Bahan ajar Aljabar II Ppt PDF

Preview

Summary

Aljabar Aljabar Materi Kuliah Aljabar 2013 Subiono [email protected] c Copyright 2013 Jurusan Matematika-MIPA Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya 10 Pebruari 2013 Jurusan Matematika-MIPA Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya Aljabar Aljabar Daftar Isi 1 Pengertian Gr...

Description

Aljabar

Aljabar Materi Kuliah Aljabar 2013 Subiono [email protected] c

Copyright 2013 Jurusan Matematika-MIPA Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya

10 Pebruari 2013

Jurusan Matematika-MIPA Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya Aljabar

Aljabar

Daftar Isi 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Pengertian Grup Subgrup Koset Teorema Isomorpisma Tindakan Suatu grup G pada X 6= ∅ Grup Permutasi Internal Direct Product dan Struktur Grup Ring, Daerah Integral dan Lapangan Ring Polinomial Faktorisasi Tunggal

Jurusan Matematika-MIPA Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya Aljabar

Aljabar Abstrak

Abstrak Abstrak Dalam catatan kuliah ini diberikan beberapa materi dari mata kuliah aljabar untuk program sarjana S2 jurusan matematika FMIPA-ITS. Materi kuliah berupa perencanaan yang disajikan agar mempermudah peserta ajar dalam proses belajar mengajar. Peserta ajar diharapkan mempersiapkan diri melalui pemahaman yang dipunyai sebelumnya dan menambah kekurangan pemahaman pengetahuannya yang dirasa kurang saat proses belajar mengajar di kelas. Juga agar mempermudah proses belajar mengajar digunakan alat bantu perangkat lunak SageMath versi 5.0.

Jurusan Matematika-MIPA Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya Aljabar

Aljabar Rencana Materi Kuliah

Rencana Materi Kuliah Pengertian suatu grup, contoh-contoh dan sifat-sifat. Pengertian Subgrup, contoh-contoh dan sifat-sifat. Pengertian koset kiri dan koset kanan, grup faktor (grup kuasi) dan contoh-contoh. Grup permutasi contoh-contoh dan sifat-sifat. Homomorpisma, Isomorpisma grup, contoh-contoh dan sifat Tindakan suatu grup contoh-contoh dan sifat-sifat. Internal Direct Product Group dan Struktur Group. Ring, Field, Daerah Integral dan Polinomial atas Ring. Daerah Ideal Utama dan Daerah Euclid. Daerah Faktorisasi Tunggal. Jurusan Matematika-MIPA Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya Aljabar

Aljabar Pengertian Grup

Grup Suatu grup adalah suatu himpunan G 6= ∅ bersama-sama dengan suatu operasi biner ∗ : G × G → G yang biasanya dinotasikan oleh a ∗ b sedemikian hingga sifat-sifat berikut dipenuhi: 1. (a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c) untuk semua a, b, c ∈ G . 2. Ada e ∈ G , sedemikian hingga e ∗ g = g = g ∗ e untuk semua g ∈ G. 3. Untuk setiap g ∈ G ada g −1 yang memenuhi g ∗ g −1 = e = g −1 ∗ g . Tambahan pula, bila masih memenuhi a ∗ b = b ∗ a untuk semua a, b ∈ G , maka grup G dinamakan grup abelian/komutatif. Komentar dan diskusi? Jurusan Matematika-MIPA Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya Aljabar

Aljabar Pengertian Grup

Contoh-Contoh 1. Himpunan-himpunan bilangan bulat Z, bilangan rasional Q, bilangan riil R dan bilangan kompleks C bersama-sama operasi biner penambahan merupakan grup komutatif. 2. Himpunan bilangan Q − {0} dengan operasi biner perkalian merupakan grup abelian. 3. Himpunan GL(n, R) matriks nonsingular n × n dengan operasi perkalian matriks merupakan grup tak-komutatif. 4. Himpunan matriks n × n dengan determinan sama dengan 1 (SL(n, R)) bersama-sama dengan operasi biner perkalian matriks merupakan grup tak-komutatif. 5. Misalkan S = {1, 2, . . . n} dan Sn adalah himpunan dari semua fungsi satu-satu pada f : S → S. Maka Sn dengan operasi komposisi fungsi merupakan suatu grup, grup ini dinamakan suatu grup permutasi. Jurusan Matematika-MIPA Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya Aljabar

Aljabar Pengertian Grup

Lanjutan Contoh-Contoh 6. Diberikan grup G = {e, a, b, c} dengan operasi biner diberikan oleh tabel berikut ∗

e

a

b

c

e a b c

e a b c

a e c b

b c e a

c b a e

Dari tabel diatas, terlihat bahwa G adalah grup komutatif dengan elemen netral e. Setiap elemen punya invers: a−1 = a, b −1 = b dan c −1 = c.

