ALJABAR LINEAR ELEMENTER PDF

Preview

Summary

ALJABAR LINEAR ELEMENTER Disusun Oleh: PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS JAKARTA Aljabar Linear Elementer http:bimprippt19.blogspot.com KATA PENGANTAR ْ ‫من‬ ‫الر ِح ْي ِم‬ ِ ‫الر ْح‬ ‫ِ ِبس ِْم ه‬ ‫اَِ ه‬ Assalamu’alaikum Wr.Wb Puji syukur kami pa...

Description

Accelerat ing t he world's research.

ALJABAR LINEAR ELEMENTER kurniawan lestari

Related papers Makalah aljabar linear kelompok RIFQI AL MUHAJIR

Makalah-aljabar-linear-kelompok-6 Imam Ma'ruf ALJABAR LINEAR SUMANANG MUHTAR GOZALI Alroy Anggana

Download a PDF Pack of t he best relat ed papers 

ALJABAR LINEAR ELEMENTER

Disusun Oleh:

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS JAKARTA

Aljabar Linear Elementer

http:bimprippt19.blogspot.com

KATA PENGANTAR

ْ ‫من‬ ‫ِ ِبس ِْم ه‬ ‫الر ِح ْي ِم‬ ‫اَِ ه‬ ِ ‫الر ْح‬ Assalamu’alaikum Wr.Wb Puji syukur kami panjatkan ke hadirat Allah Subhanahu wata’ala, karena berkat rahmat-Nya kami dapat menyelesaikan makalah yang berjudul “Aljabar Linear Elementer”. Makalah ini merupakan rangkuman dari buku “Aljabar Linear Elementer” karya Howard Anton. Makalah ini diajukan guna memenuhi tugas mata kuliah Aljabar Linear Elementer. Kami mengucapkan terima kasih kepada semua pihak yang telah membantu sehingga makalah ini dapat diselesaikan sesuai dengan waktunya. Makalah ini masih jauh dari sempurna. Oleh karena itu kami mengharapkan kritik dan saran yang bersifat membangun demi kesempurnaan makalah ini. Semoga makalah ini memberikan informasi bagi masyarakat dan bermanfaat untuk pengembangan ilmu pengetahuan bagi kita semua. Wassalamu’alaikum Wr. Wb

Jakarta,

Penyusun

Aljabar Linear Elementer

http:bimprippt19.blogspot.com

DAFTAR ISI KATA PENGANTAR ..................................................................................... DAFTAR ISI ..................................................................................................

BAB I – PENDAHULUAN 1.1 LATAR BELAKANG ..................................................................................... 1.2 TUJUAN .......................................................................................................... 1.3 METODE PENULISAN .....................................................................

BAB II – SISTEM PERSAMAAN LINEAR DAN MATRIKS 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7

SISTEM PERSAMAAN LINEAR ................................................................. ELIMINASI GAUSS ...................................................................................... SISTEM PERSAMAAN LINEAR HOMOGEN ........................................... MATRIKS DAN OPERASI MATRIKS ........................................................ ATURAN-ATURAN ILMU HITUNG MATRIKS ....................................... MATRIKS ELEMENTER DAN METODE UNTUK MENCARI A-1 .......... HASIL SELANJUTNYA MENGENAI SISTEM PERSAMAAN DAN KETERBALIKAN .........................................................................................

BAB III – DETERMINAN 3.1 3.2 3.3 3.4

FUNGSI DETERMINAN .............................................................................. MENGHITUNG DETERMINAN DENGAN REDUKSI BARIS ................. SIFAT-SIFAT FUNGSI DETERMINAN ...................................................... EKSPANSI KOFAKTOR; ATURAN CRAMER ..........................................

BAB IV – VEKTOR-VEKTOR DI RUANG-2 DAN RUANG-3 4.1 4.2 4.3 4.4

VEKTOR (GEOMETRIK) ............................................................................. NORMA VEKTOR; ILMU HITUNG VEKTOR .......................................... HASIL KALI TITIK; PROYEKSI ................................................................. HASIL KALI SILANG ..................................................................................

BAB V – RUANG-RUANG VEKTOR 5.1 5.2 5.3 5.4

RUANG – n EUCLIDIS ................................................................................. RUANG VEKTOR UMUM ........................................................................... SUB-RUANG ................................................................................................ KEBEBASAN LINEAR .................................................................................

