Rango de una transformación lineal PDF

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Cálculo del rango y dimensión de la imagen de la transformación lineal a través del método de Gauss-Jordan.
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RANGO DE UNA TRANSFORMACÍON LINEAL

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1 Universidad Nacional Pedro Ruiz Gallo. Escuela Profesional de Ingeniería Electrónica.

Viernes 14 de Diciembre del 2018

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Espacios Vectoriales

LATEX

Rango El rango es una propiedad no solo de las matrices sino extensible a las aplicaciones lineales de las cuales las matrices son una representación fijada la base. Definamos en primer lugar el concepto de rango de una aplicación lineal de forma genérica. Dada aplicación o transformación lineal: Sean V, W espacios vectoriales sobre un campo F y sea T ∈ L(V, W ). f : Ln −→ W m El rango esta definido como la dimensión de la imagen de la transformación, es decir el numero de elementos independiente que posee la imagen. Notación: ρ(f )

=

rang

f

=

dim(Im f )

Una propiedad muy importante del rango así definido y el rango de matrices definido anteriormente, es que ambos coinciden. Es decir, dada una base arbitraria la aplicación lineal se puede representar mediante esa base en forma de matriz resultando el rango de esa matriz idéntico al rango de la aplicación lineal que representa. Para establecer más claramente la relación entre el rango de una aplicación lineal y una matriz que represente dicha aplicación lineal, deben fijarse dos bases vectoriales en cada uno de los dos espacios E = {e1 , . . . , en } y U = {u1 , . . . , um } , podemos expresar la transformación lineal por una matriz AE,U = [aij ] como una en una cierta base:       x1 a11 ... a1n y1 y = f (x) =⇒  ...  =  ... ... ...  =  ...  xn am1 ... amn ym y x

Siendo: = y1 u1 = x1 e 1

+ ... + ym um , la imagen del vector x. + ... + xm em ,la imagen del vector y.

Como se dijo anteriormente, puede demostrarse que el rango de AE,U coincide con la dimensión de la imagen de f.

Nota: En este informe se realizara el cálculo del rango a través del método de Gauss-Jordan y con la dimensión de la imagen de la transformación lineal. 2

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Imagen Llamamos imagen de F al conjunto de vectores de W que son imagen de algún vector de V. Es decir, es la representación de las imágenes de la relación de subconjunto de salida al subconjunto de llegada. Notación: Im (f ) = {wǫW

| w = f (v)

∧

vǫV }

Calculo del Rango 1.

Gauss-Jordan

Este método precisa resolver el sistema matricial formado por los espacios vectoriales sin hallar de por medio la imagen de la transformación lineal, el rango sera igual al número de vectores no nulos de la matriz. Procedimientos: (a.) Indentificar las dimensiones a transformar en la transformación lineal. Rm −→ Rn (b.) Hallar su respectiva imagen con la transformacion lineal de las bases canonicas (vectores unitarios respectivo de los ejes) para espacio vectorial de salida (Rm ) (c.) Generar la Matriz Asociada (A) con las bases canónicas. La Matriz Asociada siempre sera de orden Anxm (d.) Igualar la matriz asociada a cero y reducir a ceros por debajo de la diagonal principal. 3

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Ejemplo: Hallar el rango en la siguiente transformación lineal. R3 −→ R3    x 3x T y  = 4x z 7x

−2y 5y 3y

 5z −3 z  2z

SOLUCIÓN: (a.) Hallando las bases canónicas. T (1, 0, 0) = (3, −2, 5) T (0, 1, 0) = (4, 5, −3) T (0, 0, 1) = (7, 3, 2) (b.) Generando la matriz asociada A3x3 e igualando a cero.   3 −2 5 | 0 4 5 −3 | 0 7 3 2 | 0 (c.) Resolviendo el sistema  3 −2 5 | 4 5 −3 | 7 3 2 |  −1 −7 8 4 5 −3 7 3 2  −1 −7 8  0 −23 29 7 3 2  −1 −7 8  0 −23 29 0 −46 58  −1 −7 8  0 −23 29 0 0 0

 0 0

− f2 + f1

0

 | 0 | 0 | 0  | 0 | 0 | 0  | 0 | 0

− 4f1 + f2

7f1 + f3

−2f 2 + f3

| 0  | 0 | 0 | 0

(d.) Respuesta: Los vectores no nulos son (−1, −7, 8) y (0, −23, 29), por lo tanto, rangT = 2 4

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Dimensión de la Imagen

Se seguran los mismos pasos que Gauss-Jordan añadiendo los siguientes pasos a mencionar. El rango sera igual al número de vectores independiente de la imagen. (a.) Indentificar las dimensiones a transformar en la transformación lineal. Rm −→ Rn (b.) Interpretar de manera matemática la transformación lineal para luego igualar a un vector en Rn de componentes generales. (c.) Hallar su respectiva imagen con la transformación lineal de las bases canónicas (vectores unitarios respectivo de los ejes) para espacio vectorial de salida (Rm ) (d.) Generar la Matriz Asociada (A) con las bases canónicas. La Matriz Asociada siempre sera de orden Anxm (e.) Igualar la matriz asociada a dicho vector de componentes generales, dandoles solución al sistema haciendo ceros por debajo de la diagonal principal. (f.) Despejar la condición para la solucion de la matriz e interpretar la imagen. Ejemplo: Hallar el rango en la siguiente transformación lineal. R3 −→ R3    x 3x T y  = 4x z 7x

