Struktur Aljabar II: Ring (Gelanggang) PDF

Preview

Summary

KATA PENGANTAR Tujuan utama penyusunan buku ini adalah untuk membantu para mahasiswa keguruan program studi pendidikan matematika Universitas Muhammadiyah Sumatera Utara dalam mempelajari dan mendalami mata kuliah Struktur Alajabar II. Karena materi Struktur Aljabar II ini merupakan lanjutan dari S...

Description

Accelerat ing t he world's research.

Struktur Aljabar II: Ring (Gelanggang) Dr. Ellis Mardiana Panggabean, M.Pd

Related papers aljabar Subiono M.s, Nia Yuliant i

Enos Lolang Aljabar Abst rak Idhul Rahman Aljabar : Sebagai suat u Pondasi Mat emat ika Muhammad Andyk Maulana

Download a PDF Pack of t he best relat ed papers 

KATA PENGANTAR

Tujuan utama penyusunan buku ini adalah untuk membantu para mahasiswa keguruan program studi pendidikan matematika Universitas Muhammadiyah Sumatera Utara dalam mempelajari dan mendalami mata kuliah Struktur Alajabar II. Karena materi Struktur Aljabar II ini merupakan lanjutan dari Struktur Aljabar I maka prasyarat yang harus dipenuhi dalam mempelajari struktur aljabar II ini adalah telah memahami struktur aljabar I. Pengetahuan tentang struktur aljabar ini penting ketika akan mendalami mata kuliah analisis. Isi bahan ajar dikembangkan berdasarkan kurikulum Struktur Aljabar yang disusun oleh Tim Pengajar Struktur Aljabar Prodi Pendidikan Matematika FKIP UMSU. Jadi buku ini membahas Ring (Gelanggang), Sub Ring, Klasifikasi Ring (Gelanggang), Ideal, Homomorfisme Gelanggang, Ring Euclides serta Ring Polinomial. Penulis menyadari kekurangan buku ini, untuk itu saran yang

konstruktif sangat

diharapkan demi perbaikan baik isi maupun pembahasan. Akhirnya tiada gading yang tak retak.

Medan, September 2016,

Penulis

i

DAFTAR ISI Halaman Kata Pengantar

i

Daftar Isi

ii

BAB I RING

....................................................................................................................

A. Pengertian Ring

...........................................................................................................

B. Ring Dengan Elemen Satuan

1 1

.......................................................................................

2

C. Ring Komutatif

.............................................................................................................

2

D. Sifat-Sifat Ring

............................................................................................................

9

BAB II KLASIFIKASI RING ...........................................................................................

14

BAB III SUB RING

23

...........................................................................................................

A. Pengertian Sub Ring

......................................................................................................

23

B. Sifat-Sifat Ring ..............................................................................................................

25

C. Sub Field

........................................................................................................................

27

BAB IV IDEAL ....................................................................................................................

30

A. Pengertian Ideal Ideal

....................................................................................................

33

....................................................................................................................

33

C. Ideal Prima ......................................................................................................................

34

D. Ideal Maksimal ..................................................................................................................

35

BAB V Homomorfisme Ring ..............................................................................................

38

A. Pengertian Homomorfisme Ring ....................................................................................

38

B. Sifat-Sifat Homomorfisme Ring .....................................................................................

39

C. Kernel Suatu Homomorfisme Ring .................................................................................

41

BAB VI RING EUCLIDE

....................................................................................................

46

A. Pengertian Ring Euclide

.................................................................................................

46

B. Sifat-Sifat Ring Euclide

..................................................................................................

47

B. Ideal Utama

ii

BAB VII Ring Polinom

........................................................................................................

54

A. Pengertian Ring Polinom

.................................................................................................

54

B. Sifat-Sifat Ring Polinom

..................................................................................................

56

C. Teorema Sisa ......................................................................................................................

