Aljabar Abstrak BAB II - 26-10-2011 PDF

Preview

Summary

BAB II SUBGRUP 2.1. Pengantar Subgrup Diberikan grup ( ℝ, + ) dan ( ℤ, + ) . Kedua grup tersebut mempunyai operasi yang sama yaitu “+”. Lebih lanjut, ternyata diketahui bahwa ℤ merupakan himpunan bagian dari ℝ , yaitu ℤ ⊆ ℝ . Hal ini memotivasi pendefinisian suatu himpunan bagian dari grup yang juga...

Description

BAB II SUBGRUP

2.1. Pengantar Subgrup Diberikan grup

( ℝ, + )

dan ( ℤ, + ) . Kedua grup tersebut mempunyai operasi

yang sama yaitu “+”. Lebih lanjut, ternyata diketahui bahwa ℤ merupakan himpunan bagian dari ℝ , yaitu ℤ ⊆ ℝ . Hal ini memotivasi pendefinisian suatu himpunan bagian dari grup yang juga merupakan grup, seperti diberikan pada definisi di bawah ini. Definisi 2.1.1. (Subgrup) Diberikan grup ( G, ∗) dan himpunan bagian tidak kosong

H ⊆ G . Himpunan H disebut subgrup dari G jika H juga merupakan grup terhadap operasi biner “ ∗ ” yang sama pada grup G, dinotasikan dengan H ≤ G . Dari sini jelas bahwa setiap subgrup H ≤ G selalu memuat elemen identitas, yaitu e ∈ G dan e ∈ H . G

H

•e

Contoh 2.1.2. 1. Grup ( ℤ, + ) merupakan subgrup dari ( ℝ, + ) 2. Grup ( ℚ, + ) merupakan subgrup dari ( ℝ, + ) 3. Grup ( ℤ, + ) merupakan subgrup dari ( ℚ, + )

43

4. Setiap grup G ≠ {e} paling tidak mempunyai dua subgrup, yaitu H = {e} dan H = G sendiri. Subgrup H = {e} disebut subgrup trivial, sedangkan subgrup H = G disebut subgrup tidak sejati. Jika H subgrup dari G dan bukan sama

dengan G, maka H disebut dengan subgrup sejati. Untuk membuktikan bahwa suatu himpunan bagian tidak kosong H ⊆ G itu merupakan subgrup dari G, haruslah dibuktikan bahwa H juga merupakan grup, artinya memenuhi keempat aksioma pada grup, yaitu: 1.

( ∀a, b ∈ H ) a ∗ b ∈ H

2.

( ∀a, b, c ∈ H )( a ∗ b ) ∗ c = a ∗ ( b ∗ c )

3.

( ∃e ∈ H )( ∀a ∈ H ) a ∗ e = e ∗ a = a

4.

( ∀a ∈ H ) ( ∃a −1 ∈ H ) a ∗ a −1 = a −1 ∗ a = e

  a b  Latihan 2.1.3. Diberikan M 2 ( ℝ ) =   a, b, c, d ∈ ℝ  grup terhadap operasi  c d     a b  penjumlahan matriks. Buktikan bahwa H =   a, b ∈ ℝ  subgrup dari M 2 ( ℝ ) .  0 0  

Diberikan grup

( G, ∗)

dan H suatu himpunan bagian tidak kosong dari G.

Diketahui bahwa H ⊆ G , jika a, b, c ∈ H , maka a, b, c ∈ G . Diketahui G merupakan grup,

akibatnya

untuk

a , b, c ∈ H

memenuhi

sifat

assosiatif,

yaitu

a ∗ ( b ∗ c ) = ( a ∗ b ) ∗ c . Oleh karena itu, sifat assosiatif jelas dipenuhi oleh setiap himpunan bagian dari G. Hasil ini dapat dituliskan dalam Teorema berikut ini.

Teorema 2.1.4. (Teorema Subgrup I) Diberikan grup ( G , ∗) dan H suatu himpunan bagian tidak kosong dari G, maka H subgrup dari G jika dan hanya jika memenuhi: 1.

