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INTERAZIONE UOMO MACCHINA 2020 (COVID edition) – Prof. Agostino Accardo • ORIGINE E CARATTERISTICHE DEL SEGNALE EEG • SEGNALI CONTINUI E SEGNALI DISCRETI, FILTRAGGIO, CAMPIONAMENTO E ALIASING • PROCESSI STOCASTICI E PARAMETRI QUANTITATIVI, CORRELAZIONE, COVARIANZA, STAZIONARIETÀ, MEDIA, VARIANZA, AUTOCORRELAZIONE, CROSS CORRELAZIONE, SERIE DI FOURIER, ANALISI IN FREQUENZA, BANDE E SPETTRO DI POTENZA • ANALISI NON LINEARE SPAZIO DI EMBEDDING E STIMA DELLA SUA DIMENSIONE, DIMENSIONE FRATTALE, DIMENSIONE DI CORRELAZIONE, ESPONENTI DI LIAPUNOV • APPLICAZIONE METODI DI ANALISI LINEARE (E NON) AL SEGNALE EEG • POTENZIALI EVOCATI, AVERAGING • CENNI DI MATLAB Il core del corso è capire che tipo di analisi possono essere fatte sull’EEG, è importante rilevare i segnali che possiamo collegare ad una volontà (ad es. movimento immaginato attiva aree del cervello). Segnali elettroencefalografici che partono dal cervello sono associati al comando motorio (nelle paralisi dell’arto non arrivano alla fine del percorso ma si manifestano nella psiche con attivazione di aree corticali). Il segnale si nasconde nel mezzo di tanti altri segnali che il nostro cervello continua ad attivare. Tanto più è sincronizzata tanto più si perde nell’informazione. Perché non rileviamo sul neurone, rileviamo con degli elettrodi superficiali sullo scalpo. Che rilevano tante informazioni dalle quali bisogna estrarre le informazioni desiderate. Molto studiata è l’interazione uomo-macchina intesa come risposta, macchina (robot) che risponde a delle domande (chatbot). C’è un algoritmo (un programma) che esamina quello che viene scritto o detto imparando ed allenandosi (come la psiche umana). Allenare un input per aver un output. Meccanismi che stanno dietro le IA. Sono metodi matematici applicati ai dati cercano di individuare i coefficienti di una rete più o meno complessa (chiamata rete neurale, anche se non è proprio corretto). In queste equazioni entra un dato e esce un output. L’output finale può essere generato da più equazioni. Proprio come i neuroni. I coefficienti prima dell’apprendimento è casuale, se la mia rete neurale (neuroni che percepiscono, neuroni che elaborano) la trasporta in stadi intermedi pesando gli input (moltiplicandoli per dei coefficienti) e va a sommarsi con gli output di tutti le altre informazioni pesate. I risultati prendono una forma di una funzione a S. Sarà l’algoritmo (la macchina) a trovare questi coefficienti minimizzando gli errori. Dietro al machine learning delle IA ci sono algoritmi (anni 60/80). Coi computer moderni posso avere strutture molto più complesse perché il numero di coefficiente è molto grande. Prima la priorità era il tempo (velocità di risposta). Il motore di ricerca è un ottimo esempio di algoritmo che cerca le corrispondenze sulla base degli input. Molto importante come si allenano le macchine perché anno un impatto etico importante.

