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Exercices de mathématiques accompagnés de leur correction afin de s'entrainer....

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Tle Spé

Entrainement n°16

2021/2022

Exercice 1 Soit f la fonction définie sur l’intervalle [0 ; 4] par f (x) =

2 + 3x . 4+x

Partie A On considère la suite (un ) définie par u0 = 3 et pour tout entier naturel n, un+1 = f (un ). On admet que cette suite est bien définie. 1. Calculer u1 . 2. Montrer que la fonction f est croissante sur l’intervalle [0 ; 4]. 3. Montrer que pour tout entier naturel n, 1 6 un+1 6 un 6 3. 4. (a) Montrer que la suite (un ) est convergente. (b) On appelle ℓ la limite de la suite (un ) ; montrer l’égalité ℓ =

2 + 3ℓ . 4+ℓ

(c) Déterminer la valeur de la limite ℓ. Partie B On considère la suite (vn ) définie par v0 = 0, 1 et pour tout entier naturel n, vn+1 = f (vn ). 1. On donne ci-dessous la courbe représentative, Cf , de la fonction f et la droite D d’équation y = x. Placer sur l’axe des abscisses par construction géométrique les termes v1 , v2 et v3 . Quelle conjecture peut-on formuler sur le sens de variation et le comportement de la suite (vn ) quand n tend vers l’infini ?   2 2. (a) Montrer que pour tout entier naturel n, 1 − vn+1 = (1 − vn ). 4 + vn  n 1 (b) Montrer par récurrence que pour tout entier naturel n, 0 6 1 − vn 6 . 2 3. La suite (vn ) converge-t-elle ? Si oui, préciser sa limite.

1,0 Cf

0,9 0,8

D 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

1

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0

1,1

Tle Spé

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2021/2022

Exercice 2 1 3 x − x2 + 2x. On note C sa courbe représentative dans un repère du plan. 3 Les affirmations suivantes sont-elles vraies ou fausses ? Justifier. Soit f la fonction définie sur R par f (x) =

Affirmation 1 : La courbe C admet deux tangentes parallèles à la droite D d’équation y = x. Affirmation 2 : La courbe C admet une unique tangente passant par le point A(1 ; 2).

Exercice 3 Dans une école de statistique, après étude des dossiers des candidats, le recrutement se fait de deux façons : • 10 % des candidats sont sélectionnés sur dossier. Ces candidats doivent ensuite passer un oral à l’issue duquel 60 % d’entre eux sont finalement admis à l’école. • Les candidats n’ayant pas été sélectionnés sur dossier passent une épreuve écrite à l’issue de laquelle 20 % d’entre eux sont admis à l’école. Partie 1 On choisit au hasard un candidat à ce concours de recrutement. On notera : • D l’événement « le candidat a été sélectionné sur dossier » ; • A l’événement « le candidat a été admis à l’école » ; • D et A les événements contraires des événements D et A respectivement. 1. Traduire la situation par un arbre pondéré. 2. Calculer la probabilité que le candidat soit sélectionné sur dossier et admis à l’école. 3. Montrer que la probabilité de l’événement A est égale à 0, 24. 4. On choisit au hasard un candidat admis à l’école. Quelle est la probabilité que son dossier n’ait pas été sélectionné ? Partie 2 1. On admet que la probabilité pour un candidat d’être admis à l’école est égale à 0, 24. On considère un échantillon de sept candidats choisis au hasard, en assimilant ce choix à un tirage au sort avec remise. On désigne par X la variable aléatoire dénombrant les candidats admis à l’école parmi les sept tirés au sort. (a) Justifier que la variable aléatoire X suit une loi binomiale et préciser les paramètres de cette loi. (b) Calculer la probabilité qu’un seul des sept candidats tirés au sort soit admis à l’école. On donnera une réponse arrondie au centième. (c) Calculer la probabilité qu’au moins deux des sept candidats tirés au sort soient admis à cette école. On donnera une réponse arrondie au centième. 2. Un lycée présente n candidats au recrutement dans cette école, où n est un entier naturel non nul. On admet que la probabilité pour un candidat quelconque du lycée d’être admis à l’école est égale à 0, 24 et que les résultats des candidats sont indépendants les uns des autres. (a) Donner l’expression, en fonction de n, de la probabilité qu’aucun candidat issu de ce lycée ne soit admis à l’école. (b) Déterminer la plus petite valeur de l’entier n telle que la probabilité qu’au moins un élève de ce lycée soit admis à l’école est supérieure ou égale à 0, 99.

