Hand Out Metode Numerik Gasal 2016 PDF

Preview

Summary

METODE NUMERIK UNTUK ILMU KOMPUTER & SAINS (Numerical Methods For Computer and Science) Lecture Module Version Materi diringkas dari Rinaldi Munir (Dosen ITB) Purwanto (Dosen Budi Luhur) Dosen Pengampu: Maxrizal. JURUSAN SISTEM INFORMASI STMIK ATMA LUHUR PANGKALPINANG 2016 1 DAFTAR ISI Daftar Is...

Description

METODE NUMERIK UNTUK ILMU KOMPUTER & SAINS (Numerical Methods For Computer and Science) Lecture Module Version

Materi diringkas dari Rinaldi Munir

(Dosen ITB)

Purwanto

(Dosen Budi Luhur)

Dosen Pengampu: Maxrizal.

JURUSAN SISTEM INFORMASI STMIK ATMA LUHUR PANGKALPINANG 2016 1

DAFTAR ISI

Daftar Isi ........................................................................................................................................ 2 Pertemuan 1. Pengantar Metode Numerik ..................................................................................... 3 Pertemuan 2. Deret Taylor & Analisa Galat ................................................................................... 6 Pertemuan 3. Metode Bisection ................................................................................................... 13 Pertemuan 4. Metode Regula Falsi.............................................................................................. 19 Pertemuan 5. Metode Newton Raphson ...................................................................................... 24 Pertemuan 6. Metode Secant ...................................................................................................... 31 Pertemuan 9. Metode Gauss Siedel ............................................................................................ 34 Pertemuan 10. Metode Eliminasi Gauss-Pivot ............................................................................. 41 Pertemuan 11. Interpolasi Lagrange ............................................................................................ 44 Pertemuan 12. Interpolasi Newton ............................................................................................... 47 Pertemuan 13. Integral Kuadratur ................................................................................................ 52 Pertemuan 14. Integral Trapesium............................................................................................... 56

2

Pertemuan 1 Pengantar Metode Numerik

A. Metode Numerik

Cara yang sistematis untuk menyelesaikan persoalan guna mencapai tujuan yang ditentukan disebut dengan metode. Sedangkan numerik adalah hal yang berhubungan dengan angka. Jadi operasi angka  , , ,: .

metode numerik adalah cara sistematis untuk menyelesaikan persoalan matematika dengan

B. Cara Penyelesaian Persoalan Matematika

Berikut ini diberikan beberapa contoh persoalan matematika yaitu; a. Tentukan akar polinomial dari 3x10  4 x4  100  0

b. Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan

 3

c. Hitunglah nilai integral berikut

1,5

3x  x 4 dx ex

x2 1  esin x 4x

Untuk solusi permasalahan diatas dapat dihitung dengan cara; a. Analitik Menggunakan rumus baku dan teorema yang ada di matematika (rumus aljabar).

Contoh:

Carilah akar-akar dari persamaan x2  5x  6  0 . Jawab: Cara analitik yang ditempuh adalah menggunakan prinsip pemfaktoran.

x2  5x  6  0

 x  3 x  2   0 x  3 x  2

Jadi, dengan cara analitik kita peroleh akar-akar 3 atau 2 yang memenuhi persamaan

x2  5x  6  0 .

3

b. Numerik Menggunakan pendekatan approksimasi untuk mencari solusi dengan operasi aritmatika biasa.

Contoh:

Carilah akar-akar dari persamaan x2  5x  6  0 . Jawab: Salah satu cara numerik adalah dengan menggambar grafik.

Terlihat bahwa solusinya 2 atau 3.

C. Perbedaan Metode Analitik dan Metode Numerik

Perbedaaan antara metode analitik dan metode numerik terletak pada nilai solusi. Pada metode analitik, solusi merupakan nilai eksak (tepat tanpa ada kesalahan). Sedangkan pada metode numerik, solusi merupakan nilai hampiran (tidak tepat selalu sama dengan nilai eksak, selalu ada kesalahan). Kesalahan dalam metode numerik disebut galat (error). Galat dapat diperbaiki dengan mengubah parameter.

