Advanced Maths kdny PDF

Preview

Summary

TRƯỜNG ĐẠI HỌC NGOẠI THƯƠNG CƠ SỞ IIBỘ MÔN CƠ SỞ - CƠ BẢNTỔ TOÁN TINBÀI GIẢNG TOÁN CAO CẤPPHẦN 1: ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNHMỞ ĐẦU0. Tập hợp*** Khái niệm cơ bản**Tập hợp có thể hiểu tổng quát là nhóm các đối tượng có chung một đặc trưng nào đó.Người ta thường dùng các chữ cái in hoa A, B, C,... để ký hiệu mộ...

Description

TRƯỜNG ĐẠI HỌC NGOẠI THƯƠNG CƠ SỞ II BỘ MÔN CƠ SỞ - CƠ BẢN TỔ TOÁN TIN

BÀI GIẢNG TOÁN CAO CẤP PHẦN 1: ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

MỞ ĐẦU 0.1. Tập hợp * Khái niệm cơ bản Tập hợp có thể hiểu tổng quát là nhóm các đối tượng có chung một đặc trưng nào đó. Người ta thường dùng các chữ cái in hoa A, B, C,… để ký hiệu một tập hợp. Nếu x là phần tử của A kí hiệu x  A . Ngược lại kí hiệu x  A ( x không thuộc A). Tập hợp không có phần tử nào gọi là tập rỗng. Kí hiệu:  . * Cách biểu diễn tập hợp Có ba cách biểu diễn một tập hợp: - Liệt kê: Liệt kê tất cả phần tử trong dấu { }. Ví dụ 0.1. Cho tập hợp A gồm các phần tử 0,1, 2, a, b . A  {0,1, 2, a, b}

- Theo tính chất đặc trưng: B  {x | x có tính chất đặc trưng Q} .

 0} đọc là “B là tập hợp các số x sao cho x 2  4  0 ”.

Ví dụ 0.2. B  {x  - Giản đồ Ven.

Ví dụ 0.3. Cho a, b, 2  A ; c, 3  A , ta biểu diễn bằng giản đồ Ven như sau -3

b

a

2

c

* Tập hợp con, tập hợp bằng nhau - Tập hợp con: A là tập hợp con của B nếu mọi phần tử của A đều là phần tử của B. Kí hiệu: A  B ( A chứa trong B ) A  B  " x, x  A  x  B"

Nhận xét: ta có   A và A  A với mọi tập hợp A. - Tập hợp bằng nhau:

A  B  A  B và B  A  " x, x  A  x  B" * Các phép toán trên tập hợp - Phép giao:

A  B  {x, x  A và x  B} .

- Phép hợp:

A  B  {x, x  A hay x  B} . 2

- Phép hiệu:

A  B  {x, x  A và x  B} .

- Phần bù: Cho A  E , phần bù của A đối với E là một tập hợp có tính chất A  AC  CE A  E \ A  {x , x  E và x  A}.

- Hiệu đối xứng: Cho A, B là hai tập hợp. Hiệu đối xứng của A và B, kí hiệu AB là một tập hợp được xác định như sau AB  ( A \ B)  ( B \ A) .

- Tích Descartes: Cho A, B là hai t ập hợp. Tích Descartes của A và B, kí hiệuA B là một tập hợp được xác định như sau A  B   a, b | a  A, b  B.

Ví dụ 0.4. Cho A  1,2,3 , B  0,1 . Khi đó A  B 1,0 , 1,1 , 2,0 , 2,1 , 3,0 , 3,1 .

0.2. Ánh xạ * Định nghĩa Cho hai tập hợp X , Y   , một phép liên kết f tương ứng mỗi phần tử x  X với duy nhất một phần tử y  Y được gọi là ánh xạ từ X vào Y .

X  Y

f:

Kí hiệu: x

x)

X gọi là tập hợp nguồn (miền xác định). Y gọi là tập hợp đích (miền giá trị). Ví dụ 0.5. f :

x 2 là một ánh xạ.

* Ảnh và tạo ảnh Cho ánh xạ f : X  Y và các tập hợp C  X , D  Y . - Ảnh của tập C qua ánh xạ f , kí hiệu f (C) là tập hợp tất cả ảnh của các phần tử

x C . f (C)  { f ( x)  Y | x  C} .

