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Matriz asociada a una transformación lineal

Hasta ahora, vimos que hay dos formas de definir una transformación lineal: a través de su expresión analítica (lo que conocemos como su “fórmula”) y a través de la definición de los resultados asignados a los elementos de una base del dominio de la transformación lineal (de acuerdo a lo enunciado en el Teorema Fundamental de las Transformaciones Lineales). Hay otra manera de presentar la información contenida en una transformación lineal: a través de una matriz, que llamaremos matriz de la transformación lineal. Así, tenemos una tercer forma de definir una transformación lineal: a través de su matriz.

Primer caso: Matriz standard de una transformación lineal

Definición “simple” de la matriz standard: (válida para dom(T) = Rn y codom(T) = Rm) La idea de cómo dar una transformación lineal a través de una matriz la podemos empezar a ver con un ejemplo bien sencillo: Consideremos la transformación lineal T: R3  R2 dada por T(x,y,z) = (2x+y, x-y+3z) Notemos que los elementos de la imagen de T son vectores de R3 que se calculan con la expresión analítica, a partir de los elementos (x,y,z) del dominio de T. Y aquí viene algo interesante: si observamos bien, las fórmulas que permiten calcular los elementos de imagen de T se pueden obtener haciendo un producto de matrices: 2 1 0 . 1 −1 3

x y= z

2x + y x − y + 3z

Entonces, la transformación lineal puede expresarse a través de una matriz que permite calcular los 2 1 0 . Esta matriz se resultados de la transformación lineal: en este ejemplo, la matriz sería 1 −1 3 denomina matriz standard de T, y la notamos M(T), es decir: MT =

2

1 1

0 −1 3

Notemos que el tamaño de esta matriz no es cualquiera: está relacionado con la cantidad de componentes que tienen los elementos del dominio y los elementos del codominio. Si los elementos

del dominio son vectores de R3 y los elementos del codominio son vectores de R2, entonces el tamaño de la matriz es 2x3. Más generalmente, se cumple lo siguiente:

Propiedad 1: si T es una transformación lineal, T: VW, dim(V) = n y dim(W) = p, entonces M(T) tiene tamaño pxn (es decir, tiene p filas y n columnas).

Toda la información de la transformación lineal está contenida en esta matriz, ya que se puede calcular el resultado asignado para cualquier elemento del dominio de T a través de ella. Por ejemplo: T1,2, −2 =

2

1 1

0 . −1 3

1

2 = −2

2.1 + 2 4 = 1 − 2 + 3. (−2) −7

Notemos que, para calcular resultados de una transformación lineal utilizando su matriz, multiplicamos la matriz por el vector del dominio escrito como una columna, y el resultado asignado será el resultado del producto matricial, pero ese resultado también quedará escrito como una columna, a pesar de que el resultado es un vector de R2, y no de R2x1. Por lo tanto, después debemos escribir el resultado como corresponde. Es decir, la cuenta que hemos visto arriba se reescribe como T(1,2,-2) = (4,-7). Notemos también que conocer la matriz de una transformación lineal es equivalente a tener definida la transformación sobre una base del dominio, ya que, como podemos ver en nuestro ejemplo: T1,0,0 =

T0,1,0 =

2 1

2

T0,0,1 =

1

1 1 2

0 . −1 3 1

1

0 . −1 3

1 0= 0

0

0 . −1 3

1= 0 0 0= 1

2 2.1 + 0 = ⟹ T1,0,0 = (2,1) 1 − 0 + 3.0 1

1 2.0 + 1 = ⟹ T0,1,0 = (1, −1) 0 − 1 + 3.0 −1 0 2.0 + 0 = ⟹ T0,0,1 = (0,3) 0 − 0 + 3.1 3

Entonces, las columnas de la matriz de la transformación lineal son los resultados asignados para los vectores que forman la base canónica del dominio de T. De aquí, y utilizando el hecho de que los transformados de los vectores que forman una base del dominio generan la imagen de una transformación lineal, podemos deducir los siguientes resultados útiles, que sirven para resolver muchos ejercicios: Propiedad 2 (sólo válida en Rn): las columnas de la matriz standard de una transformación lineal son los vectores generadores de la imagen de la transformación lineal (cuidado: las filas no son los generadores de la imagen)

