Analisis Real I Hand Out PDF

Preview

Summary

Hand Out MATA KULIAH ANALISIS REAL I Disusun Oleh : La Ode Muhammad Agush Salam Dipergunakan untuk Mahasiswa S1 Prog. Studi Pend. Matematika Jurusan PMIPA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS HALUOLEO KENDARI 2006 Analisis Real I Aljabar Himpunan BAB 1 PENDAHULUAN Pada bab pertama ini, ...

Description

Hand Out

MATA KULIAH

ANALISIS REAL I

Disusun Oleh :

La Ode Muhammad Agush Salam

Dipergunakan untuk Mahasiswa S1 Prog. Studi Pend. Matematika Jurusan PMIPA

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS HALUOLEO KENDARI 2006 Analisis Real I

Aljabar Himpunan

BAB 1 PENDAHULUAN Pada bab pertama ini, kita akan membahas beberapa prasyarat yang diperlukan untuk mempelajari analisis real. Bagian 1.1 dan 1.2 kita akan mengulang sekilas tentang aljabar himpunan dan fungsi, dua alat yang penting untuk semua cabang matematika. Pada bagian 1.3 kita akan memusatkan perhatian pada metoda pembuktian yang disebut induksi matematika. Ini berhubungan dengan sifat dasar sistem bilangan asli, dan walaupun penggunaannya terbatas pada masalah yang khusus tetapi hal ini penting dan sering digunakan.

1.1. Aljabar Himpunan Bila A menyatakan suatu himpunan dan x suatu unsurnya, kita akan tuliskan dengan x∈A, untuk menyingkat pernyataan x suatu unsur di A, atau x anggota A, atau x termuat di A, atau A memuat x. Bila x suatu unsur tetapi bukan di A kita tuliskan dengan x∉A. Bila A dan B suatu himpunan sehingga x∈A mengakibatkan x∈B (yaitu, setiap unsur di A juga unsur di B), maka kita katakan A termuat di B, atau B memuat A atau A suatu subhimpunan dari B, dan dituliskan dengan A ⊆ B atau B ⊇ A. Bila A ⊆ B dan terdapat unsur di B yang bukan anggota A kita katakan A subhimpunan sejati dari B. Analisis Real I

2

Pendahuluan

1.1.1. Definisi. Dua himpunan A dan B dikatakan sama bila keduanya memuat unsurunsur yang sama. Bila himpunan A dan B sama, kita tuliskan dengan A = B Untuk membuktikan bahwa A = B, kita harus menunjukkan bahwa A ⊆ B dan B ⊆ A. Suatu himpunan dapat dituliskan dengan mendaftar anggota-anggotanya, atau dengan menyatakan sifat keanggotaan himpunan tersebut. Kata “sifat keanggotaan” memang menimbulkan keraguan. Tetapi bila P menyatakan sifat keanggotaan (yang tak bias artinya) suatu himpunan, kita akan tuliskan dengan {xP(x)} untuk menyatakan himpunan semua x yang memenuhi P. Notasi tersebut kita baca dengan “himpunan semua x yang memenuhi (atau sedemikian sehinga) P”. Bila dirasa perlu menyatakan lebih khusus unsur-unsur mana yang memenuhi P, kita dapat juga menuliskannya dengan { x∈SP(x)} untuk menyatakan sub himpunan S yang memenuhi P. Beberapa himpunan tertentu akan digunakan dalam bukti ini, dan kita akan menuliskannya dengan penulisan standar sebagai berikut : •

Himpunan semua bilangan asli, N = {1,2,3,...}

•

Himpunan semua bilangan bulat, Z = {0,1,-1,2,-2,...}

•

Himpunan semua bilangan rasional, Q = {m/n  m,n ∈ Z, n≠0}

•

Himpunan semua bilangan real, R.

