Álgebra 1 - ¿Qué es álgebra? PDF

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¿Qué es álgebra?
Características
Términos algebraico
Expresiones Algebraicas...

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ÁLGEBRA II. Aprendizajes Esperados:  Reducir y simplificar expresiones algebraicas aplicando reglas y propiedades de operatoria básica. III. Síntesis esquemática de contenidos 4. MÓDULO ÁLGEBRA.  Lenguaje algebraico:  Términos y expresiones algebraicas.  Grado de términos y expresiones algebraicas.  Representación algebraica de enunciados.  Valorización de expresiones algebraicas  Aplicación a fórmulas de geometría: áreas perímetros, volumen  Aplicaciones contextualizadas a la especialidad.  Definición, características y operaciones con polinomios:  Términos semejantes.  Eliminación de paréntesis.  Reducción de términos algebraicos (semejantes).  Multiplicación de términos y expresiones algebraicas. Recordar:  Álgebra Es la rama de las matemáticas que estudia la cantidad considerada de la forma más general posible. Hasta ahora habíamos usado la Aritmética como herramienta para solucionar problemas matemáticos. Sin embargo la Aritmética representa las cantidades como números únicos, sin embargo en el Algebra, para lograr la generalización las cantidades las representamos por medio de letras, las cuales pueden representar todos los valores. Entonces, la rama de la matemáticas que permite modelar situaciones a través de generalidades literales, se conoce con el nombre de ALGEBRA. Es así como el álgebra permite realizar representaciones a través de factores literales, coeficientes numéricos y relaciones matemáticas de la Aritmética. El lenguaje algebraico es el lenguaje del Algebra, el cual permite representar cantidades por medio de letras y, de esta forma generalizar en variadas situaciones. De alguna manera ya hemos experimentado con esta rama al generalizar formulas aritméticas como las operaciones con fracciones o las propiedades de la adición y producto. Pero además nos sirve para generalizar enunciados matemáticos.  Características del lenguaje algebraico 1. El lenguaje algebraico es más preciso que el lenguaje numérico: podemos expresar enunciados de una forma más breve. El conjunto de los múltiplos de 5 es 5 • = {±5, ±10, ±15, ...}. En lenguaje algebraico se expresa 5 • n, con n un número entero.

2. El lenguaje algebraico permite expresar relaciones y propiedades numéricas de carácter general. La propiedad conmutativa del producto se expresa a • b = b • a , donde a y b son dos números cualesquiera. 3. Con el lenguaje algebraico expresamos números desconocidos y realizamos operaciones aritméticas con ellos. El doble de un número es seis se expresa 2x = 6. Una cantidad desconocida se puede representar con alguna letra llamada variable. A modo de ejemplos, ofrecemos un listado de frases con un contenido matemático traducidas a una expresión algebraica: Frase

Expresión algebraica

La suma de 2 y un número

2 + d (la "d" representa la cantidad desconocida)

3 más que un número

x+3

La diferencia entre un número y 5

a-5

4 menos que n

4-n

Un número aumentado en 1

k+1

Un número disminuido en 10

z - 10

El producto de dos números

a•b

Dos veces la suma de dos números

2 ( a + b)

Dos veces un número sumado a otro

2a + b

Cinco veces un número

5x

El cociente de dos números

a b

Término Algebraico: Término algebraico es una relación entre números y letras en la que intervienen operaciones como la multiplicación, la división, potencias y/o raíces (se excluye la suma y la resta). Tiene un factor numérico y un factor literal. 5 2

Ejemplo:

−3 x y



Factor numérico:

−3

5 2



Factor literal:

x y

Expresiones Algebraicas: Expresión algebraica es el resultado de combinar, mediante la operación de adición, uno o más términos algebraicos. Las expresiones algebraicas se clasifican según su número de términos. Monomio

: Un sólo término.

Ejemplo: 3yx2

Binomio

: Suma o resta de dos monomios.

Ejemplo: 3x2 + 2xz

Trinomio

: Suma o resta de tres monomios.