Aljabar Linear Elementer

http:bimprippt19.blogspot.com

BAB VI – PENUTUP ................................................................... DAFTAR PUSTAKA .....................................................................................................

Aljabar Linear Elementer

http:bimprippt19.blogspot.com

BAB I PENDAHULUAN

1.1 LATAR BELAKANG Banyak orang yang beranggapan bahwa Matematika itu rumit, karena alasan itulah banyak orang yang menghindari Matematika. Padahal Matematika dapat kita jumpai di dalam kehidupan sehari-hari, dan mau tidak mau kita pasti menggunakan Matematika. Oleh karena itu kami membuat makalah ini dengan maksud membantu pemahaman masyarakat agar mereka tidak menilai Matematika adalah sesuatu yang buruk.

1.2 TUJUAN Makalah ini dibuat dengan tujuan utama untuk memenuhi tugas mata kuliah Aljabar Linear Elementer, yang diberikan oleh dosen kami Ibu Musriana, S. Pd. Dan tujuan berikutnya adalah sebagai sumber informasi yang kami harapkan bermanfaat dan dapat menambah wawasan para pembaca makalah ini.

1.3 METODE PENULISAN Penulis menggunakan metode observasi dan kepusatakaan. Cara yang digunakan dalam penulisan adalah Studi pustaka. Dalam metode ini penulis membaca buku-buku yang berkaitan dengan penulisan makalah ini, selain itu penulis juga mencari sumber-sumber dari internet.

Aljabar Linear Elementer

http:bimprippt19.blogspot.com

BAB II SISTEM PERSAMAAN LINEAR DAN MATRIKS 2.1 SISTEM PERSAMAAN LINIER

Definisi : Suatu sistem yang memiliki m persamaan dan n variabel. ( Bilangan yang tidak diketahui ).

a11 x1 

a12 x 2  ... 

a1n x n 

a 21 x1 

a 22 x 2  ... 

a2n xn 







b1 b2

a m1 x1  a m 2 x 2  ...  a m n x n  bm

SPL mempunyai m persamaan dan n variable. Matris yang diperbesar (augmented matrix)

 a11 a  21    a m1

a12 ...

a1n

a 22 ... a 2 n 



am2

am n

b1  b2    bm 

Contoh :

2 x1  3x2  4

3x1  4 x2  5 [

]

Solusi ( Pemecahan ) SPL, di bagi menjadi 2, yaitu : 1. Konsisten

 Solusi Tunggal

 Solusi Banyak

Aljabar Linear Elementer

http:bimprippt19.blogspot.com

2. Tidak Konsisten Contoh : Solusi Tunggal

��

g = − =6 � = + = = =

�

�

Contoh : Solusi Banyak g1 = 2x - 3y = 6 g2 = 2x – 3y =6 m < n Contoh : Tidak Konsisten = =

− −

= = = −

0 = Konstanta

2.2 ELIMINASI GAUSS Pada bagian ini kita akan memberikan prosedur yang sistematik untuk memecahkan sistemsistem persamaan linear; prosedur tersebut didasarkan kepada gagasan untuk mereduksi matriks yang diperbesar menjadi bentuk yang cukup sederhana sehingga sistem persamaan tersebut dapat dipecahkan dengan memeriksa sistem tersebut. [

]

Matriks di atas adalah contoh matriks yang dinyatakan dalam bentuk eselon baris terreduksi (reduced row-echelon form). Supaya berbentuk seperti ini, maka matriks tersebut harus mempunyai sifat-sifat berikut. 1. Jika baris tidak terdiri seluruhnya dari nol, maka bilangan taknol pertama dalam baris tersebut adalah 1. (Kita namakan 1 utama). 2. Jika terdapat baris yang seluruhnya terdiri dari nol, maka semua baris seperti itu dikelompokkan bersama-sama di bawah matriks.

Aljabar Linear Elementer

http:bimprippt19.blogspot.com

3. Dalam sebarang dua baris yang berurutan yang seluruhnya tidak terdiri dari nol, maka 1 utama dalam baris yang lebih rendah terdapat lebih jauh ke kanan dari 1 utama dalam baris yang lebih tinggi. 4. Masing-masing kolom yang mengandung 1 utama mempunyai nol di tempat lain. Matriks yang memiliki sifat-sifar 1,2 dan 3 dapat dikatakan dalam bentuk eselon baris (rowechelon form).