Contoh-contoh : (a). Himpunan {x ∈ N x2-3x+2=0}, menyatakan himpunan semua bilangan asli yang memenuhi x2 - 3x + 2 = 0. Karena yang memenuhi hanya x = 1 dan x = 2, maka himpunan tersebut dapat pula kita tuliskan dengan {1,2}. (b). Kadang-kadang formula dapat pula digunakan untuk menyingkat penulisan himpunan. Sebagai contoh himpunan bilangan genap positif sering dituliskan dengan {2x x∈ N}, daripada {y∈ N y = 2x, x∈ N}. Analisis Real I

3

Aljabar Himpunan

Operasi Himpunan Sekarang kita akan mendefinisikan cara mengkonstruksi himpunan baru dari himpunan yang sudah ada. 1.1.2. Definisi. (a). Bila A dan B suatu himpunan, maka irisan (=interseksi) dari A ⊂ B dituliskan dengan A∩B, adalah himpunan yang unsur-unsurnya terdapat di A juga di B. Dengan kata lain kita mempunyai A∩B = {x x∈A dan x∈B}. (b). Gabungan dari A dan B, dituliskan dengan A∪B, adalah himpunan yang unsurunsurnya paling tidak terdapat di salah satu A atau B. Dengan kata lain kita mempunyai A∪B = {x x∈A atau x∈B}. 1.1.3. Definisi. Himpunan yang tidak mempunyai anggota disebut himpunan kosong, dituliskan dengan { } atau ∅. Bila A dan B dua himpunan yang tidak mempunyai unsur bersama (yaitu, A∩B = ∅), maka A dan B dikatakan saling asing atau disjoin. Berikut ini adalah akibat dari operasi aljabar yang baru saja kita definisikan. Karena buktinya merupakan hal yang rutin, kita tinggalkan kepada pembaca sebagai latihan. 1.1.4. Teorema. Misalkan A,B dan C sebarang himpunan, maka (a). A∩A = A, A∪A = A; (b). A∩B = B∩A, A∪B = B∪A; (c). (A∩B) ∩C = A∩(B ∩C), (A∪B)∪C = A∪(B∪C); (d). A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C), A∪(B ∩C) = (A∪B) ∩ (A∪C); Kesamaan ini semua berturut-turut sering disebut sebagai sifat idempoten, komutatif, asosiatif dan distributif, operasi irisan dan gabungan himpunan. Melihat kesamaan pada teorema 1.1.4(c), biasanya kita tanggalkan kurung dan cukup ditulis dengan A∩B ∩C,

Analisis Real I

A∪B∪C.

4

Pendahuluan

Dimungkinkan juga untuk menunjukkan bahwa bila {A1,A2, ,An} merupakan koleksi himpunan, maka terdapat sebuah himpunan A yang memuat unsur yang merupakan pa-ling tidak unsur dari suatu Aj, j = 1,2,...,n ; dan terdapat sebuah himpunan B yang unsur-unsurnya merupakan unsur semua himpunan Aj, j=1,2,...,n. Dengan menanggalkan kurung, kita tuliskan dengan A = A1 ∪A2 ∪ ∪ An = {x x∈Aj untuk suatu j}, B = A1 ∩ A2...∩An = {x x∈Aj untuk semua j}. Untuk mempersingkat penulisan, A dan B di atas sering dituliskan dengan n

A=

UAj j=1 n

B=

IAj j=1

Secara sama, bila untuk setiap j unsur di J terdapat himpunan Aj, maka

U Aj j∈J

menyatakan himpunan yang unsur-unsurnya paling tidak merupakan unsur dari salah satu Aj. Sedangkan

I A j , menyatakan himpunan yang unsur-unsurnya adalah unsur j∈J

semua Aj untuk j∈J. 1.1.5. Definisi. Bila A dan B suatu himpunan, maka komplemen dari B relatif terhadap A, dituliskan dengan A\B (dibaca “A minus B”) adalah himpunan yang unsurunsurnya adalah semua unsur di A tetapi bukan anggota B. Beberapa penulis menggunakan notasi A - B atau A ~ B. Dari definisi di atas, kita mempunyai A\B = {x ∈ A x ∉ B}. Seringkali A tidak dinyatakan secara eksplisit, karena sudah dimengerti/disepakati. Dalam situasi begini A\B sering dituliskan dengan C(B). 1.1.6. Teorema. Bila A,B,C sebarang himpunan, maka A\(B∪C) = (A\B)∩(A\C), A\(B∩C) = (A\B) ∪(A\C).

