801 Integrales Resueltas muy bueno PDF

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es un pdf bastante bueno...

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Universidad Nacional Experimental del Táchira

801

EJERCICIOS RESUELTOS DE

INTEGRAL

INDEFINIDA

ITALO G.

CARLOS J.

CORTES A

SANCHEZ C.

INDICE INTRODUCCION ............................................................................................................................................. 5 INSTRUCCIONES............................................................................................................................................ 6 ABREVIATURAS DE USO FRECUENTE................................................................................................... 7 IDENTIFICACIONES USUALES ................................................................................................................. 7 IDENTIDADES ALGEBRAICAS .................................................................................................................. 7 IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS....................................................................................................... 8 FORMULAS FUNDAMENTALES.................................................................................................................10 CAPITULO 1...................................................................................................................................................12 INTEGRALES ELEMENTALES ................................................................................................................12 EJERCICIOS DESARROLLADOS .............................................................................................................12 EJERCICIOS PROPUESTOS ......................................................................................................................20 RESPUESTAS..............................................................................................................................................21 CAPITULO 2...................................................................................................................................................29 INTEGRACION POR SUSTITUCION........................................................................................................29 EJERCICIOS DESARROLLADOS .............................................................................................................29 EJERCICIOS PROPUESTOS ......................................................................................................................39 RESPUESTAS..............................................................................................................................................41 CAPITULO 3...................................................................................................................................................59 INTEGRACION DE FUNCIONES TRIGONOMETRICAS .......................................................................59 EJERCICIOS DESARROLLADOS .............................................................................................................59 EJERCICIOS PROPUESTOS ......................................................................................................................66 RESPUESTAS..............................................................................................................................................67 CAPITULO 4...................................................................................................................................................77 INTEGRACION POR PARTES...................................................................................................................77 EJERCICIOS DESARROLLADOS .............................................................................................................77 EJERCICIOS PROPUESTOS ......................................................................................................................88 RESPUESTAS..............................................................................................................................................89 CAPITULO 5.................................................................................................................................................111 INTEGRACION DE FUNCIONES CUADRATICAS...............................................................................111 EJERCICIOS DESARROLLADOS ...........................................................................................................111 EJERCICIOS PROPUESTOS ....................................................................................................................116 RESPUESTAS............................................................................................................................................117 CAPITULO 6.................................................................................................................................................126 INTEGRACION POR SUSTITUCION TRIGONOMETRICA .................................................................126 EJERCICIOS DESARROLLADOS ...........................................................................................................126 EJERCICIOS PROPUESTOS: ...................................................................................................................135 RESPUESTAS............................................................................................................................................137 CAPITULO 7.................................................................................................................................................154 INTEGRACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES..................................................................................154 EJERCICIOS DESARROLLADOS ...........................................................................................................154 EJERCICICOS PROPUESTOS..................................................................................................................162 RESPUESTAS............................................................................................................................................163 CAPITULO 8.................................................................................................................................................188

2

INTEGRACION DE FUNCIONES RACIONALES D SENO Y COSENO...............................................188 EJERCICIOS DESARROLLADOS ...........................................................................................................188 EJERCICIOS PROPUESTOS ....................................................................................................................195 RESPUESTAS............................................................................................................................................195 CAPITULO 9.................................................................................................................................................199 INTEGRACION DE FUNCONES IRRACIONALES ...............................................................................199 EJERCICIOS DESARROLLADOS ...........................................................................................................199 EJERCICIOS PROPUESTOS ....................................................................................................................203 RESPUESTAS............................................................................................................................................203 EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS ........................................................................................................208 RESPUESTAS............................................................................................................................................210 BIBLIOGRAFIA ............................................................................................................................................242

3

A

Patricia. / A Ana Zoraida.

A los que van quedando en el camino, Compañeros de ayer, De hoy y de siempre.

4

INTRODUCCION

El libro que os ofrecemos, no es un libro auto contenido, sino un instrumento de complementación, para la práctica indispensable en el tópico relativo a las integrales indefinidas. En este contexto, el buen uso que se haga del mismo llevará a hacer una realidad, el sabio principio que unifica la teoría con la práctica. El trabajo compartido de los autores de “801 ejercicios resueltos” es una experiencia que esperamos sea positiva, en el espíritu universitario de la activación de las contrapartes, en todo caso será el usuario quien de su veredicto al respecto, ya sea por medio del consejo oportuno, la crítica constructiva o la observación fraterna, por lo cual desde ya agradecemos todo comentario al respecto. Nos es grato hacer un reconocimiento a la cooperación prestada por los estudiantes de UNET: Jhonny Bonilla y Omar Umaña.

