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Física Básica Experimental IV: Circuitos y Electrónica
Análisis de circuitos eléctricos (2)...

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Física Básica Experimental IV: Circuitos y Electrónica Análisis de circuitos eléctricos

Análisis de Circuitos (2) EQUIVALENTE THEVENIN El equivalente de Thévenin indica que todo circuito lineal compuesto por resistencias y fuentes dependientes (y lineales) y fuentes independientes puede reemplazarse por un circuito equivalente compuesto únicamente por una fuente de tensión VTh en serie con una resistencia RTh. El objetivo del circuito equivalente de Thévenin es reducir una parte de un circuito a sólo dos elementos, de forma que sea más sencilla su resolución.

El valor de la fuente de tensión será igual a la diferencia de potencial que aparece entre los terminales del circuito, y la resistencia, RTh, será de valor igual a la que aparece entre los terminales cuando se anulan todas las fuentes independientes del circuito. Puede ocurrir que la resistencia equivalente RTh adquiera un valor negativo. En este caso, la resistencia negativa indica que el circuito aporta potencia. Este caso se podrá producir en circuitos con fuentes dependientes. Para poder aplicar el equivalente de Thévenin necesitaremos calcular el valor de la tensión VTh (Tensión Thévenin) y la resistencia RTh (Resistencia Thévenin). Cálculo de VTh Aislamos la parte del circuito que se pretende sustituir por su equivalente Thévenin del resto del circuito. A continuación calculamos la tensión entre los terminales A y B cuando están en circuito abierto, obteniendo VAB. La tensión Thévenin vale: VTh = VAB

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Cálculo de RTh Existen varios métodos para calcular la resistencia Thévenin: a) Se calcula la intensidad ICC cuando los terminales A y B están en cortocircuito. Una vez obtenida, la resistencia Thévenin vale: RTh = VTh / ICC b) Se anulan todas las fuentes independientes de tensión e intensidad. Para ello se sustituyen todas las fuentes de tensión por cortocircuitos y las fuentes de intensidad por circuitos abiertos. La resistencia Thévenin, entonces, es igual a la resistencia de entrada RIN vista entre los terminales A y B. Normalmente este método es más rápido que el anterior, pero sólo es aplicable cuando el circuito posea fuentes independientes y resistencias (no fuentes dependientes). c) En una tercera forma, valida para fuentes dependientes e independientes, se anulan todas las fuentes independientes y conectamos en los terminales a-b una fuente de tensión de valor arbitrario. La resistencia de Thévenin, que será la resistencia de entrada del circuito, obtenida a partir del calculo de la corriente i0 que entra en el circuito y aplicando la ley de Ohm: Rin = RTh = v0 / i0 EQUIVALENTE NORTON Es un equivalente similar al de Thévenin que establece que un circuito lineal de dos terminales puede ser reemplazado por un circuito equivalente que consta de una fuente de corriente IN en paralelo con una resistencia RN.

La obtención de la resistencia equivalente se realiza de la misma manera que en el equivalente Thévenin y por tanto ambas resistencias coinciden: RTh = RN

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La corriente equivalente IN se obtiene como la corriente que circula entre los terminales cuando están cortocircuitados. Los equivalentes de Thévenin y Norton están interrelacionados a través de la transformación de fuentes también conocida transformación Thévenin-Norton. La fuente de tensión en serie con una resistencia puede sustituirse por una fuente de corriente en paralelo con la resistencia.

IN =

VTh , RTh

VTh = IN··RTh

MAXIMA TRANSFERENCIA DE POTENCIA Las fuentes de tensión reales disponen de una resistencia interna representada por RS. Cuando la fuente es conectada a una carga, representada por RL, el voltaje que aporta la fuente en circuito abierto, v, no cae únicamente en los terminales de la carga sino que parte también cae en los terminales de la resistencia interna. La potencia que entrega dicha fuente a la resistencia de carga es: 2

 v ·RL  1 p=  ·  RS + RL  RL La figura siguiente muestra la transferencia de potencia a la carga en función del valor de la misma.