Berikut ini adalah beberapa contoh matriks dalam bentuk seselon baris terreduksi.

[

−

][

−

][

]

][

Matriks-matriks berikut adalah matriks dalam bentuk eselon baris. ][

[

]

][

Tidak sukar untuk memantau apabila matriks dalam bentuk eselon baris harus mempunyai nol di bawah setiap 1 utama. Bertentangan dengan hal ini, matriks dalam bentuk eselon baris terreduksi harus mempunyai nol di atas dan di bawah masing-masing 1 utama.

Prosedur untuk meredusi matriks menjadi bentuk eselon baris terreduksi dinamakan eliminasi Gauss-Jordan, sedangkan untuk mereduksi matriks menjadi bentuk eselon baris dinamakan eliminasi Gauss. Contoh 1: Pecahkanlah dengan menggunakan eliminasi Gauss-Jordan. x1

+ 3x2

– 2x3

2x1

+ 6x2

– 5x3

– 2x4

5x3

+ 10x4

2x1

+ 6x2

Aljabar Linear Elementer

+ 2x5

+ 8x4

+ 4x5

=0 – 3x6

= –1

+ 15x6 = 5 + 4x5

+ 18x6 = 6

http:bimprippt19.blogspot.com

Maka matriks yang diperbesar dari sistem tersebut adalah − −

[

−

−

− ]

Dengan menambahkan -2 kali baris pertama pada baris kedua dan keempat maka akan mendapatkan − −

[

−

−

− ]

Dengan mengalikan dengan -1 dan kemudian menambahkan -5 kali baris kedua kepada baris ketiga dan -4 kali baris kedua kepada baris keempat maka akan memberikan −

[

]

Dengan mempertukarkan baris ketiga dengan baris keempat dan kemudian mengalikan baris ketiga dari matriks yang dihasilkan dengan 1/6 maka akan memberikan bentuk eselon baris −

[

]

Dengan menambahkan -3 kali baris ketiga pada baris kedua dan kemudian menambahkan 2 kali baris kedua dari matriks yang dihasilkan pada baris pertama maka akan menghasilkan bentuk eselon baris terreduksi −

[

]

Sistem persamaan-persamaan yang bersesuaian adalah x1

+ 3x2

+ 4x4 x3

+ 2x5

=0

+ 2x4

=0 x6

Aljabar Linear Elementer

=

http:bimprippt19.blogspot.com

Dengan memecahkannya untuk peubah peubah utama, maka kita dapatkan x1 = – 3x2 – 4x4 – 2x5 x3 = – 2x4 x6 = Jika kita menetapkan nilai-nilai sebarang r, s, dan t berurutan untuk x2, x4, dan x5, maka himpunan pemecahan tersebut diberikan oleh rumus-rumus x1 = – 3r – 4s – 2t , x2 = r , x3 = – 2s , x4 = s , x5 = t , x6 = Terkadang lebih mudah memecahkan sistem persamaan linear dengan menggunakan eliminasi Gauss untuk mengubah matriks yang diperbesar menjadi ke dalam bentuk eselon baris tanpa meneruskannya ke bentuk eselon baris terreduksi. Bila hal ini dilakukan, maka sistem persamaanpersamaan yang bersesuaian dapat dipecahkan dengan sebuah cara yang dinamakan substitusi balik (back-substitution). Kita akan melukiskan metode ini dengan menggunakan sistem persamaanpersamaan pada contoh 1. Dari perhitungan dalam contoh 1, bentuk eselon baris dari matriks yang diperbesar tersebut adalah −

[

]

Untuk memecahkan sistem persamaan-persamaan yang bersesuaian x1

+ 3x2

– 2x3 x3

+ 2x5 + 2x4

=0 + 3x6

=1

x6

=

maka kita memprosesnya sebagai berikut : Langkah 1. Pecahkanlah persamaan-persamaan tersebut untuk peubah-peubah utama.

Aljabar Linear Elementer

http:bimprippt19.blogspot.com

x1 = – 3x2 + 2x3 – 2x5 x3 = 1 – 2x4 – 3x6 x6 =

Langkah 2. Mulailah dengan persamaan bawah dan bekerjalah ke arah atas, substitusikan secara keseluruhan masing-masing persamaan ke dalam semua persamaan yang di atasnya. Dengan mensubstitusikan x6 = ke dalam persamaan kedua maka akan menghasilkan x1 = – 3x2 + 2x3 – 2x5 x3 = – 2x4 x6 = Dengan mensubstitusikan x3 = – 2x4 ke dalam persamaan pertama maka akan menghasilkan x1 = – 3x2 – 4x4 – 2x5 x3 = – 2x4 x6 =

Langkah 3. Tetapkanlah nilai-nilai sebarang pada setiap peubah tak utama.