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INSTRUCCIONES Para un adecuado uso de este problemario, nos permitimos recomendar lo siguiente: a) Estudie la teoría pertinente en forma previa. b) Ejercite la técnica de aprehender con los casos resueltos. c) Trate de resolver sin ayuda, los ejercicios propuestos. d) En caso de discrepancia consulte la solución respectiva. e) En caso de mantener la discrepancia, recurre a la consulta de algún profesor. f) Al final, hay una cantidad grande de ejercicios sin especificar técnica alguna. Proceda en forma en forma análoga. g) El no poder hacer un ejercicio, no es razón para frustrarse. Adelante y éxito.

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ABREVIATURAS DE USO FRECUENTE e: η : og : sen : arcs e n : cos : arc cos : arc co s :

Base de logaritmos neperianos. Logaritmo natural o neperiano. Logaritmo vulgar o de briggs. Seno. Arco seno. Coseno. Arco coseno. Arco coseno.

τg :

Tangente. Arco tangente. Cotangente. Arco cotangente. Secante. Arco secante. Cosecante. Arco cosecante. Exponencial. Diferencial de x. Valor absoluto de x.

arctg : coτ g arc co tg sec : arcsec : cos ec : arcsec : exp : dx : x: m.c.m:

Mínimo común múltiplo. IDENTIFICACIONES USUALES

s e nn x = (s e n x )n η n x = (η x )n

s e n −1 x = arcs e n x og n x = (ogx )n

ogx = og x

IDENTIDADES ALGEBRAICAS 1. Sean a, b: bases; m, n números naturales. m n m+ n a a =a ( am ) n = a m n ( ab)n = an bn am m− n = ≠ , 0 a a an n

n

a ⎛a⎞ ⎜ ⎟ = n ,b ≠ 0 b ⎝b⎠

a −n =

1 an

a

m

n

= n am =

( a) n

m

a0 = 1, a ≠ 0

7

2. 2

(a ± b ) 4 ( a ±b )

Sean a, b ,c: bases; m, n números naturales 3 2 2 = a + 2 ab + b ( a ± b ) = a3 ± 3 a2 b + 3 ab2 + b3

= a4 ±4 a3 b +6 a2 b2 ±4 ab3 + b4

a 2n − b 2n = ( an + bn )( an − bn )

2 2 a − b = ( a + b)( a − b) 3

3

2

2

a ± b = ( a ± b)( a ∓ ab ± b )

( a +b +c) 2 = a 2 +b2 + c2 +2( ab + ac + bc) 3. Sean b, n, x, y, z: números naturales ⎛ x⎞ og b ⎜ ⎟ = og bx − og b y og( xyz) =  ogb x +  og b y +  ogb z ⎝ y⎠ n 1 ogb x = n ogb x og b n x =  og b x n og bb = 1 ogb1 = 0

 ηe = 1  η ex = x exp( η x ) = x

η exp x = x = x eηx = x

IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS 1. se n =

1 cosecθ

cos θ =

1 s ecθ

τ gθ =

s en θ cos θ 2 s e n θ + cos2 θ = 1

1 co τg θ 1 + τ g 2θ = sec 2 θ

1+ co τ g 2θ = cos ec2θ

cos θ cos ecθ = co τ g θ

τ gθ =

cos θτ gθ = s e n θ 2. (a) s e n(α + β ) = s e n α cos β + cosα s e n β se n

α 2

=±

1− cos α 2

s e n 2α = 2 s e nα cosα 1− cos 2α 2 se n α = 2

s e n(α − β ) = s e nα cosβ − cosα s e nβ

8

(b)

cos(α + β ) = cosα cos β − s e nα s e n β

1 + cos α 2 2 cos(α − β ) = cosα cos β + s e nα s e n β

cos

α

=±

1 + cos 2α 2 cos 2α = cos2 α − s e n2 α = 1− 2 s e n2 α = 2 cos2 α − 1 cos 2 α =

(c)

τ gα + τ g β 1− τ gατ g β 1 − cos 2α τ g2α = 1+ cos 2α τ g(α + β ) =

τg

α 2

=±

2τ gα 1− τ g 2 α τ gα −τg β τ g (α − β ) = 1 +τ gατ g β

τ g 2α =

1 − cos α senα 1 − cos α = = 1+ cosα 1+ cosα s e nα

(d)

1 [ se n(α + β ) + se n(α − β )] 2 1 cos α cos β = [ cos(α + β ) + cos(α − β )] 2 α +β α −β s e n α + se n β = 2 se n cos 2 2 α +β α −β cosα + cos β = 2 cos cos 2 2

1 [ s e n(α + β ) − s e n(α − β )] 2 1 s e n α se n β = − [ cos(α + β ) − cos(α − β )] 2 α +β α−β se nα − se n β = 2 cos se n 2 2 α +β α−β cosα − cos β = − 2s e n se n 2 2