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La transferencia de potencia a la carga es máxima cuando la resistencia de carga es igual a la resistencia interna de la fuente RS. En ese caso pMAX =

v2 4·RS

El equivalente Thévenin es muy útil para determinar la máxima potencia que puede transferir un circuito lineal a una carga. Sustituyendo el circuito por su equivalente Thévenin, podemos determinar que para que la transferencia de potencia sea máxima, la carga debe ser igual a la resistencia del equivalente Thévenin, y la potencia máxima será: pMAX =

2 vTh 4·RTh

EJERCICIOS RESUELTOS Ejemplo 1: Encontrar el circuito equivalente Thévenin del circuito de la figura en los terminales a-b y la máxima potencia que puede transferir el circuito.

Calculamos RTh apagando la fuente de voltaje de 32 V (remplazándola con un cortocircuito) y la fuente de corriente de 2 A (remplazándola con un circuito abierto). El circuito se simplifica al mostrado en la Figura (a).

(a)

(b)

Así RTh es: RTh = 4 || 12 + 1 =

4·12 +1 = 4 Ω 4 + 12

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Para calcular VTh, consideramos el circuito de la Figura (b). Ignoramos la Resistencia de 1 Ω dado que no le atraviesa ninguna corriente. La tensión en los terminales ab, VTh, es la misma que la tensión que cae en la resistencia de 12 Ω. Aplicando las reglas de Kirchhoff: Nodo A: Malla L1:

I1 + 2 – I2 = 0 -32 + 4· I1 + 12· I2 = 0

Resolviendo el sistema, I2= 40/16 A, por tanto VTh = 12 · I2 = 12· 40/16 = 30 V Así el circuito equivalente Thévenin en los terminales ab es:

La máxima potencia que puede transferir el circuito a una carga se produce cuando la resistencia de carga es igual a RTh. En ese caso la potencia transferida es:

PMAX =

VTh2 4·RTh

=

30 2 900 = = 56.25W 4·4 16

Ejemplo 2: Encontrar el equivalente Thévenin del circuito de la figura.

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El circuito contiene una fuente dependiente y se puede (y a veces es muy conveniente) utilizar un método alternativo para obtener la resistencia equivalente. Para encontrar RTh, anulamos todas las fuentes independientes pero mantenemos las fuentes dependientes. Para calcular la resistencia equivalente, conectamos en los terminales a-b una fuente de tensión de valor arbitrario, 1 voltio en ente caso. El objetivo es calcular la corriente i0 para poder obtener la Resistencia de Thévenin como RTh = v0 / i0 = 1 / i0

Aplicando las leyes de Kirchhoff: Lazo 1: - 6·i1 - 2 i0 + v0 = 0 Lazo 2: - vX - 2 vX + 6·i1 = 0 Nudo A: i0 - i1 - i2 - i3 = 0 Nudo B: i3 + i2 – i4 = 0 i2 = 2·vX / 2 i4 = vX / 4 Resolviendo este sistema obtenemos: i0 = 1/6 A Así la resistencia de equivalente es: RTh = v0 / i0 = 1 V / ( 1/6 A) = 6 Ω Para calcular la tensión de Thévenin, calculamos la tensión en circuito abierto vOC entre los bornes ab.

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Aplicando las leyes de Kirchhoff: Lazo 1: - vx- 2 vx + VOC = 0 Nudo A: 5 - i1 - i2 - i3 = 0 Nudo B: i2 + i3 – i4 = 0 i1 = vx / 4 i2 = - 2·vx / 2 i4 = VOC / 6 Resolviendo este sistema obtenemos: VTh = 20 V Ejemplo 3: Calcular el equivalente Norton en los terminales a-b del circuito de la Figura

Podemos encontrar RN de la misma manera que calculamos RTh en el circuito equivalente Thévenin. Anulamos las fuentes independientes, reduciendo el circuito al de la figura (a),

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(a)

(b)

del cual podemos calcular RN como: RN = 5 || (8 + 4 + 8) =

5·20 =4Ω 5 + 20

Para encontrar IN, cortocircuitamos los terminales a – b como se presenta en la figura (b). Se ignora la resistencia de 5 Ω porque está cortocircuitada. Aplicando las leyes de Kirchhoff obtenemos:

Nodo A: 2+ I1 - IN = 0 Malla 1: -12 + 4·I1 + 8·IN + 8·IN = 0 De estas expresiones obtenemos, IN = 1 A

Así el circuito equivalente Norton en los terminales ab es:

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EJERCICIOS A RESOLVER

Ejercicio 1: Calcular los equivalentes Thévenin y Norton en los terminales a-b del circuito de la Figura siguiente y la máxima potencia que puede transferir el circuito:

Respuesta: VTh = 92 V, IN = 3,29 A, RTh = 28 Ω, PMAX = 75,6 W

Ejercicio 2: Calcular los equivalentes Thévenin y Norton del circuito visto por la resistencia de 6 Ω en los terminales a-b del circuito de la Figura, calcular iX y la máxima potencia que puede transferir el circuito.