Đặc biệt, f ( X ) là tập ảnh của ánh xạ f . - Tạo ảnh của D qua ánh xạ f , kí hiệu f 1 ( D) là tập tất cả các phần tử x  X có ảnh thuộc D. f  1 (D)  {x X | f ( x) D}.

3

* Đơn ánh, toàn ánh, song ánh Cho ánh xạ f : X  Y . - Ánh xạ

f

được gọi là đơn ánh

khi và chỉ khi

x1, x2  X

và

f ( x1 )  f ( x2 )  x1  x2 . Ví dụ 0.6. Cho ánh xạ f :

xác định bởi f ( x)  x3 1 .

Nếu f ( x1)  f ( x2 ) hay x13 1  x23  1 , ta suy ra x13  x23 do đó x1  x2 . Vậy f là đơn ánh. - Ánh xạ f được gọi là toàn ánh khi và chỉ khi với mỗi phần tử y  Y tồn tại một phần tử x  X sao cho f ( x)  y . xác định bởi f ( x)  x3 1 .

Ví dụ 0.7. Cho ánh xạ f : Lấy bất kì y  y, x 

3

, phương trình y  x3  1 luôn có nghiệm x  3 y  1 . Nghĩa là

y  1 sao cho f ( x)  f ( 3 y 1)  ( 3 y 1) 3  1  y . Do đó f là toàn ánh.

- Ánh xạ f được gọi là song ánh khi và chỉ khi f vừa là toàn ánh vừa là đơn ánh. Ví dụ 0.8. Cho ánh xạ f :

xác định bởi f ( x)  x3 1 vừa là toàn ánh vừa là

đơn ánh. Do đó f là song ánh. * Ánh xạ ngược Cho ánh xạ f : X  Y là một song ánh. Khi đó, mỗi phần tử x đều có một ảnh xác định f ( x)  Y . Ngược lại, mỗi phần tử y  Y có một và chỉ một nghịch ảnh x  X . Khi đó, ta gọi ánh xạ biến y  Y thành x  X sao cho f ( x)  y gọi là ánh xạ ngược của song ánh f , kí hiệu f 1 . Vậy f  1 là ánh xạ từ Y vào X, nó cũng là song ánh. * Tích của hai ánh xạ Cho ba tập hợp X , Y , Z và hai ánh xạ f : X  Y , g : Y  Z . Ánh xạ từ X vào Z được xác định bởi x  X  z  g  f ( x)  Z được gọi là tích (hợp) của ánh xạ f và g , kí hiệu go f . Ví dụ 0.9. Cho f :

, f ( x)  cos x và g :

 go f ( x)  g  f ( x)  ecosx ;  fo g  ( x)  f  g( x)  sin ex . 0.3. Trường số thực 4

, g( x)  ex . Khi đó, ta có

* Khái niệm số thực Tập hợp các số hữu tỉ bao gồm các s ố thập phân hữu hạn và các số thập phân vô hạn tuần hoàn. Ngoài các số hữu tỉ, ta còn gặp các số thập phân vô hạn không tuần hoàn còn gọi là số vô tỉ. Tập hợp các số hữu tỉ và vô tỉ gọi là tập hợp số thực, kí hiệu

.

* Các phép toán và tính chất Trong tập số thực

có các phép toán s ố học: cộng, trừ, nhân và chia có một số tính

chất cơ bản sau: Với mọi a, b, c

thì

Giao hoán: a b  b  a; ab  ba. Kết hợp: ( a b)  c  a ( b c); ( ab) c  a( bc). Phân phối: a( b  c)  ab  ac. Quan hệ thứ tự: a  b nếu a nhỏ hơn hoặc bằng b . Tính trù mật của

trong

: a, b 

nếu a  b thì tồn tại q 

sao cho a  q  b.

x khi x  0 Giá trị tuyệt đối x   x khi x  0 * Tiên đề cận trên đúng - Tập con A 

gọi là bị chặn trên (chặn dưới) nếu tồn tại số M (m) sao cho

a  M (a  m) với mọi a  A. - Tập con A  tại các số m, M 

gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới. Nghĩa là tồn sao cho A  [m; M ] . Hay tập A bị chặn nếu tồn tại số   0 sao cho

a   với mọi a  A. - Số M gọi là một cận trên của A. Số bé nhất trong tất cả các cận trên của A gọi là cận trên đúng của A, kí hiệu sup A . Đặc biệt, nếu sup A  A thì sup A là phần tử lớn nhất của

A , kí hiệu max A . - Số m gọi là một cận dưới của A. Số lớn nhất trong tất cả các cận dưới của A gọi là cận dưới đúng của A, kí hiệu inf A. Đặc biệt, nếu inf A  A thì inf A là phần tử nhỏ nhất của A , kí hiệu min A .

