An Real Bartle Terjemah PDF

Preview

Summary

Catatan Selama Kuliah ANALISIS REAL I DAN II Sebuah terjemahan dari sebagian buku Introductions to Real Analysis karangan Robert G. Bartle Drs. Jafar., M.Si Printed by: Abu Musa Al Khwarizmi KOMUNITAS STUDI AL KHWARIZMI UNAAHA 2012 i KATA PENGANTAR Syukur Alhamdulillah, penulis panjatkan ke hadlirat...

Description

Accelerat ing t he world's research.

An Real Bartle Terjemah sani rahmi

Related papers

Download a PDF Pack of t he best relat ed papers 

Analisis Real I Hand Out ayu puspa ANALISIS REAL I DAN II Sebuah t erjemahan dari sebagian buku Int roduct ions t o Real Analysis karangan Rilla Sept ia Pengant ar Analisis Real I hajruni hajruni

Catatan Selama Kuliah

ANALISIS REAL I DAN II Sebuah terjemahan dari sebagian buku Introductions to Real Analysis karangan Robert G. Bartle

Drs. Jafar., M.Si Printed by: Abu Musa Al Khwarizmi

KOMUNITAS STUDI AL KHWARIZMI UNAAHA 2012

i

KATA PENGANTAR

Syukur Alhamdulillah, penulis panjatkan ke hadlirat Allah Swt. karena atas perkenaannya jualah hand-out ini dapat terselesaikan penyusunannya. Penyusunan handout ini bertujuan untuk memenuhi kebutuhan bahan diskusi Komunitas Studi Al Khwarizmi Sultra dan masyarakat penimat Kajian Matematika pada umumnya. Materi hand-out ini terdiri atas 5 (lima) bab, yaitu : Yakni Bab I sampai dengan Bab 3 adalah materi Analisis Real I, sedangkan Bab 4 dan Bab 5 adalah materi Analisis Real II. Tentu saja, hand-out ini masih banyak kekurangan, oleh karena itu sangat diharapkan sumbang saran dan kritikan yang konstruktif dari pembaca dalam rangka perbaikan dan penyempurnaannya, sehingga pada akhirnya dapat dijadikan buku standar untuk dijadikan buku ajar Analisis Real I dan II. Surat kritikan dan saran anda dapat anda kirimkan ke: [email protected]; [email protected]; Atau melalui facebook: -Yanto Kendari. Akhirnya, semoga hand-out ini membawa manfaat yang semaksimal mungkin bagi siapa saja yang menggunakannya, dan hanya kepada Alloh SWT segala sesuatunya kita serahkan. Semoga kita termasuk umatNya yang bersyukur dan dimudahkan dalam memahami ilmu. Amien

Unaaha,

KSA

ii

Januari 2012

DAFTAR ISI HALAMAN SAMPUL ............................................................................................ KATA PENGANTAR ............................................................................................. DAFTAR ISI ............................................................................................................ Bab I PENDAHULUAN ............................................................................................ 1.1 Aljabar Himpunan ................................................................................... 1.2 Fungsi ...................................................................................................... 1.3 Induksi Matematika .................................................................................

i ii iii 2 2 8 15

Bab II BILANGAN REAL ........................................................................................ 2.1 Sifat Aljabar R ......................................................................................... 2.2 Sifat Urutan dalam R ............................................................................... 2.3 Nilai Mutlak ............................................................................................ 2.4 Sifat Kelengkapan R ................................................................................ 2.5 Aplikasi Sifat Supremum ........................................................................

22 22 30 40 46 51

Bab III BARISAN BILANGAN REAL .................................................................... 60 3.1 Barisan dan Limit Barisan ....................................................................... 60 3.2 Teorema-teorema Limit ........................................................................... 72 3.3 Barisan Monoton ..................................................................................... 82 3.4 Subbarisan dan Teorema Bolzano-Weiestrass ......................................... 90 3.5 Kriteria Cauchy ....................................................................................... 97 3.6 Barisan-barisan Divergen Murni ............................................................. 105 Bab IV LIMIT FUNGSI ............................................................................................ 4.1 Limit-limit Fungsi ................................................................................... 4.2 Teorema-teorema Limit ........................................................................... 4.3 Beberapa Perluasan dari Konsep Limit ...................................................

