Álgebra PARA Ingenieros (Solucionario 2020) PDF

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ÁLGEBRA PARA INGENIEROS (Solucionario 2020)...

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Capitán de fragata ingeniero AGUSTÍN E. GONZÁLEZ MORALES

ÁLGEBRA PARA INGENIEROS (Solucionario)

ÁLGEBRA PARA INGENIEROS. Agustín E. González Morales

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ÁLGEBRA PARA INGENIEROS. Agustín E. González Morales

ÍNDICE CAPÍTULO 1: MATRICES, DETERMINANTES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES CAPÍTULO 2: ESPACIOS VECTORIALES DE DIMENSIÓN FINITA CAPÍTULO 3: FUNCIONES Y APLICACIONES LINEALES CAPÍTULO 4: DIAGONALIZACIÓN DE MATRICES Y FORMAS CUADRÁTICAS

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ÁLGEBRA PARA INGENIEROS. Agustín E. González Morales CAPÍTULO 1 MATRICES, DETERMINANTES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

1. Se dice que una matriz es ortogonal si su inversa es igual a su transpuesta. Sean  y  dos matrices de orden n invertibles.  es simétrica y  ortogonal. Simplificar:                  

Solución: Se simplifica teniendo en cuenta que usando    por ser simétrica y      por ser ortogonal:                                       Resp.:   

2. Sean  y  dos matrices tales que    (matriz nula). Si  es invertible, demostrar que  tiene que ser la matriz nula. Solución:   0, premultiplicando por :       0, como     ,    y   0  0, entonces   0, como queríamos demostrar. 3. Hallar la inversa de

Solución: Con el método de Gauss

        

0100 1000 0100 1 0 0 0  |  0010 0010 1111 0001 Permutando F1 (Fila 1) con F 2 , y haciendo después F4 – F1 – F2 – F3 : 1000 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0  |  0 0 1 0 0010 0001 1 1 1 1 La inversa es:

0 1 0 0 1 0 0 0 Resp.:  0 0 1 0 1 1 1 1

4. Hallar la matriz ! que verifica la identidad !  !  " siendo $ %    $  % % )   #  $ ',   # & %  ' y "  # %   % ' & $  (  $ $$ )  $* Solución:

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ÁLGEBRA PARA INGENIEROS. Agustín E. González Morales  , supuesto Sacando + factor común:  +  ,, premultiplicando por     que exista la inversa:      +     ,, y teniendo en cuenta que        , entonces : +      ,:

3 +  -# 0

2 1 0 2 2 15 2 0 3 1 '2 3 1 1 8 20 ' # 12 0 '  # 4 0 3 36 ⁄1 ⁄  18 5 3 1 33 85116 ⁄ ⁄ Resp: +  #  3916 138 34⁄ 12 ⁄ 

5. Calcular el determinante de Vandermonde :  789 :% : :$

; ; ;% ;$

ha de ser par. Solución: Si M  W entonces det  M  det   W . Como det  M   det     det  det  det M y det  W  1 W , entonces det M  1W ; es decir det N 0, luego A es invertible; además det  M X 0, luego ? es par. &   $ ^ [ 10. Calcular el rango de Z% * ] $ *  \ Y ( $ Solución: Buscamos el mayor de los menores complementarios no nulos ; para ello permutamos la primera fila con la segunda y hacemos ceros por debajo de la diagonal principal. Con ello deducimos que el rango es 2. 11. Discutir y resolver según los valores de :, ; ` a el sistema: :b  ;c  d   b  :;c  d  ; b  ;c  :d   Solución: El determinante de la matriz de coeficientes es: A C 1 e1 AC e1  CA  1 MA  2 1 C A Discusión: Si C N 0, A N 1, A N 2 es sistema es compatible y determinado. La solución es: 7

ÁLGEBRA PARA INGENIEROS. Agustín E. González Morales M

M

M

M

C  AC  C  AC C  2A  C  2 M M A ACA  1 A  2 f  g  CA  1 , L  Si C  0 el sistema es incompatible A para valor de A.  cualquier 2 Si A  1 el sistema se reduce a: f  CL  g  1 f  CL  g  C Si C N 1 el sistema es incompatible. Si C  1 el sistema es compatible indeterminado con f  1  K  h, L  K, g  h Si A  2 el sistema se reduce a: 2f  CL  g  1 f  2CL  g  C 0f  0L  0g  2  C Si C N 2 el sistema es incompatible. i Si C  2 el sistema es compatible indeterminado con f  0, L  M , g  K

 12. Hallar la potencia n-sima de la matriz j  #  '.  Solución: 333 k  k  k M #3 3 3'  3 k 333 y en general:

kl  kM  k  3k  k  3  3k  3 M k

Resp.: kW  3W k

% G  13. Sea j  # & ( ', descomponer j en una suma de una matriz simétrica y % & & una antisimétrica. Solución: 2 6 1 ' k  km  2 # 6 4 2 1 2 5 0 1 1 k  km  2 #1 0 3' 1 3 0 Sumando miembro a miembro: 2 6 1 0 1 1 2k  2 # 6 '  2 # 1 0 4 2 3' 1 3 0 1 2 5 Por tanto: 2 6 1 0 1 1 Resp.: k  # 6 '# 4 2 1 0 3' 1 3 0 1 2 5

14. Demostrar que:

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ÁLGEBRA PARA INGENIEROS. Agustín E. González Morales b c d  d d cb bc  789  d c b b  c  d  b  d  c  b    c  db  c  d  

Solución: Sea  el valor del determinante. A la 1ª fila le sumamos las tres restantes y sacamos factor común a f  L  g  n: 1 1 1 1 Lf n g   f  L  g  n p p g n fL n gLf A 2ª columna le restamos la 1ª y la 3ª y le sumamos la 4ª y sacamos factor común a f  g  L  n: 1 0 1 1 L fgLn n g p   f  L  g  n p g f  g  L  n f L n fgLn Lf 1 0 1 1 L 1 n g p  f  L  g  nf  g  L  n p g 1 f L n 1 Lf A la 2º fila le restamos la 3ª y sumamos 3ª con 4ªy desarrollamos: 1 0 1 1 Lg 0 nf gL p   f  L  g  nf  g  L  n p gn 0 fL Lf n 1 L f

1 1 1  eL  g n  f g  L e gn fLLf 0

A la 1ª columna restamos la 2ª y a la 2ª la 3ª y desarrollamos:

0

  f  L  g  nf  g  L  n q L  g  n  f n  f  g  L

gnfL

0

1 gL q Lf

 f  L  g  nf  g  L  nf  n  L  gf  L  g  n

 %b b %    b b % b 789    %b b % b b%  Solución:

(

 %     789   %  

1 2f f M 0 1 2f f 0 0 1 f f M 1 1 l det  00 11 A  det  M f 21 0 1 2f f 1f f0 1f fM 0 Restamos la 2ª columna de 4ª, sacamos factor común a f en la 2º columna y multiplicamos la 1ª columna por esa: 1 2f f 0 f2 f0 1 1 1 1   f l det  0 0   f l det 0 0 00 21 0021 1f f0 f1 f0 9

ÁLGEBRA PARA INGENIEROS. Agustín E. González Morales Sumamos la 2ª columna con la 4ª:

f 2 f 01 1 0 1 01 21  det  f 1 Restamos la 3ª columna de la 1ª: f0 f200 1 1   f l det  0 1 0121 f1 00 Sacamos factor común f en la 1ª columna y después sumamos la columna 3ª y la 1ª para obtener la solución del enunciado.   fl

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