Respuesta: VTh = 0 V, IN = 0 A, RTh = 10 Ω, iX = 0 A, PMAX= 0 W

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Ejercicio 3: Calcular los equivalentes Thévenin y Norton a la izquierda de los terminales a-b del circuito de la Figura, calcular i y la potencia que transfiere el circuito a la resistencia de 1 Ω.

Respuesta: VTh = 6 V, IN = 2 A, RTh = 3 Ω, i = 1.5 A, P = 2,25 W Ejercicio 4: Calcular los equivalentes Thévenin y Norton en los terminales a-b del circuito de la Figura y la máxima potencia que puede transferir el circuito.

Respuesta: VTh = -3 V, IN = -0,5 A, RTh = 6 Ω, PMAX= 0,375 W Ejercicio 5: Calcular los equivalentes Thévenin y Norton en los terminales a-b del circuito de la Figura y la máxima potencia que puede transferir el circuito.

Respuesta: VTh = 6 V, IN = 2,4 A, RTh = 2,5 Ω, PMAX= 3,6 W 10 / 21

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Ejercicio 6: Calcular el valor de la resistencia de carga RL para que la potencia que le transfiere el circuito de la figura sea máxima.¿Cuál es valor de la potencia transferida?

Respuesta: RL = 8/5 Ω, P = 5/8 W

Ejercicio 7: Calcular el valor de la resistencia de carga RL para que la potencia que le transfiere el circuito de la figura sea máxima.¿Cuál es valor de la potencia transferida?

Respuesta: RL = 4,22 Ω, P = 2,9 W

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SUPERPOSICIÓN El principio de superposición permite determinar el valor de una variable específica (tensión o corriente) de un circuito lineal con varias fuentes independientes como la suma de las contribuciones de cada una de las fuentes por separado a dicha variable del circuito. Si el circuito dispone de fuentes independientes, para obtener la respuesta debida únicamente a cada fuente, se anula el resto de fuentes. Así las fuentes de tensión se sustituyen por cortocircuitos y las fuentes de corriente por circuitos abiertos. Si el circuito dispone de fuentes dependientes, estas se mantienen intactas dado que están controladas por variables del circuito. Pasos para aplicar el principio de superposición: 1. Apagar todas las fuentes independientes salvo una. Calcular mediante el método más adecuado la variable deseada (voltaje o corriente) debida a fuente activa. 2. Repetir el paso anterior para cada una de las Fuentes independientes. 3. Encontrar la contribución total mediante la suma algebraica de todas las contribuciones debidas a fuentes independientes. El análisis de circuitos mediante superposición tiene la desventaja de que requiere más trabajo, dado que el análisis del circuito se debe realizar N veces, siendo N el número de fuentes independientes. Sin embargo, la superposición permite simplificar el circuito al sustituir las fuentes dependientes no activas por cortocircuitos o circuitos abiertos. La superposición se basa en la propiedad de linealidad. Por tanto no se aplica al cálculo de la potencia en una resistencia debida a cada fuente, dado que la potencia absorbida depende del cuadrado de la tensión o la corriente. EJERCICIOS RESUELTOS: Ejemplo 4: Usar el principio de superposición para encontrar v en el circuito de la figura:

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El circuito dispone de dos fuentes, así podemos sacar v como: v = v1 + v2 Donde v1 y v2 son las contribuciones debido a la fuente de voltaje de 6 V y a la fuente de corriente de 3 A respectivamente. Para obtener v1 se pone a cero la fuente de corriente, Figura (a).

(a)

(b)

Aplicando KVL se obtiene: 12 · i1 − 6 = 0  i1 = 0.5 A Por tanto, v1 = 4·i1 = 2 V Para obtener v1 también se podría haber utilizado el divisor de tensión. Para obtener v2, se fija la fuente de tensión a cero, Figura (b). En el divisor de corriente resultante se obtiene i3 como: i3 =

8 ·3 = 2A 3 +8

Por tanto v2 = 4·i3 = 8 V Así finalmente v es: v = v1 + v2 = 2 + 8 = 10 V

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Ejemplo 5 Encontrar i0 en el circuito de la figura utilizando superposición.