60

DAFTAR PUSTAKA ............................................................................................................ 62

iii

iv

BAB I RING

A. Pengertian Ring Definisi 1.1 Suatu himpunan tak kosong R dikatakan suatu ring assosiatif jika dalam R didefinisikan dua operasi biner, yang dinyatakan secara berturut-turut dengan + dan • sedemikian sehingga untuk setiap a, b dan c dalam R berlaku: 1.

a + b  R.

2.

a + b = b + a.

3.

a + (b + c) = (a + b) + c.

4.

Ada elemen 0  R sedemikian sehingga a + 0 = 0 + a = a untuk setiap a  R.

5.

Untuk setiap a  R ada elemen –a  R sedemikian sehingga a + (-a) = (-a) + a = 0.

6.

a•bR

7.

a • (b • c) = (a • b) • c.

8.

a • (b + c) = a • b + a • c dan ( a + b) • c = a • c + b • c (sifat distributif kiri dan kanan).

Aksioma 1 sampai dengan 5 menyatakan bahwa R adalah grup abel (komutatif) terhadap operasi + yang disebut dengan penjumlahan. Aksioma 6 dan 7 menyatakan, R bersifat assosiatif dan tertutup terhadap operasi • atau perkalian. Sedangkan aksioma 8 adalah hubungan kedua operasi dalam R. Grup yang dibentuk oleh R terhadap penjumlahan yang dimaksudkan adalah grup penjumlahan di R. Elemen identitas penjumlahan dari ring ini adalah 0 yang disebut dengan nol ring tersebut dan dinotasikan dengan 0R.

1

☞Contoh: 1. Himpunan bilangan bulat membentuk ring terhadap penjumlahan dan perkalian bilangan bulat karena untuk setiap a, b, c anggota bilangan bulat berlaku a.

a + b  Z.

b.

a + b = b + a.

c.

a + (b + c) = (a + b) + c.

d.

Ada elemen 0  Z sedemikian sehingga a + 0 = 0 + a = a untuk setiap a  Z.

e.

Untuk setiap a  Z ada elemen –a  Z sedemikian sehingga a + (-a) = (-a) + a = 0.

f.

a•bZ

g.

a • (b • c) = (a • b) • c.

h.

a • (b + c) = a • b + a • c dan ( a + b) • c = a • c + b • c (sifat distributif kiri dan kanan).

2. Misalkan Z5 = {0, 1, 2, 3, 4} dan didefinisikan penjumlahan bilangan bulat modulo 5 dan perkalian bilangan bulat modulo 5 pada Z5 sebagaimana pada tabel berikut. Tabel 1.1 Penjumlahan Z5

Tabel 1.2 Perkalian Z5

+5

0

1

2

3

4

x5

0

1

2

3

4

0

0

1

2

3

4

0

0

0

0

0

0

1

1

2

3

4

0

1

0

1

2

3

4

2

2

3

4

0

1

2

0

2

4

1

3

3

3

4

0

1

2

3

0

3

1

4

2

4

4

0

1

2

3

4

0

4

3

2

1

Jika diperhatikan pada kedua tabel di atas maka dapat dikatakan bahwa Z5 membentuk ring terhadap penjumlahan bilangan bulat modulo 5 dan perkalian bilangan bulat modulo 5.

2

B. Ring Dengan Elemen Satuan Definisi 1.2 Jika ada suatu elemen 1R dalam R sedemikian sehingga a. 1R = 1R . a = a untuk setiap a dalam R maka R adalah suatu ring dengan elemen satuan dan dinotasilan dengan 1R.

☞Contoh: Himpunan bilangan bulat membentuk ring terhadap penjumlahan dan perkalian bilangan bulat. Ring ini mempunyai elemen satuan, yaitu 1. C. Ring Komutatif Definisi 1.3 Jika pada R berlaku a . b = b . a untuk setiap a, b dalam R maka dikatakan R ring komutatif (abelian).

☞Contoh: 1. Himpunan bilangan bulat genap membentuk ring terhadap operasi penjumlahan dan perkalian bilangan bulat. Ring ini adalah ring komutatif tetapi tidak mempunyai elemen kesatuan. 2. Misalkan R = {w, x, y, z} dan didefinisikan penjumlahan dan perkalian pada R sebagaimana pada tabel berikut.

