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Conferencia 11 Núcleo e imagen de una Aplicación Lineal. Sumario:    

Imagen y Rango de una aplicación lineal. Núcleo de una aplicación lineal. Clasificación de las aplicaciones lineales. Teorema del rango.

Bibliografía: Texto básico, Álgebra Lineal Colectivo de autores: María Virginia Varela y coautores Pág. 387- 416. Complementaria Lipschutz S, “Álgebra Lineal”, Editorial McGraw-Hill Book, México, 1988, 334 páginas. Noriega T. y De Arazoza H. “Álgebra” (Tomo I), Editorial Pueblo y Educación, 1986. Objetivos:  Definir los conceptos de imagen, núcleo de una aplicación lineal  Demostrar que la imagen y el núcleo de una aplicación lineal son subespacios vectoriales.  Algoritmizar los procedimientos para determinar el subespacio imagen y el núcleo de una aplicación lineal.  Identificar las aplicaciones lineales inyectivas, sobreyectivas y biyectivas según las definiciones y teoremas estudiados. Introducción: Recordar algunas cuestiones estudiadas en clases anteriores:  ¿Cómo UD. analiza si una aplicación f definida entre dos espacios vectoriales es lineal? f : E→ F es lineal si para cualesquiera x, y  E y ,   R f ( x   y )  f ( x )   f ( y )

 Si A  a 1 , a 2 , , a n  es un subconjunto de vectores de un espacio vectorial E entonces, S( A) ={x E/x = l1a1+ l2a2 +…+ lnan, l1, l2, …, ln  R } es el subespacio de E generado por A.  Recordar también la caracterización de subespacio vectorial que estudiamos en la misma actividad de espacios vectoriales Una condición necesaria y suficiente para que un subconjunto S no vacío de un espacio vectorial E sea un subespacio vectorial de E es que cualesquiera sean x y y vectores de S con  y  números reales se cumpla que: la combinación lineal de esos dos vectores cualesquiera x y y también pertenezca al subconjunto S, es decir, x+ y  S Desarrollo: Hasta aquí no hemos considerado bajo qué condiciones es posible clasificar una aplicación lineal en inyectiva, sobreyectiva o biyectiva. Con este objetivo estudiaremos los conjuntos imagen y núcleo de una aplicación lineal. Definición Página 387

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Dada la aplicación lineal f : E → F el subconjunto imagen de f, que x → f(x) se denota por im f o f(E), es: f ( E ) = yF / y = f (x); x E. Como el subconjunto imagen es un subconjunto del espacio vectorial F podríamos preguntarnos ¿es f (E ) un subespacio vectorial de F? Teorema1 Página 388 El subconjunto imagen de una aplicación lineal f :E →F es un subespacio vectorial de F. Demostración: Como f : E → F es una aplicación lineal entonces f ( 0 ) = 0, por tanto, f ( E ) es no vacío. Debemos probar que si f ( E ) es un subespacio de F entonces, para cualesquiera y1 , y 2 de f ( E ) y l1 , l2 números reales se cumple que

l1 y1 l 2 y2  f ( x).

Como y1 , y 2  f ( E ), existen x1 , x2  E tales que y1  f ( x1 ) y y2  f ( x2 ) tenemos l1 y1 l 2 y2  l1 f ( x1 ). l2 f ( x2 )

Como f es lineal l1 f ( x1 ). l 2 f ( x2 )  f (l1 x1  l 2 x2 ) y puesto que E es un espacio vectorial l1 x1  l 2 x 2  E, por tanto f (l 1 x1  l 2 x 2 )  f ( E ) por lo que l1 f ( x1 ).  l 2 f ( x 2 ) f ( E ), luego f( E ) es un subespacio vectorial de F. Determinación del subespacio imagen. Sean f :E → F una aplicación lineal y A =  a1, a 2 ,..., an  una base de E entonces la imagen de cualquier vector x de E se puede expresar como combinación lineal del  f (a1), f (a 2 ),..., f (a n ) sistema de vectores G = f ( x) l1 f ( a1 )  l2 f ( a2 )   ln f ( an )

Por lo que G es un sistema de vectores generador del subespacio imagen f ( E ). Algoritmo para determinar el subespacio imagen. 1. Elegir una base A de E. 2. Calcular las imágenes de los vectores de A y considerar el sistema de vectores de G formado por dichas imágenes. 3. Determinar el subespacio vectorial generado por G. Ejemplo. Determinar el subespacio imagen de la aplicación lineal f : R 2  R 3 (a, b) → (a-3b, b-a, a) Solución: Tomemos la base canónica de R 2 , C = {(1, 0), (0, 1)}. Calculemos las imágenes de los vectores de C f(1, 0) = (1, -1, 1); f(0, 1) = (-3, 1, 0) 2