Jurusan Matematika-MIPA Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya Aljabar

Aljabar Pengertian Grup

Contoh 7 n 2π o Diberikan himpunan Z6 = e n | n = 0, 1, 2, 3, 4, 5 adalah himpunan bilangan kompleks denga |z| = 1 untuk semua z ∈ Z6 . Dalam gambar berikut z ∈ Z6 digambarkan sebagai titik berwarna merah. b b

2π 6

−1 b b

b

1

b

Dengan operasi perkalian Z6 adalah grup komutatif dengan elemen netral 1. Jurusan Matematika-MIPA Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya Aljabar

Aljabar Pengertian Grup

Lanjutan Contoh 8. Himpunan Zn bilangan bulat modulo n dengan operasi biner penambahan merupkan grup komutatif. 9. Himpunan Zp − {[0]} bilangan bulat modulo p dengan p bilangan prima bersama-sama dengan operasi biner perkalian merupakan grup abelian. 10. Himpunan H=



1 0

a 1

  a ∈ Z

dengan operasi perkalian matriks merupakan suatu grup. 11. Himpunan Zn = {(a1 , a2 , . . . , an ) | ai ∈ Z} dengan operasi biner tambah didefinisikan oleh def (a1 , a2 , . . . , an ) + (b1 , b2 , . . . , bn ) = (a1 + b1 , a2 + b2 , . . . , an + bn ) adalah suatu grup. √ 12. Himpunan {1, −1, i, −i} dengan i = −1 dan himpunan {z ∈ C | |z| = 1} dengan operasi kali adalah grup. Jurusan Matematika-MIPA Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya Aljabar

Aljabar Pengertian Grup

Beberapa Sifat Grup Catatan : Untuk sederhananya penulisan a ∗ b cukup ditulis ab, penulisan suatu grup G dengan operasi biner ∗ biasanya ditulis (G , ∗) cukup ditulis grup G . Beberapa sifat suatu grup Penghapusan kurung, dikarenakan operasi biner ∗ adalah assosiatif, maka penulisan (a ∗ b) ∗ (c ∗ d) = ((a ∗ b) ∗ c) ∗ d = (a ∗ (b ∗ c)) ∗ d ditulis a ∗ b ∗ c ∗ d. Misalkan n > 3 dan g , h ∈ G dengan g = (g1 · · · gi )(gi +1 · · · gn ), h = (g1 · · · gj )(gj+1 · · · gn ).

Tanpa mengurangi generalitas, misalkan i ≤ j untuk i = j jelas g = h. Jadi, misalkan i < j, maka kurung dapat disusun sebagai berikut g

=

h

=

(g1 · · · gi ) ((gi +1 · · · gj )(gj+1 · · · gn )) , ((g1 · · · gi )(gi +1 · · · gj )) (gj+1 · · · gn ).

Misalkan A = (g1 · · · gi ), B = (gi +1 · · · gj ), C = (gj+1 · · · gn ), didapat g = A(BC ) = (AB)C = h. Jurusan Matematika-MIPA Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya Aljabar

Aljabar Pengertian Grup

Sifat Sifat Misalkan G suatu grup, maka : (1.) Elemen netral e ∈ G adalah tunggal. (2.) Untuk setiap a ∈ G invers dari a yaitu a−1 = b adalah tunggal. Bukti (1.) Misalkan e1 juga elemen netral di G , maka e1 = e1 e = e. Jadi elemen netral tunggal. (2.) Misalkan b1 juga invers dari a, maka ab = ba = e dan ab1 = b1 a = e. Didapat b = eb = (b1 a)b = b1 (ab) = b1 e = b1 . Dengan demikian elemen invers adalah tunggal. Jurusan Matematika-MIPA Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya Aljabar

Aljabar Pengertian Grup

Lanjutan Sifat

Sifat Misalkan G suatu grup: (3.) Bila a, b ∈ G maka ada dengan tunggal x dan y sehingga ax = b dan ya = b. (4.) Bila gx = gy , maka x = y untuk g , x, y ∈ G . (5.) Bila xg = yg , maka x = y untuk g , x, y ∈ G . (6.) Bila a, b ∈ G , maka berlaku (ab)−1 = b −1 a−1 (7.) Untuk semua g ∈ G , berlaku (g −1 )−1 = g .