110 110 123 133

Bab V FUNGSI-FUNGSI KONTINU ...................................................................... 5.1 Fungsi-fungsi Kontinu ............................................................................. 5.2 Kombinasi dari Fungsi-fungsi Kontinu ................................................... 5.3 Fungsi-fungsi Kontinu pada Interval ....................................................... 5.4 Kekontinuan Seragam ............................................................................. 5.5 Fungsi Monoton dan Fungsi Invers .........................................................

149 150 157 164 174 189

Daftar Pustaka ........................................................................................................... 201

iii

Aljabar Himpunan

BAB 1 PENDAHULUAN Pada bab pertama ini, kita akan membahas beberapa prasyarat yang diperlukan untuk mempelajari analisis real. Bagian 1.1 dan 1.2 kita akan mengulang sekilas tentang aljabar himpunan dan fungsi, dua alat yang penting untuk semua cabang matematika. Pada bagian 1.3 kita akan memusatkan perhatian pada metoda pembuktian yang disebut induksi matematika. Ini berhubungan dengan sifat dasar sistem bilangan asli, dan walaupun penggunaannya terbatas pada masalah yang khusus tetapi hal ini penting dan sering digunakan.

1.1. Aljabar Himpunan Bila A menyatakan suatu himpunan dan x suatu unsurnya, kita akan tuliskan dengan x∈A, untuk menyingkat pernyataan x suatu unsur di A, atau x anggota A, atau x termuat di A, atau A memuat x. Bila x suatu unsur tetapi bukan di A kita tuliskan dengan x∉A. Bila A dan B suatu himpunan sehingga x∈A mengakibatkan x∈B (yaitu, setiap unsur di A juga unsur di B), maka kita katakan A termuat di B, atau B memuat A atau A suatu subhimpunan dari B, dan dituliskan dengan A ⊆ B atau B ⊇ A. Bila A ⊆ B dan terdapat unsur di B yang bukan anggota A kita katakan A subhimpunan sejati dari B. Analisis Real I

2

Pendahuluan

1.1.1. Definisi. Dua himpunan A dan B dikatakan sama bila keduanya memuat unsurunsur yang sama. Bila himpunan A dan B sama, kita tuliskan dengan A = B Untuk membuktikan bahwa A = B, kita harus menunjukkan bahwa A ⊆ B dan B ⊆ A. Suatu himpunan dapat dituliskan dengan mendaftar anggota-anggotanya, atau dengan menyatakan sifat keanggotaan himpunan tersebut. Kata “sifat keanggotaan” memang menimbulkan keraguan. Tetapi bila P menyatakan sifat keanggotaan (yang tak bias artinya) suatu himpunan, kita akan tuliskan dengan {xP(x)} untuk menyatakan himpunan semua x yang memenuhi P. Notasi tersebut kita baca dengan “himpunan semua x yang memenuhi (atau sedemikian sehinga) P”. Bila dirasa perlu menyatakan lebih khusus unsur-unsur mana yang memenuhi P, kita dapat juga menuliskannya dengan { x∈SP(x)} untuk menyatakan sub himpunan S yang memenuhi P. Beberapa himpunan tertentu akan digunakan dalam bukti ini, dan kita akan menuliskannya dengan penulisan standar sebagai berikut : •

Himpunan semua bilangan asli, N = {1,2,3,...}

•

Himpunan semua bilangan bulat, Z = {0,1,-1,2,-2,...}

•

Himpunan semua bilangan rasional, Q = {m/n  m,n ∈ Z, n≠0}

•

Himpunan semua bilangan real, R.

