Amostra/prova prática 11 Julho 2018, questões PDF

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Lista apresenta questões do primeiro estágio da disciplina de Equações Diferenciais. Primeira lista da disciplina. ...

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UFCG/CCT/UAMat Equa¸c˜ oes Diferenciais/Equa¸c˜ oes Diferenciais Lineares - 2018.1 Prof. Romildo Lima 1a Lista de Exerc´ıcios - Equa¸c˜ oes Diferenciais de Primeira Ordem

1. Classifique as equa¸co˜es diferenciais dizendo se ela s˜ ao lineares ou n˜ao-lineares. Dˆe tamb´ em a ordem de cada equa¸ca˜o. (a) (1 − x)y ′′ − 4xy′ + 5y = cos x  4 dy d3 y (b) x 3 − 2 +y =0 dx dx

(d)

d2 y + 9y = sen y dx2

(e) (sen x)y ′′′ − (cos x)y ′ = 2

(c) x3 y (4) − x2 y ′′ + 4xy′ − 3y = 0

(f) (1 − y 2 )dx + xdy = 0

2. Verifique se a fun¸ca˜o dada ´e uma solu¸ca˜o para a equa¸ca˜o diferencial. (c1 e c2 s˜ ao constantes). (e) y ′′ − (y ′ )2 = 0, y = ln |x + c1 | + c2

(a) 2y ′ + y = 0, y = e−x/2 6 6 dy + 20y = 24, y = − e−20x (b) dx 5 5 ′ 2 (c) y = 25 + y , y = 5 tg(5x)

(f) x2 y ′′ − xy′ + 2y

=

0,

y

=

x cos(ln x), x > 0

(d) 2xydx + (x2 + 2y)dy = 0, x2 y + y 2 = c1 3. Verifique se a fun¸ca˜o definida por partes ´e uma solu¸ca˜o para a equa¸c˜ao diferencial dada.   −x2 , x < 0 (a) xy′ − 2y = 0; y =  x2 , x ≥ 0   0, x < 0 (b) (y ′ )2 = 9xy; y =  x3 , x ≥ 0

4. Encontre valores de m para que y = xm seja uma solu¸c˜ao para cada equa¸ca˜o diferencial.

1

(a) x2 y ′′ − y = 0

(b) x2 y ′′ + 6xy′ + 4y = 0

5. Mostre que y1 = x2 e y2 = x3 s˜ ao ambas solu¸c˜oes para x2 y ′′ − 4xy′ + 6y = 0. As fun¸co˜es, c1 y1 e c2 y2 , com c1 e c2 constantes arbitr´ arias, s˜ao tamb´em solu¸co˜es? A soma, y1 + y2 ´e uma solu¸c˜ao? 6. Determine uma regi˜ ao do plano xy para a qual a equa¸ca˜o diferencial teria uma u ´ nica solu¸ca˜o passando por um ponto (x0 , y0 ) na regi˜ ao. dy = y 2/3 dx dy √ (b) = xy dx dy (c) x = y dx

(d)

(a)

dy −y = x dx

(e) (1 − y 3 )y ′ = x2 (f) (y − x)y ′ = y + x

7. Resolva a equa¸ca˜o diferencial dada por separa¸c˜ao de vari´ avel. dy = sen(5x) dx dy (b) = (x + 1)2 dx dy = 2x (c) ex dx

dy = e3x+2y dx dy (g) ex y = e−y + e−2x−y dx 2  dx y+1 (h) y ln x = x dy  2 2y + 3 dy = (i) dx 4x + 5

(a)

(f)

(d) xy′ = 4y (e)

1 + 2y 2 dx = dy y sen x

(j) ey sen(2x)dx + cos x(e2y − y)dy = 0

8. Resolva a equa¸ca˜o diferencial dada sujeita a` condi¸c˜ao inicial indicada. (a) (e−y + 1) sen xdx = (1 + cos x)dy, y(0) = 0 dy (b) + xy = y, y(1) = 3 dx y2 − 1 dy (c) = 2 , y(2) = 2 x −1 dx (d) x2 y ′ = y − xy, y(−1) = −1 9. Resolva a equa¸ca˜o diferencial homogˆenea dada usando uma substitui¸ca˜o apropriada. 2

(a) xdx + (y − 2x)dy = 0 dy

y−x = y+x dx y x dy = + (c) dx x y

(b)

dy

x + 3y = 3x + y dx p dy (f) x − y = x2 + y 2 dx (e)

(g) (x2 e−y/x + y 2 )dx = xydy (h)

(d) (x + y)dx + xdy = 0

dy y y = ln dx x x

10. Resolva a equa¸ca˜o diferencial homogˆenea sujeita a` condi¸ca˜o inicial indicada. (a) xy2

dy = y 3 − x3 , y(1) = 2 dx

(b) (x2 + 2y 2 )dx = xydy, y(−1) = 1 dy = 3xy + y 2 , y(1) = −2 dx p (d) xydx − x2 dy = y x2 + y 2 dy, y (0) = 1 (c) 2x2