Ejemplo: 3x2 + 2y³x – 5

Polinomio

: Suma o resta de cualquier número de monomios.

Grado de una expresión algebraica: Este puede ser relativo o absoluto. A. Relativo: Está dado por el exponente de la variable considerada. B. Absoluto: Está dado por la suma de los exponentes de las variables. Ejemplo -12x2y3

Es de 2º grado con respecto a la variable x. Es de 3er grado con respecto a la variable y. Es de 5º grado absoluto con respecto a la variable x e y. Valoración de expresiones algebraicas: Valorar una expresión algebraica significa asignar un valor a cada variable de los términos y resolver las operaciones indicadas en la expresión para determinar su valor final. Ejemplo: Valoremos la expresión 3x2y – 5xy2 + xy, considerando que x = 3 e y = -2 3 x2 y – 5 x y 2 + x y = 3·32·(-2) – 5·3·(-2)2 + 3·(-2) = -54 – 60 – 6 = -120

Operaciones algebraicas: Suma y resta: Solo pueden ser sumados o restados los términos semejantes, o sea, aquellos que tienen igual parte literal. Ejemplo:

2a + 3b + 6a – 2b = 8a + b

Multiplicación: Debemos recordar que la multiplicación es una operación que tiene por objeto, dada dos cantidades el multiplicado y el multiplicador, hallar una tercera cantidad, llamada producto. Y por esto debemos recordar que:    

El orden de los factores no altera el producto. Los factores de un producto pueden agruparse de cualquier modo. Se mantiene la regla de los signos. Se debe respetar la regla de los exponentes, es decir: “Se conserva la base y se suman los exponentes”. Tipo Multiplicación de monomios Multiplicación de monomio por polinomio Multiplicación de polinomios por

Descripción Para multiplicar monomios por monomios se multiplican los coeficientes numéricos y las partes literales entre sí. La multiplicación de monomios por polinomios es una consecuencia directa de la propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la suma, es decir, se multiplica el monomio por cada uno de los términos del polinomio. Se multiplica cada uno de los términos del primer polinomio por cada uno de los términos del segundo polinomio.

polinomio

IV. Actividades. Desarrolla los siguientes ejercicios: Parte 1 : Marque la alternativa correcta, previo análisis y desarrollo.

( a 2 x−b−x )(a2 x +b− x )

1. El desarrollo de 4x

0

4x

2x

a) a −b b) a −b 2x

c) 4 a −b 4x

−x 2 x −x

d) a −2 a b + b e)

4x

a −b

es equivalente a:

−2 x

−2 x

3

2.

Calcule el valor numérico de la expresión: a) -4 b) -2 c) 0 d) 2

2

p −2 p − p

p=−1

, si

e) 4

3. Si m – n = 7 y p- q = 8; entonces el valor de m – n – 2p + 2q es: a) 23 b) 15 c) 7 d) -1 e) -9 2

x −xy 5y

4. Si la fracción x− y 5 a)

b)

y se multiplica por x , resulta: 3 2 2 x−xy x −x y x −y 2 4y 5y 5 c) d)

5. Si (a+3 )( a−3 )=( 1−a)a a) -9 b) -3

z x +5 z x +9 z x

6. a)

7.

z

x

b)

2

, entonces c) 0

a3 es igual a: d) 3

e) Ninguna de las anteriores.

e) 9

es:

10 z x

3x y 3 1 x y + +2 x −3 y− − + − 4 6 4 2 2 3

c)

es:

14 z x

d) 15 z

x

e)

6 zx

7 x 17 y 1 − + 6 4 a) 4

5x 8 y 1 − − b) 2 3 2

c)

x y 3 − + + 2 3 4

x+ y+ d)

1 4

x y 1 − − + 2 6 4 e) −( x 2 + y 2 )+ [−3 x 2 + y 2−{ −2 x 2 + y 2−( x2 − y 2 )} +2 x 2 ]

8.