ORIGINE E CARATTERISTICHE DEL SEGNALE EEG Esempi di segnali biologici: • Potenziale d’azione intracellulare, extracellulare • Neurogramma • Elettroencefalogramma (EEG) • Elettrocardiogramma (ECG) • Elettromiogramma (EMG) • Pressione arteriosa • Flusso/volume respiratorio Tutti quanti comunicano qualcosa, volontariamente e involontariamente, direttamente o indirettamente, i segnali prodotti vengono rilevati da sensori o elettrodi che possono essere utilizzati nell’interazione. ELETTROENCEFALOGRAMMA (EEG) Viene rilevato tramite il potenziale elettrico relativo all’attività cerebrale registrato sullo scalpo in posizioni standard (sistema 10/20). Ogni elettrodo copre un’area del cranio. Viene registrata l’attività corticale superiore. Caratteristiche principali: • Banda 0,1 Hz 70 Hz (ampiezza decine/centinaia di μV) • Spettro • Stazionario (con le stesse caratteristiche statistiche) per brevi tratti • Non periodico ma spesso con un ritmo prevalente concentrato su specifiche bande di frequenza • Le caratteristiche variano con la derivazione • Vi sono similitudini e sincronismi fra derivazioni vicine 1. Potenziali d’azione singoli neuroni 2. Attività coordinata aree corteccia 3. Volume conduttore tessuti cranio 4. Potenziali sulla superficie dello scalpo • Informazione indiretta e globale sull’attività cerebrale • Ridondanza del tracciato rispetto alle caratteristiche rilevanti • Possibilità di integrare informazioni da diverse derivazioni BANDA Frequenza (Hz): è una grandezza che riguarda fenomeni periodici o processi ripetitivi (come quelli ondulatori relativi ai segnali), viene data dal numero degli eventi che vengono ripetuti in una data unità di tempo. La frequenza in hertz (Hz) è il numero di cicli della forma d'onda ripetitiva per secondo. Hertz (Hz): è l'unità di misura del Sistema Internazionale della frequenza. Tale unità di misura può essere applicata a qualsiasi evento periodico. Un hertz equivale a un impulso al secondo, per cui, per esempio, si può dire che il ticchettio di un orologio ha una frequenza di 1 Hz. Lunghezza d’onda (I): in fisica, la lunghezza d'onda di un'onda periodica è la distanza tra due creste o fra due ventri della sua forma d'onda, e viene comunemente indicata dalla lettera greca λ. Periodo (T): è una grandezza fisica relativa alle onde, definita come l'intervallo temporale corrispondente alla lunghezza d'onda. Si indica generalmente con T e si misura nel sistema internazionale in secondi (s). Il periodo è la grandezza inversa della frequenza (T = 1 / f). Ampiezza: in fisica, è la massima variazione di una grandezza in un'oscillazione periodica.

Tecniche di calcolo della frequenza: 1. Un modo per calcolare una tale frequenza consiste nel fissare un intervallo di tempo, nel contare il numero di occorrenze dell'evento che si ripete in tale intervallo di tempo e nel dividere quindi il risultato di questo conteggio per l'ampiezza dell'intervallo di tempo 2. Si può misurare l'intervallo di tempo tra gli istanti iniziali di due eventi successivi (il periodo) e quindi calcolare la frequenza come grandezza inversa di questa durata (F = 1 / T). Onda sinusoidale (sinusoide): In fisica, un'onda sinusoidale è un'onda descritta matematicamente dalla funzione seno (sin o sen). Una sinusoide o curva sinusoidale è la curva rappresentata dal grafico del seno. Una sinusoide è analoga alla curva relativa alla funzione coseno, detta cosinusoide, sfasata di π/2 (90°).

Pi greco (π): Il Pi greco è una costante matematica e viene definito come il rapporto tra la lunghezza della circonferenza e quella del suo diametro, o anche come l'area di un cerchio di raggi. Nella geometria euclidea è la somma degli angoli interni di un triangolo misurata in radianti. Radianti (rad): è l'unità di misura dell'ampiezza degli angoli del Sistema internazionale di unità di misura. Tale misura rappresenta il rapporto tra la lunghezza dell'arco di circonferenza tracciato dall'angolo e la lunghezza del raggio di tale circonferenza; essendo il rapporto tra due grandezze omogenee, è un numero puro. Seno (sen): in matematica, in particolare in trigonometria, dato un triangolo rettangolo il seno di uno dei due angoli interni adiacenti all'ipotenusa è definito come il rapporto tra le lunghezze del cateto opposto all'angolo e dell'ipotenusa. Più in generale il seno di un angolo α, espresso in gradi o radianti, è una quantità che dipende solo da α, costruita usando la circonferenza unitaria. Tangente (tan): in matematica, in particolare in trigonometria, la tangente è una funzione trigonometrica definita come la proiezione sull'asse y del punto di incontro tra il prolungamento del secondo lato dell'angolo orientato e la retta che tange la circonferenza goniometrica nel punto (1,0); molto spesso è anche definita come il rapporto tra il seno e il coseno del medesimo angolo.

Distribuzione normale (Gaussiana): nella teoria della probabilità, è una distribuzione di probabilità continua che è spesso usata come prima approssimazione per descrivere variabili casuali a valori reali che tendono a concentrarsi attorno a un singolo valor medio. Il grafico della funzione di densità di probabilità associata è simmetrico e ha una forma a campana, nota come campana di Gauss.