( ∀a, b ∈ H ) a ∗ b ∈ H

2.

( ∃e ∈ H )( ∀a ∈ H ) a ∗ e = e ∗ a = a

44

( ∀a ∈ H ) ( ∃a −1 ∈ H ) a ∗ a −1 = a −1 ∗ a = e .

3.

Bukti:

(⇒)

Diketahui H ≤ G , maka ( H , ∗) merupakan grup. Oleh karena itu, jelas bahwa

kondisi 1, 2 dan 3 dipenuhi.

( ⇐)

Diketahui

( H , ∗)

memenuhi kondisi 1, 2 dan 3. Untuk membuktikan bahwa

H ≤ G , haruslah dibuktikan bahwa ( H , ∗) merupakan grup. Karena H telah memenuhi kondisi 1, 2 dan 3, maka cukup dibuktikan berlaku assosiatif. Diambil sebarang

a, b, c ∈ H . Diketahui H ⊆ G , akibatnya a, b, c ∈ G . Karena G grup, maka pada G berlaku assosiatif, sehingga diperoleh bahwa a ∗ ( b ∗ c ) = ( a ∗ b ) ∗ c . Jadi, terbukti bahwa ( H , ∗) merupakan grup, atau dengan kata lain, H ≤ G . █

Jika H adalah subgrup dari G, maka H merupakan grup, sehingga G memuat elemen identitas. Misalkan eH adalah elemen identitas dari H dan e adalah elemen identitas dari G. Untuk setiap a ∈ H diperoleh bahwa a ∗ eH = a ∗ e = a , menggunakan kanselasi kiri diperoleh bahwa eH = e . Dari sini dapat disimpulkan bahwa setiap subgrup mempunyai elemen identitas yang sama dengan elemen identitas dari grupnya.

Teorema 2.1.5. (Teorema Subgrup II) Diberikan grup ( G, ∗) dan H suatu himpunan bagian tidak kosong dari G, maka H subgrup dari G jika dan hanya jika memenuhi: 1.

( ∀a, b ∈ H ) a ∗ b ∈ H

2.

( ∀a ∈ H ) ( ∃a −1 ∈ H ) a ∗ a −1 = a −1 ∗ a = e .

Bukti:

(⇒)

Diketahui H ≤ G , maka ( H , ∗) merupakan grup. Oleh karena itu, jelas bahwa

kondisi 1 dan 2 dipenuhi.

( ⇐)

Diketahui ( H , ∗) memenuhi kondisi 1 dan 2. Untuk membuktikan bahwa H ≤ G ,

haruslah dibuktikan bahwa ( H , ∗) merupakan grup. Dari pembuktian Teorema 2.1.4.

45

diperoleh bahwa pada H berlaku assosiatif. Karena H telah memenuhi kondisi 1 dan 2, maka cukup dibuktikan bahwa H memuat elemen identitas. Diambil sebarang a ∈ H , dari kondisi 2 diperoleh bahwa ∃a −1 ∈ H sedemikian hingga a ∗ a −1 = e . Diketahui

a, a −1 ∈ H , menggunakan kondisi 1 diperoleh bahwa a ∗ a −1 = e ∈ H , yaitu H memuat elemen identitas. Dengan demikian, diperoleh bahwa

( H , ∗)

merupakan grup. Jadi,

terbukti bahwa H ≤ G . █

Teorema 2.1.4. (Teorema Subgrup III) Diberikan grup ( G, ∗) dan H suatu himpunan bagian tidak kosong dari G, maka H subgrup dari G jika dan hanya jika

( ∀a, b ∈ H ) a ∗ b−1 ∈ H . Bukti:

(⇒)

Diketahui

H ≤ G , maka ( H , ∗) merupakan grup. Diambil sebarang a, b ∈ H ,

menggunakan aksioma G4, maka b −1 ∈ H . Menggunakan aksioma G1, diperoleh bahwa

a ∗ b −1 ∈ H .

