MAKALAH METODE NUMERIK PDF

Preview

Summary

MAKALAH METODE NUMERIK (Analisis Galat dan Akar – Akar Persamaan Non Linier) Oleh : GUSTI ASMARA NIM 160120201028 PRORAM STUDI TEKNIK ELEKTRO FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS MARITIM RAJA ALI HAJI 2017 BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Metode Numerik adalah teknik-teknik yang digunakan untuk memformul...

Description

MAKALAH METODE NUMERIK (Analisis Galat dan Akar – Akar Persamaan Non Linier)

Oleh :

GUSTI ASMARA NIM 160120201028

PRORAM STUDI TEKNIK ELEKTRO

FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS MARITIM RAJA ALI HAJI 2017

BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Metode

Numerik

adalah

teknik-teknik

yang

digunakan

memformulasikan masalah matematis agar dapat dipecahkan

untuk

dengan operasi

perhitungan. Metode numerik secara umum merupakan salah satu mata kuliah yang diajarkan di jurusan pendidikan matematika maupun matematika murni. Metode Numerik dianggap penting karena mengajarkan mahasiswa memecahkan suatu kasus dengan memakai berbagai cara dan permodelan. Terlebih, dalam mata kuliah ini juga mengharuskan mahasiswanya untuk cekatan dan aktif dalam memaksimalkan teknologi. Yang termasuk program paket numerik, misalnya MATLAB, Maple, dan sebagainyayang digunakan untuk menyelesaikan masalah matematika dengan metode numerik tersebut yang dibuat oleh orang yang mempunyai dasar-dasar teori metode numerik. Sebelum komputer digunakan untuk penyelesaian komputasi, beberapa metode telah dilakukan, namun masih memiliki kendala-kendala. Metode yang digunakan antara lain: a.

Metode Analitik, solusi ini sangat berguna namun terbatas pada masalah sederhana. Sedangkan masalah real yang kompleks dan nonlinier tidak dapat diselesaikan.

b.

Metode Grafik, metode ini digunakan sebagai pendekatan penyelesaian yang kompleks. Kendalanya bahwa metode ini tidak akurat, sangat lama, dan banyak membutuhkan waktu.

c.

Kalkulator dan Slide Rules, penyelesaian numerik secara manual. Cara ini cukup lama dan mungkin bisa terjadi kesalahan pemasukan data.

Dengan mempelajari metode numerik diharapkan

mampu menangani

sistem persamaan besar ketaklinieran dan geometri yang rumit, yang dalam masalah rekayasa tidak mungkin dipecahkan secara analitis. Selain itu, diharapkan

2

mengetahui secara singkat dan jelas teori matematika yang mendasari paket program,

mampu

merancang

sesuai permasalahan dihadapi

program

sendiri

pada masalah rekayasa dan dapat menangani

masalah rekayasa yang tidak dapat ditangani secara analitis. Di samping itu, metode numerik cocok untuk menggambarkan ketangguhan dan keterbatasan komputer menangani galat (error) suatu nilai

hampiran (aproksimasi)

dari masalah serta menyediakan sarana memperkuat pengertian matematika. Karena salah satu kegunaannya adalah menyederhanakan matematika yang lebih tinggi menjadi operasi - operasi matematika yang mendasar. Dalam sebuah laporan yang berjudul “Metode Numerik” oleh Drs. Heri Sutarno tertulis bahwa metode numerik merupakan alat untuk memecahkan masalah matematika yang sangat handal. Banyak permasalahan teknik yang mustahil dapat diselesaikan secara analitik, karena kita sering dihadapkan pada sistem-sistem persamaan yang besar, tidak linear dan cakupan yang kompleks, dapat diselesaikan dengan metode numerik. Menurutnya, banyak masalah matematika yang tidak dapat diselesaikan dengan memakai program paket atau tidak tercakup dalam program paket. Oleh karena itu kita perlu belajar metode numerik untuk dapat membuat program paket (software) untuk masalah sendiri. Metode numerik merupakan suatu sarana yang efisien untuk mempelajari penggunaan komputer. Belajar pemrograman secara efektif adalah menulis program komputer. Metode numerik mengandung bagian yang

dirancang

untuk

diterapkan

pada

komputer,

misalnya

membuat

algoritma. Tahap-tahap dalam menyelesaikan masalah matematika secara numerik dengan memakai alat bantu komputer secara umum adalah : pemodelan, pemilihan metode (algoritma) numerik, pemrograman (koding), dokumentasi dan penafsiran hasil.

