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Nombre del Trabajo: Actividad 8. Cuestionario Integrantes del Equipo No. 10: Edgar Pérez Barrera Baladier Ramírez Cabrera Vianey de Jesús Tapia Durán

Fecha de Entrega: 12 de Abril de 2021 Licenciatura Online Materia: Álgebra 1° Cuatrimestre

Actividad: Cuestionario Espacios Vectoriales Fecha: 12 / 04 / 2021 Nombre del estudiante: Edgar Pérez Barrera Baladier Ramírez Cabrera Vianey de Jesús Tapia Durán Nombre del docente: Dra. Mónica Lozada Muñoz

Instrucciones: I. Revisa los recursos de la unidad. II. Resuelve las preguntas aplicando los conocimientos sobre espacios vectoriales.

1. Explica el concepto de vector. Es un segmento de una línea recta, dotado de un sentido, es decir, orientado dentro de un plano bidimensional o tridimensional. También es un elemento en un espacio vectorial. Los vectores permiten representar magnitudes físicas dotadas no sólo de intensidad, sino de dirección, como es el caso de la fuerza, la velocidad o el desplazamiento. Ese rasgo de contar con dirección es el que distingue a las magnitudes vectoriales de las escalares. Puede representarse en un plano cartesiano mediante un conjunto de coordenadas (x,y), o en uno tridimensional (x,y,z). Los vectores se representan típicamente mediante una flecha dibujada por encima del símbolo.

2. ¿Qué es el producto vectorial? El producto vectorial nos proporciona las coordenadas de un vector perpendicular a ambos vectores. Este vector perpendicular tiene el sentido que nos indica la ley del “tornillo”. Además el módulo o longitud del vector obtenido en el producto vectorial es el área del paralelogramo que definen estos vectores.

El producto vectorial de un vector 𝑎→ y otro 𝑏→, denotado como 𝑎→×𝑏→, es un vector 𝑟→ tal que: • • •

Módulo: 𝑎→×𝑏→=𝑎→·𝑏→·sin(𝛼) Dirección: Es perpendicular al plano que definen ambos vectores Sentido: Queda definido por cualquiera de las siguientes reglas:

❖ Regla del sacacorchos o del tornillo. El sentido es el mismo sentido de avance de un sacacorchos o tornillo que girase desde 𝑎→ hasta 𝑏→ por el camino más corto. ❖ Regla de la mano derecha con la palma. También puedes utilizar la palma de tu mano, orientándola desde 𝑎→ hasta 𝑏→ por el camino más corto. El dedo pulgar determina el sentido del producto, tal y como se ve en la figura inferior. ❖ Regla de la mano derecha con tres dedos. Otra opción es utilizar tu mano derecha y los dedos índice (𝑎→), corazón o medio (𝑏→) y pulgar (𝑎→×𝑏→), tal y como se ve en la figura inferior. 3. Explica con un ejemplo a qué valor se llega cuando los vectores son paralelos al aplicar el producto cruz. El producto vectorial de 2 vectores paralelos en igual al vector nulo u ll v

ulv=0

4. ¿Qué es la proyección a en dirección b? La proyección de un segmento sobre una recta es el segmento AB sobre ésta limitada por las proyecciones de los puntos que lo determinan A’B’. En el caso de que el segmento tuviese un punto en común con la recta (A) tendríamos que proyectar solamente el otro extremo de dicho segmento (B): Ejemplos:

5. ¿En qué consiste la última propiedad de los espacios vectoriales? Propiedad 4 αu=0V⇒ ⇒α=0∨ ∨u=0Vαu=0V⇒α=0∨u=0V Veamos cómo puede Si α=0α=0, se Si α≠0α≠0, podemos αu=0V⇒1ααu=1α0V⇒u=0V

demostrarse cumple

esta la multiplicar

última

propiedad: proposición. por 1α1α :

6. ¿Qué es la dimensión de un espacio vectorial? La dimensión de un espacio vectorial es el número de vectores que forman una base del espacio vectorial. Se llama dimensión de un espacio vectorial V al número de vectores que hay en cualquiera de sus bases. Se denota dim (V). ❖ La dimensión de Rn con las operaciones normales es n. ❖ La dimensión de Pn con las operaciones normales es n+1. ❖ La dimensión de Mm,n con las operaciones normales es mn. Si W es un subespacio de un espacio vectorial n-dimensional, entonces se puede demostrar que la dimensión de W es finita y que la dimensión de W es menor o igual que n. 7. ¿Qué es un espacio vectorial? Un espacio vectorial es un espacio V diferente del vacío (𝑉 ≠ ∅), en el que se definen dos operaciones: una interna (suma) entre sus elementos y otra operación externa (producto por un escalar) definida entre sus elementos del cuerpo K; para las cuales se deben cumplir 10 axiomas cuando 𝐯, 𝐮, 𝐰 ∈ 𝑉 y para todo 𝛼, 𝛽 ∈ 𝐾 .

8. ¿Qué es un subespacio vectorial? Si V es un espacio vectorial en el cuerpo de 𝑲 ⊂ ℝ y 𝑯 ⊂ 𝑽, donde H es por si un solo espacio vectorial con la misma suma y producto que los definidos en 𝑉 𝑦 𝐾 , entonces H subespacio vectorial de V.

