Algebra Abstracta, Primer Curso - John B. Fraleígh PDF

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ALGEBRA ABSTRACTA PRIMER CURSO John B. Fraleígh Department of Mathematics unlversity of Rhoúe íslanú versión en español de Manuel López Mateos universidad Nacional Autónoma de México Con la colaboración de Herminia Ochsenlus A. Pontificia universidad Católica dé Chile ▲ ADDISON-WESLEY IBEROAMERICANA...

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Algebra Abstracta, Primer Curso John B. Fraleígh Rubén Kevin Barrietos

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ALGEBRA ABSTRACTA PRIMER CURSO John B. Fraleígh Department of Mathematics unlversity of Rhoúe íslanú

versión en español de

Manuel López Mateos universidad Nacional Autónoma de México

Con la colaboración de

Herminia Ochsenlus A. Pontificia universidad Católica dé Chile

▲ ▼▼

ADDISON-WESLEY IBEROAMERICANA Argentina • Brasil • Chile • Colombia « Ecuador • España Estados Unidos * México « Perú • Puerto Rico • Venezuela

Versión en español de la obra titulada A First Course in Abstract Algebra, third edition, de John B. Fraleigh, publicada originalmente en inglés por AddisonWesley Publishing Company, Inc., Reading, Massachusetts, E.U.A. © 1982,1976, 1967 por Addison-Wesley Publishing Company Inc. Esta edición en español es la única autorizada.

A la memoria de mi padre PERCY A. FRALEIGH

© 1988 por ADDISON-WESLEY IBEROAMERICANA, S. A. Wilmington, Delaware, E.U.A. © 1988 por Sistemas Técnicos de Edición, S. A. de C.V. San Marcos, 102. Tlalpan. 14000 México, D.F. Reservados todos los derechos. Ni todo el libro ni parte de él pueden ser reproducidos, archivados o transmitidos en forma alguna o mediante algún sistema electrónico, mecánico o de fotorrepraducción, memoria o cualquier otro, sin permiso por escrito del editor. Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial, registro número 1312. Impreso en México. Printed in México. ISBN 0-201 -64052-X Addison Wesley Iberoamericana ISBN 968-858-077-5 Sistemas Técnicos de Edición A8CDEFGH1J-M-898

Prefacio a la tercera edición Al igual que en las ediciones anteriores, mi propósito continúa siendo enseñar todo lo posible en un primer curso acerca de grupos, anillos y campos. Se han eliminado los cuatro capítulos sobre topología algebraica que apare­ cían marcados con un asterisco en las ediciones anteriores. Me parece que dichas secciones muy pocas veces se cubrían en clase. Se dispone de ejemplares de las ediciones anteriores en bibliotecas y con muchos libreros personales. Cualquier persona que se interese actualmente en leer la breve e intuitiva introducción a la topología algebraica puede localizarlos. Algunos profesores objetaron la omisión de las demostraciones en las edicio­ nes anteriores donde, en secciones no marcadas con asterisco, simplemente se enunciaron importantes teoremas de la teoría de grupos. Por consiguiente, he añadido secciones marcadas que prueban dichos teoremas. También incluí capí­ tulos sobre la acción de un grupo en un conjunto, seguidos de aplicaciones al conteo de Burnside y a los teoremas de Sylow con demostraciones completas. Se ha incluido un apéndice sobre inducción matemática. He agregado algunos ejercicios. Tomé en cuenta algunos comentarios y omití las respuestas a los ejercicios pares así como a cualquier ejercicio que requiera demostración. Los ejercicios sobre las demostraciones carecen de senti­ do cuando éstas se encuentran a sólo treinta segundos de distancia. Estoy satisfecho de la respuesta que tuvieron la primera y segunda ediciones, no sólo por parte de estudiantes preuniversitarios y de licenciatura, sino además de estudiantes de posgrado que preparan sus exámenes generales. Espero que esta tercera edición continúe siendo útil. A través de los años he recibido muchas sugerencias y me han corregido diversos errores, lo cual agradezco. Quiero agradecer especialmente a George Bergman, quien me envió doce páginas de comentarios y sugerencias, así como material suplementario, con base en sus experiencias con el libro en el salón de clases. Sus opiniones tuvieron gran influencia en esta revisión. J. B. F.