SEGNALI ELETTROENCEFALOGRAFICI • Onde Alfa (α) frequenza compresa tra gli 8 e i 13 Hz Ritmo o frequenza di base presente in un EEG è il ritmo alfa, o "ritmo di Berger". Viene misurata sopra le regioni posteriori della testa durante le fasi di veglia (ad occhi chiusi) ed è attenuata da stimoli visivi o sensoriali a seguito dei quali l'attività alfa scompare ed è sostituita da un'attività di basso voltaggio (inferiore o uguale a 30 microVolt), più rapida, denominata di tipo beta (desincronizzazione). Attività cerebrale con frequenze comprese in questo range sono dovute anche ai movimenti di apertura degli occhi. • Onde Beta (β) frequenza compresa tra i 13 e i 30 Hz Onde β1 (13-20 Hz) e onde β2 (20-30 Hz) e vengono misurate nelle regioni dei lobi parietali e frontali. Presenta una tensione elettrica media di 19 microVolt (8-30 microVolt). Le onde beta sono dominanti in un soggetto ad occhi aperti e impegnato in un'attività cerebrale qualsiasi, quasi continuo negli stati di allerta (detta fase di arousal), ma anche nel sonno onirico (durante il sogno), cioè il sonno REM. • Onde Theta (θ) frequenza compresa tra i 4 e gli 8 Hz Dominanti nel neonato, presenie in molte patologie cerebrali dell'adulto, negli stati di tensione emotiva e nell'ipnosi. Si presenta nei primi minuti dell'addormentamento (dormiveglia). Tensione media di 75 microVolt. Onde Theta-Sigma (θ-σ) frequenza compresa tra i 12 e i 14 Hz Segue la pura fase Theta durante il sonno, quando cominciano a comparire piccoli treni di onde, dette Sigma a frequenza di 12-14 Hz e tensione elettrica di 5-50 μV, sotto forma di fusi (chiamati così per la loro forma grafica), più altri grafoelementi detti complessi K. • Onde Delta (δ) frequenza compresa tra i 0.5 e i 4 Hz Sonno più profondo, detto anche a onde lente (4º stadio del sonno), ma che non è ancora il sonno REM (5º stadio del sonno), e quindi detto anche sonno N-REM (non-REM). Sono caratterizzate da una tensione elettrica media di 150 μV. Non sono presenti in condizioni fisiologiche nello stato di veglia nell'età adulta, sebbene siano predominanti nell'infanzia e inoltre compaiano nell'anestesia generale ed in alcune malattie cerebrali, oppure in malattie dismetaboliche generali, come l'iperazotemia. • Onde Gamma: frequenza compresa tra i 30 e i 42 Hz Caratterizzano gli stati di particolare tensione. Sono le onde cerebrali più veloci (alta frequenza, come un flauto) e si riferiscono all'elaborazione simultanea di informazioni da diverse aree del cervello. • Fase REM Raggiungibile mediamente dai 20 ai 40 minuti circa dall'inizio dell'addormentamento. Si ripete più volte durante la notte (4-6 volte), compaiono Onde miste Alfa ma soprattutto Onde Beta, come se si fosse in attivo stato di veglia, ed è questo il tipico sonno onirico (tipico del sogno). L'EEG del sonno REM infatti ricorda molto quello dello stadio 1 se non per le caratteristiche scariche di onde con la caratteristica morfologia a 'dente di sega'. Compaiono le onde PGO (ponto-genicolo-occipitali), l'attività dell'ippocampo si fa sincronizzata con la comparsa di onde theta. • Spikes Picchi di segnale presenti in alcuni casi patologici, ad es. epilessia.

SEGNALI CONTINUI E SEGNALI DISCRETI, FILTRAGGIO, CAMPIONAMENTO E ALIASING SEGNALE CONTINUO Il segnale rilevato dallo scalpo è un segnale continuo nel tempo (analogico, ad es. vecchio segnale tv). Un segnale a tempo continuo x(t) è definito in ogni istante di tempo. Il segnale a tempo discreto x(n) si ottiene campionando x(t) cioè prendendo solo alcuni valori di x(t), uniformemente spaziati nel tempo. In questo caso abbiamo utilizzato 5 campioni per sec.

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Segnale continuo nel tempo: analogico; Segnale discreto nel tempo; Segnale discreto nel tempo e nelle ampiezze: digitale.