11. Suponha que M(x, y)dx + N (x, y)dy = 0 seja uma equa¸ca˜o homogˆenea. Mostre que a substitui¸ca˜o x = vy transforma a equa¸c˜ao em uma com vari´aveis separ´ aveis. 12. Suponha que M(x, y)dx + N (x, y)dy = 0 seja uma equa¸ca˜o homogˆenea. Mostre que a substitui¸ca˜o x = r cos α, y = r sen α leva a uma equa¸ca˜o separ´ avel. 13. Suponha que M(x, y)dx + N (x, y)dy = 0 seja uma equa¸ca˜o homogˆenea. Mostre que a equa¸ca˜o pode ser escrita na forma alternativa dy/dx = G(x, y). 14. Verifique se a equa¸ca˜o dada ´e exata. Se for, resolva. (a) (2x − 1)dx + (3y − 7)dy = 0 (b) (sen y − y sen x)dx + (cos x + x cos y − y)dy = 0 (c) (2y 2 x − 3)dx + (2yx2 + 4)dy = 0  y (d) 1 + ln x + dx = (1 − ln x)dy x (e) (y 3 − y 2 sen x − x)dx + (3xy2 + 2y cos x)dy = 0

x2 2x dx − 2 dy = 0 y y dy (g) x = 2xex − y + 6x2 dx (f)

3

(h) (5y − 2x)y ′ − 2y = 0 (i) (tg x − sen x sen y)dx + cos x cos ydy = 0 2

2

(j) (2y sen x cos x − y + 2y 2 exy )dx = (x − sen2 x − 4xyexy )dy 15. Resolva a equa¸ca˜o diferencial dada sujeita a` condi¸c˜ao inicial indicada. (a) (x + y)2 dx + (2xy + x2 − 1)dy = 0, y(1) = 1 (b) (ex + y)dx + (2 + x + yey )dy = 0, y(0) = 1 (c) (4y + 2x − 5)dx + (6y + 4x − 1)dy = 0, y(−1) = 2 (d) (y 2 cos x − 3x2 y − 2x)dx + (2y sen x − x3 + ln y)dy = 0, y(0) = e 16. Encontre o valor de k para que a equa¸c˜ao diferencial dada seja exata. (a) (y 3 + kxy 4 − 2x)dx + (3xy 2 + 20x2 y 3 )dy = 0 (b) (6xy3 + cos y)dx + (kx2 y 2 − x sen y)dy = 0 17. Mostre que qualquer equa¸c˜ao diferencial separ´ avel de primeira ordem na forma h(y)dy − g(x)dx = 0 ´e tamb´em exata. 18. Encontre a solu¸ca˜o geral para a equa¸ca˜o diferencial dada. (a) (b) (c) (d) (e)

dy = 5y dx dy + 2y = 0 dx dy + y = e3x dx dy = y + ex dx x2 y ′ + xy = 1

(g) (1 + x2 )dy + (xy + x3 + x)dx = 0 (h) cos x

dy + y sen x = 1 dx

(i) (1 + x)y ′ − xy = x + x2 (j) xy′ + 2y = ex + ln x (k) ydx = (yey − 2x)dy (l) dx = (3ey − 2x)dy

(f) xdy = (x sen x − y)dx

19. Resolva a equa¸ca˜o diferencial dada sujeita a` condi¸c˜ao inicial indicada. (a) y ′ = 2y + x(e3x − e2x ), y(0) = 2 4

dQ = 5x4 Q, Q(0) = −7 dx dy (c) (x + 1) + y = ln x, y(1) = 10 dx dy y (d) , y(5) = 2 = y−x dx

(b)

20. Encontre uma solu¸ca˜o cont´ınua satisfazendo cada equa¸c˜ao diferencial e a condi¸c˜ao inicial dada.   1,

0≤x≤3 dy e y(0) = 0 + 2y = f (x), onde f (x) =  0, x > 3 dx   1, 0 ≤ x ≤ 1 dy + y = f (x), onde f (x) = e y(0) = 1 (b) dx  −1, x > 1   x, 0 ≤ x < 1 dy e y(0) = 0 (c) (1 + x2 ) + 2xy = f (x), onde f (x) =  −x, x ≥ 1 dx

(a)

21. Encontre um fator integrante e resolva a equa¸ca˜o dada. (a) 1 + (x/y − sen y)y ′ = 0 (b) ex + (ex cot y + 2y csc y)y ′ = 0 (c) [4(x3 /y2 ) + (3/y )] + [3(x/y 2 ) + 4y]y ′ = 0 (d) y ′ = e2x + y − 1 (e) (x + 2) sen y + (x cos y)y ′ = 0 22. Resolva a equa¸ca˜o de Bernoulli dada. 1 dy +y = 2 dx y dy (b) − y = ex y 2 dx

dy = y(xy3 − 1) dx dy (d) x − (1 + x)y = xy2 dx

(a) x

(c)

23. Resolva a equa¸ca˜o diferencial dada sujeita a` condi¸c˜ao inicial indicada. 1 dy − 2xy = 3y 4 , y(1) = dx 2 3/2 1/2 dy (b) y + y = 1, y(0) = 4 dx