Exercice 4 Déterminer les limites suivantes. 1. f (x) = x2 ex−2 en +∞ et −∞ e2x 2. g(x) = 2 en 0 et +∞ x

2

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Correction de l’exercice 1 Soit f la fonction définie sur l’intervalle [0 ; 4] par f (x) =

2 + 3x . 4+x

Partie A On considère la suite (un ) définie par u0 = 3 et pour tout entier naturel n, un+1 = f (un ). On admet que cette suite est bien définie. 1. Calculer u1 . u1 = f (u0 ) = f (3) =

2+3×3 11 = 7 4+3

u1 =

11 7

2. Montrer que la fonction f est croissante sur l’intervalle [0 ; 4]. La fonction f est dérivable sur l’intervalle [0 ; 4] et, pour tout x ∈ [0 ; 4], on a : 10 3 × (4 + x) − 1 × (2 + 3x) = f ′ (x) = (4 + x)2 (4 + x)2 Pour tout x ∈ [0 ; 4], (4 + x)2 > 0 et 10 > 0 donc f ′ (x) > 0 On en déduit que la fonction f est strictement croissante sur [0 ; 4] 3. Montrer que pour tout entier naturel n, 1 6 un+1 6 un 6 3. On utilise un raisonnement par récurrence : Initialisation u1 =

11 ≈ 1, 6 et u0 = 3 donc 1 6 u1 6 u0 6 3 et la propriété est vraie pour n = 0. 7

Hérédité Montrons que si 1 6 un+1 6 un 6 3 pour un entier n fixé, n ∈ N, alors 1 6 un+2 6 un+1 6 3. On suppose donc 1 6 un+1 6 un 6 3 pour un entier n fixé, n ∈ N : 1 6 un+1 6 un 6 3 f (1) 6 f (un+1 ) 6 f (un ) 6 f (3) car la fonction f est croissante sur [0 ; 4] 11 1 6 un+2 6 un+1 6 7 11 6 3 donc 1 6 un+2 6 un+1 6 3 or 7 Conclusion D’après le principe de récurrence, pour tout entier naturel n, 1 6 un+1 6 un 6 3 4. (a) Montrer que la suite (un ) est convergente. D’après la question précédente, la suite (un ) est décroissante et minorée par 1 donc, d’après le théorème de convergence monotone, La suite (un ) est convergente (b) On appelle ℓ la limite de la suite (un ) ; montrer l’égalité ℓ =

2 + 3ℓ . 4+ℓ

Pour tout entier naturel n, 1 6 un+1 6 un 6 3 donc 1 6 ℓ 6 3 • D’une part, lim un+1 = ℓ n→+∞

• D’autre part, lim f (un ) = f (ℓ) car la fonction f est continue sur [0 ; 4] n→+∞

Or, pour tout entier naturel n, un+1 = f (un ) donc, par unicité de la limite, ℓ = f (ℓ) soit ℓ =