Pada metode numerik, kita hanya memperoleh solusi yang menghampiri atau mendekati solusi sejati sehingga solusi numerik dinamakan juga solusi hampiran (approxomation) atau solusi pendekatan, namun solusi hampiran dapat dibuat seteliti yang kita inginkan. Solusi hampiran jelas tidak tepat sama dengan solusi sejati, sehingga ada selisih antara keduanya. Selisih inilah yang disebut dengan

3

galat (error). Semakin kecil galat yang diperoleh berarti semakin dekat solusi hampiran yang diperoleh dengan solusi sejatinya.

1.2 Rumusan Masalah 1.

Apa pengertian Analisis Galat ?

2.

Apa maksud dari Akar – Akar persamaan non linier ?

3.

Apa saja metode – metode tertutup ?

4.

Bagaimana cara menggunkan metode – metode tertutup ?

1.3 Tujuan 1. Untuk mengetahui bagaimana cara mengunakan metode – metode tertutup 2. Untuk menambahkan wawasan dan ilmu dalam menggunakan metode – metode tersebut 3. Untuk mengetahui apa itu analisis galat dan cara mengunakannya 4. Mengetahui secara singkat dan jelas teori matematika yang mendasari paket program. 5. Mampu merancang program sendiri sesuai persalahan yang dihadapi pada masalah rekayasa. 6. Metode numerik cocok untuk menggambarkan ketangguhan dan keterbatasan komputer dalam menangani masalah rekayasa yang tidak dapat ditangani secara analitis.

1.4 Manfaat 1.

Sebagai masukan bagi mahasiswa dalam melakukan analisis suatu metode.

2.

Agar mahasiswa dapat mengerti harus menggunakan metode apa untuk menyelesaikan suatu permasalahan.

3.

Sebagai masukan bagi mahasiswa untuk meningkatkan pengetahuan dalam menganalisis.

4

BAB II PEMBAHASAN 2.1 Analisis Galat Kesalahan (error/galat) adalah besarnya perbedaan atau selisih antara nilai taksiran (hampiran/aproksimasi) dengan nilai sesungguhnya (eksak), kesalahan ini biasa timbul karena proses pengukuran atau penggunaan aproksimasi. Penyelesaian secara numerik dari suatu persamaan matematis hanya memberikan nilai perkiraan yang mendekati nilai eksak (yang benar) dari penyelesaian analitis. Penyelesaian numerik akan memberikan kesalahan terhadap nilai eksak Galat dalam metode numerik disebabkan oleh dua hal, yaitu galat pembulatan (round off error ) dan galat pemotongan (truncation error ). Besarnya kesalahan atas suatu nilai taksiran dapat dinyatakan secara kuantitatif dan kualitatif. Besarnya kesalahan yang dinyatakan secara kuantitatif disebut Kesalahan Absolut. Besarnya kesalahan yang dinyatakan secara kualitatif disebut dengan Kesalahan Relatif. Nilai eksak dapat diformulasikan sebagai hubungan antara nilai perkiraan dan nilai kesalahan sebagai berikut : 𝒗 = 𝒗′ + 𝜺 Dimana : v = nilai eksak, v’ = nilai perkiraan 𝜺 = nilai kesalahan/eror 2.1.1 Kesalahan Absolut Kesalahan absolut menunjukkan besarnya perbedaan antara nilai eksak dengan nilai perkiraan : 𝜀𝑎 = |𝑣 − 𝑣 ′ | Kesalahan absolut tidak menunjukkan besarnya tingkat kesalahan, tetapi hanya sekedar menunjukkan selisih perbedaan antara nilai eksak dengan nilai perkiraan.