5

Tiên đề cận trên đúng: Mọi tập hợp A  đúng thuộc thuộc

. Suy ra mọi tập hợp A 

không rỗng, bị chặn trên đều có cận trên

không rỗng, bị chặn dưới đều có cận dưới đúng

.

0.4. Trường số phức * Khái niệm số phức Số phức là một số có dạng z  a  bi . Trong đó a , b là các số thực; i là một kí hiệu thoả i 2  1 mà ta gọi là đơn vị ảo. Hơn nữa, a gọi là phần thực của z , kí hiệu Re z ; b gọi là phần ảo của z , kí hiệu Imz . Môđun của số phức z , kí hiệu z xác định bởi z  a 2  b 2 . Hai số phức z  a  bi, w  c  di ( a, b, c, d 

được gọi là bằng nhau nếu và chỉ nếu

a  c, b  d . Tập hợp các số phức được kí hiệu là

.

* Các phép toán trên trường số phức Cho hai số phức z  a  bi, w  c  di ( a, b, c, d 

.

- Phép cộng trừ:

z  w  (a  c)  ( b  d )i z  w  (a  c)  ( b  d )i - Phép nhân: z. w  ( a  bi)( c  di)  ( ac  bd)  ( ad  bc) i

- Phép chia:

z a  bi (a  bi)(c  di) ac  bd bc  ad    2  i w c  di c2 d 2 c  d 2 c2  d 2 * Dạng lượng giác của số phức Cho số phức z  a  bi ( a, b 

với môđun r  z .

Argument của z , kí hiệu Arg z là tập hợp các góc  thoả

  a cos  r (*)  b sin    r Nếu  là một nghiệm của (*) thì Arg z    k 2 , k  Argument chính của z, kí hiệu arg z là một Argument của z thoả 0  arg z  2 . 6

Nếu z  a  bi thì

  a b  z  a2  b2  i  r (cos  i sin )(**) 2 2 2 2  a b   a b Trong đó r  z ,   Arg z. Ví dụ 0.10. Cho số phức z  1  3i . Tìm môđun, Arg z, arg z và dạng lượng giác của z.

  1 cos  2 2 2 Ta có z  1  (  3)  2 và  (*) . 3 sin     2 Một nghiệm của (*) là   

 3

suy ra Arg z  

 3

 k 2 , k 

và arg z 

5 . 3

       Dạng lượng giác: z  2  cos   k 2   i sin    k 2   , k    3    3 * Công thức Moivre Giả sử z  r(cos  isin ), w r '(cos ' isin ). Khi đó ta có zn  rn (cos n  i sin n )

z. w  r.r ' cos(   ')  isin(   ') 2020 Ví dụ 0.11. Tính (1  3i) .

       Ta có 1  3 i  2 cos    k2   isin    k2  , k    3    3 Suy ra

  2020   2020   k 2   i sin    k 2  , k  (1  3)2020  22020  cos   3 3       1 3  22020   i   22019  i22019 3. 2   2 * Khai căn số phức Cho z là số phức. Số phức w gọi là một căn bậc n của z nếu như wn  z . Khai căn bậc n của z tức là đi tìm tất cả các căn bậc n của z . Cho z  r cos(   k 2 )   i sin(  k 2 )  . Giả sử w  s  cos  i sin  là căn bậc n của z. Khi đó 7

wn  z  s n  cos n  i sin n   r  cos(  k 2 ) i sin(  k 2 ) s  n r s n  r     k2  n    k 2    n n  Vậy tập các căn bậc n của z là n

   k2    k2  i sin z  w k  n r  cos n n  

   ,k  0,1,...,n  1 (*)  

Căn bậc n của z là n số phức khác nhau tính bằng công thức (*) . Ví dụ 0.12. Tìm tất cả căn bậc n của 1. Ta có 1 1  0.i 1(cos k 2  i sin  ), k  n

Căn bậc n của 1 là

k2 k2    i sin 1   k  cos , k  0,1,...,n  1 . n n  

* Giải phương trình Phương trình bậc 2: ax2  bx  c  0 luôn có hai nghiệm. Phương trình bậc n trong t ập số phức

luôn có n nghiệm.