( ⇐)

Diketahui ( ∀a, b ∈ H ) a ∗ b −1 ∈ H . Jelas bahwa pada H berlaku assosiatif. Akan

ditunjukkan bahwa pada H berlaku sifat tertutup, memuat elemen identitas dan setiap elemen dari H mempunyai invers di H. Diambil sebarang a, b ∈ H . Menggunakan Teorema

1.2.4.

diperoleh

bahwa

b = ( b −1 ) , −1

oleh

karena

itu

diperoleh

a ∗ b = a ∗ ( b −1 ) ∈ H , yaitu operasi biner pada H bersifat tertutup. Selanjutnya, −1

diketahui a ∈ H , akibatnya diperoleh a ∗ a −1 = e ∈ H , yaitu H memuat elemen identitas. Selanjutnya, diketahui e ∈ H dan a ∈ H , akibatnya diperoleh e ∗ a −1 = a −1 ∈ H , yang berarti bahwa untuk sebarang a ∈ H , terdapat invers dari a yaitu a −1 ∈ H . Diperoleh bahwa setiap elemen dari H mempunyai invers di H. Dengan demikian, terbukti bahwa

H merupakan subgrup dari G. █

46

G

H •a •b • a ∗ b −1

Dari ketiga teorema subgrup di atas, yang umum digunakan untuk membuktikan suatu himpunan bagian tidak kosong dari suatu grup itu merupakan subgrup adalah dengan menggunakan Teorema Subgrup III.

 a b   Contoh 2.1.5. Diberikan M 2 ( ℝ ) =   a, b, c, d ∈ ℝ  grup terhadap operasi  c d    a b   penjumlahan matriks. Buktikan bahwa H =   a, b ∈ ℝ  subgrup dari M 2 ( ℝ ) .  0 0  

0 0 Jawab: Jelas bahwa H ⊆ M 2 ( ℝ ) dan H bukan himpunan kosong, sebab  ∈ H . 0 0 Diambil sebarang

A + ( − B ) ∈ H . Misalkan

A, B ∈ H , akan dibuktikan bahwa

a b  a A =  1 1  dan B =  2 0 0 0

b2   − a2  , diperoleh bahwa − B =  0  0

 a b   −a A + ( −B ) =  1 1  +  2 0 0  0

−b2   a1 − a2 = 0   0

−b2   , sehingga 0 

b1 − b2  ∈ H . 0 

Menggunakan Teorema Subgrup III, terbukti bahwa H subgrup dari M 2 ( ℝ ) .

47

Contoh 2.1.6. Diberikan grup ℤ 6 = {0,1, 2,3, 4,5} terhadap operasi penjumlahan modulo 6. Tunjukkan bahwa S = {0,1, 2,3} bukan subgrup dari ℤ 6 .

Jawab: Untuk menunjukkan bahwa S = {1, 2,3} bukan subgrup dari G, dapat cukup dengan mencari contoh atau counter example, yaitu salah satu aksioma dari definisi subgrup yang tidak dipenuhi. Ada beberapa counter example yang dapat digunakan, yaitu: 1. Tidak memuat elemen identitas, yaitu 0 ∉ S . 2. Tidak bersifat tertutup, yaitu ∃2,3 ∈ S sedemikian hingga 2 + 3 = 5 ∉ S . 3. Ada elemen dari S yang tidak mempunyai invers di S, contohnya 2 tidak mempunyai invers di S, sebab ∀a ∈ S , 2 + a ≠ 0 , yaitu −2 = 4 ∉ S . Apabila ada satu saja aksioma yang tidak dipenuhi, itu sudah cukup untuk membuktikan bahwa S bukan subgrup.

( G , ∗)

Diberikan grup hingga

dan suatu himpunan bagian tidak kosong

H = {a1 , a2 ,..., an } ⊆ G . Salah satu cara untuk membuktikan bahwa H ≤ G adalah dengan bantuan tabel Cayley dan Teorema Subgrup II, yaitu ( ∀ai , a j ∈ H ) ai ∗ a j ∈ H ,

1 ≤ i, j ≤ n dan ( ∀ai ∈ H ) ( ∃ai−1 ∈ H ) ai ∗ ai−1 = e .

