Metode Numerik Lelaran Titik Tetap Dengan Matlab PDF

Preview

Summary

“METODE LELARAN TITIK TETAP” LAPORAN PRAKTIKUM ANALISIS NUMERIK KE-3 Diajukan untuk memenuhi laporan praktikum Analisis Numerik Oleh Nama : Rauzan Sumara NIM : 135090501111014 Asisten 1 : Umi Faida Kusumawati Asisten 2 : Erlisa Cantika Herawati LABORATORIUM STATISTIKA PROGRAM STUDI STATISTIKA JURUSA...

Description

“METODE LELARAN TITIK TETAP” LAPORAN PRAKTIKUM ANALISIS NUMERIK KE-3

Diajukan untuk memenuhi laporan praktikum Analisis Numerik

Oleh Nama

: Rauzan Sumara

NIM

: 135090501111014

Asisten 1 Asisten 2

: Umi Faida Kusumawati : Erlisa Cantika Herawati

LABORATORIUM STATISTIKA PROGRAM STUDI STATISTIKA JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS BRAWIJAYA MALANG 2015

BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Metode Analisis Numerik adalah teknik-teknik yang digunakan untuk memformulasi kan masalah matematis agar dapat diselesaikan dengan operasi perhitungan. Sebelum komputer digunakan untuk penyelesaian komputasi, dilakukan dengan berbagai metode yang memiliki kendala-kendala. Metode yang digunakan antara lain: - Metode Analitik, Solusi ini sangat berguna namun terbatas pada masalah sederhana. Sedangkan Masalah real yang komplek dan non linier tidak dapat diselesaikan. - Metode Grafik, metode ini digunakan Sebagai pendekatan penyelesaian yang kompleks. Kendalanya bahwa metode ini tidak akurat, sangat lama, dan banyak membutuhkan waktu. - Kalkulator dan Slide Rules, Penyelesaian numerik secara manual. Cara ini cukup lama dan mungkin bisa terjadi kesalahan pemasukan data. Penggunaan metode numerik diharapkan dapat mengatasi berbagai kelemahan-kelemahan metode yang ada sebelumnya. Dapat dipahami pula bawa pada umumnya permasalahan dalam sains dan teknologi digambarkan dalam persamaan matematika. Persamaan ini sulit diselesaikan dengan model analitik sehingga diperlukan penyelesaian pendekatan numerik. Dengan metode numerik, manusia terbebas dari hitung menghitung manual yang membosankan. Sehinggga waktu dapat lebih banyak digunakan untuk tujuan yang lebih kreatif, seperti penekanan pada formulasi problem atau interpretasi solusi dan tidak terjebak dalam rutinitas hitung menghitung. Metode analitik disebut juga metode sejati karena memberikan solusi sejati (exact solution) atau solusi yang sesungguhnya, yaitu solusi yang memiliki galat (error) sama dengan nol. Sayangnya, metode analitik hanya unggul untuk sejumlah persoalan yang terbatas, yaitu persoalan yang memiliki tafsiran geometri sederhana serta bermatra rendah. Padahal persoalan yang muncul dalam dunia nyata seringkali nirlanjar serta melibatkan bentuk dan proses yang rumit. Akibatnya nilai praktis penyelesaian metode analitik menjadi terbatas. Bila metode analitik tidak dapat lagi diterapkan, maka solusi persoalan sebenarnya masih dapat dicari dengan menggunakan metode numerik.

1.2 Tujuan Manfaat mempelajari metode numerik diharapkan mahasiswa mampu : 1. mampu menangani sistem persamaan besar, Ketaklinieran dan geometri yang rumit, yang dalam masalah rekayasa tidak mungkin dipecahkan secara analitis. 2. Mengetahui secara singkat dan jelas teori matematika yang mendasari paket program. 3. Mampu merancang program sendiri sesuai permasalahan yang dihadapi pada masalah rekayasa.

BAB II TINJAUAN PUSTAKA

2.1 Solusi Persamaan Nirlanjar Persoalan mencari solusi persamaan yang lazim disebut akar persamaan atau nilai-nilai nol yang berbentuk. Yaitu nilai sedemikian sehingga sama dengan nol. Umumnya persamaan yang akan dipecahkan muncul dalam bentuk nirlanjar (non linear) yang melibatkan bentuk sinus, cosinus, eksponensial, logaritma dan fungsi transenden lainnya. bentuk persamaan yang rumit atau kompleks yang tidak dapat dipecahkan secara analitik. Bila metode analitik tidak dapat menyelesaikan persamaan, maka kita masih bisa mencari solusinya dengan menggunakan metode numerik. Dalam metode numerik, pencarian akar dilakukan secara lelaran (iteratif). Secara umum, metode pencarian akar dapat dikelompokkan menjadi dua golongan besar : 1. Metode tertutup atau metode pengurung (bracketing method)  Metode Bagi Dua  Metode Regula Falsi (Titik Palsu) 2. Metode terbuka  Metode Lelaran titik-tetap  Metode Newton-Raphson  Metode Secant Pada laporan kali ini, akan dibahas tentang Metode Lelaran Titik Tetap. Metode Lelaran Titik Tetap merupakan salah satu metode pencarian akar dalam penyelesaian persamaan-persamaan non linier melaui proses iterasi (pengulangan). Metode Lelaran Titik Tetap merupakan salah satu metode terbuka untuk menentukan solusi akar dari persamaan non linier, dengan prinsip utama sebagai berikut :

