Analisis vektor & p[erasional researc PDF

Preview

Summary

BAB I KONSEP RISET OPERASIONAL 1. Sejarah Riset Operasional Dorongan awal munculnya kegiatan-kegiatan riset operasional adalah Perang Dunia II. Sebenarnya, istilah Riset Operasional ini tercetus sebagai akibat dari “riset pada operasi militer” yang dilakukan selama perang tersebut. Kelompok ahli-ahl...

Description

Accelerat ing t he world's research.

Analisis vektor & p[erasional researc umi ailiyah

Related papers

Download a PDF Pack of t he best relat ed papers 

Riset Operasional (Operat ions research) & Penyelesaian menggunakan Soft ware WinQSB M. Trihudiyat mant o

DIKTAT PROGRAM LINEAR Tri Ast ut i Draft 1 Bahan Ajar Cai Yun

BAB I KONSEP RISET OPERASIONAL 1. Sejarah Riset Operasional Dorongan awal munculnya kegiatan-kegiatan riset operasional adalah Perang Dunia II. Sebenarnya, istilah Riset Operasional ini tercetus sebagai akibat dari “riset pada operasi militer” yang dilakukan selama perang tersebut. Kelompok ahli-ahli matematika, ekonomi, dan ahli-ahli disiplin ilmu lain-lainnya disatukan untuk menganalisis berbagai masalah operasi militer. Kelompok-kelompok ini dibentuk di Inggris dan Amerika Serikat, dimana Angkatan Laut AS (US NAVY) mempekerjakan lebih dari 70 orang analis. Berbagai bentuk masalah dapat dipecahkan dengan baik, seperti dimana harus ditempatkan instalasi radar, bagaimana menemukan lokasi kapal selam lawan, bagaimana menempatkan bom-bom yang dipicu dengan gelombang radio jarak jauh di laut sekeliling Jepang. Pendekatan-pendekatan ilmiah yang digunakan sebagian telah diciptakan sebelumnya, yaitu sebagai hasil kerja FW.Taylor dan Henry L.Gantt. Profesor P.M.S. Blackett yang ditugaskan untuk menganalisis masalah koordinasi radar di daerah perang. Kelompok yang dibentuk oleh Blackett ini terdiri dari ahli psikologi, fisika, matematika, perwira AD dan ahli survai. Pendekatan ahli kelompok gabungan ini kemudian juga diikuti oleh Amerika Serikat. Perkembangan riset operasional pasca perang yang cukup terkenal adalah temuan salah satu metode riset operasional oleh George Dantzig. Beliau sangat terkenal akan temuannya yang berupa pengembangan pemrograman linier yang merupakan metode riset operasional yang sangat luas digunakan. Dantzig ini sering disebut sebagai “Bapak Pemrograman Linier”. Disamping pemrograman linier, perkembangan awal riset operasional lainnya adalah dibidang statistika pengendalian mutu, pemrograman dinamis, analisis queue, dan pengendalian persediaan.

2. Pengertian Riset Operasional Riset Operasional dapat digambarkan sebagai suatu pendekatan ilmiah dalam pengambilan keputusan yang melibatkan operasi-operasi dalam sistem organisasi. Penggambaran tersebut masih bersifat umum, sehingga untuk lebih memahami segi unik dari riset operasional mungkin lebih baik bila dilihat dari sifat-sifat khas atau istimewa. Pengertian yang lainnya: Definisi 1 RO adalah penerapan metode-metode ilmiah terhadap masalah-masalah rumit yangmuncul dalam pengarahan dan pengelolaan dari suatu sistem ! "

#$ "

%

&

'(

besar manusia, mesin, bahan dan uang dalam industri, bisnis, pemerintahan dan pertahanan. (Operational Research Society of Great Britain). Definisi 2 Riset Operasi berkaitan dengan menentukan pilihan secara ilmiah bagaimana merancang dan menjalankan sistem manusia-mesin secara terbaik, biasanya membutuhkan alokasi sumber daya yang langka. (Operation Research Society of America). Definisi 3 Riset Operasi adalah seni memberikan jawaban buruk terhadap masalahmasalah, yang jika tidak, memiliki jawaban yang lebih buruk. (T.L. Saaty). Definisi 4 Riset Operasi adalah pendekatan dalam pengambilan keputusan yang ditandai dengan penggunaan pengetahuan ilmiah melalui usaha kelompok antar disiplin yang bertujuan menentukan penggunaan terbaik sumber daya yang terbatas. (Hamdi A. Taha). Definisi 5 Riset Operasi dalam arti luas dapat diartikan sebagai penerapan metodemetode, teknikteknik, dan alat-alat terhadap masalah-masalah yang menyangkut operasi-operasi dari sistem-sistem, sedemikian rupa sehingga memberikan penyelesaian optimal (Churchman, Ackoff, dan Arnoff).