Contoh 2.1.7. Diberikan grup ℤ 6 = {0,1, 2, 3, 4, 5} terhadap operasi penjumlahan modulo 6. Buktikan bahwa S = {0, 2, 4} subgrup dari ℤ 6 , tetapi T = {0, 2,3, 4} bukan subgrup dari ℤ 6 .

Jawab: Menggunakan tabel Cayley, diperoleh: +

0

2

4

0

0

2

4

2

2

4

0

4

4

0

2

48

Dapat dilihat bahwa operasi “+” pada S bersifat tertutup dan setiap elemen dari S mempunyai invers di S, yaitu −0 = 0 , −2 = 4 dan −4 = 2 . Sehingga diperoleh bahwa S subgrup dari ℤ 6 . Selanjutnya, dibuat tabel Cayley dari T, yaitu: +

0

2

3

4

0

0

2

3

4

2

2

4

5

0

3

3

5

0

1

4

4

0

1

2

Dapat dilihat bahwa operasi “+” pada T tidak bersifat tertutup, yaitu 3 + 2 = 5 ∉ T , sehingga T bukan subgrup dari ℤ 6 .

Latihan 2.1.8. Diberikan grup permutasi S3 . 1. Buktikan bahwa H = {(1) , (12 )} subgrup dari S3 . 2. Buktikan bahwa K = {(1) , (123) , (132 )} subgrup dari S3 . 3. Apakah T = {(12 ) , (13)} subgrup dari S3 ? Jelaskan. 4. Tunjukkan bahwa T = {(1) , (12 ) , (13)} bukan subgrup dari S3 .

Contoh 2.1.9. Diberikan grup ( ℤ, + ) dan 2 ∈ ℤ . Didefinisikan 2ℤ adalah himpunan semua bilangan bulat kelipatan 2, atau himpunan semua bilangan bulat genap, yaitu 2ℤ = {2n n ∈ ℤ} = {..., −4, −2, 0, 2, 4,...} . Akan dibuktikan bahwa 2ℤ merupakan subgrup dari ℤ . Jelas bahwa 2ℤ ⊆ ℤ dan 2ℤ tidak kosong, sebab 0 ∈ 2ℤ . Diambil sebarang a, b ∈ 2ℤ , maka a = 2k dan b = 2n , untuk suatu k , n ∈ ℤ . Diperoleh

a + b −1 = a + ( −b ) = a − b = 2k − 2n = 2 ( k − n ) ∈ 2ℤ , dengan k − n ∈ ℤ . Berdasarkan Teorema Subgrup III, terbukti bahwa 2ℤ merupakan subgrup dari ℤ .

49

Latihan 2.1.10. Secara umum, diberikan m ∈ ℤ . Didefinisikan mℤ adalah himpunan semua bilangan bulat kelipatan m, yaitu

mℤ = {mn n ∈ ℤ} = {..., −2m, − m, 0, m, 2m,...} . Buktikan bahwa mℤ subgrup dari ℤ .

50

Soal-soal Latihan Subbab 2.1.  a b   1. Diberikan M 2 ( ℝ ) =   a, b, c, d ∈ ℝ  grup terhadap operasi penjumlahan  c d     a b  matriks. Buktikan bahwa H =   a, b, c ∈ ℝ  subgrup dari M 2 ( ℝ ) .  c 0   2. Diberikan grup ( ℤ10 , + ) . a. Buktikan bahwa H = {0, 2, 4, 6,8} subgrup dari ℤ10 . b. Apakah S = {0,3, 6,9} subgrup dari ℤ10 ? Jelaskan. 3. Diberikan

grup

( ℤ12 , + ) .