(e) arcs e n(s e n x) = x arcτ g (τ gx ) = x arcsec(sec x ) = x

arc cos(cosx )= x arc coτ g (coτ gx) = x arc co sec(co sec x ) = x

s e n α cos β =

cosα s e n β =

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FORMULAS FUNDAMENTALES Diferenciales du dx 1.- du = u 2.- d ( au) = adu

1.- ∫ du = u + c

3.- d (u + v) = du + dv

3.- ∫ ( du + dv) =∫ du +∫ dv

4.- d ( u n ) = nu n− 1 du

Integrales

2.- ∫ adu = a∫ du

4.- ∫u n du =

u+ + c (n ≠ −1) n +1 n 1

du = η u + c u 6.- ∫ e udu = e u + c

du u 6.- d (e u ) = e udu

5.- ∫

5.- d ( η u ) =

u u 7.- d (a ) = a η adu

7.- ∫ au du =

8.- d(s e n u) = cos udu

au +c η a

8.-∫ cos udu= s e n u+ c

9.- d (cos u) = −s e n udu

9.- ∫ s e n udu= − cos u + c

10.- d (τ gu) = sec udu

10.- ∫ sec 2 udu = τ gu + c

11.- d(co τ gu) = − cosec2 udu

11.- ∫ cosec 2 udu = − co τ g u + c

2

12.- d (sec u) = sec uτ gudu 13.- d(cosec u) = − co sec u coτ gudu 14.- d (arcs e n u ) = 15.- d (arc cos u ) =

du 1− u −du

2

1− u 2 du 16.- d (arcτ gu ) = 1+ u 2 − du 17.- d (arc coτ gu ) = 1+ u 2 du 18.- d (arcsec u ) = u u2 − 1 − du 19.- d (arc co sec u ) = u u2 − 1

12.- ∫ sec uτ gudu = sec u+ c 13.- ∫ co sec u coτ gudu = − co sec u+ c 14.- ∫ 15.- ∫

du 1− u 2 du

= arcs e n u + c

= − arc cos u + c 1− u 2 du 16.- ∫ = arcτ gu + c 1+ u2 du 17.- ∫ = − arc coτ gu + c 1+ u 2 ⎧ arcsec u + c ; u > 0 du 18.- ∫ =⎨ u u2 − 1 ⎩ − arcsec u + c ; u < 0 ⎧ − arc co sec u + c; u > 0 − du 19.- ∫ =⎨ u u2 − 1 ⎩ arc co sec u + c; u < 0

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OTRAS INTEGRALES INMEDIATAS ⎧⎪  η sec u + c 1.- ∫ τ gudu = ⎨ ⎪⎩−  η cos u + c ⎧ η sec u + τ gu + c ⎪ 3.- ∫ sec udu = ⎨ ⎛u π⎞ ⎪ η τ gu ⎜ 2 + 4 ⎟ + c ⎝ ⎠ ⎩ 5.- ∫ s e n hudu = cos  u + c

6.- ∫cos  udu = s e n hu + c

7.- ∫ τ ghudu =  η cos  u + c

8.- ∫co τ ghudu =  η s e n  u + c

9.- ∫ sec hudu = arc τ gh(s en hu) + c

10.- ∫ co sec hudu = − arc coτ gh(cos hu) + c

u ⎧ arcs e n + c ⎪ du ⎪ a 11.- ∫ =⎨ 2 2 a −u ⎪− arcs e n u + c ⎪⎩ a u 1 ⎧ arcτ g + c ⎪ du ⎪ a a 13.- ∫ 2 =⎨ 2 u +a ⎪ 1 arc coτ g u + c ⎪⎩ a a

15.- ∫

du 2

u a ±u

2

1 u η +c a a + a2 ± u2

=

17.- u 2 ± a 2 du =

2.- ∫ coτ gudu = η s e n u + c 4.- ∫ co sec udu = η co sec u − coτ gu + c

12.- ∫

14.- ∫

du 2

u ±a

2

= η u + u 2 ± a 2 + c

du u− a 1 η = +c 2 2a u −a u+ a 2

u ⎧1 arc cos + c ⎪ du ⎪a a 16.- ∫ =⎨ 2 2 u u −a ⎪ 1 arcsec u + c ⎪⎩a a

u 2 a2 u ± a 2 ± η u + u 2 ± a2 + c 2 2 2

u a u 2 2 a − u + arcs e n + c 2 2 a au e ( as en bu − bcos bu) 19.- ∫ e au s e n budu = +c a2 +b2 eau ( a cos bu + bs en bu) 20.- ∫ e au cos budu = +c a2 + b2

18.- ∫ a2 − u2 du =

Realmente, algunas de estas integrales no son estrictamente inmediatas; tal como se verá mas adelante y donde se desarrollan varias de ellas.

