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Conferencia 5: Determinante e inversa de una matriz. Sumario:  Definición de determinante de una matriz. Propiedades.  Cálculo del determinante de una matriz por el método de desarrollo por menores.  Definición de matriz inversa. Propiedades.  Cálculo de la inversa de una matriz aplicando determinantes. Bibliografía: Texto básico, Álgebra Lineal Colectivo de autores: María Virginia Varela y coautores Pág. 36- 60 y pág. 134- 142. Complementaria Lipschutz S, “Álgebra Lineal”, Editorial McGraw-Hill Book, México, 1988, 334 páginas. Noriega T. y De Arazoza H. “Álgebra” (Tomo I), Editorial Pueblo y Educación, 1986. Materiales digitalizados en la red del centro. Guías de Estudio de UniversiMat versión 1.5 Objetivos:  Definir el determinante de una matriz cuadrada y conocer sus propiedades.  Definir el concepto de menor y de complemento algebraico del elemento de una matriz cuadrada.  Calcular el determinante de una matriz por el método de desarrollo por menores.  Interpretar el concepto de matriz inversa.  Calcular la inversa de una matriz.  Transformar y simplificar expresiones y ecuaciones matriciales utilizando los conceptos y resultados del álgebra matricial. Introducción: Por la importancia que representan las operaciones definidas entre matrices, en particular el producto de matrices, recordemos que no siempre es posible realizar las operaciones. Es posible siempre multiplicar una matriz por un número real pero no siempre podemos sumar(o restar) dos matrices, es necesario que sean del mismo tamaño. Con el producto de dos matrices sucede que, por ejemplo, si queremos multiplicar dos matrices cualesquiera A y B, o sea AB, es necesario que la matriz A tenga tantas columnas como B de filas, o lo mismo seria decir que: la cantidad de columnas de A tiene que tener igual a la cantidad de filas de B. Destacar que el producto de matrices no es conmutativo, no se cumple que AB=BA, de hecho algunas veces uno de los productos no puede realizarse. Por otra parte en la clase vamos a ver que algunos tipos de matrices que ya vimos cobran ahora importancia al calcularles el determinante, fundamentalmente las matrices diagonales y triangulares. Determinantes Un determinante es un número que se asocia a las matrices cuadradas de un cierto modo. Aunque los determinantes han tenido muchas aplicaciones en distintos campos de la ciencia, nuestro enfoque irá dirigido a conocer si una matriz es inversible. A cada matriz cuadrada se le asociará un número real de forma que si ese número es diferente de cero, la matriz es invertible. El determinante de una matriz A usualmente se denota por det A ó A .

DEFINICIÓN Dada una matriz A= [a] de orden 1x1, definimos A a Si a  0 se tiene que existe inverso, pues la matriz se identifica con un solo número. DEFINICIÓN

Dada una matriz de orden 2x2 definimos su determinante a 11

a 12

a 21

a 22

= a11 a 22  a 21 a12

EJEMPLO 1 1

2 3

= 3  ( 2) 5

DEFINICIÓN a11 a21 a31

a12 a22 a32

Dada una matriz de orden 3x3 definimos su determinante a13 a23 = a 11a 22a 33 a 21a 32a 13 a 31a12a 23 a31a 22a13  a32a23a11  a33 a21a12 a33

EJEMPLO 1

2

1

0 2

3 1

 1 = 3  (  4)  0  6  0  (  1)  6 1

Para recordar la fórmula para el cálculo del determinante de una matriz de orden 3, se suele añadir a la derecha de la matriz dada sus dos primeras columnas. Primero se multiplican los elementos de las tres líneas que van de arriba a la izquierda abajo a la derecha, poniendo el signo + a los productos. Luego se multiplican los elementos de las tres líneas que van de abajo a la izquierda a arriba a la derecha, poniendo el signo – a los productos. Veamos a continuación una visualización del procedimiento: a 11 a 21 a 31

a 12 a 22 a 32

a 13 a 11 a 23 a 21 a 33 a 31

a 12 a 22 a 32

a 11a 22a 33 a 12a 23a 31 a 13a 21a 32 a 31a 22a 13  a 32a 23a 11  a 33a 21a12

Es importante recalcar que esta regla, conocida por regla de Sarrus, no se generaliza a determinantes de orden superior a tres. Consideremos el determinante de orden 3 y saquemos factor común a11 de todos los términos que lo contienen, lo mismo con a12 y con a13.