Ví dụ 0.13. Giải phương trình x 2  4 x  7  0 . Ta có

  12  12 i2 4  2 3i  2  3 i 2 4  2 3 i  2  3 i. x2  2 x1 

8

CHƯƠNG 1: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC 1.1. Khái niệm cơ bản về ma trận 1.1.1. Ma trận Ma trận là một bảng số xếp theo dòng và theo cột. Một ma trận có m dòng và n cột được gọi là ma trận cấp m  n. Ma trận cấp m  n có dạng tổng quát như sau

 a11 a12 a a22 A   21    am 1 am 2 trong đó aij 

a13 a23 am 3

; j  1, n) . Số aij nằm trên dòng i và cột j của ma trận A gọi là phần

tử của ma trận A. Phần tử nằm trên dòng i và cột j còn được kí hiệu là ( A)ij . Để viết ngắn gọn ma trận A, ta dùng kí hiệu A  (aij )mn . được kí hiệu M m n 

Tập hợp các ma trận cấp m  n với aij 

.

Ví dụ 1.1.

 2 0 1 A   là ma trận cấp 2  3, có a13  1; a22  8 . 4 8 9   1 2 3 B   4 6 3  là ma trận cấp 3  3 , có b12  2, b21  4, b32  3 .   5 3 7    1.1.2. Các dạng ma trận * Ma trận không Cho ma tr ận A cấp m  n . A được gọi là

ậ

nếu tất các phần tử ma trận

đều bằng 0,  A ij  0, i, j. Kí hiệu 0mn . * Ma trận dòng, ma trận cột - Ma trận cấp m 1 gọi là ma trận cột (ma trận có 1 cột). - Ma trận cấp 1 n gọi là ma trận dòng (ma trận có 1 dòng). Ví dụ 1.2.

C   4 1 2 5 là ma trận dòng. 9

2 D   4  là ma trận cột.  1   * Ma trận chuyển vị Ma trận chuyển vị của A là ma tr ận thu được bằng cách đổi dòng thành cột tương ứng của ma trận A. Ma trận chuyển vị của A được kí hiệu là AT . Nếu A là ma trận cấp m  n thì AT là ma trận cấp n  m .

Ví dụ 1.3.

 1 1  1 3 5   T A   A 3 2  .  1 2 7   5 7  

 

Chú ý: AT

T

 A.

* Ma trận vuông Ma trận có số dòng và s ố cột bằng n được gọi là ma trận vuông cấp n. Kí hiệu

A   a ij 

n n

 

hay a ij

n

.

Tập hợp tất cả các ma tr ận vuông cấp n được kí hiệu Mn 

.

Các phần tử có dạng aii được gọi là phần tử chéo của ma trận. Đường thẳng chứa các phần tử chéo gọi là đường chéo chính của A.

 3 2 1 Ví dụ 1.4. A   2 1 6  là ma trận vuông cấp 3. Các phần tử 3, 1, 2 là phần tử 1 3 2    chéo của A. * Ma trận tam giác Cho A là ma trận vuông cấp n. - Ma trận A là ma trận tam giác trên nếu tất cả phần tử nằm bên dưới đường chéo chính đều bằng 0, tức là aij  0, i  j ; i  1,...,n; j  1,...,n . - Ma trận A là ma trận tam giác dưới nếu tất cả các phần tử nằm bên trên đường chéo chính đều bằng 0, tức là aij  0, i  j; i  1,...,n; j  1,...,n . Ví dụ 1.5.

10

 3 2  1 A   0 1 6  là ma trận tam giác trên. 0 0 3    2 8 B  2  1

0 0 0 0 4 1

0 0  là ma trận tam giác dưới. 0  2 4 1

* Ma trận chéo Ma trận vuông A cấp n được gọi là ma trận chéo nếu các phần tử nằm ngoài đường chéo chính bằng 0, tức là aij  0, i  j .