(a) x2

24. Resolva a equa¸ca˜o de Ricatti dada, sendo y1 ´e uma solu¸ca˜o conhecida para a equa¸ca˜o. 5

dy = −2 − y + y 2 , y1 = 2 dx dy 4 1 2 (b) = − 2 − y + y 2 , y1 = x dx x x

dy

2 1 = 2x2 + x y − 2y , y1 = x dx dy = e2x + (1 + 2ex )y + y 2 , y1 = −ex (d) dx

(a)

(c)

25. Use o m´etodo de Picard para encontrar a sequˆencia de aproxima¸co˜es (yn ), determine o limite de (yn ) e, em seguida, verifique se a fun¸ca˜o limite e´ de fato solu¸ca˜o do problema. (a) y ′ = 2xy, y(0) = 1 (b) y ′ + 2xy = x, y(0) = 0 (c) y ′ + y 2 = 0, y(0) = 0 (d) y ′ = 2ex − y, y(0) = 1 26. (a) Use o m´etodo de Picard para encontrar a sequˆencia de aproxima¸co˜es (yn ) do problema y′ = 1 + y2,

y(0) = 0

(b) Resolva o problema de valor inicial acima, por um dos m´ etodos vistos anteriormente. (c) Compare os resultados dos itens (a) e (b). 27. Varia¸c˜ ao dos parˆ ametros. Considere o seguinte m´etodo de resolu¸ca˜o da equa¸c˜ao linear de primeira ordem geral: y ′ + p(x)y = g(x).

(1)

(a) Se g(x) = 0 para todo x, mostre que a solu¸ca˜o ´e y = Ae−

R

p(x)dx

,

(2)

em que A ´e uma constante. (b) Se g(x) n˜ ao ´e identicamente nula, suponha que a solu¸ca˜o de (1) ´e da forma y = A(x)e− 6

R

p(x)dx

,

(3)

em que A agora ´e uma fun¸ca˜o de x. Substituindo y na equa¸c˜ao diferencial dada, mostre que A(x) tem que satisfazer a condi¸ca˜o R

A′ (x) = g(x)e

p(x)dx

.

(4)

(c) Encontre A(x) da eq. (4). Depois substitua A(x) na eq. (3) e determine y . Verifique se a solu¸ca˜o obtida dessa maneira ´e igual `a solu¸ca˜o obtida atrav´es de fator integrante. Essa t´ecnica ´e conhecida como o m´etodo de varia¸c˜ ao de parˆ ametros. 28. Use o m´etodo da quest˜ao anterior para resolver as equa¸co˜es abaixo: (a) y ′ − 2y = t2 e2t

(c) ty′ + 2y = sen t, t > 0

(b) y ′ + (1/t)y = 3 cos(2t), t > 0

(d) 2y ′ + y = 3t2

29. Encontre as trajet´ orias ortogonais da fam´ılia de curvas dada. (d) y = ec1 x

(a) y = c1 x

1 ln(c1 x) 2 (f) y = c1 x3 (e) y =

(b) 3x + 4y = c1 (c) c1 x2 + y 2 = 1

30. A popula¸ca˜o de bact´erias em uma cultura cresce a uma taxa proporcional ao n´ umero de bact´erias presentes em qualquer tempo. Ap´ os 3 horas, observa-se que h´ a 400 bact´erias presentes. Ap´ os 10 horas, existem 2000 bact´erias presentes. qual era o n´ umero inicial de bact´erias? 31. Quando juros s˜ ao compostos continuamente, o valor em dinheiro cresce a uma taxa proporcional `a quantia S presente no instante t, ou seja, dS/dt = rS, onde r e´ a taxa de juros anual. (a) Determine a quantia acumulada ao fim de cinco anos quando R$5.000 for depositado em uma poupan¸ca com rendimento de 5% de juros anuais compostos continuamente. 7

(b) Em quantos anos a quantia inicial depositada dobrar´ a? 32. Um termˆometro e´ retirado de dentro de uma sala e colocado de lado de fora, em que a temperatura ´e de 5◦ C. Ap´ os 1 minuto, o termˆ ometro marcava 20◦ C; ap´ os 5 minutos, 10◦ . Qual a temperatura da sala? 33. Uma for¸ca eletromotiva de 100 volts ´e aplicada a um circuito R-C em s´erie no qual a resistˆencia ´e de 200 ohms e a capacitˆancia, 10−4 farad. Encontre a carga q(t) no capacitor se q(0) = 0. Encontre a corrente i(t). 34. Um tanque est´ a parcialmente cheio com 100 litros de fluido nos quais 10 g de sal s˜ ao dissolvidos. Uma solu¸ca˜o salina contendo 0,5 g de sal por litro ´e bombeada para dentro do tanque a uma taxa de 6 litros por minuto. A mistura ´e ent˜ ao drenada a uma taxa de 4 litros por minuto. Descubra quantos gramas de sal haver´ a no tanque ap´ os 30 minutos.

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