Aljabar Abstrak I Bab PDF

Preview

Summary

Diktat Kuliah PENGANTAR ALJABAR ABSTRAK I (Pengantar Struktur Aljabar I: Pendahuluan Teori Grup) Disusun oleh: M. Zaki Riyanto, S.Si., M.Sc. Editor: Dwi Lestari, S.Si., M.Sc. KELOMPOK STUDI ALJABAR DAN KRIPTOGRAFI ARSIP JURNAL MATEMATIKA (AJM) YOGYAKARTA 2011 KATA PENGANTAR Alhamdulillah, puji syuku...

Description

Accelerat ing t he world's research.

Aljabar Abstrak I Bab Imam Very

Related papers Enos Lolang Aljabar Abst rak Idhul Rahman

St rukt ur aljabar Nia Emiyant a Surbakt i aljabar Subiono M.s, Nia Yuliant i

Download a PDF Pack of t he best relat ed papers 

!"

#$ % )

+# +

, ,

& *

'

'

$

$

$' #$ ($

# # .+ . /011

$' #$ ($

+ #"

-

KATA PENGANTAR

Alhamdulillah, puji syukur penulis panjatkan ke hadirat Allah s.w.t. atas limpahan nikmat dan karunianya, sehingga penulis dapat menyelesaikan diktat ini tepat pada waktunya. Aljabar Abstrak merupakan salah satu mata kuliah wajib yang umum diajarkan pada mahasiswa Program Studi Matematika maupun pada Program Studi Pendidikan Matematika di Indonesia. Pada beberapa universitas, mata kuliah ini muncul dengan nama Pengantar Struktur Aljabar atau Aljabar Modern. Dari pengalaman penulis pada saat menjadi mahasiswa S1 dan S2 di UGM, mata kuliah ini dirasakan cukup sulit, karena merupakan suatu konsep yang benar-benar baru dan belum pernah diajarkan pada saat sekolah. Masalah yang penulis temukan adalah mengenai kurangnya pengetahuan dasar mahasiswa pada teori himpunan dan logika matematika. Oleh karena itu, sebelum mempelajari Aljabar Abstrak, sangat dianjurkan untuk mempelajari teori himpunan dan logika matematika. Penulis yakin, bahwa dalam diktat kuliah ini masih banyak kekurangan, oleh karena itu penulis sangat mengharapkan masukan-masukan berupa kritik dan saran yang dapat disampaikan melalui email penulis di [email protected] atau melalui blog penulis di http://zaki.math.web.id. Akhir kata, semoga dengan adanya diktat ini mahasiswa menjadi lebih mudah dalam memahami konsep-konsep dalam Aljabar Abstrak. Penulis mengucapkan banyak terima kasih kepada rekan-rekan diskusi penulis, yaitu ibu Dra. Khurul Wardati, M.Si, Ibu Dra. Widayati, M.Sc, Denik Agustito M.Sc. dan Samsul Arifin, M.Sc., rekan-rekan dosen di UIN Sunan Kalijaga dan Universitas Ahmad Dahlan, serta rekan-rekan yang tergabung dalam Himpunan Peminat Aljabar (HPA) di Indonesia.