Jika kita menetapkan nilai-nilai sebarang r, s, dan t berurutan untuk x2, x4, dan x5, maka himpunan pemecahan tersebut diberikan oleh rumus-rumus x1 = – 3r – 4s – 2t , x2 = r , x3 = – 2s , x4 = s , x5 = t , x6 = Ini sesuai dengan pemecahan yang diperoleh pada contoh 1.

Aljabar Linear Elementer

http:bimprippt19.blogspot.com

2.3 SISTEM PERSAMAAN LINIER HOMOGEN Sebuah sistem persamaan-persamaan linier dikatakan homogen jika semua suku konstan sama dengan nol; yakni sistem tersebut mempunyai bentuk a11x1 + a12x2 + ……+ a1nxn = 0 a21x2 + a22x2 + ……+ a2nxn = 0 :

:

:

:

am1x1 + am2x2 + ……+ amnxn = 0 Tiap-tiap sistem persamaan linier homogen adalah sistem yang konsisten, karena x1 = 0, x2 = 0,….., xn = 0 selalu merupakan pemecahan. Pemecahan terebut, dinamakan pemecahan trivial (trivial solution); jika ada pemecahan lain, maka pemecahan tersebut dinamakan pemecahan taktrivial (nontrivial solution). Karena sistem persamaan linier homogen harus konsisten, maka terdapat satu pemecahan atau tak terhingga banyaknya pemecahan. Karena salah satu di antara pemecahan ini adalah pemecahan trivial, maka kita dapat membuat pernyataan berikut. Untuk sistem persamaan-persamaan linier homogeny, maka persis salah satu di antara pernyataan berikut benar. 1. Sistem tersebut hanya mempunyai pemecahan trivial. 2. Sistem tersebut mempunyai tak terhingga banyaknya pemecahan tak trivial sebagai tambahan terhadap pemecahan trivial tersebut. Terdapat satu kasus yang sistem homogennya dipastikan mempunyai pemecahan tak trivial ; yakni, jika sistem tersebut melibatkan lebih banyak bilangan tak diketahui dari banyaknya persamaan. Untuk melihat mengapa hanya demikian, tinjaulah contoh berikut dari empat persamaan dengan lima bilangan tak diketahui. Contoh : Pecahkanlah sistem persamaan-persamaan linier homogeny berikut dengan menggunakan eliminasi Gauss-Jordan. 2X + 2X2 – X3 + X5

=0

-X1 – X2 + 2X3 – X4 + X5 = 0

Aljabar Linear Elementer

http:bimprippt19.blogspot.com

X1 + X2 – 2X3 - 5X5

=0

X3 + X4 + X5

=0

Matrix yang diperbesar untuk sistem tersebut adalah [−

−

−

−

−

]

−

Dengan mereduksi matriks ii menjadi bentuk eselon baris tereduksi, maka kita dapatkan

[

]

Sistem persamaan yang bersesuaian adalah X1 + X2 + X5 = 0 X3 + X5 = 0 X4 = 0 Dengan memecahkannya untuk peubah-peubah utama maka akan menghasilkan X1 = -X2 – X5 X3 = -X5 X4 = 0 Maka himpunan pemecahan akan di berikan oleh X1 = -s – t,

X2 = s,

X3 = -t ,

X4 = 0,

X5 = t

Perhatikan bahwa pemecahan trivial kita dapatkan bila s = t = 0.

2.4 MATRIKS DAN OPERASI MATRIKS Matriks Matriks adalah susunan segi empat siku-siku dari bilangan-bilangan. Bilangan-bilangan dalam susunan tersebut dinamakan entri dalam matriks.