5

2.1.2 Kesalahan Relatif Kesalahan relatif menunjukkan besarnya tingkat kesalahan antara nilai perkiraan dengan nilai eksaknya yang dihitung dengan membandingkan kesalahan absolut terhadap nilai eksaknya (biasanya dinyatakan dalam % ) 𝜀𝑎 𝜀𝑟 = | | × 100% 𝑣 dimana : v = nilai eksak 𝜀𝑟 = kesalahan relatif 𝜀𝑎 = kesalahan absolut Semakin kecil kesalahan relatifnya, maka nilai perkiraan yang diperoleh akan semakin baik. Contoh Soal 1: Gusti membeli kabel listrik 30 meter dari sebuah toko alat-alat elektronika. Setelah diukur ulang oleh Isna sesampainya di rumah, kabel tersebut ternyata hanya mempunyai panjang 29,97 meter. Berapa kesalahan absolut dan kesalahan relatif hasil pengukuran yang dilakukan oleh Gusti? Diketahui : V = 30 meter V’ = 29,97 meter Kesalahan absolut 𝜀𝑎 =  30 – 29,97 = 0.03 meter Kesalahan relatif 𝜀𝑟 =  0.03/ 30  * 100% = 0.1%

Contoh soal 2: Pengukuran panjang jembatan dan pensil memberikan hasil 9999 cm dan 9 cm. Apabila panjang yang benar (eksak) adalah 10.000 cm dan 10 cm. Hitung kesalahan absolut dan relatif!

Jawab a. Kesalahan absolut Jembatan : 𝜀𝑎 = v – v’  = │10.000 – 9999 │= 1 cm Pensil : 𝜀𝑎 = v – v’  = │10 – 9 │= 1 cm

6

b. Kesalahan relatif 𝜀 1 Jembatan : 𝜀𝑟 = | 𝑣𝑎| x 100% = │10000│x 100% = 0.1% Pensil

𝜀

1

: 𝜀𝑟 = | 𝑣𝑎| x 100% = │10│x 100% = 10%

Secara matematis, jika x adalah solusi hampiran x0 dan solusi eksak, galat dinyatakan oleh 𝑒 = 𝑥0 − 𝑥 Galat Mutlak, dapat bernilai positif dan negatif. Jika tanda galat tidak seimbang galat mutlak didefenisikan sebagai |𝑒| = |𝑥0 − 𝑥| Ungkapan galat menggunakan rumus di atas kurang begitu bermakna karena tidak menunjukkan secara langsung seberapa besar galat itu dibandingkan dengan nilai eksaknya. Sebagai contoh, jika nilai eksaknya 𝑥0 = 10 dan nilai hampirannya x = 7,8. Ketika seseorang melaporkan hasil hitungannya 0,2 tanpa menyebutkan nilai eksaknya, kita tidak mendapatkan informasi yang lengkap. Galat Relatif, istilah galat reatif muncul untuk menghindari salah interpretasi terhadap nilai galat galat relatif didefenisikan sebagai, 𝑒𝑟 =

𝑒 𝑥0

Akan tetapi, dalam metode numerik, kita tidak mengetahui nilai sejatinya sehingga sulit untuk mendapatkan galat relatif ini. Untuk mengatasi hal tersebut, galat dibandingkan dengan nilaihampirannya (disebut galat relatif hampiran), yaitu : 𝑒𝑟ℎ =

𝑒 × 100% 𝑥

7

2.1.3 Galat pada Taylor Formula Taylor dengan sisa ditulis sebagai berikut. 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎) + 𝑓 ′ (𝑎)(𝑥 − 𝑎) +

𝑓 ′′ (𝑎) 𝑓 𝑛 (𝑎) (𝑥 − 𝑎)2 + ⋯ + (𝑥 − 𝑎)𝑛 2! 𝑛!

+ 𝑅𝑛 (𝑥) = 𝑃𝑛 (𝑥) + 𝑅𝑛 (𝑥) Dengan 𝑃𝑛 (𝑥) adalah hampiran Taylor untuk fungsi dan 𝑅𝑛 (𝑥) adalah galat atau sisnya, yakni 𝑃𝑛 (𝑥) = 𝑓(𝑎) + 𝑓

′ (𝑎)(𝑥

𝑓 ′′ (𝑎) 𝑓 𝑛 (𝑎) 2 (𝑥 − 𝑎) + ⋯ + (𝑥 − 𝑎)𝑛 − 𝑎) + 2! 𝑛!

