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Inversa de una matriz

Herramientas Matemáticas I Álgebra

Inversa de una matriz No todas las matrices cuadradas poseen inversa. A las matrices que tienen inversas las llamaremos matrices regulares.

Definición Sea A una matriz cuadrada. Si existe otra matriz cuadrada B del mismo orden que la matriz A tal que cumple: 𝐴𝑥𝐵 = 𝐵𝑥𝐴 = 𝐼

Entonces, B es la matriz inversa de A y se simboliza 𝐵 = 𝐴−1 .

Recíprocamente, decimos que la matriz A es la inversa de B y se puede escribir 𝐴 = 𝐵−1. Así, por ejemplo, dada la matriz: 𝐴=[

1 1 ] −1 1

Su matriz inversa es 𝐴

−1

=

1 2 [1 2

−

1

1

2

2

].

Propiedades de las matrices inversas 1) El producto de dos matrices inversas es conmutativo por la misma definición de matriz inversa: 𝐴𝑥𝐴−1 = 𝐴−1𝑥𝐴 = 𝐼

2) La matriz inversa de una matriz regular A es única. 3) La inversa de un producto de matrices inversibles es igual al producto de las inversas en orden invertido. En símbolos: (𝐴𝑥𝐵)−1 = 𝐵 −1 𝑥𝐴−1

4) La inversa de la matriz inversa es igual a la matriz original. En símbolos:

((𝐴)−1 )−1 = 𝐴 5) La inversa del producto entre un escalar distinto de cero y una matriz es igual al producto entre la recíproca del escalar y la inversa de dicha matriz. En símbolos:

2

1 −1 (𝑘 . 𝐴)−1 =𝑘 . 𝐴 ,

𝑘≠0

6) La inversa de la transpuesta de una matriz es igual a la transpuesta de la inversa de dicha matriz. En símbolos: (𝐴𝑇 )−1 = (𝐴−1)𝑇

7) Si la matriz A es regular, entonces: a) 𝐵𝑥𝐴 = 0 → 𝐵 = 0 b) 𝐵𝑥𝐴 = 𝐶𝑥𝐴 → 𝐵 = 𝐶

8) El determinante de la matriz inversa es igual al recíproco del determinante de la matriz original. En símbolos: |𝐴−1| =

1 |𝐴|

9) La inversa de una matriz diagonal regular es otra matriz diagonal que tiene en la diagonal principal a los recíprocos de los elementos de la diagonal principal de la matriz original. En símbolos: 𝛼1 𝐴=⌈ 0 0

0 𝛼2 0

0 0 ⌉ → 𝐴−1 = 𝛼3

1 𝛼3

[

0

0

0

0

0

1 𝛼 3]

1 𝛼2

0

10) La inversa de una suma de matrices cuadradas no es igual a la suma de las inversas de dichas matrices. En símbolos: (𝐴 + 𝐵)−1 ≠ 𝐴−1 + 𝐵−1

Método de Jordan para obtener la inversa de una matriz El método de Jordan se basa en aplicar en forma reiterada las propiedades de las matrices elementales. Se parte de una matriz A que se amplía con la matriz identidad del mismo orden y se realizan las operaciones elementales sobre toda esa matriz ampliada hasta obtener como equivalente a la matriz A a la identidad.

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Esquemáticamente: Figura 1: Método de Jordan para calcular la inversa de una matriz

Fuente: elaboración propia.

Ejemplo Calcula la inversa de la siguiente matriz:

2 2 2 𝐴 = [ 1 −1 0 ] 3 1 4

Primero ampliamos la matriz A con la matriz identidad: 2 2 21 0 0 𝐴 ⋮ 𝐵 = ((1 −1 0 | 0 1 0)) 3 1 4 0 0 1

Si se desea transformar a la matriz A en la identidad el primer paso es que el elemento que se encuentra en la fila 1 columna 1, es decir, el elemento 𝑎11 = 2 se transforme en 1.