Kelebihan metode numerik adalah dapat menyelesaikan persoalan matematika yang tidak dapat diselesaikan dengan metode analitik.

4

Pada dasarnya prinsip kerja metode numerik adalah perulangan (iterasi) aritmatika biasa. Oleh karena itu alat bantu kalkulator dan komputer sangat dibutuhkan untuk memudahkan perhitungan. Metode numerik pada dasarnya adalah algoritma sehingga dapat diprogram.

Tahap-tahap penyelesaian metode numerik, yaitu: a. Pemodelan b. Penyederhanaan model c. Formulasi numerik 1. Menentukan metode numerik yang dipakai 2. Membuat algoritma penyelesaian d. Pemprograman e. Pengujian (test dengan uji data) f.

Menganalisi hasil numerik

Tahap 1 dan 2 melibatkan ahli yang sesuai dengan bidangnya (misalnya matematikawan). Tahap 3 dan 4 melibatkan informatikawan. Tahap 5 dan 6 melibatkan kolaborasi diantara keduanya.

5

Pertemuan 2 Deret Taylor & Analisa Galat

A. Fungsi Polinomial

Polinomial atau suku banyak adalah persamaan dengan pangkat lebih dari 3. Fungsi polinomial menginspirasi munculnya metode numerik. Bentuk umum polinomial yaitu; f  x   a0 x 0  a1 x1  a2 x 2   a0  a1 x  a2 x 2 

 an x n

 an x n

B. Deret Taylor

Diberikan fungsi f . Turunan fungsi f adalah f ', f ", f "',

x0   a, b maka nilai x disekitar x0 adalah f  x   f  x0 

 x  x0  f '  1!

 x0 

 x  x0   2!

2

f ''  x0  

pada selang  a, b . Misalkan

 x  x0  

m

m!

f

m

 x0  

C. Deret Maclaurin Deret Maclaurin diperoleh dengan mensubsitusikan x0  0 pada deret Taylor.

f  x   f  0 

x x2 f '  0  f ''  0   1! 2!



x m  m f  0  m!

Hampirilah f  x   sin  x  ke dalam deret Taylor di sekitar x0  1 . Contoh:

Jawab: Pertama, tentukan turunan dari f .

f  x   sin  x 

f '  x   cos  x 

f " x    sin  x 

6

f "'  x    cos  x  f  4  x   sin  x 

sin  x   sin 1

 x  1 cos 

1

 x  1 

2

  sin 1 

 x  1 

3

  cos 1 

 x  1 

4

sin 1 

 0,8415  0,5403  x  1  0, 4208  x  1  0, 0901 x  1  0, 0351 x  1  1!

2!

3!

2

4!

3

4

Misalkan h   x  1 , maka diperoleh

sin  x   0,8415  0,5403h  0, 4208h2  0,0901h3  0,0351h4 

Perhatikan bahwa suku-suku deret Taylor tak berhingga jumlahnya. Ubahlah sin  x  ke dalam deret Maclaurin! Contoh:

Jawab: Pada contoh diatas telah diperoleh deret Taylor

x x2 x3 x4 sin  x   sin  0   cos  0     sin  0      cos  0    sin  0   1! 2! 3! 4! 3 x  0 x0 0 3! 3 x  x  3!

x3 x5 Jika diteruskan diperoleh sin  x   x    3! 5! Latihan a. cos  x 

Tentukan deret Maclaurin dari fungsi berikut!

b. e x c.

e2 x

7

D. Deret Taylor Terpotong

Karena suku deret Taylor yang tak berhingga maka deret tersebut bisa dipotong hingga orde ke-

n . Deret baru yang terbentuk dinamakan deret Taylor Terpotong. f  x   f  x0 

 x  x0  f '  1!

 x  x0   Rn  x    n  1!

dengan

n 1

 x0 

f

n 1

 x  x0   2!

c

2

 x  x0  

f ''  x0  

n

n!

f

n

 x0   Rn  x 

, x0  c  x disebut galat atau residu (sisa).