Prefacio a la primera edición El objetivo básico de esta obra es proporcionar un libro de texto a partir del cual el estudiante medio de matemáticas adquiera en un primer curso la mayor exhaustividad y profundidad posibles en el estudio del álgebra abstracta, exclu­ yendo el álgebra lineal. Debido a que el álgebra con frecuencia constituye el primer encuentro del estudiante con una disciplina matemática abstracta, el objetivo secundario es sembrar las semillas a partir de las cuales crecerá una actitud matemática moderna. El dominio de este texto deberá constituir una base fírme para un trabajo más especializado en álgebra y será de gran ayuda para cualquier estudio axiomático ulterior de las matemáticas. De acuerdo con nuestro objetivo secundario, el texto comienza con una sección introductoria acerca del papel de las definiciones en matemáticas, el cual rara vez se menciona. Para poner énfasis en la importancia de las definiciones, cada término, a lo largo del texto, aparece en negritas en su definición. La parte 1 trata de grupos. El estudio de los grupos y en general de todo el material del texto, toma en cuenta, en la medida de lo posible, la experiencia del estudiante con el álgebra. Con frecuencia resulta difícil, aunque de importancia para el estudiante, comprender el concepto de grupo factor. Por consiguiente, el estudio de grupos factores y homomorfismos se posterga hasta que el estudiante haya tenido tiempo de asimilar el concepto de grupo, para lo cual el análisis es paulatino y detallado. En las secciones sin asterisco de la parte I, se presentan algunos resultados importantes bien analizados y con abundantes ejemplos, aunque sin demostra­ ción. Me parece que en vista de la amplitud del campo de las matemáticas, es importante adiestrar a los estudiantes para entender y hacer uso de resultados aceptados sin sentir que deben corroborar antes cada detalle de las demostracio­ nes. Por supuesto que los matemáticos profesionales lo han hecho durante años. Esta política concuerda con mi objetivo de lograr cierta profundidad en álgebra,

en particular debido a que en muchas escuelas se dedica un solo semestre al estudio de lo que nos ocupa en este libro. La parte 11 está dedicada a anillos y campos. No se escatiman esfuerzos para señalar las analogías con el estudio anterior de los grupos. En la parle II se da principal atención al tema de teoría de campos, que nos conduce a la teoría de Galois y la incluye. Los espacios vectoriales se íratan brevemente, sólo con el fin de desarrollar los conceptos de independencia lineal y dimensión, necesarios en teoría de campos. Debido a que los estudiantes suelen encontrar difícil la teoría de campos, he intentado darle un tratamiento paulatino aclarando siempre lo que queremos lograr y cómo lo haremos. En todo el texto, sin comentarios ni disculpas, se usan propiedades de los racionales que los estudiantes ya conocen aunque nunca hayan visto sus justifica­ ciones rigurosas. Me he dado cuenta que el estudiante medio tiene dificultad para entender la razón de iniciar el estudio formal de resultados que conoce hace años. Después de haber adquirido una visión global de la naturaleza de las estructuras algebraicas, los estudiantes podrán ver estas propiedades de otra manera. Esta forma de estudio concuerda además con mi objetivo inicial de lograr cierta profundidad en un primer curso. En vista de que mi deseo es que los estudiantes de álgebra aprendan lo más posible, decidí tratar de manera muy intuitiva el material de teoría de conjuntos, y sólo conforme fuera necesario. Hay dos maneras de adquirir el conocimiento de las aplicaciones de la teoría de conjuntos: estudiarla per se o sumergirse en ella y usarla según sea necesario. De acuerdo con mi experiencia, los estudiantes en­ cuentran el estudio de los «prerrequisitos de teoría de conjuntos» at inicio de un curso de álgebra, como la parte más desalentadora. A este respecto, mi enfoque es reflejo de mí disposición a sacrificar a lo largo del libro la elegancia de la presentación matemática y a veces hasta el lenguaje, en aras de la comprensión en este primer curso. El texto contiene material suficiente para un curso de dos semestres con alumnos medios. Sin embargo, las secciones no marcadas con asterisco se planea­ ron de manera especifica con el fin de formar un curso de un semestre. Estas secciones son independientes: en ellas no se emplea el material marcado con asteris­ co, y representan mi intento de presentar material de cierta profundidad e/t álgebra, incluso la teoría de Galois, a un grupo medio, en un solo semestre. Desde luego, es posible formar una gran variedad de cursos de un semestre a partir del material disponible. Ciertos capítulos marcados con asterisco son adecuados para su estudio fuera de clase, en particular los capítulos 10. 37, 39 y 48. Si no hay tiempo suficiente para terminar la teoría de campos en el texto, el capítulo 35. que analiza minuciosamente el teorema de Kronecker, o bien el capítulo 39, pueden convertirse en sección final satisfactoria. En mi opinión, no vale la pena comenzar el capítulo 40 si no hay tiempo para terminar el material no marcado con asterisco. Los ejercicios al final de un capítulo a menudo están divididos en dos grupos por una recta horizontal. Los que se encuentran en la parte superior se recomien­ dan para un grupo medio y probablemente son los que el autor asignaría a sus alumnos de la Universidad de Rhodc Island. Con el objeto de que la transición a

