Pengantar struktur Aljabar SIFAT-SIFAT SEDERHANA RING PDF

Preview

Summary

Pertemuan 14 SIFAT-SIFAT SEDERHANA RING A. Pendahuluan Mahasiswa diharapkan sudah memahami pengertian ring beserta bukti formalnya, sehingga target pertemuan ke_14 ini dengan mudah dapat dicerna. Target yang dimaksuk adalah : a. dapat menyebutkan sifat-sifat sederhana ring b. mampu membuktikan sifat...

Description

Pertemuan 14

SIFAT-SIFAT SEDERHANA RING A. Pendahuluan Mahasiswa diharapkan sudah memahami pengertian ring beserta bukti formalnya, sehingga target pertemuan ke_14 ini dengan mudah dapat dicerna. Target yang dimaksuk adalah : a. dapat menyebutkan sifat-sifat sederhana ring b. mampu membuktikan sifat-sifat tersebut c. menggunakan sifat-sifat sederhana ring dalam menyelesaikan soal B. Sifat-sifat Sederhana Ring Teorema 1.: Jika R suatu ring maka : a. a.0 = 0.a = 0, ∀a ∈ R b. a(-b) = (-a)b = -ab, ∀a, b ∈ R c. (-a)(-b) = ab, ∀a, b ∈ R d. a(b – c) = ab – ac, ∀a, b, c ∈ R Bukti : Diketahui R adalah ring, maka : a. 0 ∈ R dan 0 + 0 = 0 sehingga a.(0 + 0) = a.0 a.0 + a.0 = a.0

distributif

a.0 + a.0 = a.0 + 0

0 elemen netral

a.0 = 0

kanselasi kiri

dengan cara analog, mudah ditunjukkan 0.a = 0. Mahasiswa dipersilakan mencoba b. ∀a, b ∈ R, ∃-a, -b ∈ R sehingga –a + a = 0 dan –b + b = 0 a(-b) + ab = a(-b + b) dan (-a)b + ab = (-a + a)b

distributif

= a0

= 0b

0 elemen netral

= 0.

=0

teorema 1.a.

Pengantar struk tur Aljabar

61

Pertemuan 14

maka a(-b) dan (-a)b masing-masing merupakan invers dari ab, dan elemen invers tunggal sehingga (–a)b = a(-b) = -ab c. ∀a, b ∈ R, (-a)(-b) = -(a(-b))

teorema 1.b

= -(-(ab)) = ab

teorema 1.b sifat sederhana grup

d. ∀a, b, c ∈ R, a(b – c) = a(b + (-c)) = ab + a(-c)

definisi b – c = b + (-c) distributif

= ab + (-(ac)) = ab – ac

teorema 1.b definisi pengurangan

Definisi 2.: Misalkan R suatu ring dan m suatu bilangan bulat positif, didefinisikan ∀a ∈ R : i. 0.a = 0R, dengan 0 ∈ Z dan 0R elemen netral dari ring R. ii. ma = a + a + a + …….+ a sebanyak m-suku, dan iii. (-m) a = m(-a) = (-a) + (-a) + ……. + (-a) sebanyak m-suku Teorema 2.: Misalkan R suatu ring dan m, n bilangan bulat dan ∀a, b ∈ R maka : a. (m + n)a = ma + na b. m(a + b) = ma + mb c. m(na) = (mn)a Bukti : sebagai latihan mahasiswa Definisi 3.: Misalkan R suatu ring, didefinisikan ∀a ∈ R : am = a.a.a…….a sebanyak m faktor Teorema 3.: Misalkan R suatu ring, m dan n masing-masing bilangan bulat maka ∀a ∈ R berlaku: i.

am.an = am+n ; ii. (am)n = amn.

Pengantar struk tur Aljabar

62

Pertemuan 14

Bukti : i.

m+ n a m .a n = a1.4a.2a..... 43a.a1.4a.2a..... 43a = a1.4a.a2...... 43a = a m faktor

ii.

(a ) = a1 4.a2 ... 4 a3 = a m n

m

m

m + n faktor

n faktor

m

1m +4m2+... 4 +3m n suku

= a mn

n faktor

Contoh : Z5 = {0, 1, 2, 3, 4} adalah ring terhadap penjumlahan dan perkalian modulo 5, maka : 32 = 3x3 = 4, 34 = 3x3x3x3 = 4x4 = 1 2.3 = 3+3 = 1, 4.3 = 3+3+3+3 = 1+1 = 2 Definisi 4.: Misalkan R suatu ring dan a ∈ R, maka : i. a disebut elemen idempoten jika a2 = a ii. a disebut elemen nilpoten jika ∃n bilangan bulat sehingga an = 0. (0 = elemen netral dari R) Catatan : Setiap ring R, pasti elemen 0 merupakan elemen idempoten sekaligus elemen nilpoten, dan elemen satuan dari R (jika ada) pasti merupakan elemen idempoten Contoh : 1. Z6 = {0, 1, 2, 3, 4, 5} adalah ring terhadap penjumlahan dan perkalian modulo 6 maka 3 dan 4 adalah elemen idempoten, sebab 32 = 3 dan 42 = 4 2. Z8 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} adalah ring terhadap penjumlahan dan perkalian modulo 8, maka : 23 = 0, 42 = 0, 63 = 0 maka 2, 4, dan 6 masing-masing adalah elemen nilpoten

Pengantar struk tur Aljabar

63

Pertemuan 14

Tugas Mandiri : Soal : 1. Buktikan teorema 2. di atas 2. Tunjukkan bahwa suatu ring yang tidak memiliki elemen nilpoten yang bukan 0 jika dan hanya jika 0 merupakan satu-satunya penyelesaian dari x2 = 0 3. diberikan ring R dengan setiap a dan b dalam R berlaku ab = ba. Tunjukkan bahwa jika a dan b elemen nilpoten maka (a + b) juga elemen nilpoten

Pengantar struk tur Aljabar

64...