Para lograr un 1, podemos intercambiar f1 con f2 (también podríamos haber 1 multiplicado por ) 2 1 −1 0 0 1 0 𝑓1 → 𝑓2 (2 2 2| 1 0 0) 𝑓2 𝑓3 3 1 4 0 0 1

A este primer elemento igual a 1 se lo suele denominar elemento pivote. Por debajo del pivote, para llegar a la identidad, debe haber ceros. Para lograr que el 2 se transforme en cero, podemos multiplicar a la fila del pivote por (-2) y sumarla a la fila 2. De la misma manera, para lograr que el 3 se transforme en cero, podemos multiplicar a la fila del pivote por (-3) y sumarla a la fila 3:

4

01 −1 4 20 1 −2 0 𝑓2 = 𝑓1 . (−2) + 𝑓2 0 1 0 𝑓 =𝑓𝑖𝑙𝑎 ( (−3) + 𝑓3 𝑓1 .𝑝𝑖𝑣𝑜𝑡𝑒 3 | ) 0 4de 4la 0identidad −3 1 ya está armada. Para calcular la La primera columna segunda columna el elemento 𝑎22 = 4 tiene que transformarse en 1. Para transformar la matriz A en la identidad, no existe un solo procedimiento o camino; por el contrario, se trata de decisiones personales de cuáles de las operaciones elementales se debe usar para llegar al objetivo. 1

Para ello, multiplicamos a la fila 2 por 4:

𝑓1 1 −1 0 0 1 0 1 1 ) 1| 1 (0 1 0 ) − 𝑓 . ( 2 2 24 4 0 4 4 0 −3 1 𝑓3

El elemento 𝑎22 = 1 será ahora el nuevo pivote. Por encima y por debajo del pivote tiene que haber ceros. Para lograr que el -1 se transforme en cero, podemos multiplicar a la fila del pivote por (1) y sumarla a la fila 1. De la misma manera, para lograr que el 4 se transforme en cero, podemos multiplicar a la fila del pivote por (-3) y sumarla a la fila 3: 1 1 1 𝑓1 = 𝑓2 . 1 + 𝑓2 2 4 2 0 𝑓𝑖𝑙𝑎 𝑝𝑖𝑣𝑜𝑡𝑒 1 1| 1 0 1 2 4 − 2 0 𝑓3 = 𝑓2 . (−4) + 𝑓2 (0 0 2 −1 −1 1 ) 1 0

La segunda columna de la identidad ya está armada. Para calcular la tercera columna, el elemento 𝑎33 = 2 tiene que transformarse en 1. 1

2

Para ello, multiplicamos a la fila 3 por :

1 1 1 4 2 1 0 2 1 1 1 4 −2 | 0 1 2 1 1 (0 0 1 − 2 − 2

0

0

𝑓1 𝑓2

1 1 𝑓3 . (2) 2) 5

El elemento 𝑎33 = 1 será ahora el nuevo pivote. Por encima del pivote tiene que haber ceros. Para lograr que el

1

2

1

de la fila 1 se transforme en cero, podemos multiplicar

a la fila del pivote por (- ) y sumarla a la fila 1. 2 1

De la misma manera, para lograr que el de la fila 2 se transforme en cero, 2 1

podemos multiplicar a la fila del pivote por (- ) y sumarla a la fila 2. 2 1 3 1 1 − 𝑓1 = 𝑓3 . (− ) + 𝑓1 2 4 4 1 0 0 2 1 1 1 1 0 1 0 − − 4 4 𝑓2 = 𝑓3 . (− ) + 𝑓2 | 2 0 0 1 2 1 1 1 − 2 −2 ( 2 ) 𝑓3 = 𝑓𝑖𝑙𝑎 𝑝𝑖𝑣𝑜𝑡𝑒

Como hemos transformado la identidad, la matriz de la derecha es A-1:

𝐴−1

(𝐼|𝐴−1) 1 3 1 − 4 2 4 1 1 1 = − − 4 2 4 1 1 1 (− 2 − 2 2 )

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Referencias Stanley, I., y Grossman, S. (2007). Sistemas de ecuaciones lineales y matrices. En Stanley, I. Grossman, S. Álgebra lineal (pp.113-115). México: McGraw Hill Interamericana. Checa, J. C. (2009). Matriz Inversa. En Checa, J.C Algebra lineal para economía y administración (pp.171-183). Córdoba: Ediciones Eudecor.

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