Jurusan Matematika-MIPA Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya Aljabar

Aljabar Pengertian Grup

Bukti Sifat (3.)-(7.) Bukti (3.) Bila ax0 = b, maka a−1 (ax0 ) = a−1 b. Sehingga didapat x0 = a−1 b. Sebaliknya bila x = a−1 b, maka ax = a(a−1 b) atau ax = b. Jadi persamaan ax = b mempunyai penyelesaian tunggal x = a−1 b. Dengan cara serupa bisa ditunjukkan bahwa ya = b mempunyai penyelesaian tunggal y = ba−1 . (4.) Dari persamaan gx = gy kedua ruas kalikan dari kiri dengan g−1 , didapat x = y. (5.) Dari persamaan xg = yg kedua ruas kalikan dari kanan dengan g−1 , didapat x = y. (6.) Dari persamaan (ab)−1 (ab) = e kedua ruas berturut-turut kalikan dari kanan dengan b−1 dan a−1 , didapat (ab)−1 = b−1 a−1 . (7.) g (g −1 ) = (g −1 )g = e, jadi (g −1 )−1 = g .

Jurusan Matematika-MIPA Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya Aljabar

Aljabar Pengertian Grup

Order Grup dan Order Elemen Misalkan G suatu grup, order dari G ditulis |G | menyatakan banyaknya elemen dari himpunan G . Sebelum diberikan pengertian order dari suatu elemen g ∈ G , diberikan lebih dulu pengertian g n dimana nZ sebagaimana berikut ini: def

1. g 0 = e, diman e elemen netral. def

2. g n = ggg . . . g , dimana n > 0. | {z } n

3.

def g n+1 =

4.

def gn =

g ng ,

dimana n > 0.

g −1 g −1 g −1 . . . g −1 , dimana n < 0. {z } | −n

Jurusan Matematika-MIPA Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya Aljabar

Aljabar Pengertian Grup

Sifat Selanjutnya dapat ditunjukkan: (1.) g m+n = g m g n dan (2.) (g m )n = g mn untuk semua m, n ∈ Z. Bukti (1.) Dengan induksi pada n. Misalkan n taknegatif dan tanpa mengurangi kegeneralitasan, misalkan m + n ≥ 0 , didapat g m+0 = g m e = g m g 0 dan dengan menggunakan hipotesis induksi didapat g m+(n+1) = g (m+n)+1 = g m+n g = g m g n g = g m g n+1 . Dari hasil ini didapat g m−n g n = g (m−n)+n = g m , dengan demikian g m−n = g m (g n )−1 = g m g −n , hal ini nenunjukkan bahwa (1.) dipenuhi juga untuk n negatif. (2.) Misalkan n taknegatif, sebagaimana penggunaan induksi pada n yang dilakukan sebelumnya didapat (g m )0 = e = g 0m dan (g m )n+1 = (g m )n g m = g mn g m = g mn+m = g m(n+1) . Untuk n negatif dapat dilakukan sebagaimana pada (1.). Jurusan Matematika-MIPA Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya Aljabar

Aljabar Pengertian Grup

Order Elemen dan Beberapa Sifat Order Elemen Misalkan G suatu grup dan g ∈ G . Order dari g dinotasikan dengan |g | yang menyatakan bilangan bulat positip terkecil n sehingga memenuhi g n = e dengan e adalah elemen netral. Bila tidak ada n yang demikian maka |g | = +∞. Sifat 1. Bila |g | = n, maka g m = e bila dan hanya bila m kelipatan dari n. n . 2. Bila |g | = n dan h = g m , maka |h| = fpb(m, n)

Jurusan Matematika-MIPA Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya Aljabar

Aljabar Pengertian Grup

Bukti Sifat Bukti 1. Bila m = nk, maka gm = gnk = (gn )k = ek = e. Selanjutnya misalkan gm = e dan andaikan m = nk + r dengan 0 < r < n, maka e = gm = gnk+r = (gn )k gr = ek gr = gr , kontradiksi dengan kenyataan |g| = n. Jadi haruslah r = 0 atau m = nk.