Contoh-contoh : (a). Himpunan {x ∈ N x2-3x+2=0}, menyatakan himpunan semua bilangan asli yang memenuhi x2 - 3x + 2 = 0. Karena yang memenuhi hanya x = 1 dan x = 2, maka himpunan tersebut dapat pula kita tuliskan dengan {1,2}. (b). Kadang-kadang formula dapat pula digunakan untuk menyingkat penulisan himpunan. Sebagai contoh himpunan bilangan genap positif sering dituliskan dengan {2x x∈ N}, daripada {y∈ N y = 2x, x∈ N}. Analisis Real I

3

Aljabar Himpunan

Operasi Himpunan Sekarang kita akan mendefinisikan cara mengkonstruksi himpunan baru dari himpunan yang sudah ada. 1.1.2. Definisi. (a). Bila A dan B suatu himpunan, maka irisan (=interseksi) dari A ⊂ B dituliskan dengan A∩B, adalah himpunan yang unsur-unsurnya terdapat di A juga di B. Dengan kata lain kita mempunyai A∩B = {x x∈A dan x∈B}. (b). Gabungan dari A dan B, dituliskan dengan A∪B, adalah himpunan yang unsurunsurnya paling tidak terdapat di salah satu A atau B. Dengan kata lain kita mempunyai A∪B = {x x∈A atau x∈B}. 1.1.3. Definisi. Himpunan yang tidak mempunyai anggota disebut himpunan kosong, dituliskan dengan { } atau ∅. Bila A dan B dua himpunan yang tidak mempunyai unsur bersama (yaitu, A∩B = ∅), maka A dan B dikatakan saling asing atau disjoin. Berikut ini adalah akibat dari operasi aljabar yang baru saja kita definisikan. Karena buktinya merupakan hal yang rutin, kita tinggalkan kepada pembaca sebagai latihan. 1.1.4. Teorema. Misalkan A,B dan C sebarang himpunan, maka (a). A∩A = A, A∪A = A; (b). A∩B = B∩A, A∪B = B∪A; (c). (A∩B) ∩C = A∩(B ∩C), (A∪B)∪C = A∪(B∪C); (d). A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C), A∪(B ∩C) = (A∪B) ∩ (A∪C); Kesamaan ini semua berturut-turut sering disebut sebagai sifat idempoten, komutatif, asosiatif dan distributif, operasi irisan dan gabungan himpunan. Melihat kesamaan pada teorema 1.1.4(c), biasanya kita tanggalkan kurung dan cukup ditulis dengan A∩B ∩C,

Analisis Real I

A∪B∪C.

4

Pendahuluan

Dimungkinkan juga untuk menunjukkan bahwa bila {A1,A2, ,An} merupakan koleksi himpunan, maka terdapat sebuah himpunan A yang memuat unsur yang merupakan pa-ling tidak unsur dari suatu Aj, j = 1,2,...,n ; dan terdapat sebuah himpunan B yang unsur-unsurnya merupakan unsur semua himpunan Aj, j=1,2,...,n. Dengan menanggalkan kurung, kita tuliskan dengan A = A1 ∪A2 ∪ ∪ An = {x x∈Aj untuk suatu j}, B = A1 ∩ A2...∩An = {x x∈Aj untuk semua j}. Untuk mempersingkat penulisan, A dan B di atas sering dituliskan dengan n

A= j=1

Aj

n

B= j=1

Aj

Secara sama, bila untuk setiap j unsur di J terdapat himpunan Aj, maka j∈J

Aj

menyatakan himpunan yang unsur-unsurnya paling tidak merupakan unsur dari salah satu Aj. Sedangkan j∈J