3. RO Dalam Pegambilan Keputusan. Riset Operasi berusaha menetapkan arah tindakan terbaik (optimum) dari sebuah masalah keputusan dibawah pembatasan sumber daya yang terbatas. Istilah riset operasi sering kali diasosiasikan secara eksklusif dengan penggunaan teknik-teknik matematis untuk membuat model dan menganalisi masalah keputusan. Walaupun matematika dan model matematis merupakan inti dari riset operasi, pemecahan masalah tidaklah hanya sekedar pengembangan dan pemecahan model-model matematis. Secara spesifik, masalah keputusan biasanya mencakup factor-faktor penting yang tidak berwujud dan tidak dapat diterjemahkan secara langsung dalam bentuk model matematis. Sebuah pemecahan diajukan dimana sebuah cermin panjang dipasang ditempat masuk elevator. Keluhan menghilang karena para pengguna elevator asik memandangi diri mereka sendiri dan orang lain sambil menunggu elevator. Ilustrasi elevator ini menggarisbawahi pentingnya memandang aspek matematis dari riset operasi dalam konteks yang lebih luas dari sebuah proses pengambilan keputusan yang unsur-unsurnya tidak dapat diwakili sepenuhnya oleh sebuah model matematis. Sebagai sebuah teknik pemecahan masalah, riset operasi harus dipandang sebagai ilmu dan seni. Aspek ilmu terletak dalam penyediaan teknikteknik matematis dan algoritma untuk memecahkan masalah keputusan yang tepat. Riset operasi adalah sebuah seni karena keberhasilan dalam semua tahap yang mendahului dan melanjuti pemecahan dari sebuah model matematis sebagian

) !

&

'*

besar bergantung pada kreativitras dan kemampuan pribadi dari mereka yang menganalisis pengambilan keputusan.

4. Model-Model Dalam RO. Model adalah abstraksi atau penyederhanaan realitas sistem yang kompleks dimana hanya komponen-komponen yang relevan atau faktor-faktor yang dominan dari masalah yang dianalisis diikutsertakan. Ia menunjukan hubungan-hubungan dari aksi dan reaksi dalam pengertian sebab dan akibat. Salah satu alasan pembentukan model adalah untuk menemukan variabel-variabel apa yang penting. Penemuan variabel-variabel yang penting itu berkaitan erat dengan penyelidikan hubungan yang ada diantara variabel-variabel itu. Teknik-teknik kuantitatif seperti statistik dan simulasi digunakan untuk menyelidiki hubungan yang ada diantara banyak variabel dalam suatu model. Model dapat diklasifikasikan dalam banyak cara, misalnya menurut jenisnya, dimensinya, fungsinya, tujuannya, subyeknya, atau derajad abstraksinya. Kriteria yang paling biasa adalah jenis model. Jenis dasar itu meliputi: a. Iconic (Physical) Model Iconic model adalah suatu penyajian fisik yang tampak seperti aslinya dari suatu sistem nyata dengan skala yang berbeda. Contoh model ini adalah mainan anakanak, potret, histogram, maket dan lain-lain. b. Analogue Model Model analogue lebih abstrak disbanding model iconic, karena tak kelihatan sama antara model dengan sistem nyata. Contohnya jaringan pipa tempat air mengalir dapat digunakan dengan pengertian yang sama sebagai distribusi aliran listrik. Contoh lain adalah peta dengan bermacam-macam warna merupakan model analog dimana perbedaan warna menunjukan perbedaan cirri, misalnya biru menunjukan air, kuning menunjukan pegunungan, hijau sebagai dataran rendah, dan lain-lain. c. Mathematic (Symbolic) Model Model matematik sifatnya paling abstrak. Model ini menggunakan seperangkat simbol matematik untuk menunjukan komponen-komponen (dan hubungan antar mereka) dari sistem nyata. Namun, sistem nyata tidak selalu dapat diekspresikan dalam rumusan matematik. Model ini dapat dibedakan menjadi deterministic dan probabilistic. Model deterministic dibentuk dalam situasi kepastian (certainty). Model ini memerlukan penyederhanaan-penyederhanaan dari realitas karena kepastian jarang terjadi. Model probabilistik meliputi kasus-kasus dimana diasumsikan ketidakpastian (uncertainty).