Il segnale analogico aveva molto rumore (tv canali con ronzio) passando al digitale (come sopra) il segnale viene tradotto in numeri tramite campionamento per eliminare il rumore. Abbiamo un segnale analogico, lo discretizzo nel tempo e poi nei valori. Il quesito è: quanti campioni di quel segnale devo fare? Ogni quanto devo “campionare”? (ne troppi, ne troppo pochi) Sulla base del campionamento (numeri) devo poter ricostruire perfettamente il segnale di partenza. TEOREMA DEL CAMPIONAMENTO DI NYQUIST-SHANNON Definisce la minima frequenza, detta frequenza di Nyquist (o anche cadenza di Nyquist), necessaria per campionare un segnale analogico senza perdere informazioni, e per poter quindi ricostruire il segnale analogico tempo continuo originario. In particolare, il teorema afferma che, data una funzione la cui trasformata di Fourier sia nulla al di fuori di un certo intervallo di frequenze (ovvero un segnale a banda limitata), nella sua conversione analogico-digitale la minima frequenza di campionamento necessaria per evitare aliasing e perdita di informazione nella ricostruzione del segnale analogico originario (ovvero nella riconversione digitale-analogica) deve essere maggiore del doppio della sua frequenza massima. Se tu hai un segnale continuo e con Fourier tiri fuori la sua banda basta che tu campioni almeno al doppio di quella banda. Abbiamo un segnale analogico, lo discretizzo nel tempo e poi nei valori. CAMPIONAMENTO DI UN SEGNALE Periodo di campionamento (Tcamp): il tempo che passa fra l'acquisizione di un campione e l'altro. Frequenza di campionamento: è semplicemente il reciproco del periodo di campionamento (fcamp = 1/Tcamp). Il segnale a tempo discreto y(n) si ottiene campionando y(t) cioè prendendo solo alcuni valori di y(t), uniformemente spaziati nel tempo. È possibile decidere quanti campioni considerare (di solito in 1 sec) come mostrano i 3 esempi. L’intervallo temporale tra due campioni successivi si chiama intervallo o periodo di campionamento Tc.

PROCESSI STOCASTICI E PARAMETRI QUANTITATIVI, CORRELAZIONE, COVARIANZA, STAZIONARIETÀ, MEDIA, VARIANZA, AUTOCORRELAZIONE, CROSS CORRELAZIONE, SERIE DI FOURIER, ANALISI IN FREQUENZA, BANDE E SPETTRO DI POTENZA PROCESSO STOCASTICO • Molte volte si considera y(t) come segnale deterministico • In altri casi conviene considerare il valore di y in un generico istante t1 y1=y(t1), come una variabile casuale con una distribuzione di probabilità p(y1) • Il segnale y(t) è così visto come una delle tante possibili realizzazioni di un processo stocastico • Questa impostazione è volta allo studio delle caratteristiche statistiche importanti del segnale trascurando gli aspetti casuali Un processo stocastico è la versione probabilistica del concetto di sistema dinamico. Un processo stocastico è un insieme ordinato di funzioni reali di un certo parametro (in genere il tempo) che gode di determinate proprietà statistiche. Un processo stocastico è una forma di rappresentazione di una grandezza che varia nel tempo in modo casuale (ad esempio un segnale elettrico contenente informazione ovvero modulato, il numero di autovetture che transitano su un ponte, ecc.) e con certe caratteristiche. Facendo delle prove (o osservazioni) ripetute dello stesso processo, si ottengono diversi andamenti nel tempo (realizzazioni del processo); osservando le diverse realizzazioni a un istante t si ottiene una variabile aleatoria X(t) che comprende i diversi valori che il processo può assumere in quell'istante. Tali valori avranno un valore medio, che, nel caso di variabile aleatoria gaussiana, costituiranno il valore al centro della "campana" gaussiana all'istante t. Quindi per ciascun istante si può definire una variabile aleatoria, una gaussiana o altra, che rappresenti il valore più probabile del processo con il relativo indice di scostamento o deviazione standard. La rappresentazione che si fa di un processo stocastico è da un punto di vista statistico. È casuale che y(t) cada su un picco positivo di un segnale EEG; non è casuale che y(t) oscilli intorno allo 0, o che le oscillazioni abbiano una certa ampiezza, o che un picco positivo segue uno negativo mediamente dopo un determinato tempo. Processo stazionario: mantiene la forma della gaussiana (valore medio e deviazione standard) costante per tutti gli istanti del tempo. Processo stocastico che mantiene inalterate le sue statistiche (media, varianza e tutti i momenti di ordine superiore). PROCESSI STOCASTICI STAZIONARI • Stazionarietà (invarianza nel tempo): richiede che le proprietà statistiche non dipendano da un riferimento temporale assoluto. In termini statistici p(y(t)) deve valere per ogni t e p(y(t1), y(t2), ... , y(tk)) deve dipendere solo dalle distanze temporali (t2-t1, ... , tk -tk-1). • Stazionarietà debole: si limita a considerare i momenti di primo e secondo ordine: E(y(t)) = m; valor medio costante del processo Var(y(t)) = σ2; varianza costante E(y(t) y(t+τ)) = r(τ)+m2; correlazione dipendente solo dal ritardo τ