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CAPITULO 1 INTEGRALES ELEMENTALES El Propósito de este capitulo, antes de conocer y practicar las técnicas propiamente tales; es familiarizarse con aquellas integrales para las cuales basta una transformación algebraica elemental.

EJERCICIOS DESARROLLADOS 2

1.1 .- Encontrar: ∫ eη x xdx 2

Solución.- Se sabe que: eη x = x2 2

Por lo tanto: ∫e η x xdx = ∫ x2 xdx = ∫ x3 dx = x4 +c, 4 1.2 .- Encontrar: ∫ 3a 7 x 6dx 2

Respuesta: ∫e η x xdx =

x4 +c 4

Fórmula utilizada: ∫ xn dx =

x n +1 , n ≠ −1 n+ 1

Solución.x7 +c 7 x7 Respuesta: ∫3a7 x6 dx = 3 a7 +c, 7 1.3.- Encontrar: ∫ (3x 2 + 2 x +1)dx 7 6 7 6 7 ∫ 3a x dx = 3a ∫ x dx = 3a

Fórmula utilizada: del ejercicio anterior.

Solución.2 2 2 ∫ (3x + 2x + 1)dx = ∫ (3x + 2x + 1)dx = ∫ 3x dx + ∫ 2xdx +∫ dx x3 x2 + x +c = x 3 + x 2 + x +c +2 3 2 Respuesta: ∫(3 x 2 + 2 x + 1) dx = x 3 + x 2 + x + c

= 3 ∫ x2 dx + 2 ∫ xdx + ∫ dx = 3

1.4.- Encontrar: ∫ x (x + a )(x + b )dx Solución.2 3 2 ∫ x (x + a )(x + b )dx = ∫ x ⎡⎣ x + (a + b) x + ab⎤⎦ dx = ∫ ⎡⎣ x + ( a + b) x + abx⎤⎦ dx =∫ x 3 dx +∫ ( a +b) x2 dx +∫ abxdx = ∫ x3 dx +( a +b)∫ x2 dx + ab∫ xdx =

x4 x3 x2 +( a + b) + ab + c 4 3 2

12

x 4 (a +b ) x 3 abx 2 + + +c 4 3 2

Respuesta: ∫x (x + a )(x + b )dx = 1.5.- Encontrar: ∫ ( a + bx 3 ) 2 dx

Solución.3 2 2 3 2 6 2 3 2 6 ∫ ( a +bx ) dx =∫ ( a +2 abx +b x ) dx =∫ a dx +∫ 2 abx dx +∫ b x dx x4 x7 + b2 + c 4 7 4 2 7 abx b x + +c Respuesta: ∫( a + bx 3) 2 dx =a 2 x + 2 7 1.6.- Encontrar: ∫ 2 pxdx

= a 2 ∫ dx + 2 ab∫ x 3dx + b 2 ∫ x6 dx = a 2 x + 2ab

Solución.1 2

2

1

2 2 px x2 = px dx = p x dx = p +c = pxdx 2 2 2 2 ∫ ∫ ∫ 2 3 3 2 2px x Respuesta: ∫ 2 pxdx = +c 3 dx 1.7.-Encontrar: ∫ n x Solución.1

−1

2

− 1+ n

+1

3

+c

− 1+ n

−1 dx xn x n nx n n x dx c c = = + = + = +c ∫n x ∫ −1 − 1+ n n −1 +1 n n

− 1+ n

nx n = +c n −1 x

dx

Respuesta: ∫ n

1− n

1.8.- Encontrar: ∫ (nx ) n dx Solución.1− n

∫ (nx ) n dx = ∫ n 1 −n n

= =n

x

1− + 1 1 n

1 − 1+ 1 n

1− n n

x

1− n n

dx = n

1 −n n

+ c= n

x

1 n

1− n n

∫

x

1− n n

1− n n

dx = n

1 −n n

+ c= n

1 n

∫

1 −1

x n dx 1 −n +1 n

1 n

nx + c = n

1 − n+ n 1 n n

1 n

x + c= n

1

1

x + c = nn xn + c

1− n

Respuesta: ∫(nx ) n dx = n nx + c 1.9.- Encontrar: ∫ (a 3 − x 3 )3 dx 2

2

Solución.-

∫ (a

2

3

( )

− x 3 )3 dx = ∫ ⎡ a 3 ⎣⎢ 2

2

3

( ) 2

−3 a 2

2

2

2

( ) −( x ) 2

x 3 + 3a 3 x 3

2

2

3

3

⎤ dx ⎦⎥

13

4

2

2

4

=∫ ( a2 −3 a 3 x 3 +3 a 3 x 3 − x2 ) dx =∫ a2 dx −∫ 3 a3 x3 dx +∫ 3 a3 x3 dx −∫ x2 dx 4

2

2

4

5
<...