A j , menyatakan himpunan yang unsur-unsurnya adalah unsur

semua Aj untuk j∈J. 1.1.5. Definisi. Bila A dan B suatu himpunan, maka komplemen dari B relatif terhadap A, dituliskan dengan A\B (dibaca “A minus B”) adalah himpunan yang unsurunsurnya adalah semua unsur di A tetapi bukan anggota B. Beberapa penulis menggunakan notasi A - B atau A ~ B. Dari definisi di atas, kita mempunyai A\B = {x ∈ A x ∉ B}. Seringkali A tidak dinyatakan secara eksplisit, karena sudah dimengerti/disepakati. Dalam situasi begini A\B sering dituliskan dengan (B). 1.1.6. Teorema. Bila A,B,C sebarang himpunan, maka A\(B∪C) = (A\B)∩(A\C), A\(B∩C) = (A\B) ∪(A\C).

Analisis Real I

5

Aljabar Himpunan

Bukti : Kita hanya akan membuktikan kesamaan pertama dan meninggalkan yang kedua sebagai latihan bagi pembaca. Kita akan tunjukkan bahwa setiap unsur di A\(B∪C) termuat di kedua himpunan (A\B) dan (A\C), dan sebaliknya. Bila x di A\(B∪C), maka x di A, tetapi tidak di B∪C. Dari sini x suatu unsur di A, tetapi tidak dikedua unsur B atau C. (Mengapa?). Karenanya x di A tetapi tidak di B, dan x di A tetapi tidak di C. Yaitu x ∈ A\B dan x ∈ A\C, yang menunjukkan bahwa x ∈(A\B)∩(A\C). Sebaliknya, bila x ∈(A\B)∩(A\C), maka x ∈(A\B)dan x ∈ (A\C). Jadi x ∈ A tetapi bukan anggota dari B atau C. Akibatnya x ∈ A dan x ∉ (B∪C), karena itu x ∈ A\(B∪C). Karena himpunan (A\B)∩(A\C) dan A\(B∪C).memuat unsur-unsur yang sama, menurut definisi 1.1.1 A\(B∪C).= (A\B)∩(A\C).

Produk (hasil kali) Cartesius Sekarang kita akan mendefinisikan produk Cartesius. 1.1.7. Definisi. Bila A dan B himpunan-himpunan yang tak kosong, maka produk cartesius A×B dari A dan B adalah himpunan pasangan berurut (a,b) dengan a∈ A dan b ∈ B. Jadi bila A = {1,2,3} dan B = {4,5}, maka A×B = {(1,4),(1,5),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5)}

Latihan 1.1. 1. Gambarkan diagram yang menyatakan masing-masing himpunan pada Teorema 1.1.4. 2. Buktikan bagian (c) Teorema 1.1.4. 3. Buktikan bagian kedua Teorema 1.1.4(d). 4. Buktikan bahwa A ⊆ B jika dan hanya jika A∩B = A.

Analisis Real I

6

Pendahuluan

5. Tunjukkan bahwa himpunan D yang unsur-unsurnya merupakan unsur dari tepat satu himpunan A atau B diberikan oleh D = (A\B) ∪ (B\A). Himpunan D ini sering disebut dengan selisih simetris dari A dan B. Nyatakan dalam diagram. 6. Tunjukkan bahwa selisih simetris D di nomor 5, juga diberikan oleh D = (A∪B)\(A∩B). 7. Bila A ⊆ B, tunjukkan bahwa B = A\(A\B). 8. Diberikan himpunan A dan B, tunjukkan bahwa A∩B dan A\B saling asing dan bahwa A = (A∩B) ∪ (A\B). 9. Bila A dan B sebarang himpunan, tunjukkan bahwa A∩B = A\(A\B). 10. Bila {A1, A2, ... , An} suatu koleksi himpunan, dan E sebarang himpunan, tunjukkan bahwa E ∩

n

Aj =

j=1

n

n

(E ∩ A j ), E ∪

j=1

n

Aj =

(E ∪ A j )

j=1

j=1

11. Bila {A1, A2, ... , An} suatu koleksi himpunan, dan E sebarang himpunan, tunjukkan bahwa E ∩

n

Aj =

j=1

n

n

(E ∩ A j ), E ∪

j=1

Aj =

n

(E ∪ A j )