2 0  0 1 Ví dụ 1.6. A   0 0  0 0

0 0

0 0  là ma trận chéo. 1 0  0 1 

* Ma trận đơn vị Ma trận đơn vị là ma tr ận chéo mà các phần t ử trên đường chéo chính bằng 1. Kí hiệu

I hay I n (nếu là ma trân vuông cấp n). 1 0 0  Ví dụ 1.7. I 3   0 1 0  là ma trận đơn vị cấp 3. 0 0 1    1.1.3. Các phép biển đổi sơ cấp trên ma trận Ba phép biến đổi sau đây gọi là ba

ến đổi sơ cấ trên dòng của ma trận

- Nhân một dòng với một số   0 i

 

i

- Cộng một dòng bởi một dòng khác đã được được nhân với 1 s ố  i

 

i



j

- Đổi chỗ hai dòng cho nhau  

j

Tương tự ta có ba phép biến đổi sơ cấp trên các cột của ma trận.

11

4  4   1 2 8  d 2  d 2  d1  1 2 1 2  1 1 3      d3  d3 5 d1 d3  d3  2 d2   0  3  1    0  3  1  Ví dụ.   5 4 7   0 6 13   0 0 11        1.2. Phép toán cơ bản trên ma trận 1.2.1. Phép cộng hai ma trận Cho hai ma trận A và B cùng cấp m  n . Tổng hai ma tr ận, kí hiệu A+B là ma trận cấp

m  n xác định bởi  A  B ij   A ij   B ij với mọi i, j. Ví dụ 1.8.

 1 2 3   7 8 9   1  7 2  8 3  9   8 10 12          .  4 5 6  10 11 12   4 10 5 11 6 12  14 16 18   2 1  x 1     Ví dụ 1.9. Cho A   1 3  và B   5 4  . 5 4  y 2     1   x 1   2  x 0  3    5 4    6 7  . 4   y 2  5  y 6 

2 Ta có A  B   1 5  ậ

ỉ ộng đượ

ớ

ấ

1.2.2. Phép nhân vô hướng của ma trận với một số thực Tích của ma trận A cấp m  n với số thực  , kí hiệu  A , là ma trận cấp m  n xác định bởi   A ij    Aij với mọi i,j.

3 Ví dụ 1.10. 2  2 Chú ý: Khi

1 4   6  1 5   4

 1

ẽ

ế 

2 8  . 2 10  thay cho (1)

và gọi là ma tr ận đối của A.

Ta định nghĩa A  B  A  ( B) là phép trừ hai ma trận. 1.2.3. Tích của hai ma trận

 

Cho hai ma trận A  a ij

m p

, B  b ij p n . Ta gọi tích của hai ma tr ận A và B, kí hiệu

A.B , là ma trận cấp m  n được xác định như sau p

 AB ij  ai 1b1 j  a i 2b2 j  ...  a ipb pj   a ikb kj . k 1

12

Ví dụ 1.11.

1 3   1 2  1   1.1 2.2  ( 1).3 1.3 2.1 ( 1)( 1)   2 6   . 2 1 . 3 1 2    3.3  1.1  2.(1)   11 8    3 1   3.1 1.2  2.3   Chú ý: - Để tính tích hai ma trận A và B thì số cột của A phải bằng số dòng của B. - Phần tử ( A.B)ij bằng tổng các tích từng phần tử trên dòng i của A với phần tử tương ứng ở cột j của B. Với mỗi ma trận vuông A và số tự nhiên n  1, ta định nghĩa: A0  I

An  An1. A

Ta gọi An là luỹ thừa bậc n của A.

 1  1 . Tính A2 , A3 . Ví dụ 1.12. Cho A    0 1  Ta có

 1 1  1 1   1 2  A2     .  0 1  0 1   0 1   1 2  1 1  1 3  A3  A 2 . A      .  0 1  0 1   0 1  1.2.4. Tính chất Giả sử các phép toán dưới đây đều thực hiện được. Khi đó ta có các tính chất sau đây: i. A  B  B  A ii. A   B  C   A  B  C iii. A  0  A iv. A    A  0 v.   A  B   A   B    vi.     A   A  A  ,  vii.   A      A  ,   viii. 1. A  A; AI  IA  A . 1.3. Định thức 1.3.1. Hoán vị 13