2

x +y a)

2

2

x −2 y b)

4

9. Al multiplicar 5

a) a −b

5 abc 10.

5

2

2

2 y −x c)

3

2

3

2 2

es:

x−2 y d)

2

e)

x +2 y

2

4

( a+b )( a −a b+a b −ab + b ) resulta: 5 5 5 5 c) a +b d) (a+b ) b) (a−b )

e)

a5 b+ba 5

(1a + b2 + 3c )=

30 abc a) a + b +c

30

b)

2

2

2

1 e

2 b

3 e

5 a bc +10 ab c + 15 abc

c)

5 bc+10 ac+15 ab

4 a

5 e

6 d

d)

7 a

30 abc

8 b

e)

9 c

Respuestas: Parte 2: Resuelva según corresponda: 1. Exprese en Lenguaje algebraico lo siguiente: a) El doble de un número. b) La suma de tres números distintos. c) d) e) f) g) h) i) j) k) l) m) n) o)

El triple de a más la mitad de b EL cubo de la diferencia entre a y b El cuadrado de “z” equivale a la suma entre el cuadrado de “x” y el cuadrado de “y” El producto entre un número y su antecesor. La suma de tres números impares consecutivos. La quinta parte del triple del cuadrado de x El cuadrado de la quinta parte del triple de x La semidiferencia entre x e y El volumen de un cubo. El triple del cuadrado de a El cubo del triple de a El doble de la quinta parte del cubo de y El cubo de la quinta parte del doble de y

10 c

Soluciones:

2x

a)

f)

a

volumen es:

( a−b) 2

l) 3a

g)

m)

( )

3

2

z =x + y

e)

k) Si la arista es

( 2 n−1 ) + ( 2 n+1) + ( 2 n+3 ) 3 x2 5 h) 3x 2 5 i)

x+ y+ z b 3 a+ 2 c) b)

d)

x (x +1 )

a

el

3

(3a)3 2

n)

2

( ) y3 5

x− y 2 j)

2

o)

2 y3 5 note que es igual a

( ) 2y 5

3

note que es igual a

( 15⋅2 y )

3

2. Calcule el valor de: 3

2

x−2

a)

5 x −3 x +4

b)

( a 2−b 3 )⋅( a−b2 )

−119 c) Si m+n=3 d) Si

3. Si a)

c)

Si

,y

a −b 2

b −a

Sol.

a= −3

r−q=5

d)

b=−2

y

2

2

Sol.

, determine el valor de

−2ab

f)

c) −5

5

g)

p

,

y=−2

m=4 Sol.

(−b)4

d)

−b

−12

h)

,

z=5

2

4 a 9 b2 3 b + − − b 5a a 2

i)

e)

7

f) −16

determine el valor de:

3

17−a−b+ab −a b

4

18 5 4. Si x=4

Sol.

m

b3 a− +ab 4 e)

Soluciones: a) 12 b)

15

determine el valor de:

2ab 2

b)

b= 2

y

x=2

Si

y n=−1 , determine el valor de

p+q−r=12 p=17 a= 3

−3

+16 x −8 x

g)

16

h) −30

i)

a) 2 x + y +z Soluciones: a)

11

b)

x − y −2 z

−4

b)

c)

x(x + y +z ) 2

c)

2

2

d)

3 d) 4

180

5. Reduzca términos semejantes: a)

2 x−6 y−2 x−3 y−5 y

b)

2 pq+3 p−12 q−15 q +7 pq−13 p

2 2 a2 b 2 ab 3 ab 6 a2 b − + − 5 5 3 2 c) d) − [− ( a−2 b )− ( a+2 b ) − (−a−3b ) ]

[− ( x 2− y 2 )+2 x 2−3 y 2−( x 2 −2 x2−3 y 2) ]

e)

[

(

2

2

3 1 2 2 x+ y − x−2 y− y− x 3 4 5 5

f)

2

)]

2

2

2

g)

x yz+3 xy z−2 xyz −3 xy z+ xyz − x yz

h)