j =1

j=1

12. Misalkan E sebarang himpunan dan {A1, A2, ... , An} suatu koleksi himpunan. Buktikan Hukum De Morgan n

E\ j=1

n

Aj =

n

(E \ A j ), E \ j =1

j=1

Catatan bila E\Aj dituliskan dengan

n

Aj =

(E \ A j ). j=1

(Aj), maka kesamaan di atas mempunyai

bentuk  n   A j =  j =1 

n

( A ), j

j=1

 n   A j =  j=1 

n

(A ). j

j=1

13. Misalkan J suatu himpunan dan untuk setiap j∈J, Aj termuat di E. Tunjukkan bahwa    A j =  j∈J 

( A ), j

j∈J

   A j =  j∈J 

(A ). j

j∈J

14. Bila B1 dan B2 subhimpunan dari B dan B = B1 ∪ B2, tunjukkan bahwa Analisis Real I

7

Aljabar Himpunan

A×B = (A×B1) ∪ (A×B2).

1.2. Fungsi. Sekarang kita kembali mendiskusikan gagasan fundamental suatu fungsi atau

pemetaan. Akan kita lihat bahwa fungsi adalah suatu jenis khusus dari himpunan, walaupun terdapat visualisasi lain yang sering lebih bersifat sugesti. Semua dari bagian terakhir ini akan banyak mengupas jenis-jenis fungsi, tetapi sedikit abstrak dibandingkan bagian ini. Bagi matematikawan abad terdahulu kata “fungsi” biasanya berarti rumus tertentu, seperti

f(x) = x2 + 3x -5 yang bersesuaian dengan masing-masing bilangan real x dan bilangan lain f(x). Mungkin juga seseorang memunculkan kontroversi, apakah nilai mutlak

h(x) = x dari suatu bilangan real merupakan “fungsi sejati” atau bukan. Selain itu definisi xdiberikan pula dengan  x, bila x ≥ 0 x=  − x, bila x < 0 Dengan berkembangnya matematika, semakin jelas bahwa diperlukan definisi fungsi yang lebih umum. Juga semakin penting untuk kita membedakan fungsi sendiri dengan nilai fungsi itu. Di sini akan mendefinisikan suatu fungsi dan hal ini akan kita lakukan dalam dua tahap.

Definisi pertama : Suatu fungsi f dari himpunan A ke himpunan B adalah aturan korespondensi yang memasangkan masing-masing unsur x di A secara tunggal dengan unsur f(x) di B. Definisi di atas mungkin saja tidak jelas, dikarenakan ketidakjelasan frase “aturan korespondensi”. Untuk mengatasi hal ini kita akan mendefinisikan fungsi de-ngan menggunakan himpunan seperti yang telah dibahas pada bagian sebelumnya.

Analisis Real I

8

Pendahuluan

De-ngan pendefinisian ini dapat saja kita kehilangan kandungan intuitif dari definisi terdahulu, tetapi kita dapatkan kejelasan. Ide dasar pendefinisian ini adalah memikirkan gambar dari suatu fungsi; yaitu, suatu korelasi dari pasangan berurut. Bila kita perhatikan tidak setiap koleksi pasangan berurut merupakan gambar suatu fungsi, karena sekali unsur pertama dalam pasangan berurut diambil, unsur keduanya ditentukan secara tunggal.

1.2.1. Definisi. Misalkan A dan B himpunan suatu fungsi dari A ke B adalah himpunan pasangan berurut f di A×B sedemikian sehingga untuk masing-masing a ∈ A terdapat b ∈ B yang tunggal dengan (a,b),(a,b’) ∈ f, maka b = b’. Himpunan A dari unsur-unsur pertama dari f disebut daerah asal atau “domain” dari f, dan dituliskan D(f). Sedangkan unsur-unsur di B yang menjadi unsur kedua di f disebut “range” dari

f dan dituliskan dengan R(f). Notasi f:A→B menunjukkan bahwa f suatu fungsi dari A ke B; akan sering kita katakan bahwa f suatu pemetaan dari A ke dalam B atau f memetakan A ke dalam B. Bila (a,b) suatu unsur di f, sering ditulis dengan b = f(a) daripada (a,b) ∈ f. Dalam hal ini b merupakan nilai f di titik a, atau peta a terhadap f.