2. Dipunyai gm = h, gn = e. Misalkan d = fpb(m, n), maka m = dm1 , n = dn1 , dimana fpb(m1 , n1 ) = 1. Jadi hn1 = gmn1 = gdm1 n1 = gdn1 m1 = gnm1 = em1 = e. Berikutnya misalkan hk = e, maka didapat gmk = e, oleh karena itu mk merupakan kelipatan dari n. Jadi dm1 k merupakan kelipatan dari dn1 atau m1 k kelipatan dari n1 . Karena m1 dan n1 prima relatif, maka k merupakan kelipatan dari n1 . Berdasarkan teorema sebelumnya, maka |h| = n1 atau n n |h| = = . d fpb(m, n) Jurusan Matematika-MIPA Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya Aljabar

Aljabar Pengertian Grup

Beberapa Catatan Order Elemen Catatan 1. Bila g ∈ G dan |g | = +∞, maka g n , n = 0, 1, 2, 3, . . . semuanya adalah berbeda, bila tidak maka ada m dan n dengan m 6= n, misalkan dalam hal ini m > n sehingga g m = g n . Didapat g m−n = e. Jadi ada k = m − n sehingga g k = e, hal ini bertentangan dengan |g | = +∞. 2. Bila |g | = n, maka e, g , g 2 , g 3 , . . . , g n−1 semuanya berbeda satu dengan yang lainnya, bila tidak demikian maka ada g t = e dengan 0 < t < n, hal ini bertentangan dengan kenyataan bahwa n bilangan bulat positip terkecil yang memenuhi g n = e.

Jurusan Matematika-MIPA Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya Aljabar

Aljabar Subgrup

Subgrup Subgrup Misalkan G suatu grup dan H ⊆ G dengan H 6= ∅, dikatakan bahwa H merupakan subgrup dari G bila H sendiri merupakan grup dengan operasi biner yang sama dengan di G . Hal ini dinotasikan oleh H < G . Cara mudah menentukan himpunan H adalah subgrup dari grup G adalah dengan sifat sebagai berikut: Sifat Misalkan G adalah suatu grup. Himpunan H adalah subgrup dari G bila dan hanya bila untuk sebarang a, b ∈ H maka ab −1 ∈ H

(a−1 b ∈ H).

Jurusan Matematika-MIPA Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya Aljabar

Aljabar Subgrup

Bukti Sifat Subgrup Bukti Misalkan H < G , didapat bila a, b ∈ H maka b −1 ∈ H. Karena di H berlaku juga operasi biner maka ab −1 ∈ H. Selanjutnya misalkan berlaku untuk sebarang a, b ∈ H berakibat ab −1 ∈ H, akan ditunjukkan H < G . Misalkan bahwa a ∈ H, maka dengan hipotisis didapat e = aa−1 ∈ H. Jadi e ∈ H dan misalkan g sebarang di H, maka g −1 = eg −1 ∈ H. Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa di H berlaku suatu operasi biner yaitu ab ∈ H untuk semua a, b ∈ H. Misalkan a, b ∈ H berdasarkan hasil sebelumnya maka b −1 juga di H. Berdasarkan hipotisis maka ab = a(b −1 )−1 ∈ H. Sifat assosiatif di H diwarisi dari G (sebab H ⊆ G ).

Jurusan Matematika-MIPA Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya Aljabar

Aljabar Subgrup

Contoh-Contoh Subgrup 1. Bila G suatu grup, maka E = {e} trivial subgrup dari G . Sedangkan subgrup dari G yang selain E dan G sendiri dinamakan subgrup sejati (proper subgrup). 2. Himpunan matriks SL(n, R) dengan operasi biner perkalian matriks adalah subgrup dari grup GL(n, R). 3. Himpunan matriks SL(n, R) dengan operasi biner perkalian matriks adalah subgrup dari grup GL(n, R). 4. Himpunan H = { 21m | m ∈ Z} dengan operasi perkalian merupakan subgrup dari grup Q∗ = Q − {0}. 5. Bila G suatu grup dan senter dari G didefinisikan oleh Z (G ) = {a ∈ G | ab = ba, untuk semua b ∈ G }. Z (G ) adalah subgrup dari G . Jurusan Matematika-MIPA Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya Aljabar

Aljabar Subgrup

Sifat Subgrup Sifat Subgrup T Bila {Hα } adalah koleksi dari subgrup dari G , maka Hα juga

merupakan subgrup dari G .