3 x− [ y− { x−( z− y )} −2 y ]−2 z −3 y

Soluciones:

−14 y 2 2x + y

a)

b)

5 −a2 b+ ab 2 6 c)

9 pq−10 p−27 q

2

f)

13 11 y− x 12 5

g)

−xyz

2

h)

4 x− y−3 z

6. Efectúe las siguientes multiplicaciones: 3

5

e)

x ⋅x 4 −7 5 x ⋅x ⋅x a⋅ab 3 n⋅2 m 2 3 4 7 abc⋅−3 a b c

f)

−3 xy ⋅4 y x

a) b) c) d)

2

Sol.

x

8

Sol.

x

2

2

a b Sol. 6nm 3 4 5 Sol. −21 a b c Sol.

2 3

4 4

Sol.

−12 x y

7. Efectúe las siguientes multiplicaciones: a)

3 x(2 x−5 y)

2

Sol.

6 x −15 xy

d)

a−3 b

e)

1 1 − x y

2

b) c) d)

3 2

2

2

(2−4 x y+5z y )2z x −6 x 5 y 3 (3 x 2 y−4 xy 4 −2 x 2 y 2 )

(

3 2

5

4 z x−8 x z y+10 z xy 7 4 6 7 7 5 −18 x y +24 x y +12 x y

2

Sol.

Sol.

)

2 2 6 2 4 a b c 1−abc 4 + a 4 b 2 c 6 5 3

2 6 2 4 2 7 3 8 4 10 4 10 a bc− ab c+ a b c 15 5 Sol. 5

8. Efectúe las siguientes multiplicaciones: a)

( x+ y ) ( x 2 + y 2)

Sol.

b)

( x− y ) ( x+ y )

Sol.

x +xy + yx + y 2 2 x −y

Sol.

x −8

Sol.

x +27

Sol.

a +b

2

f)

( x−2)( x +2 x+4 ) ( x 2−3 x +9 )( 3+x ) 4 3 2 2 3 4 (a+ b )(a −a b + a b −ab +b )

g)

(−3 xy −2 xy 2 )( xy 2−5 xy )

Sol.

h)

(−3 x −2 y+ z )( x + y−3 z )

Sol.

c) d)

2

3

2

3

3

3

5

5

2 3

2 2

2 4

7 x y +15 x y −2 x y 2 2 2 −3 x −5 xy+10 xz−2 y +7 yz −3 z

V. Evaluación de las actividades Acciones de evaluación Indicadores de evaluación Cantidad de ejercicios correctos1. 69 - 80 59 - 68 48 - 58 32 - 47 1- 31

: Formativa : Resuelve los ejercicios propuestos y verifica tus logros. Cantidad de ejercicios buenos: _________ Evaluación desempeño

Equivalencia en Nota

Muy Bueno Bueno Regular

6,0 – 7,0 5,0 – 5,9 4,0 – 4,9

Deficiente Muy Deficiente

3,0 – 3,9 1,0 – 2,9

VI. Síntesis de los contenidos: Los conceptos más importantes que aprendí esta semana son:

1 Los ejercicios correctamente resueltos son aquellos en los que se logran responder todas las interrogantes del problema.

Lo que puedo aplicar en mi trabajo, o en mi rutina personal o familiar es:

Las actitudes que desarrollé esta semana son:

VII. Glosario Término algebraico

Es una relación entre números y letras en la que intervienen operaciones como la multiplicación, la división, potencias y/o raíces

Expresión

Es el resultado de combinar, mediante la operación de adición, uno o más

algebraica

términos algebraicos.

Monomio

Un sólo término.

Binomio

Suma o resta de dos monomios.

Trinomio

Suma o resta de tres monomios.

Polinomio Suma o resta de cualquier número de monomios. VIII. Links de interés Link extraído el 05 de enero de 2012 desde: http://www.profesorenlinea.cl/matematica/Algebraico_Lenguaje.html http://www.vitutor.com/ab/p/m_e.html...