Pembatasan dan Perluasan Fungsi Bila f suatu fungsi dengan domain D(f) dan D1 suatu subhimpunan dari D(f), seringkali bermanfaat untuk mendefinisikan fungsi baru f1 dengan domain D1 dan

f1(x) = f(x) untuk semua x ∈ D1. Fungsi f1 disebut pembatasan fungsi f pada D1. Menurut definisi 1.2.1, kita mempunyai

f1 = { (a,b) ∈ f a ∈ D1} Kadang-kadang kita tuliskan f1 = f D1 untuk menyatakan pembatasan fungsi f pada himpunan D1.

Analisis Real I

9

Aljabar Himpunan

Konstruksi serupa untuk gagasan perluasan. Bila suatu fungsi dengan domain D(g) dan D2 ⊇ D(g), maka sebarang fungsi g2 dengan domain D2 sedemikian sehingga

g2(x) = g(x) untuk semua x ∈ D(g) disebut perluasan g pada himpunan D2.

Bayangan Langsung dan Bayangan Invers Misalkan f : A → B suatu fungsi dengan domain A dan range B.

1.2.2. Definisi. Bila E subhimpunan A, maka bayangan langsung dari E terhadap f adalah sub himpunan f(E) dari B yang diberikan oleh

f(E) = {f(x) : x ∈ E}. Bila H subhimpunan E, maka bayangan invers dari H terhadap f adalah subhimpunan

f-1(H) dari A, yang diberikan oleh f-1(H) = { x ∈ A : f(x) ∈ H} Jadi bila diberikan himpunan E ⊆ A, maka titik y1 ∈ B di bayangan langsung

f(E) jika dan hanya jika terdapat paling tidak sebuah titik x1 ∈ E sedemikian sehingga y1 = f(x1). Secara sama, bila diberikan H⊆B, titik x2∈A di dalam bayangan invers f1

(H) jika dan hanya jika y2 = f(x2) di H.

1.2.3. Contoh. (a). Misalkan f : R → R didefinisikan dengan f(x) = x2. Bayangan langsung himpunan E = {x 0 ≤ x ≤ 2} adalah himpunan f(E) = {y 0 ≤ y ≤ 4}. Bila G = {y 0 ≤ y ≤ 4}, maka bayangan invers G adalah himpunan f-1(G) = {x -2 ≤ x ≤ 2}. Jadi f-1(f(E)) ≠ E. Disatu pihak, kita mempunyai f(f-1(G)) = G. Tetapi bila H = {y -1 ≤ y ≤ 1}, maka kita peroleh f(f-1(H)) = {x 0 ≤ x ≤ 1} ≠ H. (b). Misalkan f : A → B, dan G,H subhimpunan dari B kita akan tunjukkan bahwa

f-1(G∩H) ⊆ f-1(G)∩ f-1(H) Kenyataannya, bila x ∈ f-1(G∩H) maka f(x) ∈ G∩H, jadi f(x) ∈ G dan f(x) ∈ H. Hal ini mengakibatkan x ∈ f-1(G) dan x ∈ f-1(H). Karena itu x ∈ f-1(G)∩ f-1(H), bukti selesai. Sebaliknya, f-1(G∩H) ⊇ f-1(G)∩ f-1(H) juga benar, yang buktinya ditinggalkan sebagai latihan. Analisis Real I

10

Pendahuluan

Sifat-sifat Fungsi 1.2.4. Definisi. Suatu fungsi f : A → B dikatakan in...