Analisis Real I

5

Aljabar Himpunan

Bukti : Kita hanya akan membuktikan kesamaan pertama dan meninggalkan yang kedua sebagai latihan bagi pembaca. Kita akan tunjukkan bahwa setiap unsur di A\(B∪C) termuat di kedua himpunan (A\B) dan (A\C), dan sebaliknya. Bila x di A\(B∪C), maka x di A, tetapi tidak di B∪C. Dari sini x suatu unsur di A, tetapi tidak dikedua unsur B atau C. (Mengapa?). Karenanya x di A tetapi tidak di B, dan x di A tetapi tidak di C. Yaitu x ∈ A\B dan x ∈ A\C, yang menunjukkan bahwa x ∈(A\B)∩(A\C). Sebaliknya, bila x ∈(A\B)∩(A\C), maka x ∈(A\B)dan x ∈ (A\C). Jadi x ∈ A tetapi bukan anggota dari B atau C. Akibatnya x ∈ A dan x ∉ (B∪C), karena itu x ∈ A\(B∪C). Karena himpunan (A\B)∩(A\C) dan A\(B∪C).memuat unsur-unsur yang sama, menurut definisi 1.1.1 A\(B∪C).= (A\B)∩(A\C).

Produk (hasil kali) Cartesius Sekarang kita akan mendefinisikan produk Cartesius. 1.1.7. Definisi. Bila A dan B himpunan-himpunan yang tak kosong, maka produk cartesius A×B dari A dan B adalah himpunan pasangan berurut (a,b) dengan a∈ A dan b ∈ B. Jadi bila A = {1,2,3} dan B = {4,5}, maka A×B = {(1,4),(1,5),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5)}

Latihan 1.1. 1. Gambarkan diagram yang menyatakan masing-masing himpunan pada Teorema 1.1.4. 2. Buktikan bagian (c) Teorema 1.1.4. 3. Buktikan bagian kedua Teorema 1.1.4(d). 4. Buktikan bahwa A ⊆ B jika dan hanya jika A∩B = A.

Analisis Real I

6

Pendahuluan

5. Tunjukkan bahwa himpunan D yang unsur-unsurnya merupakan unsur dari tepat satu himpunan A atau B diberikan oleh D = (A\B) ∪ (B\A). Himpunan D ini sering disebut dengan selisih simetris dari A dan B. Nyatakan dalam diagram. 6. Tunjukkan bahwa selisih simetris D di nomor 5, juga diberikan oleh D = (A∪B)\(A∩B). 7. Bila A ⊆ B, tunjukkan bahwa B = A\(A\B). 8. Diberikan himpunan A dan B, tunjukkan bahwa A∩B dan A\B saling asing dan bahwa A = (A∩B) ∪ (A\B). 9. Bila A dan B sebarang himpunan, tunjukkan bahwa A∩B = A\(A\B). 10. Bila {A1, A2, ... , An} suatu koleksi himpunan, dan E sebarang himpunan, tunjukn

n

n

n

j=1

j=1

j=1

j=1

kan bahwa E ∩ U A j = U (E ∩ A j ), E ∪ U A j = U (E ∪ A j ) 11. Bila {A1, A2, ... , An} suatu koleksi himpunan, dan E sebarang himpunan, tunjukn

n

n

n

j=1

j=1

j=1

j =1

kan bahwa E ∩ I A j = I (E ∩ A j ), E ∪ I A j = I (E ∪ A j ) 12. Misalkan E sebarang himpunan dan {A1, A2, ... , An} suatu koleksi himpunan. Buktikan Hukum De Morgan n

n

n

n

j=1

j =1

j=1

j=1

E \ I A j = U (E \ A j ), E \ U A j = I (E \ A j ). Catatan bila E\Aj dituliskan dengan C(Aj), maka kesamaan di atas mempunyai bentuk n n  n   n  C  I A j = U C A j , C U A j = I C A j .  j =1  j=1  j=1  j=1

( )

( )

13. Misalkan J suatu himpunan dan untuk setiap j∈J, Aj termuat di E. Tunjukkan bahwa     C  I A j = U C A j , C U A j = I C A j .  j∈J  j∈J  j∈J  j∈J

( )

( )

14. Bila B1 dan B2 subhimpunan dari B dan B = B1 ∪ B2, tunjukkan bahwa Analisis Real I

7

Aljabar Himpunan

A×B = (A×B1) ∪ (A×B2).