Kaliurang – Yogyakarta, 1 Oktober 2011

M. Zaki Riyanto, S.Si., M.Sc. Penulis

1

BAB I GRUP Pada bab ini dibahas mengenai grup yang meliputi motivasi pendefinisian grup, sifat-sifat sederhana grup dan dua contoh grup yang menarik untuk dibahas yaitu grup bilangan bulat modulo dan grup permutasi (grup simetri). 1.1. Pendahuluan Grup Dalam kehidupan sehari-hari, kita sering melakukan perhitungan-perhitungan, seperti operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian, perkalian matriks, penjumlahan matriks, dan sebagainya. Operasi-operasi tersebut dilakukan dalam suatu himpunan, seperti himpunan semua bilangan bulat, himpunan semua bilangan real, himpunan semua matriks 2x2 atas bilangan real, dan sebagainya. Pandang himpunan semua bilangan bulat ℤ = {..., −3, −2, −1, 0,1, 2,3,...} dan operasi penjumlahan “+”. Dengan mudah dapat diketahui bahwa himpunan ℤ terhadap operasi “+” berlaku sifat-sifat berikut ini: 1. Apabila diambil sebarang dua bilangan bulat, maka hasil penjumlahan kedua bilangan bulat tersebut juga merupakan bilangan bulat, sehingga operasi penjumlahan pada himpunan semua bilangan bulat bersifat tertutup, yaitu ( ∀a, b ∈ ℤ ) a + b ∈ ℤ . 2. Apabila diambil sebarang tiga bilangan bulat a, b, c ∈ ℤ , maka hasil penjumlahan a + b kemudian hasilnya dijumlahkan dengan c akan sama hasilnya dengan a dijumlahkan dengan hasil penjumlahan b + c , atau operasi penjumlahan pada himpunan semua bilangan bulat bersifat assosiatif, yaitu

( ∀a, b, c ∈ ℤ )( a + b ) + c = a + ( b + c ) . 3. Di dalam himpunan semua bilangan bulat, terdapat suatu bilangan yang apabila dijumlahkan dengan sebarang bilangan bulat akan menghasilkan bilangan bulat itu sendiri, suatu bilangan tersebut adalah bilangan nol. Jadi, terhadap operasi penjumlahan, himpunan semua bilangan bulat mempunyai elemen identitas terhadap penjumlahan, yaitu ( ∃0 ∈ ℤ )( ∀a ∈ ℤ ) a + 0 = 0 + a = a . 4. Apabila diambil sebarang bilangan bulat a, maka selalu dapat ditemukan suatu bilangan bulat sehingga kedua bilangan bulat tersebut apabila dijumlahkan menghasilkan elemen identitas yaitu 0. Suatu bilangan bulat tersebut adalah −a . Jadi, setiap bilangan bulat mempunyai invers terhadap operasi penjumlahan, yaitu

( ∀a ∈ ℤ )( ∃− a ∈ ℤ ) a + ( −a ) = −a + a = 0 . Selanjutnya, pandang himpunan semua bilangan real tidak nol ℝ∗ = ℝ − {0} dan operasi perkalian “.”. Dapat dengan mudah diketahui bahwa ℝ∗ terhadap operasi perkalian berlaku empat sifat berikut ini: 1.

2. 3.

( ∀a, b ∈ ℝ ) a ⋅ b ∈ ℝ ( ∀a, b, c ∈ ℝ ) ( a ⋅ b ) ⋅ c = a ⋅ ( b ⋅ c ) ( ∃1∈ ℝ )( ∀a ∈ ℝ ) a ⋅1 = 1⋅ a = a ∗

∗

∗

∗

∗

Pengantar Aljabar Abstrak I - Oleh: M. Zaki Riyanto, S.Si., M.Sc.

2

4.

( ∀a ∈ ℝ )  ∃ 1a ∈ ℝ ∗

∗

 1 1 a⋅ = ⋅a =1  a a

Dari kedua contoh di atas, dapat dilihat bahwa himpunan ℤ terhadap opearsi penjumlahan dan himpunan ℝ∗ terhadap operasi perkalian mempunyai empat sifat yang sama. Sebagai latihan, diberikan himpunan semua matriks 2x2 atas himpunan semua

 a b   bilangan real, yaitu M 2 ( ℝ ) =  a , b , c , d ∈ ℝ  . Selidikilah apakah himpunan   c d  

M 2 ( ℝ ) terhadap operasi penjumlahan matriks juga memenuhi keempat sifat yang sama seperti pada kedua contoh di atas. Pandang himpunan semua bilangan bulat ℤ terhadap operasi perkalian. Dapat dilihat bahwa himpunan ℤ terhadap operasi perkalian hanya memenuhi tiga sifat yang pertama, yaitu: 1. 2. 3.

