoli l’inversa. La matrice dei cofattori è molto semplici da calcolare perché i complementi algebrici non prevedono il calcolo del determinante, in quanto, cancellando una riga e una colonna, quello che resta è una matrice quadrata di ordine 1, ovvero un coefficiente:

𝑎11 → (−1)1+1(−3) = −3; 𝑎12 → (−1)1+2 ∙ 1 = −1

𝑎21 → (−1)2+1 ∙ 0 = 0; 𝑎22 → (−1)2+2 ∙ 2 = 0 La matrice dei cofattori è

−3 𝑐𝑜𝑓 (𝐴) = � 0

−1 � 2

La matrice aggiunta, essendo la sua trasposta sarà: −3 𝐴𝑔𝑔(𝐴) = � −1

Secondo il teorema enunciato, la matrice inversa è:

0 � 2

0 12 � 1 1 𝐴𝑔𝑔(𝐴) −1 02 = − −3 0 −3 1 𝐴−1 = �−1 2� = � � −6 − � 6 = 6 det(𝐴) Si può provare che, effettivamente, la matrice individuata è l’inversa della 3 matrice A 𝐴𝐴−1

1 2 0 =� ��2 1 −3 1 6

1 2 𝐴−1𝐴 = � 1 6

2 �� 1 1 − 3 0

1+0 1 1 � = � 1 − 2 2 − 3

1 � = �1 0� = 𝐼2 1 0 −3 ∙ �− � 3

1+0 0 � = �1 1 −3 − 3 3

0 1 0 1 � = 𝐼2 �=� 1 0 − ∙ (−3) 3

0

0

La matrice, moltiplicata a destra e a sinistra p...