Buktikan

bahwa

H = {0, 2, 4, 6,8,10}

dan

K = {0,3, 6,9} merupakan subgrup dari ℤ12 . 4. Tentukan semua subgrup dari grup ( ℤ 8 , + ) . 5. Tentukan semua subgrup dari grup permutasi S3 (ada 6 subgrup).

 a b   6. Diberikan GL2 ( ℝ ) =   a, b, c, d ∈ ℝ, ad − bc ≠ 0  grup terhadap operasi  c d   perkalian matriks. Diberikan

 a b   SL2 ( ℝ ) =   a, b, c, d ∈ ℝ, ad − bc = 1 .  c d  

Buktikan bahwa SL2 ( ℝ ) subgrup dari GL2 ( ℝ ) . 7. Diberikan grup G dan H himpunan bagian tidak kosong dari G. Buktikan bahwa

H subgrup dari G jika dan hanya jika ( ∀a, b ∈ H ) a −1 ∗ b ∈ H .

51

Notasi: 1. Untuk selanjutnya, penulisan grup ( G, ∗) cukup ditulis dengan G. 2. Penulisan a ∗ b cukup dituliskan dengan ab. 3. Grup ( ℤ n , + ) cukup ditulis dengan ℤ n . 4. Grup ( ℤ∗p , ⋅) cukup ditulis dengan ℤ∗p . 5. Grup ( Sn ,

)

cukup ditulis dengan Sn .

6. Grup ( ℤ, + ) cukup ditulis dengan ℤ . 7. Grup ( M 2 ( ℝ ) , + ) cukup ditulis dengan M 2 ( ℝ ) .

52

2.2. Sifat-sifat Subgrup Setelah diberikan konsep mengenai subgrup, dalam subbab ini diberikan mengenai sifat-sifat dari subgrup. Sebagai motivasi, diberikan grup ℤ12 dan dua subgrup dari ℤ12 , yaitu H = {0, 2, 4, 6,8,10} dan K = {0,3, 6,9} . Diketahui H dan K subgrup dari ℤ12 . Dari dua himpunan ini, dapat ditentukan irisan dan gabungan dari H dan K, yaitu H ∩ K = {0, 6} dan H ∪ K = {0, 2,3, 4, 6,8,9,10} . Dapat dilihat bahwa ternyata H ∩ K juga merupakan subgrup dari ℤ12 . Akan tetapi H ∪ K bukan subgrup dari ℤ12 , sebab terdapat 2,3 ∈ H ∪ K tetapi 2 + 3 = 5 ∉ H ∪ K .

Teorema 2.2.1. Diberikan grup G. Jika H dan K subgrup dari G, maka H ∩ K subgrup dari G.

Bukti: Diketahui H dan K subgrup dari G. Jelas bahwa H ∩ K himpunan bagian tidak kosong dari G, sebab e ∈ H dan e ∈ K , sehingga e ∈ H ∩ K . Diambil sebarang a, b ∈ H ∩ K , maka a, b ∈ H

dan a, b ∈ K . Berdasarkan Teorema Subgrup III,

diperoleh bahwa ab −1 ∈ H dan ab −1 ∈ K , yang berakibat bahwa ab −1 ∈ H ∩ K . Jadi, terbukti bahwa H ∩ K subgrup dari G. █ Jika H dan K subgrup dari G, maka H ∪ K belum tentu subgrup dari G. Sebagai counter example-nya telah diberikan di atas. Sebagai counter example yang lain, diberikan 2ℤ , 3ℤ dan 4ℤ adalah subgrup dari ℤ . Diketahui 2ℤ = {2n n ∈ ℤ} = {..., −4, −2, 0, 2, 4,...} 3ℤ = {3n n ∈ ℤ} = {..., −6, −3, 0,3, 6,...} 4ℤ = {4n n ∈ ℤ} = {..., −8, −4, 0, 4,8,...} Dapat dilihat bahwa 2ℤ ⊆ 4ℤ , sehingga diperoleh bahwa 2ℤ ∪ 4ℤ = 2ℤ yang berarti bahwa 2ℤ ∪ 4ℤ subgrup dari ℤ . Akan tetapi 2ℤ ∪ 3ℤ bukan subgrup dari ℤ , diketahui 2ℤ ∪ 3ℤ = {a ∈ ℤ a = 2n atau a = 3n, n ∈ ℤ} = {..., −6, −4, −3, −2, 0, 2, 3, 4, 6,...} ,