( ∀a, b ∈ ℤ ) a ⋅ b ∈ ℤ ( ∀a, b, c ∈ ℤ )( a ⋅ b ) ⋅ c = a ⋅ ( b ⋅ c ) ( ∃1 ∈ ℤ )( ∀a ∈ ℤ ) a ⋅1 = 1 ⋅ a = a

 1  1 1 Tetapi untuk sifat yang ke-4, yaitu ( ∀a ∈ ℤ )  ∃ ∈ ℤ  a ⋅ = ⋅ a = 1 tidak dipenuhi, sebab  a  a a 1 terdapat 2 ∈ ℤ sedemikian hingga ( ∀a ∈ ℤ ) 2 ⋅ a ≠ 1 , dapat dilihat juga bahwa ∉ ℤ . 2 Selanjutnya, pandang himpunan semua bilangan asli ℕ = {1, 2,3,...} . Dapat dilihat bahwa himpunan ℕ terhadap penjumlahan hanya memenuhi sifat ke-1 dan ke-2 saja. Sedangkan himpunan ℕ terhadap operasi perkalian memenuhi sifat ke-1, ke-2 dan ke-3. Dari contoh-contoh di atas, dapat didefinisikan konsep mengenai suatu himpunan tidak kosong yang dilengkapi dengan suatu operasi dan memenuhi sifat-sifat yang telah diberikan di atas. Diberikan suatu himpunan tidak kosong G.

Definisi 1.1.1. (Struktur Aljabar) Diberikan operasi-operasi ∗1 , ∗2 ,... pada G. Suatu himpunan yang dilengkapi dengan operasi-operasi pada G disebut dengan struktur aljabar atau himpunan yang berstruktur. Ditulis dengan ( G, ∗1 , ∗2 ,...) .

Contoh 1.1.2. Contoh struktur aljabar ada banyak sekali, seperti himpunan semua bilangan bulat terhadap operasi penjumlahan, yaitu ( ℤ, + ) , dapat juga dengan operasi perkalian, yaitu ( ℤ, ⋅) , atau kedua operasi digunakan semua, yaitu ( ℤ, +, ⋅) . Pada mata kuliah Aljabar Abstrak I, pembahasan difokuskan pada struktur aljabar dengan satu operasi. Untuk struktur aljabar dengan dua operasi akan diberikan pada mata kuliah Aljabar Abstrak II.

Definisi 1.1.2. (Operasi Biner & Grupoid) Suatu operasi “ ∗ ” pada G disebut operasi biner jika operasi tersebut bersifat tertutup, yaitu ( ∀a, b ∈ G ) a ∗ b ∈ G . Struktur aljabar

( G , ∗)

yang dilengkapi dengan suatu operasi biner disebut dengan grupoid.

Pengantar Aljabar Abstrak I - Oleh: M. Zaki Riyanto, S.Si., M.Sc.

3

( ℤ, + ) , ( ℤ, ⋅) , ( ℤ, − ) , ( ℕ, + ) , ( ℝ, + ) , ( M 2 ( ℝ ) , + ) dan contoh bukan grupoid yaitu ( ℕ, − ) , ( ℝ ∗ , + ) dan ( ℤ, ∗) dengan

Contoh grupoid yaitu

( M ( ℝ ) , ⋅) . Sedangkan 2

a+b , ∀a, b ∈ ℤ . Struktur aljabar ( ℕ, − ) bukan grupoid sebab terdapat 2 1, 2 ∈ ℕ sedemikian hingga 1 − 2 = −1 ∉ ℕ , yaitu operasi pengurangan tidak bersifat

definisi a ∗ b =

tertutup pada ℕ . Demikian juga

(ℝ , +) ∗

bukan grupoid, sebab terdapat −1,1 ∈ ℝ ∗

sedemikian hingga −1 + 1 = 0 ∉ ℝ ∗ .