3

Tabel 1.1 Penjumlahan R

Tabel 1.2 Perkalian R

+

w

x

y

Z

o

w

x

y

z

w

w

x

y

z

w

w

w

w

w

x

x

w

z

y

x

w

x

y

z

y

y

z

w

x

y

w

w

w

w

z

z

y

x

w

z

w

x

y

z

Perhatikan, dari kedua tabel dapat disimpulkan R membentuk ring terhadap penjumlahan dan perkalian yang didefinisikan. Ring ini tidak komutatif karena yz = w tetapi zy = y. 3. Misalkan M(2, Z) menyatakan himpunan matriks berordo 2 x 2 dengan entri bilangan bulat. M(2, Z) adalah ring terhadap penjumlahan matriks dan perkalian matriks. Bukti: i)

0 0  0 0  M (2,Z).   Jadi M(2, Z) ≠  .

ii) M(2, Z) tertutup terhadap penjumlahan matriks

a b   w x  a  w b  x  c d  +  y z  =  c  y d  z        karena a, b, c, d, w, x, y, z ∈ Z maka a + w, b+x, c+y, d+z  Z.

a  w b  x  Sehinggga    M(2, Z) atau M(2, Z) tertutup terhadap penjumlahan c  y d  z  matriks.

4

a b  e f   i j  a  e b  f  i j  iii)            c d   g h    k l  c  g d  h   k l 

(a  e)  i (b  f )  j    (c  g )  k (d  h)  l 

 a  (e  i ) b  ( f  j )    c  ( g  k ) d  ( h  l )   a b  e  i f  j      c d   g  k h  l   a b   e =     c d    g

f  i j     h  k l  

Jadi penjumlahan matriks bersifat assosiatif.

0 0  iv. 0R =    M(2, Z) adalah identitas terhadap penjumlahan matriks. 0 0 

0 0   a b   a b  0 0  a b  Karena  + =  +  =        0 0  c d  c d   0 0  c d  a b   a  b  adalah  v. Negatif dari    c d   c  d  a b   a  b   a  b  a b  0 0  c d  +   c  d  =   c  d  + c d  =  0 0            vi. Pada M(2,Z) berlaku sifat komutatif terhadap penjumlahan matriks karena

 a b  e c d  +  g   

f  a  e b  f  = h  c  g d  h e  a f  b  =   g  c h  d 

5

e =  g

f  a b  + h  c d 

vii. M(2, Z) tertutup terhadap perkalian matriks. Perkalian matriks dalam M(2 , Z) didefinisikan sebagai

a b   w x  aw  by ax  bz  c d   y z  = cw  dy cx  dz  .       Karena a, b, c, d, w, x, y, z ∈ Z maka aw+by, ax+bz, cw+dy, cx+dz  Z.

a b   w x  Sehingga     =  M(2, Z). c d   y z 

viii. Perkalian matriks bersifat distributif kiri dan kanan terhadap penjumlahan matriks.   a b  e    c d   g

f  i j  a  e b  f  i j    h  k l  c  g d  h k l 

ai  bk aj  bl  ei  fk aj  bl  =   +   ci  dk cj  dl  ci  dk cj  dl 

a b  i =   c d   k

j  e + l  k

f l 

i j  k l   

Dengan cara yang sama untuk distributif kanan, yaitu  a b   e c d    g   

f  i h  k

j  = l  

 a b  e c d   g  

f  a b  i j  + h  c d  k l 

Karena dipenuhi i s/d viii, maka M(2, Z) membentuk ring terhadap operasi penjumlahan matriks dan perkalian matriks. Jika diperhatikan, M(2,Z) terhadap penjumlahan matriks dan perkalian matriks bukan