* Hoán vị Xét tập n số tự nhiên đầu tiên 1,2,

. Mỗi các sắp xếp có thứ tự được gọi là một

hoán vị từ n số đã cho. Số các hoán vị khác nhau từ n phần tử đã cho là n! 1.2.3 Mỗi hoán vị của tập 1,2,

được kí hiệu là   ( (1), (2),

.

với

 ( i) 1, 2,..., n và  (i )   ( j) . Ví dụ 1.13. Tập 1, 2,3 có 3!  6 hoán vị là

1  (1,2,3), 2  (1,3,2), 3  (2,1,3), 4  (2,3,1), 5  (3,1,2), 6  (3,2,1) * Nghịch thế Trong một hoán vị, mỗi cặp số liên tiếp có số lớn đứng trước số bé gọi là một nghịch thế của hoán vị. Số nghịch thế của hoán vị  được kí hiệu là N ( ) . Ví dụ 1.14. Với các hoán vị của 3 phần tử trên, ta có N (1 )  0, N ( 2 )  N ( 3 )  1, N ( 4 )  N ( 5 )  2, N ( 6 )  3. 1.3.2. Định thức của ma trận vuông

* Định thức cấp n Cho ma trận vuông A cấp n

 a11 a12 a a22 A   21    an1 an 2 Định thức của ma tr ận A được kí hiệu là det A hoặc A xác định như sau

det A 

a11 a21

a12 a22

an1

an2

  ( 1) N ( )a 1 (1)a 2 (2)

Trong đó tổng lấy theo tất cả các hoán vị   ( (1),  (2), * Định thức cấp 1 Cho ma trận vuông cấp 1, A   a11  . Khi đó det * Định thức cấp 2

 a11 a12  Cho ma trận vuông cấp 2, A    . Khi đó  a 21 a 22  14

 a11.

.

det A 

a11 a12  a11a22  a12 a21. a21 a22

* Định thức cấp 3

 a11 a12 a13  Cho ma trận vuông cấp 3, A   a 21 a 22 a 23  . Khi đó a   31 a32 a33 

a11 a12 a13 det A  a 21 a 22 a 23 a31

a32

a33

  a11 a22 a33  a12 a23 a31  a13 a21 a32    a11 a23 a32  a12 a21 a33  a13 a22 a31 . Để nhớ công thức trên người ta thường sử dụng quy tắc Sarrus như sau:

Giữ nguyên dấu

Đổi dấu

Ví dụ 1.15.

2 4 8 1  1 3   2.( 1).7  4.3.5  1.8.4   8.( 1).5 2.3.4 1.4.7  66. 5

4

7

1.3.3. Tính chất của định thức Tính chất 1: Cho A là ma trận vuông, ta có det

T

 det 



Chú ý: Từ tính chất chuyển vị, mọi tính chất của định thức đúng cho dòng thì cũng đúng cho cột và ngược lại. Do đó, trong các tính chất của định thức, chỉ phát biểu cho các dòng, các tính chất đó vẫn giữ nguyên giá trị khi thay chữ “dòng” bằng chữ “cột”. Tính chất 2: Đổ

ỗ

và giữ nguyên vị trí các dòng còn lại thì đị

thức đổi dấu.

3 6 7 1 5 2 Ví dụ 1.16. Ta có 1 5 2   3 6 7 (đổi chỗ dòng 1 và dòng 2 cho nhau). 4 8 10 4 8 10 15

Tính chất 3: Thừa số chung của một dòng có thể đưa ra ngoài dấu định thức.

a11 ka21 ... a n1

a12 ... a1 n a11 a12 ... a1 n ka22 ... ka2 n a21 a22 ... a2 n k ... ... ... ... ... ... ... an 2 ... ann an1 an 2 ... ann , ta có det  A   n det A .

Chú ý: Cho A là ma trận vuông cấp n và số thực

Tính chất 4: Cho A là ma trận vuông cấp n. Giả sử dòng thứ i của ma trận A có thể biểu diễn aij  a'  a" với j 1, 2,..., n . Khi đó ta có:

... ... ' ' det  a  ai 1 ai 2  ai''2 ... ... ' i1

... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ' '' ' ' ' ' ... ai n  ai n  ai 1 ai 2 ... ai n  ai 1 ai'' 2 ... ai''n . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

Ví dụ 1.17.

3 6

1  ( 2) 5 1 7 ...