1.2. Fungsi. Sekarang kita kembali mendiskusikan gagasan fundamental suatu fungsi atau

pemetaan. Akan kita lihat bahwa fungsi adalah suatu jenis khusus dari himpunan, walaupun terdapat visualisasi lain yang sering lebih bersifat sugesti. Semua dari bagian terakhir ini akan banyak mengupas jenis-jenis fungsi, tetapi sedikit abstrak dibandingkan bagian ini. Bagi matematikawan abad terdahulu kata “fungsi” biasanya berarti rumus tertentu, seperti

f(x) = x2 + 3x -5 yang bersesuaian dengan masing-masing bilangan real x dan bilangan lain f(x). Mungkin juga seseorang memunculkan kontroversi, apakah nilai mutlak

h(x) = x dari suatu bilangan real merupakan “fungsi sejati” atau bukan. Selain itu definisi xdiberikan pula dengan  x, bila x ≥ 0 x=  − x, bila x < 0 Dengan berkembangnya matematika, semakin jelas bahwa diperlukan definisi fungsi yang lebih umum. Juga semakin penting untuk kita membedakan fungsi sendiri dengan nilai fungsi itu. Di sini akan mendefinisikan suatu fungsi dan hal ini akan kita lakukan dalam dua tahap.

Definisi pertama : Suatu fungsi f dari himpunan A ke himpunan B adalah aturan korespondensi yang memasangkan masing-masing unsur x di A secara tunggal dengan unsur f(x) di B. Definisi di atas mungkin saja tidak jelas, dikarenakan ketidakjelasan frase “aturan korespondensi”. Untuk mengatasi hal ini kita akan mendefinisikan fungsi de-ngan menggunakan himpunan seperti yang telah dibahas pada bagian sebelumnya.

Analisis Real I

8

Pendahuluan

De-ngan pendefinisian ini dapat saja kita kehilangan kandungan intuitif dari definisi terdahulu, tetapi kita dapatkan kejelasan. Ide dasar pendefinisian ini adalah memikirkan gambar dari suatu fungsi; yaitu, suatu korelasi dari pasangan berurut. Bila kita perhatikan tidak setiap koleksi pasangan berurut merupakan gambar suatu fungsi, karena sekali unsur pertama dalam pasangan berurut diambil, unsur keduanya ditentukan secara tunggal.

1.2.1. Definisi. Misalkan A dan B himpunan suatu fungsi dari A ke B adalah himpunan pasangan berurut f di A×B sedemikian sehingga untuk masing-masing a ∈ A terdapat b ∈ B yang tunggal dengan (a,b),(a,b’) ∈ f, maka b = b’. Himpunan A dari unsur-unsur pertama dari f disebut daerah asal atau “domain” dari f, dan dituliskan D(f). Sedangkan unsur-unsur di B yang menjadi unsur kedua di f disebut “range” dari

f dan dituliskan dengan R(f). Notasi f:A→B menunjukkan bahwa f suatu fungsi dari A ke B; akan sering kita katakan bahwa f suatu pemetaan dari A ke dalam B atau f memetakan A ke dalam B. Bila (a,b) suatu unsur di f, sering ditulis dengan b = f(a) daripada (a,b) ∈ f. Dalam hal ini b merupakan nilai f di titik a, atau peta a terhadap f.

Pembatasan dan Perluasan Fungsi Bila f suatu fungsi dengan domain D(f) dan D1 suatu subhimpunan dari D(f), seringkali bermanfaat untuk mendefinisikan fungsi baru f1 dengan domain D1 dan

f1(x) = f(x) untuk semua x ∈ D1. Fungsi f1 disebut pembatasan fungsi f pada D1. Menurut definisi 1.2.1, kita mempunyai

f1 = { (a,b) ∈ f a ∈ D1} Kadang-kadang kita tuliskan f1 = f D1 untuk menyatakan pembatasan fungsi f pada himpunan D1.

Analisis Real I

9

Aljabar Himpunan

Konstruksi serupa untuk gagasan perluasan. Bila suatu fungsi dengan domain D(g) dan D2 ⊇ D(g), maka sebarang fungsi g2 dengan domain D2 sedemikian sehingga

g2(x) = g(x) untuk semua x ∈ D(g) disebut perluasan g pada himpunan D2.

Bayangan Langsung dan Bayangan Invers Misalkan f : A → B suatu fungsi dengan domain A dan range B.