Latihan 1.1.3.

1. Diberikan himpunan G = {a ∈ ℤ a genap} . Buktikan bahwa operasi penjumlahan pada G bersifat tertutup, yaitu ( G, + ) merupakan grupoid.

2. Diberikan himpunan H = {a ∈ ℤ a ganjil} . Tunjukkan bahwa operasi penjumlahan pada H tidak bersifat tertutup.

3. Diberikan S = {a ∈ ℝ a > 0} . Buktikan bahwa operasi perkalian pada S bersifat tertutup.

4. Diberikan T = {a ∈ ℝ a > − 5} . Tunjukkan bahwa T tidak bersifat tertutup terhadap operasi perkalian.

 x   K =   x, y ∈ ℝ, x + y = 0  . Buktikan bahwa operasi penjumlahan  y  

5. Diberikan

vektor pada K bersifat tertutup. Kembali pada bagian motivasi pada awal bab, diberikan grupoid ( ℤ, + ) . Telah diketahui bahwa pada ( ℤ, + ) berlaku: 1. 2. 3. 4.

( ∀a, b ∈ ℤ ) a + b ∈ ℤ (Tertutup terhadap “+” ) ( ∀a, b, c ∈ ℤ )( a + b ) + c = a + ( b + c ) (Assosiatif terhadap “+” ) ( ∃0 ∈ ℤ )( ∀a ∈ ℤ ) a + 0 = 0 + a = a (Memuat elemen identitas terhadap “+” ) ( ∀a ∈ ℤ )( ∃− a ∈ ℤ ) a + ( −a ) = −a + a = 0 (Setiap elemen mempunyai

invers

terhadap “+” ) Diberikan grupoid ( ℝ ∗ , ⋅ ) , telah dikeahui bahwa pada ( ℝ ∗ , ⋅ ) berlaku sifat-sifat yang sama seperti pada grupoid ( ℤ, + ) , yaitu: 1. 2. 3.

( ∀a, b ∈ ℝ ) a ⋅ b ∈ ℝ (Tertutup terhadap operasi perkalian) ( ∀a, b, c ∈ ℝ ) ( a ⋅ b ) ⋅ c = a ⋅ ( b ⋅ c ) (Assosiatif terhadap operasi perkalian) ( ∃1∈ ℝ )( ∀a ∈ ℝ ) a ⋅1 = 1⋅ a = a (Memuat elemen identitas terhadap ∗

∗

∗

∗

∗

perkalian)

Pengantar Aljabar Abstrak I - Oleh: M. Zaki Riyanto, S.Si., M.Sc.

operasi

4

4.

( ∀a ∈ ℝ )  ∃ 1a ∈ ℝ ∗

∗

 1 1  a ⋅ = ⋅ a = 1 (Setiap elemen mempunyai invers terhadap  a a

operasi perkalian) Demikian juga pada himpunan semua matriks 2x2 atas ℝ terhadap operasi penjumlahan matriks yaitu ( M 2 ( ℝ ) , + ) , ternyata mempunyai empat sifat yang sama seperti pada ( ℤ, + ) dan ( ℝ ∗ , ⋅ ) , yaitu 1. 2.

( ∀A, B ∈ M ( ℝ ) ) A + B ∈ M ( ℝ ) ( ∀A, B, C ∈ M ( ℝ ) ) ( A + B ) + C = A + ( B + C ) 2

2

2

  0 0 ∈ M 2 ( ℝ )  ( ∀A ∈ M 2 ( ℝ ) ) A + O = O + A = A 3.  ∃O =   0 0      a b  − a −b  ∈ M 2 ( ℝ )  ∃ − A =  ∈ M 2 ( ℝ )  A + ( − A) = − A + A = O 4.  ∀A =    c d   −c − d     Akan tetapi ada grupoid yang tidak memenuhi empat sifat tersebut, seperti diberikan berikut ini. Grupoid ( ℤ, ⋅) memenuhi sifat-sifat berikut: 1. 2. 3.