Propiedad 3: la dimensión de la imagen es la cantidad de columnas LI de la matriz standard, es decir, dim(Im(T)) = rango de la matriz standard (recordando que el rango de una matriz es la cantidad de columnas LI ó de filas LI, para ver la dimensión de la imagen es lo mismo ver cuántas columnas LI tiene la matriz standard ó cuántas filas LI tiene la matriz standard)

Cómo realizar algunos cálculos usando la matriz standard Ya vimos que para calcular el resultado asignado a un vector, simplemente debemos multiplicar la matriz standard por el vector del dominio puesto en columna, y efectuar el producto matricial. Esto también puede utilizarse para hallar los vectores del dominio que corresponden a un cierto resultado asignado. Veámoslo en un ejercicio simple: Ejercicio 1: sea T:R2R3 definida por T(x,y) = (x+y,y,3y-x). Calcular, utilizando la matriz standard de T: a) T(1,-1) b) los vectores (x,y) del dominio que cumplen T(x,y) = (2,2,6) Las columnas de la matriz standard de T son T(1,0) = (1,0,0) y T(0,1) = (1,1,3), o sea 1

1 0 1 0 3

MT = a) T1, −1 =

1

1 0 1 0 1. = −1 −1 −3 0 3

2 1 x = 0 1. y 2. Esto equivale a b) Ahora buscamos los (x,y) que cumplen: Tx, y = 6 0 3 resolver el sistema de ecuaciones cuya forma matricial es: 1

1

1 0 0

| 2 1 | 2 3 | 6

Para triangularlo, hacemos Fila3Fila3 – 3.(Fila1) y obtenemos: 1

1 0 0

es decir, y = 2, x+y = 1  (x,y) = (-1,2)

1 0

| 2 | 2 | 0

Cálculo del núcleo de la transformación lineal a partir de la matriz standard Recordemos que Nú(T) = {v  Dom(T) tales que T(v) = 0W}. Luego, para calcular el núcleo de una transformación lineal a partir de su matriz standard, debemos realizar un cálculo parecido a la parte (b) del ejercicio 1. La dimensión del núcleo, como siempre, puede obtenerse usando el teorema de las dimensiones, si hemos calculado previamente la dimensión de la imagen, que como ya dijimos, es el rango de la matriz standard. Veamos un ejemplo: Ejercicio 2: calcular el núcleo de la transformación lineal T:R3R3 dada por 1 MT =

0 3 −1 1 −1 1 1 5

Buscamos los vectores de R3 que cumplen T(x,y,z) = (0,0,0), es decir, los vectores (x,y,z) que verifican x 0 1 0 3 −1 1 −1 . y = 0 z 0 1 1 5 por lo tanto, debemos resolver un sistema de ecuaciones lineales homogéneo, cuya matriz ampliada es: 1 0 3 | 0 −1 1 −1 | 0 1 1 5 | 0 Para resolverlo, aplicamos pasos de triangulación: primero hacemos Fila2Fila2 + Fila1, Fila3Fila3 – Fila1 después, Fila3Fila3 – Fila2 1 0 3 | 0 1 0 3 | 0 1 0 3 | 0 0 1 2 | 0 → 0 1 2 | 0 −1 1 −1 | 0 → 1 1 5 | 0 0 1 2 | 0 0 0 0 | 0 Nos quedan dos ecuaciones para obtener los elementos del núcleo. El despeje de la segunda es y = -2z. De la primera despejamos x = -3z, y como z no ha sido despejado de ningún lado, z  R. Entonces los elementos del núcleo son de la forma (x,y,z) = (-3z,-2z,z) = z.(-3,-2,1), z  R. Por lo tanto nos quedó: Nú(T) = gen{ (-3,-2,1) }

Observación importante Todo lo visto hasta aquí no es válido cuando el dominio o el codominio (o ambos) están formados por elementos que no son vectores, por ejemplo, cuando los espacios vectoriales son los espacios de matrices (Rnxm) o de polinomios (Pn). Esto sucede porque en algunas cosas que hemos remarcado, el tipo de objeto que obtenemos no concuerda con los espacios vectoriales en cuestión. Por ejemplo, si el

codominio de una transformación lineal es Pn, las columnas de la matriz standard no pueden ser los generadores de la imagen, ya que las columnas de una matriz son vectores columna, pero la imagen es un subconjunto del codominio, por lo tanto todos los elementos de la imagen, y en particular sus generadores, deben ser polinomios, no vectores. Por supuesto que las columnas de la matriz standard correspondiente estarán relacionadas con los generadores de la imagen, pero no son exactamente los generadores de la imagen. Algo parecido sucede si el dominio fuera Pn: para calcular el resultado asignado a un elemento del dominio, deberíamos multiplicar la matriz standard por el elemento del dominio puesto en columna, pero...¿qué es poner un polinomio como columna? ¿se puede multiplicar una matriz por un polinomio? ¿se puede armar una columna poniendo pedazos de un polinomio en sus componentes? La respuesta es que, en nuestra materia, no se puede. Por ello, para armar la matriz standard cuando dominio y/o codominio están formados por elementos que no son vectores de Rn, necesitamos otro método más general, que es lo que veremos a continuación.