 2 3   4 5   4 5   2 3 ring komutatif karena    ≠    .  4 5   6 7   6 7   4 5

6

1 0 Ring tersebut mempunyai unkes, yaitu   ∈ M(2,Z) sebab untuk sebarang 0 1 a b  a b  1 0 a b  a b  1 0 c d  ∈ M(2,Z) berlaku 0 1 c d  = c d  0 1 = c d .            4. Misalkan Z[ 2 ] menyatakan himpunan bilangan a + b 2 dengan a, b  Z. Akan dibuktikan Z[V2] membentuk ring terhadap penjumlahan dan perkalian bilangan real. Bukti: i) Jumlah dua bilangan dalam Z[ 2 ] juga anggota Z[ 2 ], yaitu (a+b 2 ) + (c+d 2 ) = (a + c) + (b+d) 2  Z[ 2 ]. Karena a, b, c, d  Z maka (a+c)  Z dan (b+d)  Z. ii) {(a+b 2 )+(c+d 2 )}+(e+f 2 ) = {(a+c)+(b+d) 2 } + (e+f 2 ) = {(a+c) + e} + {(b+d)+f} 2 = {a+(c+e)}+{b+(d+f)}

2

= (a+b 2 )+{(c+e)+(d+f)

2}

= (a+b 2 )+{(c+d 2 )+(e+f 2 ) Jadi, berlaku sifat assosiatif. iii) OR = 0 = 0 + 0 2  Z[ 2 ] sebab 0 + (a+b 2 ) = (a+b 2 ) + 0 = (a+b 2 ) . iii) Negatif dari (a+b 2 ) adalah (-a - b 2 ). Sebab (a+b 2 ) + (-a - b 2 ) = (-a - b 2 ) + (a + b 2 ) = 0. iv) (a + b 2 ) + (c + d 2 ) = (a + c) + (b + d) = (c+a) + (d+b)

7

2 2

= (c+d)

2 + (a+b)

2.

Jadi, penjumlahan pada Z[V2] bersifat komutatif. v) Himpunan Z[ 2 ] juga tertutup terhadap perkalian. (a + b 2 ) (c + d 2 )= ac + ad 2 + bc 2 + bd 2

2

= (ac + 2bd) + (ad + bc) 2 . Karena a, b, c, d  Z maka (ac + 2bd)  Z dan (ad + bc)  Z. Sehingga (a+b 2 ) (c+d 2 ) )  Z[ 2 ]. vi) {(a + b 2 ) (c + d 2 )} (e + f 2 ) = {(ac + 2bd) + (ad + bc)

2 }(e + f 2 )

= (ace + 2bde + 2adf + 2bcf) + (acf + 2bdf + ade + bce) = (a + b 2 )(ce + 2df) + (a + b 2 )(cf + de) = (a + b 2 ) {(ce + 2df) + (cf + de)

2

2

2}

= (a+b 2 ){c (e + f 2 ) + d 2 (e + f 2 ) = (a + b 2 ) {(c + d 2 ) (e + f 2 )} Jadi, berlaku sifat assosiatif terhadap perkalian. vii) {(a + b 2 ) + (c + d 2 )}(e + f 2 ) = {(a + c) + (b + d) 2 }(e + f 2 ) = (ae + ce + 2bf + 2df) + (af + cf + be + de) 2 = (ae + af 2 + be 2 + 2bf) + (ce + cf 2 + de 2 + 2df) = {a (e + f 2 ) + b 2 (e + f 2 )} + {c (e + f 2 ) + d 2 (e + f 2 )} = (a + b 2 ) (e + f 2 ) + (c + d 2 ) (e + f 2 )

8

Jadi, berlaku sifat distributif kiri. Dengan cara yang sama untuk distributif kanan. Ini berarti, perkalian bersifat distributif kiri dan kanan terhadap penjumlahan. Dari i) s/d viii) diperoleh Z[ 2 ] adalah ring terhadap penjumlahan dan perkalian bilangan real.

D. Sifat-Sifat Ring Sifat-sifat dinyatakan dalam teorema berikut ini. Teorema 1.1.

Misalkan R ring dan a, b, c  R.