1.2.2. Definisi. Bila E subhimpunan A, maka bayangan langsung dari E terhadap f adalah sub himpunan f(E) dari B yang diberikan oleh

f(E) = {f(x) : x ∈ E}. Bila H subhimpunan E, maka bayangan invers dari H terhadap f adalah subhimpunan

f-1(H) dari A, yang diberikan oleh f-1(H) = { x ∈ A : f(x) ∈ H} Jadi bila diberikan himpunan E ⊆ A, maka titik y1 ∈ B di bayangan langsung

f(E) jika dan hanya jika terdapat paling tidak sebuah titik x1 ∈ E sedemikian sehingga y1 = f(x1). Secara sama, bila diberikan H⊆B, titik x2∈A di dalam bayangan invers f1

(H) jika dan hanya jika y2 = f(x2) di H.

1.2.3. Contoh. (a). Misalkan f : R → R didefinisikan dengan f(x) = x2. Bayangan langsung himpunan E = {x 0 ≤ x ≤ 2} adalah himpunan f(E) = {y 0 ≤ y ≤ 4}. Bila G = {y 0 ≤ y ≤ 4}, maka bayangan invers G adalah himpunan f-1(G) = {x -2 ≤ x ≤ 2}. Jadi f-1(f(E)) ≠ E. Disatu pihak, kita mempunyai f(f-1(G)) = G. Tetapi bila H = {y -1 ≤ y ≤ 1}, maka kita peroleh f(f-1(H)) = {x 0 ≤ x ≤ 1} ≠ H. (b). Misalkan f : A → B, dan G,H subhimpunan dari B kita akan tunjukkan bahwa

f-1(G∩H) ⊆ f-1(G)∩ f-1(H) Kenyataannya, bila x ∈ f-1(G∩H) maka f(x) ∈ G∩H, jadi f(x) ∈ G dan f(x) ∈ H. Hal ini mengakibatkan x ∈ f-1(G) dan x ∈ f-1(H). Karena itu x ∈ f-1(G)∩ f-1(H), bukti selesai. Sebaliknya, f-1(G∩H) ⊇ f-1(G)∩ f-1(H) juga benar, yang buktinya ditinggalkan sebagai latihan. Analisis Real I

10

Pendahuluan

Sifat-sifat Fungsi 1.2.4. Definisi. Suatu fungsi f : A → B dikatakan injektif atau satu-satu bila x1 ≠ x2, mengakibatkan f(x1) ≠ f(x2). Bila f satu-satu, kita katakan f suatu injeksi. Secara ekivalen, f injektif jika dan hanya jika f(x1) = f(x2) mengakibatkan x1 = x2, untuk semua x1,x2 di A. Sebagai contoh, misalkan A = {x ∈ R x ≠ 1} dan f : A → R dengan f(x) = x . Untuk menunjukkan f injektif, asumsikan x1,x2 di A sehingga f(x1) = f(x2). x −1 Maka kita mempunyai

x1 x2 = x1 − 1 x 2 − 1 yang mengakibatkan (mengapa?) bahwa

x1 x2 = dan dari sini x1 = x2. Karena x1 − 1 x 2 − 1

itu f injektif.

1.2.5. Definisi. Suatu fungsi f : A → B dikatakan surjektif atau memetakan A pada B, bila f(A) = B. Bila f surjektif, kita sebut f suatu surjeksi. Secara ekivalen, f : A → B surjektif bila range f adalah semua dari B, yaitu untuk setiap y ∈ B terdapat x ∈ A sehingga f(x) = y. Dalam pendefinisian fungsi, penting untuk menentukan domain dan himpunan dimana nilainya diambil. Sekali hal ini ditentukan, maka dapat menanyakan apakah fungsi tersebut surjektif atau tidak.

1.2.6. Definisi. Suatu fungsi f : A → B dikatakan bijektif bila bersifat injektif dan surjektif. Bila f bijektif, kita sebut bijeksi.

Fungsi-fungsi Invers Bila f suatu fungsi dari A ke B, (karenanya, subhimpunan khusus dari A×B), maka himpunan pasangan berurut di B×A yang diperoleh dengan saling menukar unsur pertama dan kedua di f secara umum bukanlan fungsi. Tetapi, bila f injektif, maka penukaran ini menghasilkan fungsi yang disebut invers dari f.