El circuito utiliza fuentes dependientes que deben mantenerse intactas. Tomamos la corriente requerida i0 como: i0 = i0’ + i0’’

donde i0’ e i0’’ son corrientes debidas a la fuente de corriente de 4 A y a la fuente de voltaje de 20 V respectivamente. Para obtener i0’ apagamos la fuente de tensión de 20 V obteniendo el circuito de la figura siguiente (a). Aplicando las leyes de Kirchhoff:

Nodo A: Nodo C: Nodo D: Malla L1: Malla L2:

4 - i2 − i4 = 0 i0’ + i3 - 4 = 0 i4 + i5 - i0’ = 0 -5· i0’ – 1· i5 + 5·i0’+4· i3 = 0 -3· i4 + 2· i2 - 5·i0’+ 1· i5 = 0

Combinando las expresiones anteriores se obtiene: i0 ' =

52 A 17

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(a)

(b)

Para obtener i0’’ apagamos la fuente de corriente de 4 A, obteniendo el circuito de la figura b. Aplicando las reglas de Kirchhoff: Nodo A: Malla 1: Malla 2:

i1 − i2 − i0’’ = 0 - 5 i0’’ - i1 + 5· i0’’ -4· i0” - 20 = 0 3·i2 + 2·i2 – 5· i0’’ + i1 = 0

De donde obtenemos i0’’: i0 ´´ = −

60 A 17

La corriente i0 solicitada es: i0 =

52 60 A = − 0,4706 A − 17 17

EJERCICIOS A RESOLVER Ejercicio 8: Utilizando el principio de superposición, calcular la tensión v en el circuito de la figura:

12 V

Respuesta: v = 12 V.

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Ejercicio 9: Utilizando el principio de superposición, calcular la corriente I en el circuito de la figura:

Respuesta: I = 2 A Ejercicio 10: Utilizando el principio de superposición, calcular la tensión vX en el circuito de la figura:

Respuesta: vx = 12,5 V. Ejercicio 11: Utilizando el principio de superposición, calcular la tensión vX en el circuito de la figura:

Respuesta: vx = – 117,6 mV 16 / 21

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Ejercicio 12: Utilizando el principio de superposición, calcular la corriente I en el circuito de la figura:

Respuesta: I = 0,75 A. TECNICAS DE RESOLUCIÓN DE CIRCUITOS: NUDOS Y MALLAS EJERCICIOS A RESOLVER Ejercicio 13: Utilizando la técnica de nudos calcular v1, v2 y la potencia disipada en las resistencias.

7,5 A

Respuesta: v1 = 12 V, v2 = -6 V, P4Ω = 81 W, P8Ω = 18 W, P2Ω = 18 W Ejercicio 14: Utilizando la técnica de nudos calcular v1 y v2.

Respuesta: v1 = 0 V, v2 = 12 V 17 / 21

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Ejercicio 15: Utilizando la técnica de nudos calcular v0

Respuesta: v0 = 2 V Ejercicio 16: Utilizando la técnica de nudos calcular v0

Respuesta: v0 = 3,65 V Ejercicio 17: Utilizando la técnica de nudos calcular i0

Respuesta: i0 = – 4 A

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Ejercicio 18: Utilizando la técnica de nudos calcular i1 e i2

Respuesta: i1 = 1 A, i2 = 2 A Ejercicio 19: Utilizando la técnica de nudos calcular v0

Respuesta: v0 = 20 V Ejercicio 20: Utilizando la técnica de mallas calcular v0

Respuesta: v0 = 20 V 19 / 21

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Ejercicio 21: Utilizando la técnica de mallas calcular i0

Respuesta: i0 = –1,733 A Ejercicio 22: Utilizando la técnica de mallas calcular i

Respuesta: i = 8,56 A Ejercicio 23: Utilizando la técnica de mallas calcular i0

Respuesta: i0 = 1,73 A

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Ejercicio 24: Utilizando la técnica de mallas calcular v0 e i0

Respuesta: v0 = 33,78 V, i0 = 10,67 A

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