Álgebra de Boole PDF

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Álgebra de Boole, teoremas, postulados y optimizacion ...

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INGENIERIA EN SISTEMAS COMPUTACIONALES

Teoremas y postulados Optimización de expresiones booleanas Aplicación de algebra booleana (Mini y Maxi términos) Matemáticas discretas

Hurtado Mijares Priscilla

Ensenada B.C. a 06 de diciembre de 2020

Introducción Álgebra de Boole es en la que los valores de las variables que son los valores de la verdad verdadera (1) y falsa (0). En lugar de álgebra elemental donde los valores de las variables son números, y las principales operaciones son la suma y la multiplicación, las principales operaciones del álgebra de Boole son la conjunción y, denotaba ∧, la disyunción o, denotado ∨, y la negación no, denotan ¬. Para entender el álgebra booleana existen postulados y teorema, estos facilitan la comprensión y optimizan la expresión de las funciones.

Teoremas y postulados Un álgebra de Boole es toda clase o conjunto de elementos que pueden tomar dos valores perfectamente diferenciados, que designaremos por 0 y 1 y que están relacionados por dos operaciones binarias denominadas suma (+) y producto (.) (la operación producto se indica en general simplemente mediante la ausencia de símbolo entre dos variables) lógicos que cumplen los siguientes postulados: a) Ambas operaciones son conmutativas, es decir, si a y b son elementos del álgebra, se verifica: a+b=b+a

a · b = b· a

b) Dentro del álgebra existen dos elementos neutros, el 0 y el 1, que cumplen la propiedad de identidad con respecto a cada una de dichas operaciones: 0+a=a

1· a=a

c) Cada operación es distributiva con respecto a la otra: a · (b + c) = a · b + a · c

a + (b · c) = (a + b) · (a + c)

d) Para cada elemento, a, del álgebra existe un elemento denominado, ā, tal que: a+ā=1

a· ā=0

Un teorema es una proposición matemática que se puede demostrar a partir de los postulados que se han enunciado anteriormente. En el Álgebra de Boole tenemos los siguientes teoremas: Teorema 1: A+A=A

Teorema 6: A+Ā·B=A+B

Teorema 2: A·A=A

Teorema 7: A·(A+B) =A

Teorema 3: A·0=0

Teorema 8: A·(Ā+B) =A·B

Teorema 4: A+1=1

Teorema 9: Ā·(A+𝐵) =Ā·𝐵

Teorema 5: A+A·B=A

Teorema 10: (Ā+𝐵)·(Ā+B)=Ā

Optimización de expresiones booleanas Cuando se plantea un problema, en general la expresión booleana obtenida no necesariamente es la óptima, esto es, la más fácil, clara y sencilla de implementar utilizando compuertas lógicas. La expresión que resulta del planteamiento del problema puede ser simplificada empleando para los teoremas y postulados del álgebra booleana. Los teoremas que se van a utilizar se derivan de los postulados del álgebra booleana, y permiten simplificar las expresiones lógicas o transformarlas en otras

que

expresión

son

equivalentes.

simplificada

se

Una puede

implementar con menos equipo y su circuito es más claro que el que corresponde

a

la

expresión

no

simplificada.

El método del mapa de Karnaugh es un procedimiento simple y directo para minimizar las expresiones booleanas, y fue propuesto por Edward Weitch y modificado ligeramente por Maurice Karnaugh. Las tablas o mapas se dividen en cierto número de casillas, dependiendo de la cantidad de variables que intervengan en la expresión. El número de casillas se puede calcular

con

número de casillas = 2n

la

fórmula

Aplicación de algebra booleana (Mini y Maxi términos) Miniterminos Para una función booleana de n variables {x_1, x_n}, un producto booleano en el que cada una de las n variables aparece una sola vez (negada o sin negar) es llamado minitérmino. Es decir, un minitérmino es una expresión lógica de n variables consistente únicamente en el operador conjunción lógica (AND) y el operador complemento o negación (NOT). Por ejemplo, abc, ab’c y abc’ son ejemplos de minterminos para una función booleana con las tres variables a, b y c.

Maxiterminos Un maxitérmino es una expresión lógica de n variables que consiste únicamente en la disyunción lógica y el operador complemento o negación. Los maxiterminos son una expresión dual de los minitérminos. En vez de usar operaciones AND utilizamos operaciones OR y procedemos de forma similar. Por ejemplo, los siguientes términos canónicos son maxitérminos:

Conclusión Álgebra de Boole o algebra booleana es fundamental en electrónica digital, informática y matemáticas, ya que esta es una estructura algebraica que esquematiza las operaciones lógicas. La importancia de los circuitos lógicos es que con ellos se construyen todo tipo de equipos digitales como: equipos de control, computadoras, calculadoras y muchos otros. Gracias a ellos muchos aparatos son funcionales y nos ayudan a automatizar actividades, esto quiere decir que facilitan la vida del ser humano.

León, Á. M. (s. f.). 3.3. Álgebra de Boole | Electrónica digital. Electrónica digital. Recuperado 30 de noviembre de 2020, de https://angelmicelti.github.io/4ESO/EDI/33_lgebra_de_boole.html L. (2015a, noviembre 15). Optimización de expresiones booleanas. materias-lti-2015. https://materiaslti2015.wordpress.com/2015/11/15/optimizacion-de-expresionesbooleanas/ E. (2014a, diciembre 8). UNIDAD 4. Matematicas Discretas. https://blogdiscretas.wordpress.com/2014/12/08/47/...