+ 𝑅𝑛 (𝑥) 𝑅𝑛 (𝑥) =

𝑓 𝑛+1 (𝑥) (𝑥 − 𝑎)𝑛+1 𝑛 + 1!

Galat berasosiasi dengan seberapa dekat solusihampiran terhadap solusi sejatinya. Semakin kecil galatnya, semakin teliti solusi numerik yg didapatkan. Kita harus memahami dua hal, yaitu : 

Bagaimana menghitung galat



Bagaimana galat timbul.

Misalkan, a adalah nilai hampiran terhadap nilai sejati a, maka: = a-a disebut galat a = 10,5 ; a=10,45

= 10,45 – 10,5 = -0,05

Galat Mutlak

= |𝜀| = | 𝑎 − 𝛼^|

Galat Relatif Hampiran

= 𝜀𝑟𝑎 = × 100%

Galat Reatif

= 𝜀𝑟𝑎 = 𝑎 × 1 00%

𝜀

𝑎 𝜀

8

Dalam penerapan dunia maya, tentu saja nilai sebenarnya tidak diketahui sebelumnya, alternatifnya adalah dengan mengambil nilai taksiran (proksimasi). Untuk menghitung aproksimasi yang lebih baik, galat sering ditaksir dengan selisih aproksimasi sekarang dan sebelumnya.

2.1.4 Macam-macam galat dalam penghitungan numerik 1. Galat Pemotongan (Truncation Error) Galat ini mengacu pada galat yang ditimbulkan akibat penggunaan hampiran sebagai pengganti solusi eksak. Galat pemotongan bergantung pada metode komputasi yang digunakan, sehingga galat ini juga disebut galat metode. contoh : 𝑥2

𝑥4

𝑥6

𝑥8

𝑥 10

cos(x) = 1 − 2! + 4! − 6! − 8! − 10! Nilai hampiran galat pemotongan pemotongan

2. Galat Pembulatan Galat yang ditimbulkan dari keterbatasan komputer dalam menyajikan bilangan real. contoh : 1 = 0,1666 …. 6 Komputer tidak dapat menyatakan secara tepat jumlah dari digit 6. Komputer hanya mampu mempresentasikan sejumlah digit atau bit (1 byte = 8 bit) 3. Galat total Galat akhir pada solusi numerik. Merupakan jumlah galat pemotongan dan galat pembulatan. Contoh :

cos(0,5) ≈ 1 −

0,52 2!

+

0,54 4!

≈ 0,877604...

contoh soal : 1. Hitunglah error, relative error, dan digit yang signifikan dibawah ini dengan perkiraan 𝑋𝐴 = 𝑋𝑡 a) diketahui : 𝑋𝑡 = 28,254

9

𝑋𝐴 = 28,271 Jawab :

ε = a-â = 28,354-28,271 = -17 𝜀

𝜀𝑅 =

𝛼

=−

17 28,254

= −0,000601684717

b) diketahui : 𝑋𝑡 = 0,028254 𝑋𝐴 = 0,028271 Jawab :

ε = a-â = 0,028354-0,028271 = -0,000017 𝜀𝑅 =

𝜀 𝛼

=−

−0,000017 0,028254

= −0,0006016847

c) diketahui :

𝑋𝑡 = e, 𝑋𝐴 =

19 7

Jawab :

ε = a-â = 2,178281828 – 2,7142857142857 = 0,0039961137143 ε

0,0039961137143

a

2,178281828

𝜀𝑅 = =

= 0,0014700880803

d) diketahui :

𝑋𝑡 = 2 𝑋𝐴 = 1,414 Jawab :