tas matemáticas abstractas sea para los estudiantes tan fácil como sea posible, los ejercicios del primer grupo son sobre todo de cálculos. Los estudiantes medios están completamente perdidos frente a una serie de ejercicios que comienzan con las palabras probar o demostrar. Claro que el adiestramiento en las demostracio­ nes es importante. Por lo general, el primer grupo de ejercicios contiene alguno marcado con una daga, lo que significa que requiere demostración. Es politica del autor reunir estos ejercicios marcados, leerlos y hacer que los estudiantes los reescriban y, si es necesario, capacitarlos para escribir matemáticas y no tonte­ rías. Los ejercicios del segundo grupo a menudo incluyen varios que requieren demostración así como algunos adicionales donde se calcula. El asterisco en un ejercicio rto denota dificultad\ sino que dicho ejercicio depende de algún material marcado con asterisco en el texto. Debido a que deseo promover una actitud matemática positiva, algunos ejercicios, en particular al principio del texto, son de naturaleza un tanto matemática. Al final del libro hay respuestas o comenta­ rios acerca de casi todos los ejercicios que no requieren demostraciones. Las demostraciones que se solicitan en los ejercicios no están dadas en las respuestas; no creo que sea pedagógicamente sensato tener tan a la mano dichas demostra­ ciones. Durante el semestre de primavera de 1966, en la Universidad de flfhode Island, se usó una primera versión mimeografíada de este libro. Quiero expresar aquí mi agradecimiento a Gcorge E. Martín quien impartió una de las secciones del curso. Sus comentarios y sugerencias fueron de gran valor al preparar esta versión para su publicación. J. B. F.

índice general capitulo 0 Algunas palabras preliminares

1

0.1 El papel de las definiciones 1 0,2 Conjuntos 2 0,3 Particiones y relaciones de equivalencia

PARTE I capítulo 1 Operaciones binarias

GRUPOS

10

1.1 Motivación 10 1.2 Definición y propiedades 11 1.3 Tablas 13 1.4 Algunas palabras de advertencia capitulo 2 Grupos

13

18

2.1 Motivación 18 2.2 Definición y propiedades elementales 19 2.3 Grupos finitos y tablas de grupo 23 capitulo 3 Subgrupos