α

Bukti T Misalkan H = Hα , jelas bahwa H 6= ∅ sebab e ∈ H. Juga bila α

a, b ∈ H, maka a, b ∈ Hα untuk setiap α hal ini berakibat ab −1 ∈ Hα untuk setiap α. Maka dari itu ab −1 juga di H. Terlihat bahwa bila a, b ∈ H berakibat bahwa ab −1 ∈ H, maka dari itu H adalah subgrup dari G .

Jurusan Matematika-MIPA Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya Aljabar

Aljabar Subgrup

Generator (Pembangun) Misalkan G suatu grup dan S adalah himpunan bagian dari G . Notasi hSi menyatakan semua subgrup dari G yang memuat S. Jadi hSi itu sendiri merupakan subgrup dari G yang memuat S. Dalam hal ini \ hSi = Hα S⊂Hα

dan dinamakan subgrup yang dibangun oleh S, sedangkan S dinamakan generator dari hSi. Grup hSi ini adalah subgrup terkecil dari G yang memuat S, yaitu bila H adalah suatu subgrup dari G yang memuat S, maka H harus juga memuat hSi. Khususnya bila S = {a}, maka hSi = hai dinamakan subgrup siklik yang dibangun oleh elemen a. Jurusan Matematika-MIPA Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya Aljabar

Aljabar Subgrup

Beberapa Sifat Sifat Diberikan suatu grup G 1 Bila S ⊂ G , maka sm < S > = {a1s1 . . . am | ai ∈ S, si ∈ Z, m ≥ 1}, 2 < a > = {ak | k ∈ Z} Bukti sm 1 Tulis H = {a1s1 . . . am | ai ∈ S, si ∈ Z, m ≥ 1} dan misalkan sebarang sm a = a1s1 . . . am , b = b1p1 . . . bnpn ∈ H, didapat sm −pn ab−1 = a1s1 . . . am bn . . . b1−p1 ∈ H. Jadi H < G dan untuk sebarang a ∈ S, 1 maka a = a ∈ H yaitu S ⊂ H. Akibatnya < S >⊂ H. Disamping itu, S ⊂< S > dan < S > adalah subgrup dari G , maka semua hasil kali dan invers elemen-elemen dari S berada di < S >. Jadi H ⊂< S >. Didapat H =< S >.

2 Bila S = {a}, maka H dalam (1) menjadi H = {ak |k ∈ Z} dan didapat < a > = {ak |k ∈ Z}. Bila operasi biner adalah tambah, maka < S > = {s1 a1 + . . . + sm am | ai ∈ S, si ∈ Z, m ≥ 1} dan < a > = {ka|k ∈ Z}.

Jurusan Matematika-MIPA Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya Aljabar

Aljabar Subgrup

Contoh-Contoh Contoh 1 Diberikan S = {2, 3} ⊂ Z dengan operasi biner tambah subgrup dari Z yang dibagun oleh S adalah hSi = {2s1 + 3s2 |s1 , s2 ∈ Z}. Karena 1 = 2(−1) + 3(1), maka 1 ∈ hSi. Jadi untuk setiap n ∈ Z, n.1 ∈ hSi. hal ini menunjukkan bahwa hSi = Z atau hSi = h1i.

2 Diberikan S = {4, 6} ⊂ Z dengan operasi biner tambah subgrup dari Z yang dibagun oleh S adalah hSi = {4s1 + 6s2 |s1 , s2 ∈ Z} = {2(2s1 + 3s2 )|s1 , s2 ∈ Z}. Berdasarkan hasil (1), didapat hSi = {2n|n ∈ Z} = 2Z atau < S >=< 2 >. Jadi < S > adalah himpunan bilangan bulat genap.

 3 Himpunan bilangan bulat modulo n, Zn = 1 . 4 Untuk setiap k ∈DZ Edengan k dan n prima relatif, himpunan bilangan bulat modulo n, Zn = k .