Hampirilah fungsi f  x   sin  0, 2  ke dalam deret Taylor terpotong hingga orde ke-4 di sekitar Contoh:

x0  1 , dengan ketelitian hingga 4 desimal di belakang koma.

Jawab: Pertama, tentukan turunan dari f .

f  x   sin  x 

f '  x   cos  x 

f " x    sin  x 

f "'  x    cos  x  sin  x   sin 1

 x  1 cos 

1

f  4  x   sin  x 

 x  1 

2

  sin 1 

 x  1 

3

  cos 1 

 x  1 

4

 0,8415  0,5403  x  1  0, 4208  x  1  0, 0901 x  1  0, 0351 x  1 1!

2!

3!

2

4!

3

sin 1 4

sin  0, 2   0,8415  0,5403  0, 2  1  0, 4208  0, 2  1  0, 0901 0, 2  1  0, 0351 0, 2  1 2

3

 0,8415  0,5403  0,8  0, 4208  0,8   0, 0901 0,8   0, 0351 0,8  2

3

4

 0, 2005

Perhatikan bahwa dengan menggunakan kalkulator, nilai sin  0, 2   0,1987 .

8

4

E. Galat

Galat digunakan untuk menyatakan seberapa dekat solusi hampiran terhadap solusi eksaknya. Semakin kecil galatnya, semakin teliti solusi numerik yang didapatkan. Misalkan c adalah nilai hampiran dari nilai eksak c , maka galat didefinisikan sebagai;

  cc

F. Galat Mutlak

Misalkan c adalah nilai hampiran dari nilai eksak c , maka galat mutlak (absolut) didefinisikan sebagai;

  cc

Contoh: Tentukan nilai galat dan galat mutlak, jika diketahui nilai hampiran 10,5 dari 10, 45 . Jawab:

  c  c  10, 45  10,5  0,05 dan   0,05  0,05 .

G. Galat Relatif

Galat relatif didefinisikan sebagai;

r 





atau  r  100% c c

Dalam kenyataannya nilai eksak sulit sekali untuk ditemukan, maka galat relatif dinormalkan terhadap nilai hampirannya.

r 

 c

atau  r 

 c

100%

Definisi galat relatif hampiran masih mempunyai kelemahan karena kita harus mengetahui tentang nilai sejatinya sehingga digunakan pendekatan iterasi.

r 

cn  cn 1 cn

atau  r 

dengan cn  nilai pendekatan iterasi sekarang

cn  cn 1 1  cn

9

cn 1  nilai pendekatan iterasi sebelumnya

Salah satu syarat proses iterasi akan berhenti jika  r   s , dimana  s adalah toleransi galat yang telah ditetapkan (biasanya  s dituliskan sebagai xtol ).

Contoh:

x 

 3

Misalkan terdapat proses iterasi sebagai berikut:

xn 1

3 n

6

, n  0,1, 2,3,

Kapankah proses iterasi dapat dihentikan? Jika diketahui nilai awal

xtol  0,00001 .

x0  0,5 dan

Jawab:

x0  0,5

x1  0, 4791667   r 

x1  x0 x1

x2  0, 48166387   r 

x3  0, 4813757   r  x4  0, 4814091   r  x5  0, 4814052   r 

 0, 043478

x2  x1 x2

x3  x2 x3

x4  x3 x4

x5  x4 x5

 0, 0051843

 0, 0005984  0, 0000693  0, 0000081

Proses iterasi dihentikan pada iterasi ke-5 karena  r  xtol .