29

3.1 Notación y terminología 29 3.2 Subconjuntos y subgrupos 30 3.3 Subgrupos cíclicos 33

4

capitulo 4 4.1 4.2 4.3

Permutaciones I

37

Funciones y permutaciones Grupos de permutaciones Dos ejemplos importantes

capítulo 5

Permutaciones II

37 40 42

48

5.1 Ciclos y notación cíclica 48 5.2 Permutaciones pares e impares 5.3 Grupos alternantes 53

capitulo 6

Grupos cíclicos

51

57

6.1 Propiedades elementales 57 6.2 Clasificación de grupos cíclicos 60 6.3 Subgrupos de grupos cíclicos finitos

capitulo 7

Isomorfismo

62

66

7.1 Definición y propiedades elementales 66 7.2 Cómo mostrar que dos grupos sonisomorfos 7.3 Cómo mostrar que dos gruposno son isomorfos 7.4 El teorema de Cayley 71

capitulo 8

Productos directos

78

8.1 Productos directos externos *8.2 Productos directos internos

capitulo 9

Grupos abolíanos finitamente generados

9.1 Generadores y torsión 9.2 El teorema fundamental *9.3 Aplicaciones 93

^capitulo 10

78 83

88 90

Grupos en geometría y análisis

*10.1 Grupos en geometría 97 *10.2 Grupos en anáfisis 102

97

88

capítulo 11 11.1 11.2 11.3

Grupos 4c clases laterales

106

Introducción 106 Clases laterales 107 Aplicaciones 112

capítulo 12 Subgrupos normales y grupos factores

116

12.1 Criterios para la existencia de un grupo de clases laterales 12.2 AutomorflsTnos internos y subgrupos normales 118 12.3 Grupos factores 120 12.4 Grupos simples 123 * 12.5 Aplicaciones 124

capítulo 13 Homomorfismos 13.1 13.2 13.3

130

Definición y propiedades elementales 130 El teorema fundamental del homomorñsmo Aplicaciones 135

capítulo 14 Seríes de grupos

133

139

14.1 Series normales y subnormales 139 14.2 El teorema de Jordán-Hdlder 141 *14.3 El centro y la serie central ascendente

144

‘capítulo 15 Teoremas del isomorfísmo; demostración del teorema de Jordan-Hólder 146 *15.1 Teoremas del isomorflsmo 146 *15.2 El lema de Zassenhaus (de la mariposa) *15.3 Demostración del teorema de Schreier

‘capitulo 16 Acción de un grupo en un conjunto *16.1 *16.2 *16.3

149 150

155

El concepto de acción de grupo 155 Conjuntos fijos y subgrupos de isotropia Orbitas 158

‘capítulo 17 Aplicaciones de los G-conjuntos al conteo

157

162

*capftulo 18 Teoremas de Sylow

167

*18.1 p-grupos 167 *18.2 Los teoremas de Sylow

169

*capftulo 19 Aplicaciones de la teoría de Sylow

174

*19.1 Aplicaciones a p-grupos y la ecuación de clase *19.2 Aplicaciones ulteriores 176 *capltulo 20 Grupos abelianos libres

181

*20.1 Grupos abelianos libres 181 *20.2 Demostración del teorema fundamental Vapftulo 21

Grupos libres

184

190

*21.1 Palabras y palabras reducidas 190 *21.2 Grupos libres 191 *21.3 Homomorfismos de grupos libres 193 *21.4 Más sobre grupos abelianos libres 194 VapEtulo 22

Presentaciones de grupos

*22.1 Definición 197 ; *22.2Presentaciones isomorfas *22.3 Aplicaci ones 200

PARTE II capitulo 23 Anillos 23.1 23.2

198

ANILLOS Y CAMPOS

208

Definición ypropiedades básicas 208 Cuestiones multiplicativas;campos 211

capitulo 24 Dominios enteros 24.1 24.2 24.3 24.4 *24.5

197

215

Divisores de 0 y cancelación 215 Dominios enteros 217 Característica de un anillo 218 Teorema de Fermat 219 Generalización de Euler 220