53

diambil −2, 3 ∈ 2ℤ ∪ 3ℤ , tetapi −2 + 3 = 1 ∉ 2ℤ ∪ 3ℤ . Hal ini menunjukkan bahwa 2ℤ ∪ 3ℤ bukan subgrup dari ℤ .

n

Akibat Diberikan grup G. Jika H1 , H 2 ,..., H n adalah subgrup dari G, maka

∩H

i

i =1

subgrup dari G.

Bukti: Sebagai latihan mahasiswa.

Diberikan grup G. Diberikan H dan K subgrup dari G. Didefinisikan himpunan

HK = {hk h ∈ H , k ∈ K } . Sebagai contoh, diberikan grup

(ℤ6, +) .

H = {0, 2, 4}

Diperoleh

dan

K = {0,3}

subgrup

dari

ℤ6 .

Diberikan bahwa

HK = {h + k h ∈ H , k ∈ K } = {0 + 0, 0 + 3, 2 + 0, 2 + 3, 4 + 0, 4 + 3} = {0,1, 2,3, 4,5} .

Teorema 2.2.2. Diberikan grup G. Diberikan H dan K subgrup dari G. Jika G grup Abelian, maka HK subgrup dari G.

Bukti: Diketahui G grup Abelian. Jelas bahwa HK himpunan bagian tidak kosong dari G, sebab e ∈ HK . Diambil sebarang a, b ∈ HK , maka a = h1k1 dan b = h2 k2 , untuk suatu h1 , h2 ∈ H dan k1 , k2 ∈ K . Karena G grup Abelian, diperoleh bahwa

ab −1 = h1k1 ( h2 k2 ) = h1k1k2−1h2−1 = ( h1h2−1 )( k1k2−1 ) ∈ HK −1

dengan h1h2−1 ∈ H dan k1k2−1 ∈ K . Jadi, terbukti bahwa HK subgrup dari G. █

Teorema

{

2.2.3.

}

g = gn n∈ℤ

(Subgrup

Siklik)

Diberikan

grup

G

merupakan subgrup dari G. Selanjutnya,

subgrup siklik dari G yang dibangun oleh g.

54

dan

g

g ∈G ,

maka

disebut dengan

g ⊆ G dan

Bukti: Jelas bahwa

g

tidak kosong, sebab g 0 = e ∈ g . Diambil

sebarang a, b ∈ g , maka a = g m dan b = g n , untuk suatu m, n ∈ ℤ , sehingga

m − n ∈ ℤ . Selanjutnya, dapat diperoleh bahwa ab −1 = g m ( g n ) = g m g − n = g m − n ∈ g . −1

Menggunakan Teorema Subgrup, terbukti bahwa g subgrup dari G. █

Contoh 2.1.4. Diberikan grup ( ℤ10 , + ) . Subgrup siklik yang dibangun oleh 2 ∈ ℤ10 adalah

{

}

2 = 2n n ∈ ℤ = {0, 2, 4, 6,8} . Subgrup siklik yang dibangun oleh 3 ∈ ℤ 10

adalah sebagai berikut:

{

}

3 = 3n n ∈ ℤ

= {30 = 0,31 = 3,32 = 6,33 = 9, 34 = 2,35 = 5,36 = 8, 37 = 1,38 = 4, 39 = 7}

= {0,3, 6,9, 2, 5,8,1, 4, 7} = {0,1, 2,3, 4, 5, 6, 7,8,9} = ℤ10

Dapat dilihat bahwa 3 = ℤ10 , yaitu 3∈ ℤ 10 merupakan elemen pembangun dari grup siklik ℤ10 .

Teorema

.