ε = a-â = 1,4142135623731 – 1,414 = 0,0002135623731 ε

0,0002135623731

a

1,4142135623731

𝜀𝑅 = =

= 0,0001510114022

10

2.2 Akar – Akar Persamaan Non Linier Persamaan non linier umumnya ditujukan untuk mencari akar persamaan dalam menyelesaian masalah persamaan tak linier bersifat iteratif, dilakukan berulang-ulang sehingga konvergensi tercapai. Suatu fungsi f(x) terdefinisi dan diketahui sebuah range. Fungsi f(x) akan mempunyai akar bila dan berlawanan tanda atau memenuhi. Pada saat

awal

pembuatan program

harus

didefinisikan terlebih

dahulutoleransi perhitungan yang diperkenankan serta bentuk kriteria konvergensi yang digunakan. Salah satu dari 2 kriteria konvergensi berikut dapatdigunakan untuk mengevaluasi roses iterasi : 1. |xi-xi-1| < toleransiii. 2. |f(x)| < toleransi Bentuk umum persamaan tak linier variabel tunggal adalah : f(x) = 0 Ada beberapa metode komputasi yang dapat digunakan utuk menyelesaikan masalah yang melibatkan persamaan tak linier, diantaranya :

2.2.1 Metode biseksi Pencarian lokasi akar ( i ) Grafik Tunggal y

(iii) Tabulasi F(x)=x ln (x) →1

akar a ( ii ) Grafik Ganda y 𝑓1 𝑓2

b

x

akar

x

f(x)

0,5

-1,34

1

-1

1,5

-0,39

2

0,38

2,5

1,29

x

Untuk mencari akar persamaan linier dengan menggunakan metode bagi dua yaitu harus dilakukan pertama kali adalah memperkirakan sebuah selang yang didalamnya mengandung solusi akar.

11

Langkah Algoritma Misalnya: f(x) kontinu pada interval (a, b) Algoritma: 𝑎+𝑏 1. Definisikan c = 𝑎+𝑏 2 𝑐 = 2 2. Jika | b – c | ≤ Ɛ, maka c akar persamaan selesai 3. Jika f(b) f(c) ≤ 0 maka a = c lainnya b = c Contoh soal : 1. Carilah akar persamaan dari x = e dengan Ɛ = 0,001 Penyelesaian:

f(x) = e-x – x Ambil sembarang selang (-1, 1)

f(-1) = e + 1 = 3,718 f(1) = e-1 – 1 = 0,632 f = x6 – x – 1 = 0 diambil selang (1, 2)

f(1) = 16 – 1 – 1 = -1 f(2) = 26 – 2 – 1 = 61 N 1 2 3 4

a -1 0 0,5 0,5

B 1 1 1 0,75

c 0 0,5 0,75 0,75

b-c 1 0,5 0,25 0,75

f(c) 0 0,1065 -0,2776 -0,897

Untuk menentukan jumlah literasi untuk mencari akar-akar

𝑛≥

ln(

b−a ) Ɛ

ln(2) f(x)

= 𝑥6 – x – 1 = 0

Ɛ = 0,001 pada selang (1, 2), banyak iterasi yang diperlukan untuk mencari akar adalah 𝑛 ≥

ln(

b−a ) 0,001

ln(r)

𝑛 ≥ 9,97 ≈ 10 iterasi.

2.2.2 Metode Regula Falsi (Posisi Palsu) Metode dibagi 2 ( Bisection ) selalu berhasil dalam menemukan akar tetapi kecepatan konvergensinya sangat lambat. Kecepatan konvergensinya dapat di tingkatkan bila nilai 𝑓(a) dan 𝑓(b) juga diperhitungkan. Metode yang memanfaatkan nilai 𝑓(a) dan 𝑓(b) disebut metode Regulasi-Falsi. Atau metode posisi palsu ( False

12

Position Method). Dengan metode Regulasi-Falsi dibuat garis lurus yang menghubungkan titik ( a, 𝑓(a) ) dan ( b, 𝑓(b) ). Perpotongan garis tersebut dengan sumbu x merupakan taksiran akar yang diperbaiki. Garis lurus tersebut seolah-olah berlaku menggantikan kurva f(x) dan memberikan posisi palsu dari akar. ( b, 𝑓(b) )

y

(x)