( ∀a, b ∈ ℤ ) a ⋅ b ∈ ℤ ( ∀a, b, c ∈ ℤ )( a ⋅ b ) ⋅ c = a ⋅ ( b ⋅ c ) ( ∃1 ∈ ℤ )( ∀a ∈ ℤ ) a ⋅1 = 1 ⋅ a = a

4. Akan tetapi sifat setiap elemen mempunyai invers terhadap “.” tidak dipenuhi, sebab terdapat 2 ∈ ℤ yang tidak mempunyai invers terhadap “.” dalam ℤ . Diberikan grupoid ( ℕ, + ) , dapat dilihat bahwa pada ( ℕ, + ) tidak memenuhi empat sifat tersebut, yaitu: 1. ( ∀a, b ∈ ℕ ) a + b ∈ ℕ (Tertutup terhadap “+” ) 2.

( ∀a, b, c ∈ ℕ )( a + b ) + c = a + ( b + c )

(Assosiatif terhadap “+” )

3. Himpunan ℕ tidak memuat elemen identitas terhadap “+” yaitu 0. 4. Karena sifat ke-3 tidak dipenuhi, maka sifat ke-4 jelas tidak dipenuhi. Diberikan himpunan ℤ dan operasi pengurangan "− " pada ℤ . Dapat dilihat bahwa pada ( ℤ, − ) berlaku: 1.

( ∀a, b ∈ ℤ ) a − b ∈ ℤ

2. Tidak bersifat assosiatif, sebagai counter example-nya, diambil 2, 3, 4 ∈ ℤ , maka diperoleh:

( 2 − 3) − 4 = −1 − 4 = −5 2 − ( 3 − 4 ) = 2 − ( −1) = 2 + 1 = 3 Sehingga ( 2 − 3) − 4 ≠ 2 − ( 3 − 4 ) . Untuk sifat ke-3 dan ke-4, silahkan diselidiki sebagai latihan.

Pengantar Aljabar Abstrak I - Oleh: M. Zaki Riyanto, S.Si., M.Sc.

5

Dari beberapa contoh dan uraian di atas, dapat dilihat bahwa suatu grupoid dapat memenuhi sifat tertutup, assosiatif, memuat elemen identitas dan setiap elemen mempunyai invers. Akan tetapi ada juga yang hanya memenuhi sifat tertutup, assosiatif dan memuat elemen identitas, atau hanya memenuhi sifat tertutup dan assosiatif saja, bahkan ada juga yang hanya memenuhi sifat tertutup saja. Dari motivasi tersebut, dapat dibuat suatu definisi mengenai struktur aljabar yang memenuhi sifat-sifat tersebut, seperti diberikan pada definisi berikut ini.

Definisi 1.1.4. (Grup) Diberikan himpunan tidak kosong G yang dilengkapi dengan operasi “ ∗ ”. Himpunan G disebut grup terhadap operasi “ ∗ ” jika memenuhi empat aksioma berikut ini: 1. Operasi biner (G1) : ( ∀a, b ∈ G ) a ∗ b ∈ G 2. Assosiatif (G2) : ( ∀a, b, c ∈ G )( a ∗ b ) ∗ c = a ∗ ( b ∗ c ) 3. Memuat elemen identitas (G3) : ( ∃e ∈ G )( ∀a ∈ G ) a ∗ e = e ∗ a = a 4. Setiap elemen dari G mempunyai invers di G (G4) :

Lebih

( ∀a ∈ G ) ( ∃a −1 ∈ G ) a ∗ a −1 = a −1 ∗ a = e lanjut, ( G, ∗) disebut semigrup jika memenuhi

aksioma (G1) dan (G2),

( G , ∗)

disebut monoid jika memenuhi aksioma (G1), (G2) dan (G3). Untuk selanjutnya, grup ( G, ∗) dapat cukup ditulis dengan G saja apabila operasi binernya sudah diketahui. Dari definisi di atas dapat dilihat bahwa setiap grup merupakan semigrup dan monoid, dan setiap monoid merupakan semigrup. Akan tetapi belum tentu berlaku sebaliknya.