H. Sumber Utama Galat Numerik

Macam-macam sumber utama galat numerik, yaitu; a. Galat Pemotongan (Truncation Error) Galat yang ditimbulkan akibat penggunaan hampiran sebagi pengganti formula eksak. b. Galat Pembulatan (Round-Off Error)

10

Galat yang ditimbulkan akibat keterbatasan alat bantu untuk menyajikan bilangan real. c. Galat Eksperimental Galat yang ditimbulkan akibat data yang diberikan. Misalnya kesalahan pengukuran dan ketelitian alat hitung. d. Galat Pemprograman Galat yang terdapat di dalam program itu sendiri (biasanya dinamakan bug)

I.

Pembulatan Bilangan

Ada dua macam jenis pembulatan bilangan yaitu; a. Pembulatan Pangkas (Chopping)

Contoh:

Misalkan bilangan   0,31459265358

Pembulatan 5 digit, menjadi   0,31459

maka

Pembulatan 6 digit, menjadi   0,314592

Pembulatan 7 digit, menjadi   0,3145926

Pembulatan 8 digit, menjadi   0,31459265 b. Pembulatan ke digit terdekat (in-rounding)

Misalkan bilangan a dalam basis 10, didefinisikan dengan a  0, d1d2 d3d4

dn dn1

10 p

Misalkan n adalah jumlah digit mantis komputer, karena jumlah digit mantis a  jumlah digit

flround  a   0, d1d2 d3d4

mantis komputer, maka bilangan a akan dibulatkan.

dimana

d n d  1  n dn   d n d n  1

dn' 10 p

, jika d n 1  5

, jika d n 1  5

, jika d n 1  5 dan n genap

, jika d n 1  5 dan n gasal

11

Contoh:

Misalkan bilangan a  0,5682785715287 104 maka Pembulatan 7 digit, menjadi a  0,5682786 104

Pembulatan 8 digit, menjadi a  0,56827857 104 Pembulatan 9 digit, menjadi a  0,568278 104

Pembulatan 6 digit, menjadi a  0,568278572 104 .

12

Pertemuan 3 Metode Bisection

A. Prinsip Metode Biseksi

Metode biseksi merupakan salah satu metode tertutup untuk menentukan solusi akar dari persamaan non linear. Prinsip utama metode biseksi adalah; a. Menggunakan dua nilai awal yang digunakan untuk mengurung salah satu atau lebih akar persamaan non linear. b. Nilai akarnya diduga melalui nilai tengah antara dua nilai awal yang diberikan.

Nilai akar dugaannya dicari dengan c 

ab . Selanjutnya proses ini dilanjutkan hingga 2

dekat dengan akar eksak.

13

B. Iterasi Metode Biseksi

Langkah-langkah metode biseksi, yaitu: b. Cek konvergensi f  a  dan f  b 

a. Tentukan nilai awal a dan b

1. Jika f  a   f  b  , nilai awal dapat digunakan untuk iterasi selanjutnya.

2. Jika f  a   f  b  , pilih nilai awal yang baru. c. Lakukan iterasi

d. Hitung nilai tengah c antara a dan b , dengan c 

ab . 2

e. Cek konvergensi nilai c . 1. Jika terdapat xtol , bandingkan xtol dengan  r yaitu  r 

cn  cn 1

2. Jika terdapat f tol , bandingkan f tol dengan f  cn  .

cn

.

3. Jika nilai cn 1 dan cn konstan 4. Jika nilai f  cn   0

f.

1. Jika tanda f  c  = tanda f  a  maka c akan menggantikan a . Jika belum konvergen juga, tentukan nilai awal baru dengan cara;

2. Jika tanda f  c  = tanda f  b  maka c akan menggantikan b . Contoh:

f  x   x3  2 x 2  3x  4 telah ditemukan pada iterasi ke-5? Jika diketahui nilai awal x  11

Periksalah

dengan

metode

Biseksi,

apakah

salah

satu

akar

dari

persamaan

dan x  5 , xtol  0,0001 serta ketelitian hingga 2 desimal. Jawab: Perhatikan persamaan polinomial

1. Nilai awal yaitu a  11 dan b  5

2. Cek konvergensi f  a  dan f  b 

a  11 maka f  11   11  2  11  3  11  4  1126 3

2

14

b  5 maka f  5   5  2  5  3  5  4  186 3

2

Karena tanda f  a   f  b  maka nilai awal dapat digunakan untuk iterasi selanjutnya. 3. Hitung nilai tengah c antara a dan b , dengan c 

c

 11  5  3 2

ab . 2

maka f  3   3  2  3  3  3  4  22 . 3

2

Perhatikan digram garis berikut!