Aljabar Linear Elementer

http:bimprippt19.blogspot.com

A=[ ↓

↓

= =

↓

↓ ]

=

Operasi Matriks 1. Penjumlahan : Definisi : jika A dan B adalah sebarang dua matriks yang ukurannya sama, maka jumlah A + B adalah matriks yang di peroleh dengan menambahkan bersama-sama entri yang bersesuaian dalam kedua matriks tersebut. Matriks-matriks yang ukurannya berbeda tidak dapat di tambahkan. A =[ A+B=[

] , B =[

Contoh : A = [ A+B=[

]+[

]

ℎ

]

ℎ

] =[

],B=[

+ +

+ ] +ℎ

],C=[

]

Sedangkan A + C dan B + C tidak di definisikan.

2. Perkalian dengan konstanta Definisi : Jka A adalah suatu matriks dan c adalah scalar, maka hasil kali cA adalah matriks yang diperoleh dengan mengalikan masing=masing entri dari A oleh c. c[

]

]=[

Contoh : A = [

] , maka 2A = [

3. Perkalian, dengan syarat Am x n Bn x o = Cm x o

]

Definisi : Jika A adalah matriks m x r dan B matriks r x n, maka hasil kali AB adalah matriks m x n yang entri- entrinya ditentukan sebagai berikut. Untuk mencari entri dalam baris I dan kolom j dari AB, pilihlah baris i dari matriks A dan kolom j dari matriks B. Kalikanlah entrientri yang bersesuaian dari baris dan kolom tersebut bersama-sama dan kemudian tambahkanlah hasil kali yang dihasilkan. ], B = [ ]

A=[

] [ ]= [

AB = [

Contoh : A = [ AB = [

]

+ +

]

],B=[ ]

Aljabar Linear Elementer

http:bimprippt19.blogspot.com

Transpose Definisi : Jika A adalah sebarang matriks m x n, maka Transpos A dinyatakan oleh At dan didefinisikan dengan matriks n x m yang kolom pertmanya adalah baris pertama dari A, kolom keduanya adalah baris kedua dari A, demikian juaga dengan kolom ketiga adalah baris ketiga dari A, dan seterusnya. A=[

ℎ

]  At = [

ℎ]

]  At = [

Contoh : A = [

]

2.5 ATURAN-ATURAN ILMU HITUNG MATRIKS Walaupun banyak dari aturan-aturan ilmu hitung bilangan riil berlaku juga untuk matriks, namun terdapat beberapa pengecualian. Salah satu dari pengecualian yang terpenting terjadi dalam perkalian matriks. Untuk bilangan-bilangan rill a dan b, kita selalu mempunyai ab = bayang sering dinamakan hukum komutatif untuk perkalian. Akan tetapi, untuk matriks-matriks, maka AB dan BA tidak perlu sama. Contoh 20 Tinjaulah matriks-matriks

 1 A 2

0 1 2  B   3 3 0

Dengan mengalikannya maka akan memberikan

  1  2 AB     11 4 

3 BA    3

6 0 

Jadi, AB ≠ BA

Aljabar Linear Elementer

http:bimprippt19.blogspot.com

Teorema 2. Dengan menganggap bahwa ukuran-ukuran matriks adalah sedemikian sehingga operasi-operasi yang ditunjukkan dapat diperagakan, maka aturan-aturan ilmu hitung matriks berikut akan shahih. (a) A + B = B + A (b) A + (B + C) = (A + B) + C (c) A(BC) = (AB)C (d) A(B + C) = AB + AC (e) (B + C)A = BA + CA (f) A(B - C) = AB – AC (g) (B - C)A = BA – CA (h) a(B + C) = aB+ aC (i) a(B - C) = aB – aC (j) (a + b)C = aC + bC (k) (a - b)C = aC – bC (l) (ab)C = a(bC) (m) a(BC) = (aB)C = B(aC)

(Hukum komutatif untuk penambahan) (Hukum asosiatif untuk penambahan) (Hukum asosiatif untuk perkalian) (Hukum distributif) (Hukum distributif)

Contoh 21 Sebagai gambaran hukum asosiatif untuk perkalian matriks, tinjaulah

1 2  A  3 4 0 1

 4 3 B  2 1 

1 0 C   2 3

Kemudian

1 2  1 2    AB  3 4  3 4 0 1  0 1 

 4 3 2 1    Sehingga

8 5 18 15  1 0    ( AB )C  20 13    46 39   2 3  2 1    4 3  Sebaliknya

 4 3  1 0  10 BC       2 1   2 3  4

Aljabar Linear Elementer

9 3  http:bimprippt19.blogspot.com

Maka

1 2  10 A(BC)  3 4  4 0 1 

18 1...