9. ¿Qué es la independencia lineal? La independencia lineal se puede definir de las siguientes maneras: Los vectores son linealmente independientes si tienen distinta componentes no son proporcionales.

dirección y

sus

Un conjunto de vectores (diferentes de cero) de un espacio vectorial V es linealmente dependiente si y sólo si, algún vector del conjunto es una combinación lineal de los demás. Es decir, si uno de los vectores depende de los demás, el conjunto es dependiente. Un conjunto de vectores (diferentes de cero) de un espacio vectorial V es linealmente independiente, si y sólo si, ningún vector del conjunto es una combinación lineal de los demás. Es decir, si ninguno de los vectores depende de los demás, el conjunto es independiente. Si un vector es un múltiplo escalar de otro, los vectores son linealmente dependientes. Cualquier conjunto de más de n vectores de es linealmente dependiente. Se

dice

que

un

conjunto

de n vectores

de

vectorial V son linealmente dependientes si existen escalares cero, tales que

un

espacio no todos

(1) La ecuación (1) se cumple siempre si las constantes son todas cero. Si la única forma en que se cumple la ecuación (1) es ésta, esto es, si Sólo si Entonces se dice que los vectores son linealmente independientes.

1. 2. 3. 4.

Sean n vectores de , las siguientes condiciones son equivalentes Los vectores son independientes. La matriz A que tiene a estos vectores como vectores columna es invertible. A se puede reducir a la matriz identidad de . (A es equivalente por renglones a In). La forma escalonada por renglones de A tiene n pivotes.

5. 10. ¿Qué es la dependencia lineal? Varios vectores libres del plano se dice que son linealmente dependientes si hay una combinación lineal de ellos que es igual al vector cero, sin que sean cero todos los coeficientes de la combinación lineal.

Propiedades 1. Si varios vectores son linealmente dependientes, entonces al menos uno de ellos se puede expresar como combinación lineal de los demás.

También se cumple el reciproco: si un vector es combinación lineal de otros, entonces todos los vectores son linealmente dependientes. 2. Dos vectores del plano son linealmente dependientes si, y sólo si, son paralelos. 3. Dos vectores libres del plano = (u1, u2) y = (v1, v2) son linealmente dependientes si sus componentes son proporcionales.

11. ¿Cuál es el concepto de transformación lineal? Las transformaciones lineales intervienen en muchas situaciones en Matemáticas y son algunas de las funciones más importantes. En Geometría modelan las simetrías de un objeto, en Algebra se pueden usar para representar ecuaciones, en Análisis sirven para aproximar localmente funciones.

12. ¿Qué significa producto interno? Producto interno o escalar fue introducido por el alemán Grassman, en 1844 y lo define de la siguiente manera: Una operación entre vectores que sirve para desarrollar el cálculo vectorial en física es el producto interno o escalar.

En matemáticas, el producto interno, es una aplicación cuyo dominio es V y su codominio es K, donde V es un espacio vectorial y K el conjunto de los escalares respectivo. Es una aplicación que a dos elementos de un espacio lineal le hace corresponder un elemento del cuerpo de escalares. 13. ¿Con qué otro nombre se conoce el producto interno? En matemáticas, el producto interno, también conocido como producto escalar, producto interior o producto punto. 14. ¿En qué consiste el proceso de Gram-Schmidt?

15. ¿Qué se obtiene en el proceso de Gram-Schmidt? La demostración da a la vez un algoritmo que nos permite encontrar bases ortogonales (y de hecho ortonormales). Se puede aplicar el proceso de Gram-Schmidt a cualquier base 𝑣1 , … … . . , 𝑣𝑑 un espacio Euclidiano V y al final obtendremos una familia 𝑒1 , … … . , 𝑒𝑑 de vectores ortonormales. Como sabemos que las familias de vectores ortonormales son linealmente independientes, y tenemos vectores, concluimos que 𝑒1 , … … . , 𝑒𝑑 es una base ortonormal. En resumen, tenemos el siguiente resultado. Corolario. Todo espacio Euclidiano tiene una base ortonormal. 16. Explica el concepto de ortogonalidad. Es una generalización de la noción geométrica de perpendicularidad. En el espacio euclídeo convencional el término ortogonal y el término perpendicular son sinónimos. Sin embargo, en espacios de dimensión finita y en geometrías no euclídeas el concepto de ortogonalidad generaliza al de perpendicularidad. Formalmente, en un espacio vectorial con producto interior V, dos vectores 𝑥 ∈ 𝑉 e 𝑦 ∈ 𝑉 son ortogonales si el producto escalar < 𝑥 , 𝑦 >de es cero. Además, un conjunto A se dice que es ortogonal a otro conjunto B, si cualquiera de los vectores de A es ortogonal a cualquiera de los vectores del conjunto B.

17. Define el concepto de ortonormalidad. Sea V un espacio vectorial con producto interno y u, v dos vectores de V, entonces, u y v son vectores ortonormales si son ortogonales y su norma es 1, es decir, (u, v) = 0 y además u= 1, v= 1 Los vectores que forman una base ortonormal son perpendiculares entre sí, y además tienen de módulo la unidad. Cualquier vector del plano se puede poner como combinación lineal de los vectores que forman la base:

Esta base formada por los vectores

y

se denomina base canónica.

Es la base que se utiliza habitualmente, de modo que si no se advierte nada se supone que se está trabajando en esa base

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