G = { (1, -1, 1), (-3, 1, 0)} es un sistema generador de f ( R2 ) . f ( R 2 ) = S( G ) = { (a, b, c)  R3 / a + 3b + 2c = 0}. La determinación del subespacio imagen nos permite clasificar la aplicación en sobreyectiva o no. Recordemos que: una aplicación f : E → F es sobreyectiva si cualesquiera sea y  F existe un elemento x  E tal que y = f (x) ó equivalentemente si f ( E ) = F. En el ejemplo visto f ( R 2 )  R3 luego f no es sobreyectiva. Definición : El rango de una aplicación linea l f es la dimensión del subespacio imagen de dicha aplicación. Se denota por r ( f ). En el ejemplo visto r ( f ) = 2. Ejemplo: Calcular el rango de la aplicación lineal f : R 3  R 2 (a, b, c) → (a + b + c, a-c) Primero hallamos el subespacio imagen f ( R 3 ) . f (1, 0, 0) = (1, 1); f (0, 1, 0) = (1, 0); f (0, 0, 1) = (1, -1) G = { (1, 1), (1, 0), (1, -1)}, S( G ) = R 2 r ( f ) = dim f ( R 3 ) = dim S( G ) = 2. Por tanto f es sobreyectiva. Rango de la matriz asociada a una aplicación lineal. El rango de una aplicación lineal f es igual al rango de la matriz asociada a ella para bases dadas. Núcleo de una aplicación lineal. ¿El vector nulo es el único vector de E cuya imagen por f es el vector nulo de F? Definición: El núcleo de una aplicación lineal f : E → F, es el subconjunto de todos los vectores de E que tienen por imagen el vector nulo de F. Se denota por N. N = { x  E / f (x) = 0} El núcleo de f es un subconjunto de E, ¿es un subespacio vectorial de E ?. Teorema 2 : El núcleo de una aplicación lineal f : E → F es un subespacio vectorial de E. Demostración: El núcleo es un subconjunto no vacío pues al menos contiene al vector nulo de E. Sean x1 , x 2  N y l1 , l2 números reales, para demostrar que N es un subespacio debemos probar que l1 x1  l2 x 2  N, o sea, f (l1 x1  l 2 x 2 ) debe ser cero. f (l1 x1  l 2 x 2 ) l1 f ( x1 )  l 2 f ( x 2 ) y como f ( x1 )  f ( x2 ) 0 , tenemos que f ( l1 x1  l2 x2 ) 0 . De aquí, l1 x1  l2 x 2  N. Por tanto N es un subespacio vectorial de E.

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Determinación del núcleo de una aplicación lineal. Para hallar el núcleo de una aplicación lineal, aplicamos la definición dada. Ejemplo: Hallar el núcleo de las aplicaciones lineales siguientes: 2) g : R3  R2 1) f : R2  R3 (a, b) → (a -3 b, b-a, a) (a, b, c) → (a + b + c, a-c) Solución: 1) Aplicando la definición tenemos N = {(a, b)  R 2 / f (a, b) = ( 0, 0, 0) } N = { (a, b) / ( a-3b, b-a, a) = ( 0, 0, 0) } Nos queda el siguiente sistema de ecuaciones homogéneo a - 3b = 0 -a + b = 0 a=0 que tiene por única solución la trivial a = b = 0. Teniéndose que N = {(0, 0)}. El único vector que pertenece al núcleo es el vector nulo de R 2 . La dimensión de N es cero. 2) N = {(a, b, c)  R3 / g (a, b, c) = (0, 0) } = { (a, b, c)  R3 / (a + b + c, a - c) =(0,0)} N = { (c. -2c, c) / c R }. El núcleo de g está formado por infinitos vectores de R3 . La dimensión de N es 1. La determinación del núcleo de una aplicación lineal nos permite clasificarla en inyectiva o no inyectiva. El siguiente teorema nos da una condición necesaria y suficiente para la inyectividad de una aplicación lineal, en el libro aparece enunciado y demostrado en un solo sentido. Teorema 3 Sea f : E → F una aplicación lineal, f es inyectiva si y solo si su núcleo es el subespacio nulo. Demostración: Demostremos primero que si f es inyectiva entonces N = { 0 }. Si existe x  0 tal que f (x) = 0, tenemos x  0 y f (x) = f (0) esto contradice que f es inyectiva, por tanto N = { 0 }. Probemos ahora que si N = { 0 } entonces f es inyectiva, es decir, si f ( x1 )  f ( x 2 ) entonces x1 x2 . Si f ( x1 )  f ( x 2 ) resulta f ( x1 )  f ( x2 ) 0 por ser f es lineal f ( x1  x2 ) 0 y como N = { 0 }, entonces x1  x 2 0 , de donde x1 x 2 . De aquí que f es inyectiva. Basta conocer la dimensión de N para determinar si f es inyectiva o no. dim N = 0  f es inyectiva. dim N  0  f es no inyectiva. Ejemplo:

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Determinar si f : R 3  R3 definida por f ( x, y, z) = (2x – y + z, x + y, 3x + y + z) es inyectiva o no. Calculemos el núcleo de f N = {(x, y, z)  R3 / f ( x, y, z) = (0, 0, 0)} = {(x, y, z)  R3 / (2x – y + z, x + y, 3x + y + z) =(0, 0, 0 0)}= { (0, 0, 0)} y como dim N = 0 concluimos que f es inyectiva. Podemos verificar que f ( R 3 ) = R3 , es decir, f es sobreyectiva. Tenemos que f es inyectiva y sobreyectiva por tanto es biyectiva. El siguiente teorema relaciona las dimensiones del espacio vectorial de partida con las dimensiones de los subespacios vectoriales núcleo e imagen de una aplicación lineal. Teorema del rango. Sean f : E → F una aplicación lineal, N el núcleo de f y f ( E ) el subespacio imagen de f ; entonces: dim E = dim N + dim f ( E ). La demostración se puede ver en el texto I CONCLUSIONES: • ¿Es el subconjunto imagen de una aplicación lineal f : E → F un subespacio vectorial de F? • Describa el procedimiento para determinar el subespacio imagen de una aplicación lineal. • Defina núcleo de una aplicación lineal f : E → F • ¿Es el núcleo de una aplicación lineal f : E → F un subespacio vectorial de E?. • Enuncie el teorema del rango. • ¿Qué es un isomorfismo? BIBLIOGRAFIA: Texto ( II ): Álgebra Lineal. María Virginia Varela. Texto ( III ): Álgebra Lineal. Teoría y Problemas. Seymour Lipschutz.

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