Definición general de la matriz standard: (válida siempre) Supongamos que tenemos ahora una transformación lineal T: VW, con V y W espacios vectoriales de cualquier clase (pueden ser Rn, Rnxm o Pn). Si bien los elementos de un espacio vectorial no siempre son vectores, podemos representarlos como vectores columnas, utilizando la noción de coordenadas respecto de una base del espacio vectorial al cual pertenecen. En particular, siempre lo más sencillo es trabajar con base canónica.

Recordemos primero las bases canónicas de los espacios vectoriales usuales: Base canónica de Rn = { (1,0,0,0....0) , (0,1,0,0....0) , (0,0,1,0.....0) , ..... (0,0,0,0......0,1) } Base canónica de Rnxm : para entender mejor, mostramos la base canónica de R2x3

𝟏 𝟎 𝟎 𝟎 𝟏 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟏 , , , , , 𝟎 𝟎 𝟏 𝟏 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟏 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎

Base canónica de Pn = { xn , xn-1 , ......., x2 , x , 1 } (en algunos lados aparece ordenada de menor a mayor potencia. Nosotros siempre aclararemos el orden antes de resolver los ejercicios así no hay dudas)

Recordemos ahora cómo se calculaban las coordenadas de un elemento respecto de una base. Definición: coordenadas de un vector w respecto de una base B Si B = {v1 , v2 , ...... , vn} es una base de un espacio vectorial V, y w es un elemento del espacio vectorial V, entonces siempre puede escribirse como combinación lineal de los elementos de la base B:

w = .v1 + .v2 + .v3 +......+ .vn Si conocemos quién es w, podemos despejar los coeficientes , , , ....,  resolviendo un sistema de ecuaciones lineales, el cual tendrá solución única (es decir, encontraremos un solo valor para cada uno de los coeficientes que estamos despejando. esto es así pues los vectores v1,....vn son LI). Los coeficientes , , , ....,  se llaman coordenadas de w respecto de la base B, y se los escribe en orden, formando una columna. Esta columna es otra forma de representar al elemento w, que es muy ventajosa, porque el elemento w puede ser un vector de Rn, un polinomio de Pn o una matriz de Rnxm, pero las coordenadas siempre forman una columna, y esto hace que cualquier elemento pueda representarse a través de una columna. Notación: “coordenadas de w respecto de la base B” lo notamos como [w]B .

Ejemplos: 1) Calcular las coordenadas del vector (1,-2,7) respecto de la base B={(1,1,1),(1,1,0),(1,0,0)} Escribimos nuestro vector como combinación lineal de los vectores de la base B: (1,-2,7) = .(1,1,1) + .(1,1,0) + .(1,0,0) Igualamos componente a componente: 1 =  +  +  -2 =  +  7 =  Despejamos los coeficientes, que serán las coordenadas:  = 7  = -9  = 3 𝟕 Conclusión: (𝟏, −𝟐, 𝟕)𝑩 = −𝟗 𝟑

2) Calcular las coordenadas del polinomio 2x2 + 3x -1 respecto de la base B = { x2-1 , x+1 , -4 } Escribimos nuestro polinomio como combinación lineal de los polinomios de la base B: 2x2 + 3x -1 = .( x2-1) + .( x+1) + .(-4) Igualamos los términos que corresponden a la misma potencia de x: 2= 3 =  -1 = - +  -4 Despejamos los coeficientes, que serán las coordenadas:  = 2  = 3  = 1/2 𝟐 𝟑 (esto significa que el polinomio 2x2 + 3x -1 puede Conclusión: 𝟐𝐱𝟐 + 𝟑𝐱 − 𝟏𝑩 = 𝟏/𝟐 2 representarse por la columna 3 ) 1/2

