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Rango de una matriz

Herramientas Matemáticas I Álgebra

Rango de una matriz Definición El rango de una matriz A de orden mxn está dado por el número máximo de líneas paralelas linealmente independientes que posee la matriz. Se simboliza: 𝑟(𝐴) Dado que en la definición se habla de número de líneas paralelas linealmente independientes, se puede considerar el rango fila (cuando se cuenta el número máximo de filas linealmente independientes) o el rango columna (cuando se cuenta el número máximo de columnas linealmente independientes).

Se puede demostrar que rango fila es igual al rango columna. Ejemplo:

1 −2 𝐴 = [( 0 1 0 0

0 0)] 0

Observando las filas, podemos establecer que la primera y la segunda fila son linealmente independientes, mientras que la tercera es fila nula. Recordemos que: el vector nulo es linealmente dependiente; por lo tanto, el rango fila es 2. No es necesario efectuar el análisis para calcular el rango columna porque, como dijimos: 𝑟𝑎𝑛𝑔𝑜 𝑓𝑖𝑙𝑎 = 𝑟𝑎𝑛𝑔𝑜 𝑐𝑜𝑙𝑢𝑚𝑛𝑎

Rango de matrices equivalentes Calcular el rango de una matriz analizando sus filas o columnas a priori no es tarea sencilla; el siguiente resultado nos brindará una manera fácil de calcular el rango de una matriz.

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Teorema. Matrices equivalentes por filas tienen el mismo rango El método consiste en calcular la matriz escalonada reducida usando las operaciones elementales. Recordemos que: Una matriz A se denomina escalonada reducida por filas cuando:  el primer elemento no nulo de cada fila es 1, generalmente se le llama pivote;  cada fila que no es nula tiene más ceros a la izquierda que la anterior con respecto al pivote;  todos los elementos que están por encima y por debajo del pivote son todos ceros;  si hay filas nulas, estas se ubican como últimas filas. Ejemplo:

1  2  8 0  4 0  A  2 1 3  1  4 0  Realizando las operaciones elementales por fila, debemos llegar a una matriz equivalente B. Si realizamos en la fila 2 la operación elemental f2 = f1.(-2) + f2 y en la fila 3 f3 = f1.(-2) + f3, obtenemos:

1  2  8 0 B  0 5 20 0 0 5 20 0 La fila 2 es igual a la fila 3, esto es, son proporcionales. Si realizamos en la fila 3 la operación elemental f3=f2.(-1)+f3, obtenemos:

1  2  8 0 B  0 5 20 0 0 0 0 0 1

A la fila 2 la multiplicamos por : 5

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1  2  8 0 4 0 B  0 1  0 0 0 0 Si realizamos en la fila 1 la operación elemental f1 = f2.(2) + f1: obtenemos:

1 0 0 0 B  0 1 4 0 0 0 0 0 La matriz resultado es escalonada reducida por fila y es sencillo calcular el rango, que, en suma, son las dos filas no nulas; por lo tanto, el rango es 2.

Consecuencia del teorema El rango de una matriz escalonada reducida por fila es la cantidad de filas no nulas de dicha matriz.

Propiedades del rango de una matriz 1) El rango de una matriz A de orden mxn no excede al número de filas o columnas que esta posee. En símbolos: 𝑟(𝐴) ≤ 𝑚𝑖𝑛𝑖𝑚𝑜(𝑚, 𝑛) Ejemplo:

4 𝐴 = [2 0

−1 3] 1

𝑟(𝐴) ≤ 2

2) El rango de la matriz identidad es igual al orden de la matriz. En símbolos:

Ejemplo:

𝑟(𝐼𝑛 ) = 𝑛 1 0 0 𝐼 = [ 0 1 0] 0 0 1

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𝑟(𝐼) = 3 3) El rango de la matriz nula es igual a cero. En símbolos: 𝑟(∅) = 0 4) El rango de una matriz regular (las matrices que tienen inversas son matrices regulares) es igual al orden de la matriz. En este caso, se dice que tiene rango máximo.

Acá podemos concluir que las matrices regulares tienen determinante distinto de cero. Recordemos que el determinante |𝐴| = 0 si -y solo sisus líneas paralelas (filas o columnas) constituyen un conjunto de vectores L.D. 5) El rango de una matriz es igual al rango de su transpuesta: 𝑟(𝐴) = 𝑟(𝐴𝑇 ) 6) El rango del producto entre un escalar y una matriz es igual al rango de dicha matriz. En símbolos: 𝑟(𝑘𝐴) = 𝑟(𝐴) 7) El rango de un producto de matrices es menor o igual al menor de los rango de las matrices factores. En símbolos: 𝑟(𝐴𝑥𝐵) ≤ 𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑜[𝑟(𝐴), 𝑟(𝐵)]

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Referencias Stanley, I., y Grossman, S. (2007). Espacios vectoriales. En Stanley, I. Grossman, S. Álgebra lineal (pp.343-365). México: McGraw Hill Interamericana. Checa, J. C. (2009). Matriz Inversa. En Checa, J.C Algebra lineal para economía y administración (pp.188-199). Córdoba: Ediciones Eudecor.

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