Analisis Real I

11

Aljabar Himpunan

1.2.7. Definisi. Misalkan f : A → B suatu fungsi injektif dengan domain A dan range R(f) di B. Bila g = {(b,a)∈B×A (a,b) ∈ f}, maka g fungsi injektif dengan domain D(g) = R(f) dan range A. Fungsi G disebut fungsi invers dari f dan dituliskan dengan f-1. Dalam penulisan fungsi yang standar, fungsi f-1 berelasi dengan f sebagai berikut : y = f-1(y) jika dan hanya jika y = f(x). Sebagai contoh, kita telah melihat bahwa fungsi f(x) =

x didefinisikan unx −1

tuk x ∈ A = {x x ≠ 1} bersifat injektif. Tidak jelas apakah range dari f semua (atau hanya sebagian) dari R. Untuk menentukannya kita selesaikan persamaan y = dan diperoleh x =

x x −1

y . Dengan informasi ini, kita dapat yakin bahwa rangenya R(f) y −1

= {y y ≠ 1} dan bahwa fungsi invers dari f mempunyai domain {y y ≠ -1} dan f-1(y) =

y . y −1 Bila suatu fungsi injektif, maka fungsi inversnya juga injektif. Lebih dari itu,

fungsi invers dari f-1 adalah f sendiri. Buktinya ditinggalkan sebagai latihan.

Fungsi Komposisi Sering terjadi kita ingin mengkomposisikan dua buah fungsi denga mencari

f(x) terlebih dahulu, kemudian menggunakan g untuk memperoleh g(f(x)), tetapi hal ini hanya mungkin bila f(x) ada di domain g. Jadi kita harus mengasumsikan bahwa range dari f termuat di domain g.

1.2.8. Definisi. Untuk fungsi f : A → B dan g : B - C, komposisi fungsi gof (perhatikan urutannya!) adalah fungsi dari A ke C yang didefinisikan dengan gof(x) = g(f(x)) untuk x ∈ A.

1.2.9. Contoh. (a). Urutan komposisi harus benar-benar diperhatikan. Misalkan f dan g fungsi-fungsi yang nilainya di x ∈ R ditentukan oleh f(x) = 2x, Analisis Real I

g(x) = 3x2 - 1 12

Pendahuluan

Karena D(g) = R dan R(f) ⊆ R, maka domain D(gof) adalah juga R, dan fungsi komposisi gof ditentukan oleh

gof(x) = 3(2x)2 - 1 = 2x2 - 1 Di lain pihak, domain dari fungsi komposisi gof juga R, tetapi dalam hal ini kita mempunyai fog(x) = 2(3x2 - 1) = 6x2 - 2. Jadi fog ≠ gof. (b). Beberapa perhatian harus dilatih agar yakin bahwa range dari f termuat di domain dari g. Sebagai contoh, bila f(x) = 1 - x2 dan y = diberikan oleh gof(x) =

x , maka fungsi komposisi yang

1 − x 2 didefinisikan hanya pada x di D(f) yang memenuhi

f(x) ≥ 0; yaitu, untuk x memenuhi -1 ≤ x ≤ 1. Bila kita tukar urutannya, maka komposisi

fog, diberikan oleh gof(x) = 1 - x, didefinisikan untuk semua x di domain dari g; yaitu himpunan {x ∈ R : x ≥ 0}. Teorema berikut memperkenalkan hubungan antara komposisi fungsi dan petanya. Sedangkan buktinya ditinggalkan sebagai latihan.

1.2.10. Teorema. Misalkan f : A → B dan g : B → C fungsi dan H suatu subhimpunan dari C. Maka (fog)-1(H) = g-1 (f-1(H)). Sering terjadi bahwa komposisi dua buah fungsi mewarisi sifat-sifat fungsi yang didefinisikan. Berikut salah satunya dan buktinya ditinggalkan sebagai latihan.

1.2.11. Teorema. Bila f : A → B dan g : B → C keduanya bersifat injektif, maka komposisi gof juga bersifat injektif.

Barisan Fungsi dengan N sebagai domain memeainkan aturan yang sangat khusus dalam analisis, yang kita akan perkenalkan berikut ini.

1.2.12. Definisi. Suatu barisan dalam himpunan S adalah suatu fungsi yang domainnya himpunan bilangan asli N dan rangenya termuat di S. Untuk barisan X : N → S, nilai X di n∈N sering dituliskan dengan xn daripada (xn), dan nilainya sering disebut suku ke-n barisan tersebut. Barisan itu sendiri sering dituliskan dengan (xn  n ∈ N) atau lebih sederhana dengan (xn). Sebagai conAnalisis Real I

13

Al...