3

2 + 3ℓ 4+ℓ

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2021/2022

(c) Déterminer la valeur de la limite ℓ. Sur [1 ; 3], l’équation ℓ =

2 + 3ℓ équivaut successivement à : 4+ℓ

ℓ(4 + ℓ) = 2 + 3ℓ 4ℓ + ℓ2 = 2 + 3ℓ ℓ2 + ℓ − 2 = 0 Il s’agit d’une équation du second degré avec a = 1, b = 1 et c = −2. ∆ = b2 − 4ac = 12 − 4 × 1 × (−2) = 9 > 0 Donc cette équation admet deux solutions sur R : √ √ √ √ −b + ∆ −1 − 9 −1 + 9 −b − ∆ =1 = −2 et ℓ2 = = = ℓ1 = 2 2 2a 2a On sait de plus que 1 6 ℓ 6 3 donc la suite (un ) converge vers ℓ = 1 Partie B On considère la suite (vn ) définie par v0 = 0, 1 et pour tout entier naturel n, vn+1 = f (vn ). 1. On donne ci-dessous la courbe représentative, Cf , de la fonction f et la droite D d’équation y = x. Placer sur l’axe des abscisses par construction géométrique les termes v1 , v2 et v3 . Quelle conjecture peut-on formuler sur le sens de variation et le comportement de la suite (vn ) quand n tend vers l’infini ? On peut conjecturer que la suite est croissante et converge vers 1 2. (a) Montrer que pour tout entier naturel n, 1 − vn+1 = Pour tout entier naturel n, 1 − vn+1



2 4 + vn



(1 − vn ).

2 + 3vn 4 + vn − (2 + 3vn ) 2 − 2vn = =1− = = 4 + vn 4 + vn 4 + vn

On a donc bien , pour tout entier naturel n, 1 − vn+1 =



2 4 + vn





2 4 + vn



(1 − vn )

(1 − vn )

(b) Montrer par récurrence que pour tout entier naturel n, 0 6 1 − vn 6



1 2

n

.

Initialisation  0  0 1 1 1 − v0 = 0, 9 et = 1 donc 0 6 1 − v0 6 et la propriété est vraie pour n = 0. 2 2 Hérédité  n+1  n 1 1 pour un entier n fixé, n ∈ N, alors 0 6 1 − vn+1 6 . 2 2  n 1 pour un entier n fixé, n ∈ N : On suppose donc 0 6 1 − vn 6 2  n 1 0 6 1 − vn 6 2   n   n     1 1 2 2 2 > 0 car on suppose 1 − vn 6 × (1 − vn ) 6 on multiplie par 06 2 2 4 + vn 4 + vn 4 + vn  n 1 donc vn > 1 − >0 2    n 2 1 0 6 1 − vn+1 6 d’après la question précédente × 2 4 + vn

Montrons que si 0 6 1 − vn 6

4

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De plus, vn > 0 donc : 4 + vn > 4 1 1 car la fonction inverse est décroissante sur ]0 ; +∞[ 6 4 4 + vn 2 1 on multiplie par 2 6 2 4 + vn   n  n+1   n 1 2 1 1 × 6 on multiplie par 2 2 2 4 + vn  n+1 1 On a donc 0 6 1 − vn+1 6 2 Conclusion  n 1 D’après le principe de récurrence, pour tout entier naturel n, 0 6 1 − vn 6 2 3. La suite (vn ) converge-t-elle ? Si oui, préciser sa limite.  n  n  n 1 1 1 − 1 ⇐⇒ 1 > vn > 1 − ⇐⇒ −1 6 −vn 6 Pour tout entier naturel n, 0 6 1 − vn 6 2 2 2  n  n 1 1 1 = 0 et, par somme lim 1 − =1 De plus, −1 < < 1 donc lim n→+∞ n→+∞ 2 2 2 On en déduit, d’après le théorème des gendarmes, que la suite (vn ) est convergente et converge vers 1

1,0 Cf

0,9 0,8

D 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 v0

0 0

0,1

v1 0,2

0,3

0,4

0,5

5

0,6

v2 0,7

0,8

v3 0,9

1,0

1,1

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2021/2022

Correction de l’exercice 2 1 3 x − x2 + 2x. On note C sa courbe représentative dans un repère du plan. 3 Les affirmations suivantes sont-elles vraies ou fausses ? Justifier. Soit f la fonction définie sur R par f (x) =

Affirmation 1 : La courbe C admet deux tangentes parallèles à la droite D d’équation y = x. Le nombre de tangentes parallèles à la droite D correspond au nombre de solutions de l’équation f ′ (x) = 1. La fonction f est dérivable sur R et, pour tout réel x, f ′ (x) = x2 − 2x + 2