2.2 Metode Lelaran Titik Tetap Metode Lelaran Titik Tetap adalah suatu metode pencarian akar suatu fungsi f(x)secara sederhana dengan menggunakan satu titik awal. Perlu diketahui bahwa fungsi f(x) yang ingin dicari hampiran akarnya harus konvergen. Misal x adalah Fixed Point (Titik Tetap) fungsi f(x) bila g(x) = x dan f(x) = 0. Teorema : Diketahui g(x) fungsi kontinu dan {Xn} adalah barisan yang terbetuk oleh Fixed Point Iteration, maka Jika Xn = x maka x adalah Fixed Point fungsi g(x).

Sumber gambar : karlcalculus Prosedur Metode Titik Tetap Misal f(x) adalah fungsi yang konvergen dengan f(x) = 0, maka untuk mencari nilai akarnya atau hampiran akarnya kita terlebih dahulu mengubah kedalam bentuk x = g(x). Kemudian tentukan nilai titik awal, misal x1. Setelah itu disubstitusikan titik awalnya ke persamaan g(x) sedemikian sehingga g(x1) = x2, setelah itu titik x2 yang diperoleh substitusikan lagi ke g(x) sedemikian sehingga g(x2) = x3. Jadi apabila ditulis iterasinya akan menjadi :

x1 (penetuan titik awal) x2 = g(x1) (iterasi pertama) x3 = g(x2) (iterasi kedua) . . . xn = g(xn-1) (iterasi ke-n) Iterasi ini akan berhenti jika x = g(x) dan f(x) = 0 atau sudah mencapai nilai error yang cukup kecil (|xn – xn-1| < ).

Anonymous.2012

BAB III METODOLOGI

Langkah-langkah membuka Matlab :  Buka aplikasi Matlab, maka akan muncul kotak logo seperti berikut

 Seteleah itu akan terlihat tampilan aplikasi Matlab, kemudian pilih menu File -> New -> Script

 Setelah itu akan tampil kolom editor kemudian isikan Source Code sebagai berikut :

BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN tic;%awal program clc;clear;%membersihkan commond window Xn=1;%deklarasi variabel dan inisialisasi Xn=1 eps=10^(-6);%galat toleransi galat=1;%inisialisasi nilai galat=1 k=1;%deklarasi variabel dan inisialisasi k=0 while galat>eps; Xn1=sqrt(4*Xn+log(Xn)); Proses pencarian akar FXn=Xn1.^2-4*Xn1-log(Xn1); apabila syarat memenuhi Xn=Xn1; galat=abs(FXn); yaitu galat>eps k=k+1; end disp('Akar dari fungsi X^2-4*X-ln(X)dengan metode iterasi titik tetap'); %menampilkan kalimat 'Akar dari fungsi X^2-4*Xln(X)dengan metode iterasi titik tetap' disp('--------------------------------------------------------------'); %menampilkan simbol '--------------------------------' fprintf('Akar Hampiran = %10.8f\n',Xn1); %menampilkan kalimat 'Akar Hampiran = ' serta nilai pada Xn1 dengan 10 space dan 8 angka dibelakang koma fprintf('Nilai fungsi = %10.8f\n',FXn); %menampilkan kalimat 'Nilai fungsi = ' serta nilai pada FXn dengan 10 space dan 8 angka dibelakang koma fprintf('Akar fungsi abs = %10.8f\n',galat); %menampilkan kalimat 'Akar fungsi abs = ' serta nilai pada galat dengan 10 space dan 8 angka dibelakang koma fprintf('banyak iterasi = %4.0f\n',k); %menampilkan kalimat 'banyak iterasi =' serta nilai pada k dengan 4 space dan 0 angka dibelakang koma fprintf('selang waktu konvergen = %10.8f\n',toc); %menampilkan kalimat 'selang waktu konvergen =' serta nilai pada toc dengan 10 space dan 8 angka dibelakang koma

}

Jadi dari output software Matlab di atas ditemukan akar persamaannya adalah 4.33826293 dengan 26 kali iterasi dan selang waktu konvergen adalah 0.01987751 detik.

BAB V PENUTUP 5.1

Kesimpulan Pencarian akar dengan metode Lelaran Titik Tetap akan lebih mudah apabila menggunakan software Matlab. Estimasi waktu iterasi juga akan jauh lebih cepat menggunakan software dibandingkan perhitungan secara manual. Sehingga akan sangat mempermudah statistikawan dalam menentukan solusi permasalahan yang kompleks sekalipun.

5.2

Saran 1. Harus berhati-hati dalam menentukan inisialisasi nilai awal, karena akan berpengaruh pada konvergensi atau tidaknya suatu interasi. 2. Lebih memperdalam pemahaman tentang software Matlab agar mudah dalam pembuatan sintak berbagai metode pencarian solusi akar nirlanjar.

DAFTAR PUSTAKA Rinaldi Munir., 2010. Metode Numerik : Penerbit INFORMATIKA Bandung Anam Syaiful, S.Si, MT., 2015. Modul Responsi Analisis Numerik : Prodi Statistika Jurusan Matematika Universitas Brawijaya...