a11 a12 a21 a22 a31 a32

a13 a23 = a11 a22 a33  a21 a32 a13  a31 a12 a23  a31 a22 a13  a32 a23 a11  a33 a21 a12 a33

 a11 ( a22 a33  a32 a23 a )  a12 ( a31 a23  a33 a21 )  a13 ( a21 a32  a31 a 22 )  a11 ( a22 a33  a32 a23 a )  a12 ( a33 a21  a31 a23 )  a13 ( a21 a32  a31 a 22 ) a11

 a21 a23  a 22 a 23 a a   a13 21 22  a 12     a 32 a 33 a31 a32  a31 a33 

Se llama a esto, el desarrollo del determinante de la matriz por la primera fila y a los determinantes de orden 2 los menores complementarios de cada elemento de la primera fila. DEFINICIÓN 

El menor complementario (i,j) de una matriz cuadrada de orden n, se denota por (Mij) y es el determinante de la matriz de orden(n-1)x( n-1) resultado de eliminar la fila i y la columna j.



El cofactor del elemento de la i-ésima fila y la j-ésima columna se denota por (Cij) y se obtiene multiplicando el menor Mij. por el factor (-1) i+j

EJEMPLO 5  Dada la siguiente matriz  2 1 

0 3 1

2  2 1  , tenemos que C12   1 3 1 3 

DEFINICIÓN Para n  2, el determinante de una matriz A  aij

nxn

1 3

 (6  1)  5

es

det A a11 C11  a12 C12    a1n C1n EJEMPLO 5 2

0 3

1

1

2 3 1 5 1 3

1 2  0 3 1

1 2 2 3 1

3  5·8  2·(  1 )  38 1

También se puede calcular un determinante, eligiendo los elementos de cualquier fila. TEOREMA Fórmula de Laplace Sea A una matriz cuadrada A de orden n, det(A)= ai1Ci1 + ai2Ci2 +...+ ainCin TEOREMA Operaciones elementales por filas 1. Si intercambiamos dos filas el determinante varía de signo, pero conserva su valor absoluto.

2. Si a cada elemento de una fila los multiplicamos por una constante, el determinante queda multiplicado por la constante. 3. Si a una fila le sumamos una combinación de otras filas el determinante no varía. EJEMPLO 2

3

 1

1

2  1

3 1

1 2

1

6

3

 3

1

= 2  (  3) 5;

= 2  (  3) 5;

 3  2  5

3

6  9 15

2 3 0 5 1ª fila  2.2ª fila = 2  ( 3) 5; 0  (  5) 5 1 1 1 1 TEOREMA Propiedades de los determinantes 1.

Si todos los elementos de una fila son ceros, el determinante es cero.

2.

El determinante con dos filas iguales es cero.

3.

Si dos filas son proporcionales el determinante es cero.

4.

Si una fila es combinación lineal de otras filas el determinante es 0.