Contoh 1.1.5.

1. Contoh grup yaitu ( ℤ, + ) , ( ℝ, + ) , ( ℝ ∗ , ⋅ ) dan ( M 2 ( ℝ ) , + )

2. Grup ( ℤ, + ) mempunyai elemen identitas e = 0 , grup ( ℝ, + ) mempunyai elemen identitas e = 0 , grup

( ℝ , ⋅) ∗

mempunyai elemen identitas e = 1 , dan grup

 ( M ( ℝ ) , + ) mempunyai elemen identitas e =  0

0 0 . 0 

2

3. Invers a ∈ ℤ pada grup

( ℝ, + )

( ℤ, + )

adalah a −1 = − a ∈ ℤ , invers a ∈ ℝ pada grup

adalah a −1 = −a ∈ ℝ , invers a ∈ ℝ ∗ pada grup ( ℝ ∗ , ⋅ ) adalah a −1 =

a b  A=  ∈ M 2 (ℝ) c d  −a −b  A−1 = − A =   ∈ M 2 (ℝ) .  −c − d 

dan

invers

pada

grup

( M (ℝ) , +) 2

4. Contoh bukan grup yaitu ( ℕ, + ) , ( ℤ, ⋅) , ( ℝ, ⋅) dan ( M 2 ( ℝ ) , ⋅) .

Pengantar Aljabar Abstrak I - Oleh: M. Zaki Riyanto, S.Si., M.Sc.

1 ∈ ℝ∗ , a adalah

6

Lathihan 1.1.6.

{

}

1. Diberikan himpunan semua bilangan kompleks ℂ = x + yi x, y ∈ ℝ , i = −1 . Diberikan operasi penjumlahan “+” untuk a, b ∈ ℂ dengan a = x1 + y1i dan

b = x2 + y2i , a + b = ( x1 + y1 ) + ( x2 + y2 ) i . Buktikan bahwa ( ℂ, + ) merupakan grup. 2. Diberikan himpunan

A = {1, 2,3} . Dibentuk himpunan kuasa dari A, yaitu

himpunan semua himpunan bagian dari A, yaitu P ( A ) = {S S ⊆ A} , apabila ditulis semua elemen-elemennya yaitu P ( A) = {∅, {1} , {2} , {3} , {1, 2} , {1,3} , {2,3} , A} . Diberikan operasi irisan himpunan “ ∩ ” dan gabungan himpunan “ ∪ ” pada P ( A) .

Apakah ( P ( A ) , ∩ ) dan ( P ( A ) , ∪ ) merupakan grup, monoid atau semigrup?

Latihan 1.1.7. Pada titik-titik dalam tabel di bawah ini, berilah tanda centang (v) jika memenuhi atau tanda minus (-) jika tidak memenuhi.

ℤ

Definisi operasi “ ∗ ” a ∗ b := a + b, ∀a, b ∈ ℤ

ℤ

a ∗ b := a − b, ∀a, b ∈ ℤ

....

....

....

....

ℤ

a ∗ b := a ⋅ b, ∀a, b ∈ ℤ

....

....

....

....

Himpunan

Grupoid

Semigrup

Monoid

Grup

....

....

....

....

ℤ

a ∗ b :=

a , ∀a, b ∈ ℤ b

....

....

....

....

ℤ

a ∗ b := a b , ∀a, b ∈ ℤ

....

....

....

....

ℕ

a ∗ b := a + b, ∀a, b ∈ ℕ

....

....

....

....

ℕ

a ∗ b := a − b, ∀a, b ∈ ℕ

....