PARAMETRI DI PROCESSI STOCASTICI • Valore medio: è il valore atteso (baricentro), E(y1), della distribuzione di probabilità p(y1)) (con y1=y(t1)) come per ogni variabile casuale, la varianza, σ 2, esprime la dispersione intorno al valore atteso • Deviazione standard: σ, esprime la dispersione intorno al valore atteso nella stessa unità dell’ampiezza di y e viene anche indicata come ampiezza efficace del segnale • Indice di variazione %: σ/E(y1) %, esprime in % il rapporto tra deviazione standard e valore medio FUNZIONE DI AUTOCORRELAZIONE La funzione di autocorrelazione ACF (autocorrelation function), r(τ)+m2, di un processo stazionario (almeno in senso debole) esprime la correlazione fra due istanti del processo in dipendenza del ritardo τ che li separa. “Auto” in quanto correlazione del processo con sé stesso. Spesso il calcolo è preceduto dalla sottrazione del valor medio m e quindi si indica con ACF la funzione r(τ) prendendo “autocorrelazione” come sinonimo di “autocovarianza”. r(0) = σ 2(varianza); r(-τ) = r(τ) (funzione pari) Processo bianco: probabilità di stabilire il valore successivo molto bassa (il segnale cambia spesso e rapidamente) Processo colorato: probabilità di stabilire il valore successivo molto alta

PROCESSI STAZIONARI ERGODICI Un processo stocastico si dice ergodico quando le medie statistiche convergono quasi ovunque alle medie temporali . Il calcolo delle medie temporali viene scritto:

ANALISI IN FREQUENZA DI UN SEGNALE Contenuto di frequenza: le sinusoidi che sommate tra di loro, a diversa ampiezza e a diversa frequenza, danno il segnale nel tempo. Teorema di Fourier: qualsiasi sia il segnale periodico è possibile estrarre le sinusoidi che sommate tra di loro danno il segnale. • L’analisi in frequenza di un segnale o analisi di Fourier (o analisi spettrale) descrive il segnale y(t) come somma di sinusoidi in numero eventualmente illimitato; • Verrà inizialmente considerato il caso di un segnale periodico di periodo T; questo mediante la serie di Fourier viene descritto come somma di coseni e seni con frequenza pari alla frequenza fondamentale f 1 =1/T e con frequenza multipla (componenti armoniche) f k =k/T; • La trasformata di Fourier generalizza questo concetto a funzioni aperiodiche. Analisi di Fourier: nota anche come analisi armonica, di Jean Baptiste Joseph Fourier, dice che qualunque funzione periodica poteva essere scomposta in una somma di infinite "opportune" funzioni o componenti sinusoidali (seno e coseno) dette armoniche. Da tale constatazione nasce dunque l'idea di scomporre funzioni complicate in una serie di funzioni, nota come serie di Fourier, rendendone l'analisi più semplice e vantaggiosa. Dal concetto matematico di serie di Fourier discende anche la nozione di trasformata di Fourier ed il relativo concetto associato di dominio della frequenza. Nella pratica il segnale non è periodico. Il primo trucco e renderlo periodico, tagliando solo un pezzo e facendo coincidere inizio e fine in modo ripetitivo. Dobbiamo spostare il segnale in uno spettro di frequenza. La banda del segnale va dalla frequenza più bassa alla frequenza più alta. Nell’elettroencefalogramma va da 0,1 a 70 Hz. SCOMPOSIZIONE DI FUNZIONI PERIODICHE Consideriamo un segnale con periodo 0.2 sec (freq. fondamentale 5 Hz) costituito da 3 armoniche:

Si nota che l’andamento del segnale su un periodo descritto dal valore di y per tu...