'capítulo 25

Algunos ejemplos no conmutativos

224

*25.1 Matrices sobre un campo 224 *25.2 Anillos de endomorfismos 227 *25.3 Anillos de grupo y álgebra de grupo *25.4 Cuaterniones 232 capitulo 26 26.1 26.2

230

El campo de cocientes de un dominio entero La construcción Unicidad 242

237

237

capitulo 27

Nuestro objetivo fundamental

capitulo 28

Anillos cocientes e ideales

246 250

28.1 Introducción 250 28.2 Criterios para la existencia de un anillo de clases laterales 28.3 Ideales y anillos cocientes 253 capitulo 29

Homomorfismos de anillos

257

29.1 Definición y propiedades elementales 29.2 Ideales maximales y primos 259 29.3 Campos primos 262 capitulo 30

Anillos de polinomios

257

266

30.1 Polinomios en una indeterminada 266 30.2 Homomorfismos de evaluación 270 30.3 El nuevo enfoque 273 capitulo 31

Factorización de polinomios sobre un campo

31.1 El algoritmo de la división en / f x ] 31.2 Polinomios irreducibles 281 31.3 Estructura de ideal en Ffjc] 285 31.4 Unicidad de la factorización en Ffx] ^capitulo 32 *32.1 *32.2 *32.3

Dominios de factorización única Introducción Todo D IP Si D es un

277

277

286 291

291 es un DFU 293 DFU, entonces Z)[x] es un DFU

297

"capítulo 33 *33.1 *33.2

Dominios euclidianos

304

Introducción y definición 304 Aritmética en dominios euclidianos

*capltulo 34

Enteros gaussianos y normas

305

312

*34.1 Enteros gaussianos 312 *34.2 Normas multiplicativas 315

capitulo 35

Introducción a los campos de extensión

320

35.1 El objetivo fundamental alcanzado 320 35.2 Elementos algebraicos y trascendentes 322 35.3 El polinomio irreducible de ot sobre F 324 35.4 Extensiones simples 325

capitulo 36

Espacios vectoriales

331

36.1 Definición y propiedades elementales 36.2 Independencia lineal y bases 333 36.3 Dimensión 335 36.4 Una aplicación a la teoría de campos

"capitulo 37 *37.1 *37.2 *37.3

Grupos con operadores Módulos 344 Algebras 345

capitulo 38 38.1 38.2 *38.3

*capífalo 39 *39,1 *39.2

Otras estructuras algebraicas

331

338

342

342

Extensiones algebraicas

348

Extensiones finitas 348 Campos algebraicamente cerrados y cerraduras algebraicas Existencia de una cerradura algebraica 354

Construcciones geométricas

360

Números oonstruibles 360 Imposibilidad de ciertas construcciones

364

capitulo 40 Automorfismos de campos

368

40.1 Isomorfismos básicos de la teoría de los campos algebraicos 40.2 Automorfismos y campos fijos 371 40.3 El automorfismo de Frobenius 375 capitulo 41

El teorema de extensión de isomorfismos

41.1 El teorema de extensión 379 41.2 Indice de un campo de extensión 381 *41,3 Demostración del teorema de extensión capítulo 42 Campos de descomposición capitulo 43 Extensiones separables 43.1 43.2 43.3 *43.4

379

384

388 394

Multiplicidad de los ceros de un polinomio Extensiones separables 396 Campos perfectos 398 Teorema del elemento primitivo 400

‘capitulo 44 Extensiones totalmente inseparables *44.1 Extensiones totalmente inseparables *44.2 Cerraduras separables 406 capitulo 45 Campos finitos

404 404

409

45.1 Estructura de un campo finito 45.2 La existencia de CG(p") 411 capitulo 46 Teoría de Galois

394

409

415

46.1 Resumen 415 46.2 Extensiones normales 416 46.3 El teorema principal 417 46.4 Grupos de Galois sobre campos finitos 420 *46.5 Final de la demostración del teoremaprincipal ‘capitulo 47 Ilustraciones de la teoría de Galois *47.1 Funciones ...