Maka a. Elemen nol dalam R adalah tunggal. b. Setiap elemen pada R mempunyai invers yang tunggal. c. Jika a + b = a + c maka b = c (sifat kansellasi kiri). d. Jika b + a = c + a maka b = c (sifat kansellasi kanan). e. Setiap persamaan a + x = b dan x + a = b mempunyai penyelesaian yang tunggal dalam R. f. –(-a) = a dan –(a + b) = (-a) + (-b). g. Jika m dan n adalah bilangan bulat maka (m+n)a = ma+na, m(a+b) = ma + mb dan m(na) = (mn)a. Teorema 1.2. Misalkan R ring. 0 adalah elemen nol pada R dan a, b, c  R. Maka a. 0a = a0 = 0 b. a (-b) = (-a) b = -(ab) c. (-a)(-b) = ab d. – (a + b) = (-a) + (-b) e. a( b – c) = ab – ac dan (a – b) c = ac – bc.

9

f. (-1) a = -a g. (-1) (-1) = 1 Bukti: a. 0a = (0 + 0) a [ Sifat 0 pada R ] 0a = 0a + 0a [ Sifat distributif kiri pada R] 0 + 0a = 0a + 0a [Sifat 0 pada R] 0 = 0a [ Dengan kansellasi kanan] Jadi 0a = 0. Dengan cara yang sama untuk a0 = 0. b. Persamaan x + ab = 0 mempunyai penyelesaian x = -(ab). Tetapi a (-b) + ab = a (-b + b) = a0 = 0. Karena itu x = a (-b) adalah juga suatu penyelesaian. Ini berarti –(ab) = a(-b). Dengan cara yang sama (-a) b = -(ab). c. Dengan menggunakan teorema 2 bagian b, diperoleh (-a)(-b) = (-(-a)(b)) = ab. d. Dengan menggunakan teorema 2 bagian b, dapat ditulis a (b – c) = a (b + (-c)) = ab + a (-c) = ab + (-(ac)) = ab + ac. Dengan cara yang sama (a – b) c = ac – bc. e. Misalkan R mempunyai elemen kesatuan 1. Maka a + (-1) a = 1a + (-1) a

10

= (1 + (-1)) a = 0a = 0. Karena itu (-1) a = -a. f. Ganti a = -1 pada (e), diperoleh (-1)(-1) = -(-1) = 1. Konsep berikut ini membantu pemahaman akan ring bilangan bulat, khususnya dalam mempelajari field (lapangan). Perlu diingat bahwa jika n bilangan bulat positif dan a elemen dalam suatu ring maka a = a + a + … + a ( sebanyak n suku).

Definisi 1.4 Misalkan R adalah suatu ring. Bilangan bulat positif terkecil m jika ada, sedemikian sehingga ma = 0 untuk setiap elemen a dalam ring tersebut dikatakan karakteristik dari ring tersebut. Jika bilangan bulat ini tidak ada, dikatakan karaktristik ring tersebut adalah nol. Jika suatu ring mempunyai elemen kesatuan e dan karakterisik n  0 maka n e = 0. Dengan kata lain, jika ne = 0 dan a  R maka na = n(ea) = (ne)a = 0a = 0. Jadi, untuk ring dengan elemen kesatuan e, karakteristik dapat didefinisikan sebagai bilangan bulat positif terkecil n sedemikian sehingga ne = 0.

☞Contoh: 1. Ring himpunan bilangan bulat terhadap penjumlahan dan perkalian mempunyai karakteristik 0 karena tidak ada bilangan bulat positif terkecil sedemikian sehingga n. 1 = 0. Dengan alasan yang sama, himpunan bilangan Rasional terhadap perkalian dan penjumlahan mempunyai karakteristik 0.

11

2. Ring bilangan bulat modulo 6 terhadap penjumlahan dan perkalian modulo 6 mempunyai karakteristik enam. Karena 6x = 0 untuk setiap x anggota ring tersebut. 5 bukan karakteristik karena 5 (2) = 4 dalam Z6 dan 4  0.

SOAL-SOAL: 1. Yang manakah dari sistem berikut ini yang merupakan suatu ring? Jelaskan juga sifat komutatif dan eksistensi identitas terhadap perkalian. a. Sistem modulo 12 ...