3) Sea B = { (1,0,-2) , (1,4,3) , (1,0,0) } una base de R3. Sabiendo que las coordenadas del vector v 𝟏 −𝟏 , hallar quién es el vector v. respecto de la base B son 𝐯𝐁 = Este problema es el inverso de los 𝟓 dos ejemplos anteriores: aquí conocemos las coordenadas, y queremos reconstruir el vector v a partir de ellas. Como conocemos las coordenadas, conocemos los coeficientes ,  y  de la definición de coordenadas:  = 1,  = -1 y  = 5. Entonces: v = 1.(1,0,-2) + (-1).(1,4,3) + 5.(1,0,0) Conclusión: v = (5,-4,-5) 4) Calcular las coordenadas del polinomio 2x2 + 3x -1 respecto de la base canónica E = {x2 , x , 1} Este es el caso más simple: escribimos el polinomio como combinación de los polinomios que forman la base E: 2x2 + 3x -1 = .x2 + .x + .1 y ni siquiera hace falta despejar: por simple comparación, obtenemos 𝟐 𝟐𝐱𝟐 + 𝟑𝐱 − 𝟏𝐄 = 𝟑 −𝟏 Observación importante: de los ejemplos 2 y 4 podemos deducir que si cambiamos de base, cambian las coordenadas. Por lo tanto, siempre tiene que estar bien aclarada qué base estamos usando en el cálculo de coordenadas. También es importante el orden de los vectores que forman una base: si cambiamos su orden, cambia el orden de los números que forman la columna de coordenadas, y entonces la columna es otra. Si cambiamos el orden de los vectores que componen una base, estamos cambiando la base, entonces no se debe cambiar el orden de una base que ya nos dieron como dato en un problema.

Cómo construir la matriz standard de una transformación lineal La idea es la siguiente: vimos que si estamos trabajando con una transformación lineal cuyo dominio y codominio están formados por vectores, las columnas de la matriz standard son los resultados asignados a los vectores de la base canónica del dominio. Ahora vamos a hacer lo mismo con elementos que no son vectores, pero como los resultados no los podemos poner en columna (¡podrían no ser vectores!), calcularemos sus coordenadas en la base canónica de la imagen, y esas coordenadas sí se pueden poner en columna, de hecho, serán columnas. Esas columnas formarán las columnas de la matriz standard. Para entender cómo se construye, veamos unos ejemplos, pero en este caso, con espacios de polinomios y de matrices

Ejemplos: 1) Sea T: P2  P1 dada por T(ax2 + bx + c) = (a+b).x + (a-c). Construir M(T). Al igual que en el caso de vectores, empezamos calculando los resultados asignados a los vectores de la base canónica del dominio, es decir, de la base E = {x2 , x , 1}: T(x2) = x + 1 (pues para x2, a vale uno, b vale cero y c vale cero) T(x) = x (pues para x, a vale cero, b vale uno y c vale cero) T(1) = -1 (pues para 1, a vale cero, b vale cero y c vale uno) Estos tres resultados son polinomios, entonces...¡no se pueden poner como columnas adentro de una matriz! Para solucionar esto, les calculamos sus coordenadas en base canónica, pero como son resultados, están en la imagen, es decir, para calcular las coordenadas de los resultados hay que usar la base canónica del codominio Base canónica del codominio = Base canónica de P1 = E´= {x , 1} Primer resultado: x + 1 = .x + .1  por simple comparación: = 1,  = 1 𝐱 + 𝟏𝐄´ =

Segundo resultado: x = .x + .1  por simple comparación:  = 1,  = 0 𝐱𝐄´ = Primer resultado: 1 = .x + .1  por simple comparación:  = 0,  = 1 𝟏𝐄´ =

𝟎

𝟏

𝟏

𝟎

𝟏

𝟏

Ahora sí, tenemos los tres resultados asignados representados como tres columnas, y esas columnas se pueden poner en una matriz. Esta será la matriz standard de la transformación lineal T: 𝟏 𝟏 𝟎 𝐌𝐓 = 𝟏 𝟎 𝟏 2) Sea T: R3R2x2 tal que Tx, y, z =

x x+y x − 2y y + z. Calcular M(T).