Sur R, f ′ (x) = 1 ⇐⇒ x2 − 2x + 2 = 1 ⇐⇒ x2 − 2x + 1 = 0 ⇐⇒ (x − 1)2 = 0 ⇐⇒ x = 1 Il existe donc une unique tangente à la courbe C parallèle à la droite D donc l’affirmation 1 est fausse Affirmation 2 : La courbe C admet une unique tangente passant par le point A(1 ; 2). Soit a un réel quelconque et Ta la tangente à la courbe C au point d’abscisse a.

Ta : y = f ′ (a)(x − a) + f (a)

A(1 ; 2) ∈ Ta ⇐⇒ f ′ (a)(1 − a) + f (a) = 2

Sur R, l’équation f ′ (a)(1 − a) + f (a) = 2 équivaut successivement à : 1 (a2 − 2a + 2)(1 − a) + a2 − a2 + 2a = 2 3 1 a2 − a3 − 2a + 2a2 + 2 − 2a + a3 − a2 + 2a − 2 = 0 3 2 − a3 + 2a2 − 2a = 0 3   2 a − a2 + 2a − 2 = 0 3 2 a = 0 ou − a2 + 2a − 2 = 0 3   2 2 2 4 2 Calculons le discriminant de l’équation du second degré − a + 2a − 2 = 0 : ∆ = 2 − 4 × − × (−2) = − < 0 3 3 3 2 2 On en déduit que l’équation − a + 2a − 2 = 0 n’admet aucune solution. 3 On a donc f ′ (a)(1 − a) + f (a) = 2 ⇐⇒ a = 0 ce qui signifie qu’il existe un unique tangente à C passant le point A, la tangente au point d’abscisse 0. L’affirmation 2 est donc vraie

Correction de l’exercice 3 Dans une école de statistique, après étude des dossiers des candidats, le recrutement se fait de deux façons : • 10 % des candidats sont sélectionnés sur dossier. Ces candidats doivent ensuite passer un oral à l’issue duquel 60 % d’entre eux sont finalement admis à l’école. • Les candidats n’ayant pas été sélectionnés sur dossier passent une épreuve écrite à l’issue de laquelle 20 % d’entre eux sont admis à l’école. Partie 1 On choisit au hasard un candidat à ce concours de recrutement. On notera : • D l’événement « le candidat a été sélectionné sur dossier » ; • A l’événement « le candidat a été admis à l’école » ; • D et A les événements contraires des événements D et A respectivement. 1. Traduire la situation par un arbre pondéré. 0, 6 A 0, 1

0, 9

D 0, 4

A

0, 2

A

0, 8

A

D

6

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2. Calculer la probabilité que le candidat soit sélectionné sur dossier et admis à l’école. P (D ∩ A) = P (D) × PD (A) = 0, 1 × 0, 6 = 0, 06 La probabilité que le candidat soit sélectionné sur dossier et admis à l’école est égale à 0,06 3. Montrer que la probabilité de l’événement A est égale à 0, 24. Les événements D et D forment une partition de l’univers donc, d’après la formule des probabilités totales, on a : P (A) = P (D ∩ A) + P (D ∩ A) P (A) = 0, 06 + P (D) × PD (A) P (A) = 0, 06 + 0, 9 × 0, 2 P (A) = 0, 24 La probabilité de l’événement A est égale à 0,24 4. On choisit au hasard un candidat admis à l’école. Quelle est la probabilité que son dossier n’ait pas été sélectionné ? PA (D) =