....

....

....

ℕ

a ∗ b := a ⋅ b, ∀a, b ∈ ℕ

....

....

....

....

ℕ 0 = ℕ ∪ {0}

a ∗ b := a + b, ∀a, b ∈ ℕ 0

....

....

....

....

ℝ

a ∗ b := a + b, ∀a, b ∈ ℝ

....

....

....

....

ℝ

a ∗ b := a − b, ∀a, b ∈ ℝ

....

....

....

....

ℝ

a ∗ b := a ⋅ b, ∀a, b ∈ ℝ

....

....

....

....

ℝ = ℝ − {0}

a ∗ b := a ⋅ b, ∀a, b ∈ ℝ

....

....

....

....

ℝ∗ = ℝ − {0}

a ∗ b := a + b, ∀a, b ∈ ℝ ∗

....

....

....

....

ℚ

a ∗ b := a + b, ∀a, b ∈ ℚ

....

....

....

....

ℚ

a ∗ b := a ⋅ b, ∀a, b ∈ ℚ

....

....

....

....

ℚ∗ = ℚ − {0}

a ∗ b := a ⋅ b, ∀a, b ∈ ℚ∗

....

....

....

....

ℂ

a ∗ b := a + b, ∀a, b ∈ ℂ

....

....

....

....

ℂ

a ∗ b := a ⋅ b, ∀a, b ∈ ℂ

....

....

....

....

ℂ∗ = ℂ − {0}

a ∗ b := a ⋅ b, ∀a, b ∈ ℂ∗

....

....

....

....

M2 (ℝ)

A ∗ B := A + B, ∀A, B ∈ M 2 ( ℝ )

....

....

....

....

M2 (ℝ)

A ∗ B := A ⋅ B, ∀A, B ∈ M 2 ( ℝ )

....

....

....

....

M2 (ℝ)

A ∗ B := A − B, ∀A, B ∈ M 2 ( ℝ )

....

....

....

....

∗

Pengantar Aljabar Abstrak I - Oleh: M. Zaki Riyanto, S.Si., M.Sc.

7

Latihan 1.1.8. Diberikan GL2 ( ℝ ) adalah himpunan semua matriks berukuran 2x2 atas ℝ yang

invertibel

atau

yang

mempunyai

determinan

tidak

nol,

yaitu

  a b  GL2 ( ℝ ) =  a, b, c, d ∈ ℝ, ad − bc ≠ 0  . Buktikan bahwa GL2 ( ℝ ) merupakan grup   c d   terhadap operasi perkalian matriks. Diketahui bahwa

( ℤ, + )

dan

( GL ( ℝ ) , ⋅) 2

merupakan grup. Diambil sebarang

a, b ∈ ℤ , dapat dilihat bahwa a + b = b + a , yaitu operasi “+” pada ℤ bersifat komutatif. Apakah pada grup GL2 ( ℝ ) juga bersifat komutatif? Diambil matriks A, B ∈ GL2 ( ℝ )

1 2  2 1 dengan A =   dan B =   , diperoleh:  2 3  1 1  1 2   2 1  2 + 1 2 + 2   3 A⋅ B =  ⋅ = =  2 3   1 1  4 + 3 2 + 3   7  2 1  1 2   2 + 2 4 + 3   4 B⋅ A =  ⋅ = =  1 1  2 3   1 + 2 2 + 3   3 Ternyata diperoleh bahwa A ⋅ B ≠ B ⋅ A , sehingga

4  5 7  5 operasi perkalian matriks pada grup 1 2  2 1 GL2 ( ℝ ) tidak bersifat komutatif, sebab terdapat A =   dan B =   sedemikian  2 3  1 1 hingga A ⋅ B ≠ B ⋅ A . Dari sini dapat diperoleh bahwa operasi biner pada grup dapat bersifat komutatif atau bersifat tidak komutatif. Oleh karena itu, dapat didefinisikan sua...