En este caso, la base canónica del dominio es E = {(1,0,0) , (0,1,0) , (0,0,1)} y la base canónica 0 0 1 0 0 1 0 0 , , , del codominio es E´ = 0 0 0 0 1 0 0 1 Empezamos calculando los resultados asignados a los tres vectores de la base E. Luego, a los resultados obtenidos les calculamos sus coordenadas respecto de la base E´: T1,0,0 =

T0,1,0 =

1

0

1 0 0 0 0 0 1 1 0 ⟹ α = 1, β = 1, γ = 1, δ = 0 +δ +γ +β =α 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0

1 0 0 0 0 0 1 1 0 ⟹ α = 0, β = 1, γ = −2, δ = 1 +δ +γ +β =α 0 1 1 0 0 0 0 0 −2 1

T0,0,1 =

0

0 0

1

=α

1

0 0 0 0 0 1 0 ⟹ α = 0, β = 0, γ = 0, δ = 1 +δ 1 +γ +β 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 = T(1,0,0)E´ = 1 1 0E´ T(0,1,0)E´ =

0

T(0,0,1)E´ =

0

1 −2 0 0

1E´

1E´

0 0 = 1 −2 1 0 0 = 0 1

Entonces, hemos obtenido las tres columnas de la matriz standard de la transformación T: 𝟏 𝟎 𝟏 𝐌𝐓 = 𝟏 𝟎

𝟎 𝟏 𝟎 −𝟐 𝟎 𝟏 𝟏

De todos estos ejemplos, podemos deducir propiedades que pueden ser útiles en la resolución de algunos ejercicios Propiedad 4: en el caso más general, las columnas de la matriz standard de una transformación lineal son las coordenadas de los resultados asignados a los vectores de la base canónica del dominio, respecto de la base canónica del codominio, es decir, son las coordenadas de los generadores de la imagen, respecto de la base canónica. Propiedad 5: sigue siendo válido que dim(Im(T)) = rango de M(T).

Cómo realizar algunos cálculos usando la matriz standard Para calcular el resultado asignado a un elemento del dominio, ya no podemos multiplicar la matriz por el elemento en cuestión, pues ese elemento podría ser un polinomio o una matriz. Entonces, lo que hacemos es trabajar con las coordenadas del elemento del dominio respecto de la base canónica del dominio, y como esas coordenadas formarán una columna, ahí sí podremos multiplicar la matriz por dicha columna de coordenadas. Por otro lado, el resultado de multiplicar una matriz por una columna da como resultado otra columna. Si la transformación lineal tiene como codominio un espacio formado, por ejemplo, por polinomios, el resultado de multiplicar la matriz por la columna de coordenadas no puede ser un resultado asignado, ya que, en tal caso, ¡el resultado asignado debería ser un polinomio, no una columna formada por números! ¿Qué es lo que está sucediendo? Lo que obtenemos es la representación del resultado de la

cuenta, pero en forma de columna, es decir, es una columna formada por las coordenadas del resultado respecto de la base canónica.

Resumiendo lo dicho hasta acá, podemos dar dos definiciones más precisas de matriz standard, que son equivalentes. La definición 1 es útil para construir la matriz, y la 2 nos dice cómo “trabaja” la matriz, por lo que será útil para hacer cálculos con ella (en algunos libros la definición 2 figura como una propiedad, en otros, la definición 1 figura como una propiedad)

Definición 1: si T: VW es una transformación lineal, E es la base canónica de V y E´ es la base canónica de W, la matriz standard de la transformación lineal T es la matriz cuyas columnas son las coordenadas de los transformados de los vectores de la base E, respecto de la base E´, es decir: M(T) = ( [ T(v1) ]E´ [ T(v2) ]E´ [ T(v3) ]E´

.......

[ T(vn) ]E´ )

Definición 2: si T: VW es una transformación lineal, E es la base canónica de V y E´ es la base canónica de W, v es un elemento del dominio y T(v) su resultado asignado en la imagen de T, la matriz standard de la transformación lineal T es la matriz que funciona de la siguiente manera: M(T) . [ v ]E = [ T(v) ]E´

Ejemplos:

−1 2 0 . Calcular T(2x+4) 3 1 Es imposible multiplicar la matriz por el polinomio 2x+4 para calcular el resultado asignado. Entonces trabajamos con sus coordenadas. Calculamos las coordenadas del polinomio 2x+4 respecto de la base canónica E de P1, que salen a simple vista: 2 2x + 4E = 4 Ahora sí se puede multiplicar la matriz por esta columna: 1.2 − 1.4 −2 1 −1 2 = = 2 0 2.2 + 0.4 4 . MT. 2x + 4E = 4 3.2 + 1.4 1...