(Center)

Diberikan

grup

G,

didefinisikan

himpunan

Z ( G ) = {a ∈ G ag = ga, ∀g ∈ G} , maka Z ( G ) merupakan subgrup dari G. Himpunan

Z ( G ) disebut dengan center dari G.

Bukti:

Teorema . (Centralizer) Diberikan grup G dan a ∈ G . Didefinisikan himpunan C ( a ) = { g ∈ G ag = ga} , maka C ( a ) merupakan subgrup dari G. Himpunan C ( a ) disebut dengan centralizer dari a di G.

Bukti:

55

56

Soal-soal Latihan Subbab 2.2.

{

}

1. Diberikan grup G dan H = a ∈ G a 2 = e . Buktikan bahwa H subgrup dari G. 2. Diberikan grup G dan H subgrup dari G. Diberikan g ∈ G , didefinisikan himpunan gHg −1 = { ghg −1 h ∈ H } . a. Buktikan bahwa gHg −1 subgrup dari G. b. Buktikan bahwa gHg −1 = H . 3. Diberikan H dan K subgrup dari G. Buktikan bahwa HK subgrup dari G jika dan hanya jika HK = KH. 4. Diberikan H subgrup dari G. Jika G grup Abelian, buktikan bahwa H subgrup Abelian dari G. 5. Diberikan H subgrup dari G. Jika G grup siklik, buktikan bahwa H grup siklik.

57

2.3. Teorema Lagrange Sebagai motivasi, diberikan grup ℤ12 dan dua subgrup dari ℤ12 , yaitu

H = {0, 2, 4, 6,8,10} dan K = {0,3, 6,9} . Dapat dilihat bahwa order dari ℤ12 = 12 , H = 6 dan K = 4 . Hal menarik yang dapat ditemukan adalah bahwa order dari H membagi habis order dari ℤ12 , yaitu 6 membagi habis 12. Demikian juga bahwa order dari K membagi habis order dari ℤ12 , yaitu 4 membagi habis 12. Dalam subbab ini akan dibahas mengenai sebuah teorema yang menyatakan bahwa setiap order dari subgrup selalu membagi habis order dari grupnya. Sebelumnya, terlebih dahulu diberikan mengenai konsep koset.

Definisi 2.3.1. Diberikan H subgrup dari G dan a ∈ G . 1. Himpunan aH = {ah h ∈ H } disebut dengan koset kiri dari H yang ditentukan oleh a (yang memuat a). 2. Himpunan Ha = {ha h ∈ H } disebut dengan koset kanan dari H yang ditentukan oleh a (yang memuat a).

Contoh 2.3.2. 1. Diberikan H = {(1) , (123) , (132 )} subgrup dari S3 . Untuk ( 23) ∈ S3 diperoleh koset kiri, yaitu

( 23) H = {( 23)(1) , ( 23)(123) , ( 23)(132 )} = {( 23) , (13) , (12 )}

dan koset kanan H ( 23) = {(1)( 23) , (123)( 23) , (132 )( 23)} = {( 23) , (12 ) , (13)} . 2. Diberikan K = {(1) , (12 )} subgrup dari S3 . Untuk ( 23) ∈ S3 diperoleh koset kiri, yaitu

( 23) K = {( 23)(1) , ( 23)(12 )} = {( 23) , (132 )}

dan koset kanan yaitu

K ( 23) = {(1)( 23) , (12 )( 23)} = {( 23) , (123)} . 3. Diberikan H = {0, 2, 4, 6,8,10} subgrup dari ℤ12 , untuk 3∈ ℤ 12 diperoleh koset kiri 3H = {3 + 0,3 + 2, 3 + 4,3 + 6,3 + 8,3 + 10} = {1, 3, 5, 7, 9,11} = 3 + H dan koset kanan H 3 = {0 + 3, 2 + 3, 4 + 3, 6 + 3,8 + 3,10 + 3} = {1, 3, 5, 7, 9,11} = H + 3 .

Lemma 2.3.3. Diberikan H subgrup dari G dan a ∈ G .

58
...