5 Diberikan G suatu grup dan x ∈ G . Sentralisir dari x didefinisikan oleh C (x) = {a ∈ G | ax = xa} adalah subgrup dari G dan C (x) = G bila dan hanya bila x ∈ Z (G ). Perhatikan juga C (x) selalu memuat subgrup hxi. Jurusan Matematika-MIPA Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya Aljabar

Aljabar Subgrup

Lanjutan Contoh-Contoh Contoh 6. Bila G suatu grup dan a, b ∈ G , maka [a, b] = a−1 b−1 ab dinamkan komutator dari a dan b. Subgrup H yang dibangun oleh semua elemen komutator dari G dinamakan subgrup komutator , juga ditulis sebagai [G , G ] = H. 7. Suatu cara yang mudah untuk mendeskripsikan grup melalui generator dan hubungannya yang diberikan. Misalnya grup quaternion adalah grup dengan 8 elemen. Ada dua generator a dan b dengan hubungan : a4 = e; b2 = a4 ; b−1 ab = a−1 . Grup quarternion ini adalah Q = {e, a, a2 , a3 , b, ab, a2 b, a3 b}. 8. Grup dihedral dengan order 2n, dinotasikan oleh D2n adalah grup yang dibangun oleh x dan y dengan hubungan : x n = e; y 2 = e; yxy −1 = x −1 . Grup D2n diberikan oleh D2n = {ex, x 2 , . . . , x n−1 , y , yx, yx 2 , . . . , yx n−1 }.

Jurusan Matematika-MIPA Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya Aljabar

Aljabar Subgrup

Sifat Sifat Setiap grup siklik G adalah komutatif. Bukti Bila G =< a >= {ak |k ∈ Z}, maka untuk setiap x = am , y = an ∈< a > didapat xy = am an = am+n = an+m = an am = yx. Jadi G adalah grup komutatif. Sifat ini tidak berlaku sebaliknya. Grup-grup yang komutatif tetapi tidak siklik adalah Q, R, C dengan operasi biner penambahan juga Q∗ = Q − {0}, R∗ = R − {0} dan C∗ = C − {0} dengan operasi biner perkalian. Jurusan Matematika-MIPA Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya Aljabar

Aljabar Subgrup

Sifat Kesiklikan Subgrup Sifat Setiap subgrup dari suatu grup siklik G = hai adalah siklik. Bukti Misalkan H < G , bila H = {e} jelas H siklik. Bila H 6= {e}, maka ada bilangan bulat s 6= 0 sehingga as ∈ H dan juga (as )−1 = a−s ∈ H. Misalkan + T = {t ∈ Z+ |at ∈ H} dengan sifat keterurutan dari bilangan

tbulat  Z , maka T t0 0 mempunyai elemen terkecil t0 . Jadi a ∈ H. Misalkan

 b ∈ a , maka untuk suatu m ∈ Z, b = (at0 )m ∈ H . Terlihat bahwa at0 ⊂ H. Sebaliknya, misalkan h ∈ H, maka ada bilangan bulat k sehingga h = ak . Selanjutnya dengan menggunakan algorithma pembagian untuk bilangan bulat didapat k = t0 q + r untuk beberapa q, r ∈ Z dengan 0 ≤ r < t0 . Didapat ar = ak (at0 )−q ∈ H. Bilangan r = 0, sebab bila tidak, maka ada bilangan yang lebih kecil dari t0 , yaitu r < t0 yang memenuhi ar ∈ H. Hal ini bertentangan dengan at0 ∈ H. Jadi



 h = a k =(at0 )q ∈ at0 . Terlihat bahwa H ⊂ at0 . Sehingga didapat H = at0 . Jadi H siklik.

Jurusan Matematika-MIPA Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya

Aljabar

Aljabar Subgrup

Sifat Kesiklikan Grup Sifat Misalkan G = hai adalah grup siklik dan |G | = n, maka G = {e, a, a2 , . . . , an−1 } dengan an = e. Bukti Misalkan G = {ak |k ∈ Z}, karena |G | = n (berhingga), maka ak = ah atau ak−h = e untuk beberapa h < k dengan h, k ∈ Z. Misalkan T = {t ∈ Z+ |at = e} dan l adalah elemen terkecil di T . Jelas bahwa {e, a, a2 , . . . ,...