Pengantar struktur Aljabar TEOREMA DALAM SUBGRUP NORMAL PDF

Preview

Summary

Pertemuan 8 TEOREMA DALAM SUBGRUP NORMAL DAN GRUP FAKTOR A. Pendahuluan Modul ini merupakan lanjutan dari subgroup normal, yaitu membahas tentang teorema-teorema dalam subgroup normal, dilanjutkan dengan materi grup factor. Mahasiswa seharusnya telah menguasai konsep subgrup normal untuk memahami ma...

Description

Accelerat ing t he world's research.

Pengantar struktur Aljabar TEOREMA DALAM SUBGRUP NORMAL Noor Aini

Related papers Aljabar Abst rak I Bab Imam Very

Enos Lolang Aljabar Abst rak Idhul Rahman Aljabar - Mat eri Kuliah Aljabar 2013 Adit Praset yo

Download a PDF Pack of t he best relat ed papers 

Pertemuan 8

TEOREMA DALAM SUBGRUP NORMAL DAN GRUP FAKTOR A. Pendahuluan Modul ini merupakan lanjutan dari subgroup normal, yaitu membahas tentang teorema-teorema dalam subgroup normal, dilanjutkan dengan materi grup factor. Mahasiswa seharusnya telah menguasai konsep subgrup normal untuk memahami materi dalam modul ini. Setelah mempelajari modul ini, mahasiswa diharapkan dapat mencapai target berikut ini : - Menjelaskan teorema dalam subgrup normal - Membuktikan teorema dalam subgrup normal - menentukan himpunan semua koset kiri/kanan - membuktikan himpunan semua koset tersebut merupakan grup yang disebut grup faktor B. Teorema-teorema dalam Subgrup Normal Teorema 1.: N subgrup normal dari G jika dan hanya jika gN = Ng untuk ∀g ∈ G (semua koset kiri = koset kanannya) Teorema 2.: N subgrup normal dari G jika dan hanya jika gNg-1 = N untuk ∀g ∈ G Teorema 3.: Setiap subgrup dari grup komutatif merupakan subgrup normal Bukti: Teorema 1. (⇒) N subgrup normal dari G maka ∀g ∈ G, ∀n ∈ N berlaku gng-1 ∈ N Pengantar struk tur Aljabar

36

Pertemuan 8

Ambil ∀g ∈ G akan ditunjukkan gN = Ng *) Ambil x ∈ gN maka x = gn untuk suatu n ∈ N, karena N subgrup normal maka gng-1 = xg-1 ∈ N dan xg-1g = x ∈ Ng. Jadi ∀x ∈ gN maka x ∈ gN. Dengan kata lain gN ⊂ Ng *) Ditunjukkan Ng ⊂ gN Untuk latihan mahasiswa (⇐) Diketahui ∀g ∈ G berlaku gN = Ng Ambil ∀g ∈ G dan ∀n ∈ N gn ∈ gN = Ng maka gn = n*g untuk suatu n*∈ N g ∈ G maka g-1 ∈ G, gng-1 = n*gg-1 = n*∈ N jadi ∀g ∈ G, ∀n ∈ N berlaku gng-1 ∈ N, dengan kata lain N subgrup normal dari G Bukti : teorema 2., sebagai latihan mahasiswa Bukti : teorema 3. Misalkan G grup komutatif dan H sebarang subgrup dari G. Ambil sebarang g ∈ G maka gH = {gh | h ∈ H } = {hg | h ∈ H } = Hg karena G komutatif sehingga gh = hg Menurut teorema 1.., maka H subgrup normal C. Grup Faktor Telah dibicarakan di modul sebelumnya tentang perkalian dua kompleks, khususnya hasil kali dua subgrup. Misalnya H suatu subgrup dari grup G maka berlaku HH = H. Hal ini akan digunakan dalam pengoperasian dua koset kiri (kanan) dari suatu subgrup normal N dalam G.

Pengantar struk tur Aljabar

37

Pertemuan 8

Misalkan N subgrup normal dari G, sedangkan a, b ∈ G dan aN, bN adalah koset-koset kiri dari N dalam G. Menurut teorema 1., maka aN = Na. Perhatikan perkalian dua koset kiri dari N dalam G, sebagai berikut : (aN)(bN) = a(Nb)N

Assosiatif

= a(bN)N

bN = Nb (teorema 1.)