P (A ∩ D) 0, 9 × 0, 2 = = 0, 75 P (A) 0, 24

La probabilité que le dossier du candidat n’ait pas été sélectionné sachant qu’il a été admis à l’école est égale à 0,75 Partie 2 1. On admet que la probabilité pour un candidat d’être admis à l’école est égale à 0, 24. On considère un échantillon de sept candidats choisis au hasard, en assimilant ce choix à un tirage au sort avec remise. On désigne par X la variable aléatoire dénombrant les candidats admis à l’école parmi les sept tirés au sort. (a) Justifier que la variable aléatoire X suit une loi binomiale et préciser les paramètres de cette loi. Le choix d’un candidat au hasard est une expérience à deux issues, A et A où P (A) = 0, 24. On répète cette expérience sept fois de façon indépendante car le choix de l’échantillon peut être assimilé à un tirage au sort avec remise donc la variable aléatoire X, qui compte le nombre de candidats admis, suit une loi binomiale de paramètres n = 7 et p = 0, 24. X suit une loi binomiale de paramètres n = 7 et p = 0, 24 (b) Calculer la probabilité qu’un seul des sept candidats tirés au sort soit admis à l’école. On donnera une réponse arrondie au centième. P (X = 1) ≈ 0, 32 d’après la calculatrice La probabilité qu’un seul des sept candidats soit admis à l’école est environ égale à 0,32 (c) Calculer la probabilité qu’au moins deux des sept candidats tirés au sort soient admis à cette école. On donnera une réponse arrondie au centième. P (X > 2) ≈ 0, 53 d’après la calculatrice La probabilité qu’au moins deux des sept candidats soient admis à l’école est environ égale à 0,53 2. Un lycée présente n candidats au recrutement dans cette école, où n est un entier naturel non nul. On admet que la probabilité pour un candidat quelconque du lycée d’être admis à l’école est égale à 0, 24 et que les résultats des candidats sont indépendants les uns des autres. (a) Donner l’expression, en fonction de n, de la probabilité qu’aucun candidat issu de ce lycée ne soit admis à l’école. De même que dans la question 1., la variable aléatoire Y qui compte le nombre de candidats admis parmi les n candidats suit une loi binomiale de paramètres n et p = 0, 24.   n 0 p (1 − p)n−0 = (1 − 0, 24)n = 0, 76n P (Y = 0) = 0 La probabilité qu’aucun candidat issu de ce lycée ne soit admis à l’école est égale à 0, 76n

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(b) Déterminer la plus petite valeur de l’entier n telle que la probabilité qu’au moins un élève de ce lycée soit admis à l’école est supérieure ou égale à 0, 99. P (Y > 1) = 1 − P (Y = 0) = 1 − 0, 76n La probabilité qu’au moins un élève de ce lycée soit admis à l’école est égale à 1 − 0, 76 n On cherche la plus petite valeur de n telle que 1 − 0, 76 n > 0, 99. On ne sait pour l’instant pas résoudre cette équation, on peut par exemple utiliser le tableau de valeurs de la calculatrice et on trouve n = 17 A partir de n = 17, la probabilité qu’au moins un élève de ce lycée soit admis à l’école est supérieure ou égale à 0,99

Exercice 4 Déterminer les limites suivantes. 1. f (x) = x2 ex−2 en +∞ et −∞ Limite en +∞ lim (x − 2) = +∞ et

x→+∞

lim eX = +∞ donc, par composée, lim ex−2 = +∞ x→+∞

X →+∞

2

De plus, lim x = +∞ donc, par produit, x→+∞

lim f (x) = +∞

x→+∞

Limite en −∞ Il y a une forme indéterminée du type « ∞ × 0 » Pour tout réel x, f (x) = x2 ex × e−2 D’après le cours, lim x2 ex = 0 donc, par produit, x→−∞

2. g(x) =

lim f (x) = 0

x→−∞

e2x en 0 et +∞ x2

Limite en 0 lim e2x = 1 et lim x2 = 0+ donc, par quotient, lim g(x) = +∞

x→0

x→0

x→0

Limite en +∞ Il y a une forme indéterminée du type « Pour tout réel x 6= 0, g(x) = D’après le cours, lim

x→+∞

∞ » ∞

(ex )2 ex ex = × 2 x x x

ex = +∞ donc, par produit, x

lim g(x) = +∞

x→+∞

8...