−2y 5y 3y

 5z −3 z  2z

SOLUCIÓN: (a.) Interpretar matematicamente Sea ~uǫR3 ∧ ~u = (a, b, c)ǫImT −→∋ (x, y, z)ǫR 3

| T (x, y, z) = (a, b, c)

(b.) Hallando las bases canónicas. T (1, 0, 0) = (3, −2, 5) T (0, 1, 0) = (4, 5, −3) T (0, 0, 1) = (7, 3, 2) (c.) Generando la matriz asociada A3x3 e igualando al vector (a,b,c).   3 −2 5 | a 4 5 −3 | b 7 3 2 | c 5

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(d.) Resolviendo el sistema  3 4 7

−2 5 3

5 −3 2

 | a | b | c

− f2 + f1

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 −1 4 7  −1 0 7  −1 0 0  −1 0 0

−7 5 3

 8 | a−b −3 | b  2 | c

−7 −23 3 −7 −23 −46 −7 −23 0

− 4f1 + f2

 8 | a−b 29 | 4(a − b) + b 2 | c  8 | a−b 29 | 4(a − b) + b 58 | 7(a − b) + c

7f1 + f3

−2f 2 + f3

 8 | a−b 29 | 4(a − b) + b  0 | −(a − b) − 2b + c

(e.) Generando la condicion para la solución del problema −a + b − 2b + c = 0

a = t1 (f.) Respuesta: (a, b, c) = (t1 , = t1 (1, 0, 1)

t2 , +

t1 + t2 ) , t2 (0, 1, 1) ,

    1 0 ImT = t1 0 + t2 1  1 1

,

t1 ∧ t2 t1 ∧ t2

t1 ∧ t2

−→

−a − b + c = 0

donde: b = t2 c = t1

+ t2

ǫ R ǫ R

ǫ R

Por lo tanto, el rangT = 2

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Ejercicios 1. Hallar el rango en la siguiente transformación lineal. R3 −→ R3

   x 2x T y  =  8x −4x z

5y 12y −2y

 z 6z  −4z

SOLUCIÓN: (a.) Interpretar matematicamente Sea ~uǫR3 ∧ ~u = (a, b, c)ǫImT −→∋ (x, y, z)ǫR 3

| T (x, y, z) = (a, b, c)

(b.) Hallando las bases canónicas. T (1, 0, 0) = (2, 5, 1) T (0, 1, 0) = (8, 12, 6) T (0, 0, 1) = (−4, −2, −4) (c.) Generando la matriz asociada A3x3 e igualando al vector (a,b,c).   2 5 1 | a 8 12 6 | b −4 −2 −4 | c (d.) Resolviendo el sistema 2 8 −4 

5 12 −2

1 6 −4

 | a | b | c

− 4f1 + f2

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

 2 5 1 | a  0 −8 2 | −4a + b − 2f1 + f3 −4 −2 −4 | c   2 5 1 | a 0 −8 2 | −4a + b  f2 + f3 0 8 −2 | 2a + c   2 5 1 | a 0 −8 2 | −4a + b  0 0 0 | −2a + b + c 7 Universidad Nacional Pedro Ruiz Gallo. Escuela Profesional de Ingeniería Electrónica.

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(e.) Generando la condicion para la solución del problema −2a + b + c = 0

a = t1 (f.) Respuesta: (a, b, c) = (t1 , = t1 (1, 0, 2)

t2 , +

donde: b = t 2 c = 2t 1

2t1 − t2 ) ,

t1 ∧ t2

ǫ R

t2 (0, 1, −1) ,

t1 ∧ t2

ǫ R

    0 1 ImT = t1 0 + t2  1  −1 2

,

t1 ∧ t2

− t2

ǫ R

Por lo tanto, el rangT = 2 2. Hallar el rango en la siguiente transformación lineal. R3 −→ R2 f (x, y, z) = (x + y, x + y + z) SOLUCIÓN: (a.) Hallando las bases canónicas. f (1, 0, 0) = (1, 1) f (0, 1, 0) = (1, 1) f (0, 0, 1) = (0, 1) (b.) Generando  la matriz asociada A2x3 e igualando a cero. 1 1 0 1 1 1 (c.) Resolviendo el  1 1 0 | 1 1 1 |  1 1 0 | 0 0 1 |

sistema  0 − f1 + f2 0  0 0

(d.) Respuesta: Los vectores no nulos son (1, 1, 0) y (0, 0, 1), por lo tanto, rangT = 2 8

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3. Hallar el rango en la siguiente transformación lineal. R2 −→ R3

f (x, y, z ) = (x, x − y, x + y) SOLUCIÓN: (a.) Hallando las bases canónicas. f (1, 0) = (1, 1, 1) f (0, 1) = (0, −1, 1) (b.) Generando la matriz asociada A3x2 e igualando a cero.   1 0 1 −1 1 1 (c.) Resolviendo  1 0 | 1 −1 | 1 1 |  1 0 | 0 −1 | 1 1 |  1 0 | 0 −1 | 0 1 |  1 0 | 0 −1 | 0 0 |

el sistema  0 0  − f1 + f2 0  0 0  − f1 + f3 0  0 0  f2 + f3 0  0 0 0

(d.) Respuesta: Los vectores no nulos son (1, 0) y (0, −1), por lo tanto, rangT = 2 9

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