5.

det(At ) = det(A)

Esta última propiedad es muy útil pues nos permite extender las propiedades vistas en filas a las columnas. TEOREMA Si A es una matriz triangular de orden nxn entonces su determinante es el producto de los elementos diagonales de A. Una estrategia que pueda facilitar el cálculo de determinantes de orden elevado puede ser triangular la matriz, teniendo en cuenta las propiedades elementales de determinantes y multiplicar los elementos de la diagonal. También se puede no llegar a triangular, pero sí simplificar el cálculo. EJEMPLO 0

2

1

3

1

2

2

1

 1

2

2

1

 1

2

2

1

0

2

1

3

0

2

1

3

2

3

1

1

2

3

1

1

0

7

5

3

1

1

0

2

1

1

0

2

0

3

2

3

=



2  (  1) 7

1

3

5

3 2(15  6)  (21  9)  3(14

3

2

3

Aplicando propiedades simplificamos el cálculo del siguiente determinante de orden 4. Se intercambian las filas 1 y 2, empleando la primera fila se transforman las filas 2,3 y 4, haciendo cero el primer elemento de cada fila. TEOREMA | A B | = | A | | B | Matriz Inversa

para matrices A y B cuadradas

Apliquemos el concepto de determinante y sus propiedades para cálculo de la inversa de una matriz. Precisemos el concepto de matriz inversa. DEFINICIÓN La inversa de una matriz cuadrada A es la matriz A -1 tal que se cumple: A A -1 = A-1 A = I Como se cumple la propiedad | A B | = | A | | B | para matrices A y B cuadradas, entonces si existe la inversa de una matriz cuadrada A, tenemos que: | A A-1 | = | A | | A-1 |= | I | , entonces | A | | A-1 |= 1, se debe cumplir que | A | ≠0 y además se cumple que | A -1 |= 1/ | A| TEOREMA Una condición necesaria y suficiente para que una matriz A posea inversa es que | A | ≠0. Además se cumple que si una matriz posee inversa, esta es única. Las matrices cuyo determinante es cero reciben el nombre de matrices singulares, luego para que posea inversa la matriz debe ser no singular.( ver pág. 120 del libro de texto) Mostremos una vía práctica para encontrar la matriz inversa de una matriz cuadrada A con determinante no nulo, utilizando la transpuesta de la matriz formada por los cofactores de los coeficientes de la matriz A, conocida como la adjunta de la matriz A. DEFINICIÓN MATRIZ ADJUNTA La adjunta de la matriz cuadrada A es la matriz cuadrada que denotamos por A + o Adj A y que es la matriz transpuesta de la matriz formada por los cofactores de los coeficientes de la matriz A. En general si A = ( aij) es una matriz cuadrada de orden n, la matriz adjunta es:

 C11   C12    C  1n

C21 C22  C 2n

 C nn    C n2  , donde Cij es el cofactor o complemento algebraico de a ij (i,j=1,...n).      C nn 

Veamos que: Si A es una matriz de orden n, entonces  det A   0 A AdjA  0     0 

0 det A

0 0

 

0 

det A 

 

0

0



   0  (det A) I    det A  0 0

Como A (AdjA)= (detA) I, y de ahí si det A0, obtenemos

A

1 A  I n . det A

Es decir, A

1



1 AdjA ó det A

 A1

1 A . det A

EJEMPLO Sea 2  A  0  3

4

3    1  7 

1 5

Para determinar si A es o no inversible, calculamos su determinante. 2 det A 0 3

4

3

1  5

1 14

 12

9 10 3  0

7

, por lo que A es inversible Podemos calcular adjA determinando previamente los Cij. Así tenemos que

C 11 

1

 1 = 7  (  5) 12; 7

5

C 12  0 C 13  3

C 21 

4

3

5

7

 1 2 =  (0  (  3))  3; C 22  7 3

0 3 1 5

= 0  3  3;

 12  13  AdjA    3 5  3 2 

C 23 

4  ( 28  15)  13; C 31  1

3 14  9 5; 7 2

4

3

5

 (10  12) 2;

C 32  2 C 33  0

3  1 2 0

=  4  3  7

3 =  (  2  0 ) 2 1 4 1

= 2  0 2

 7  2  2 

De donde se obtiene que

 4  13 12 13 7      3    1 1 5  A   3 5 2    1 3 3    3 2 2 2     1 3 

 7  3  2  3  2   3 .