4. Lanjutkan iterasi pada a  3 dan b  5 .

c

 3  5  1 2

maka f 1  1  2 1  3 1  4  2 . 3

2

Perhatikan digram garis berikut!

5. Lanjutkan iterasi pada a  3 dan b  1 .

c

 3  1  1 2

maka f  1   1  2  1  3  1  4  6 . 3

2

Selanjutnya, iterasi bisa dilanjutkan berdasarkan tabel di bawah ini. iterasi a

C

b

f(a)

f(c)

f(b)

0

-11

-3

5

-1126

-22

186

1

-3

1

5

-22

2

186

2

-3

-1

1

-22

-6

2

3

-1

0

1

-6

-4

2

4

0

0,5

1

-4

-1,875 2

5

0,5

0,75

1

-1,875

-0,203 2

15

Cek galat pada iterasi ke-5 yaitu  r 

c5  c4 c5



0, 75  0,5 0, 75

 0,33 .

Karena  r  xtol  0,0001 iterasi harus dilanjutkan untuk memperoleh akar persamaan non linear.

C. Kriteria Penghentian Iterasi a. Penghentian sampai  r  xtol Misalkan diketahui xtol  0,001 . Akan dicari pada iterasi ke berapa harus berhenti. Misalkan apakah pada iterasi ke-4 telah ditemukan akarnya?

Cek galat pada iterasi ke-4 yaitu  r 

c4  c3 c4



2, 032   2,188  2, 032

 0, 077 .

Karena  r  xtol  0,001 iterasi harus dilanjutkan untuk memperoleh akar persamaan non linear.

Misalkan diketahui xtol  0,001 . Pada iterasi berapa harus berhenti?

16

Iterasi dapat dihentikan pada iterasi ke-10 karena  r  xtol sehingga diperoleh akar persamaan non linear adalah 2,001. b. Penghentian sampai cn & cn1 konstan Perhatikan tabel iterasi di bawah ini.

Iterasi dapat dihentikan pada iterasi ke-8, karena c7 dan c8 konstan sehingga diperoleh akar persamaan non linear adalah 2,74. c. Penghentian sampai f  cn   0 konstan Perhatikan tabel iterasi di bawah ini!

17

Iterasi dapat dihentikan pada iterasi ke-10, karena f  c10   0,000 sehingga diperoleh akar persamaan non linear adalah 0,735 . D. Latihan

1. Tentukan salah satu akar persamaan non linear

f  x   x 2  2 x  2 dengan

menggunakan Metode Biseksi. Jika diketahui nilai awal x  2 dan x  3 serta ketelitian

2. Tentukan salah satu akar persamaan non linear f  x   x3  3x 2  0,5 dengan hingga 2 desimal.

menggunakan Metode Biseksi. Jika diketahui nilai awal x  0 dan x  3,5 dengan toleransi galat relatif x  xtol   0,02 serta ketelitian hingga 2 desimal.

3. Tentukan salah satu akar persamaan non linear

f  x   x3  2 x  1 dengan

menggunakan Metode Biseksi. Jika diketahui nilai awal x  1,6 dan x  1,8 serta

4. Tentukan salah satu akar persamaan non linear f  x   4 x 2  3x  3,5 dengan ketelitian hingga 2 desimal.

menggunakan Metode Biseksi. Jika diketahui nilai awal x  0,5 dan x  2 serta

5. Tentukan salah satu akar persamaan non li...