(c,0) a

c

x

b ( a, 𝑓(a) ) 𝐺𝑟𝑎𝑑𝑖𝑒𝑛 𝐴𝐵 = 𝐺𝑟𝑎𝑑𝑖𝑒𝑛 𝐵𝐶

𝑓(𝑏) − 𝑓(𝑎) 𝑓(𝑏) − 0 = 𝑏−𝑎 𝑏−𝑎 𝑓(𝑏) − (𝑏 − 𝑎) 𝑏−𝑐 = 𝑓(𝑏) − 𝑓(𝑎) 𝑓(𝑏) − (𝑏 − 𝑎) 𝑐=𝑏− 𝑓(𝑏) − 𝑓(𝑎) Algoritma Misalkan dipunyai sebuah interfal [a, b] yang memenuhi 𝑓 𝑎 𝑓(𝑏) < 0 dan sebuah toleransi galat . 𝜀 maka Regulasi-Falsi dapat dicari dengan langkah-langkah sebagai berikut : 1. Definisikan 𝑐 = 𝑏 −

𝑓(𝑏)(𝑏−𝑎) 𝑓(𝑏)−𝑓(𝑎)

2. Jika 𝑏 − 𝑐 ≤ 𝜀 maka c adalah akar dan proses selesai. 3. Jika 𝑓(𝑏). 𝑓(𝑎) ≤ 0 maka a adalah ( a=c ). Untuk kondisi yang lain (jika kondisi itu tidak terpenuhi) b adalah akar ( b=c ). Contoh soal : Diketahui : 𝑓 𝑥 = 𝑥 6 − 𝑥 − 1 = 0 dengan 𝜀 = 0,001 pada selang (1,2)

13

Iterasi

a

B

C

F(a)

F(b)

F(c)

b-c

1

1

2

1.02

-1

61

0,89

0,98

2

1,02

2

1,04

-0,94

61

-0,77

0,96

3

1,04

2

1,06

-0,77

61

-0,64

0,94

4

1,06

2

1,07

-0,64

61

-0,56

0,93

5

1,07

2

1,08

-0,56

61

-0,49

0,92

6

1,08

2

1,09

-0,49

61

-0,36

0,91

dst

…

…

…

…

…

…

…

𝑐=𝑏−

𝑓(𝑏)(𝑏−𝑎)

=2−

𝑓(𝑏)−𝑓(𝑎) (61)(1) 61−(−1) 61

=2− 62 = 2 – 0,983870967 = 1,016129032 2.2.3 Flowchat 1. Biseksi

14

2. Regulasi Falsi

15

2.2.4 Analisis Kelebihan dan Kelemahan Metode Biseksi dan Regula falsi 1. Kelebihan a. Regula Falsi Hasil konvergen terjamin, ini dibuktikan dengantitik error yang diberikan pada insialisasi dan nyatanya padaakhir program error yang dicapai mendekati error yangdiinginkan. Ini membuktikan bahwa tingkat ke konvergenanhasil akar tersebut bisa cukup akurat. b. Biseksi Rumus yang digunakan untuk mendapatkan hasil akar cukup simpel jika dibandingkan dengan rumus lainnya. Jika perhitungan manual akan memudahkan. Hasil yang didapatkan juga cukup akurat untuk mencapai konvergen. Ini bisaditunjukkan pada titik error. 2. Kelemahan : a. Regula Falsi Untuk mendapatkan akarnya lebih lambatmencapai konvergen, tetapi jika dibandingkan dengan biseksilebih cepat. Ini dibuktikian pada persoalan diatas. Tidak hanyaitu , rumus yang digunakan untuk mendapatkan akar denganmetode ini lebih rumit jika dibandingkan dengan biseksi. b. Biseksi Hasil akar yang didapatkan cenderung lebih lambatmencapai titik konvergen jika dibandingkan dengan metodelainnya. Karena perhitungan rumus yang cukup simpel jadi kekonvergenan nya cukup lama. Dan metode ini tidak bisamenggunakan fungsi kompleks.

16

BAB III PENUTUP 3.1 Kesimpulan Metode Numerik adalah teknik-teknik yang digunakan untuk memformulasikan masalah matematis agar dapat dipecahkan dengan operasi perhitungan. Kesalahan (error/galat) adalah besarnya perbedaan atau selisih antara nilai taksiran (hampiran/aproksimasi) dengan nilai sesungguhnya (eksak), Besarnya kesalahan atas suatu nilai taksiran dapat dinyatak...