= (ab)NN

assosiatif

= (ab)N …………….NN = N terlihat bahwa hasil kali dua koset kiri dari N dalam G merupakan koset kiri dari N dalam G pula. Secara formal, hal ini dinyatakan sebagai teorema berikut : Teorema 4.: Jika N suatu subgrup dari G, N adalah subgrup normal dari G jika dan hanya jika hasil kali 2 koset kiri (kanan) dari N dalam G merupakan koset kiri (kanan) dari N dalam G Bukti : (⇒) N subgrup normal dari G maka aN = Na untuk ∀a∈ G (teorma 1.) akan ditunjukkan (aN)(bN) = (ab)N untuk ∀a, b ∈ G (aN)(bN) = a(Nb)N

Assosiatif

= a(bN)N

bN = Nb

= (ab)NN

assosiatif

= (ab)N

NN = N

∀a, b ∈ G maka ab ∈ G berarti (ab)N adalah koset kiri dari N dalam G. jadi hasil kali dua koset kiri dari N dalam G merupakan koset kiri dari N dalam G pula. (⇐) N subgrup dari G dan (aN)(bN) = (ab)N untuk ∀a, b ∈ G Ditunjukkan N subgrup normal dari G Pengantar struk tur Aljabar

38

Pertemuan 8

Karena ∀a, b ∈ G, (aN)(bN) = (ab)N maka jika diambil b = a-1 berlaku : (aN)(a-1N) = (a a-1)N dan

(aN)(a-1N) = (aN)(Na-1)

= eN

= aNNa-1

=N

= aNa-1

Sehingga aNa-1 = N untuk ∀a ∈ G dan menurut teorma 2., N merupakan subgrup normal dari G Perhatikan, himpunan semua koset kiri (kanan) dari N dalam G dinotasikan G/N (dibaca N faktor G) dengan N subgrup normal dari G. Elemen-elemen dari G/N adalah himpunan-himpunan bagian dari G yang saling asing, dan mengingat teorema 8., G/N tertutup terhadap perkalian himpunan. Teorema 5.: Jika G suatu grup dan N subgrup normal dari G maka G/N merupakan grup terhadap perkalian himpunan. Selanjutnya G/N disebut Grup Faktor (grup kuosen) G oleh N Bukti : latihan untuk mahasiswa Ingat bahwa G/N adalah himpunan semua koset kiri (kanan) dari N dalam G, sedangkan banyaknya koset kiri (kanan) dari N dalam G disebut indeks dari N dalam G, yaitu : iG(H) = n(G/N) Teorema 6.: Jika G suatu grup berhingga dan N subgrup normal dari G maka n(G/N) = iG(N) =

o(G ) n(G ) = o( N ) n( N )

Tugas Kelompok : Buatlah 2 fungsi dari grup G ke grup G’ dengan salah satu fungsi memenuhi sifat, ∀a, b ∈ G, f (a • b) = f (a) ∗ f (b)

operasi • pada G dan ∗ pada G’

Pengantar struk tur Aljabar

39

Pertemuan 8

Latihan Soal : (Tugas Mandiri) 1. Diketahui H adalah subgrup dari grup G dan a ∈ G, maka tunjukkan bahwa : aHa-1 = {aha-1 | h ∈ H } juga merupakan subgrup dari G 2. Diberikan G* suatu grup siklik yang generatornya a dan p(a) = 10. Jika H subgrup siklik dengan generator a2, maka Tuliskan semua koset kiri dari H dalam G*. 3. Jika S suatu subgrup dari grup G, dan a ∈ S maka tunjukkan p(a)| n(S) 4. Diberikan H subgrup dari grup G dan x, y ∈ G, buktikan jika xH ∩ yH ≠ Φ maka xH = yH 5.

 a b   M(R) =   a, b, c ∈ R, ac ≠ 0  0 c   operasi perkalian matriks. Jika H =

merupakan suatu grup dengan

 1 b   ∈ b R     , buktikanlah : 0 1   

a. H subgrup normal dari M(R) b. G/H merupakan grup komutatif 6. Diketahui G = { (1), (1 2 3 4), (1 3)(2 4), (1 4 3 2), (1 4)(2 3), (1 2)(3 4), (1 3),(2 4) } adalah merupakan suatu grup terhadap operasi perkalian permutasi. Buatlah tabel Cayley dari grup G kemudian tentukan : a. Suatu subgrup normal N dalam G b. Grup faktor G/N

Pengantar struk tur Aljabar

40...