Puede comprobarse que los cálculos están bien mediante la igualdad: A A -1 = I ó A-1 A = I Comentar que el cálculo de la matriz adjunta de una matriz inversible de orden 2, se obtiene cambiando el signo de los elementos de la diagonal principal e intercambiando los elementos de la diagonal no principal.

a b  Si A   c d 

d entonces A   c

 b a 

Ejemplo

1 3  A     1  1   1  3 A    1 1

A 2

1 3  1  3   2  2   1  2 1 1   1 2  2

Entonces A 1  1  

Estudiar el ejemplo 2 de la página 138 y el ejemplo 3 de la página 141. Además las propiedades de la matriz inversa, página 140. Existe otro método para el cálculo de la matriz inversa, el método de Jordán, que se podrá estudiar después que se conozca cómo resolver los sistemas de ecuaciones lineales.

Ecuaciones Matriciales Estudiaremos ahora como resolver un nuevo tipo de ecuaciones, las ecuaciones matriciales, como el nombre lo dice se trata de ecuaciones en las que todos sus términos son matrices e involucran a todas las operaciones que tenemos definidas entre las matrices, utilizando el concepto de matriz inversa. Para resolver la ecuación AX  B donde A y B son matrices conocidas y se tiene que A es cuadrada, además A  0 esto nos permite asegurar que la matriz A es inversible, luego si multiplicamos por la matriz inversa de A, a la izquierda de ambos miembros de la ecuación matricial

AX B A  1AX A  1B

como A  1A I

IX  A  1 B

y como IX X

X  A 1 B Ejemplo 1: Dada la ecuación matricial A X  B donde se sabe que

1  x1   1 2 1       A  1  1 1 X  x2  B    1  . Encuentre los valores x1, x2 y x3 de la matriz X.  3  x   0 1 1    3   Solución A 3

(Compruébelo!)

 2  3  1 1 Si se sabe que A   3    1  3

1 3 1  3 1 3

 1  0   1  

Sabemos que de la ecuación AX  B resulta que X A  1 B Al sustituir los elementos que tenemos en la expresión anterior se tiene

1  2   1  3 3    1  2   x1       x   1  1 0    1  =  0   2 =  3 3 x      3   3   3 1 1   1   3 3 

x1 2, x2 0, x3 3

El procedimiento que aprendimos anteriormente también resultará útil para dar solución a ecuaciones matriciales cualesquiera. Ejemplo 2 Dadas las matrices

  1 1  1 1   1  1 A  B  D      0 2  2 3  1 0 Hallar la matriz C tal que AC=B+D Resolución

AC  ( B  D ) 1

AA C  A  1 (B  D ) IC A 1 ( B  D) C  A 1 ( B  D)

 1

A

1 2   2 0

  1 C   0  

1 2  1   2 3 3 2 2   3 3    2 2

 1  1     1   0 

1 2  0  1 3  2

0  3

Conclusiones: Resumamos los aspectos más importantes tratados en la conferencia Recordar en primer lugar la generalización del cálculo de un determinante en el llamado método de desarrollo en menores. Insistiendo en que puede ser seleccionada cualquier fila o columna de la matriz para calcular su determinante, convenientemente escogemos la que más ceros tenga.  Resumir los teoremas que nos permiten de manera rápida calcular un determinante fundamentalmente los que se refieren al determinante igual a cero.  Puntualizar el procedimiento para calcular la matriz inversa de una matriz cuadrada A cualquiera, aclarando que primero debemos comprobar si dicha matriz es inversible.  Notar que la matriz inversa nos permite además resolver ecuaciones matriciales Estudio Independiente Propuesto

Determinantes: Estudiar ejercicio resuelto 8 página 79 y el ejercicio 9 de la página 80 Resolver los ejercicios propuestos 22, A, B y G pág. 88 y el 23 pág. 89. Matriz inversa: Resolver del Libro de Texto pág. 177 Ejercicio 19, A, B, E y F; Ejercicio 20 a y b, pág.178....