5. Asumsi-Asumsi untuk Membentuk Suatu Model Pemrograman Linier Untuk membentuk suatu model pemrograman linier perlu diterapkan beberapa asumsi-asumsi diantaranya adalah sebagai berikut : 1) Linearity ) !

&

'+

Fungsi obyektif dan kendala haruslah merupakan fungsi linier dan variabel keputusan. Hal ini akan mengakibatkan fungsi bersifat proporsional dan additif. 2) Divisibility Nilai variabel keputusan dapat berupa bilangan pecahan. Apabila diinginkan solusi berupa bilangan bulat (integer), maka harus digunakan metode untuk integer programming. 3) Nonnegativity Nilai variabel keputusan haruslah nonngatif (≥0). 4) Certainty Semua konstanta (parameter) yaitu Cj,a ij, dan bi diasumsikan mempunyai nilai yang pasti (sudah tentu). Bila nilai-nilai parameternya probabalistik, maka harus digunakan formulasi pemrograman masalah stokastik. Walaupun ada beberapa batasan asumsi yang harus ada, namun pemrograman linier ini dapat digunakan untuk memecahkan masalah-masalah pengalokasian sumber daya yang terbatas guna mendapatkan hasil yang optimal.

6. Syarat- Syarat Program Linier untuk Merumuskan Suatu Masalah Untuk merumuskan suatu masalah kedalam bentuk model pemrograman linier, harus memenuhi syarat-syarat berikut : 1) Tujuan masalah tersebut harus jelas dan tegas, yang dimaksudkan adalah apabila pada contoh masalah, tujuan dalam masalah tersebut jelas yaitu ingin mendapatkan keuntungan yang maksimal. 2) Harus ada sesuatu atau beberapa alternatif yang ingin dibandingkan, yang dimaksudkan adalah apabila pada contoh masalah, alternatif perbandingannya adalah kombinasi jumlah produksi dan keuntungan yang diperoleh. 3) Adanya sumber daya yang terbatas, yang dimaksudkan disini adalah apabila pada contoh masalah, sumber daya yang terbatas adalah waktu untuk subassembly dan inspeksi. 4) Bisa dilakukan perumusan kuantitatif, fungsi ini tujuan dan kendalanya harus dapat dirumuskan secara kuantitatif. 5) Adanya keterkaitan peubah, yang dimaksudkan disini adalah adanya hubungan keterkaitan antara peubah-peubah yang membentuk fungsi tujuan dan kendala.

) !

&

',

Soal Latihan Essay 1. Siapakah yang diebut sebagai “bapak Riset operasional”? Apa sumbangan riset operasi tertahap ilmu pengetahuan? 2. Sebutkan langkah-langkah dalam algoritma simpleks untuk mencari solusi optimal! 3. Apakah Riset Operasional itu! 4. Dalam menggunakan metode grafik, beberapa tahapan-tahapan mesti dilalui. Sebutkan! 5. Suatu model pemrograman linier perlu diterapkan beberapa asumsi-asumsi. Sebutkan!

) !

&

'-

BAB II LINIER PROGRAMMING

2.1. Asumsi Model Linier Programming. Terdapat empat asumsi dasar dalam penyelesaian masalah dengan model linier programming, yaitu; 1. Liniaritas :fungsi tujuan (objective function) dan kendala (constraint equations)dapat dibuat satu set fungsi linier. 2. Divisibility : nilai variabel keputusan dapat berbentuk pecahan atau bilangan bulat(integer). 3. Nonnegativity :nilai variabel keputusan tidak boleh negatif atau sama dengan nol. 4. Certainty : semua keterbatasan maupun koefisien variabel setiap kendala dan fungsi tujuan dapat ditentukan secara pasti. Keempat asumsi diatas harus dipenuhi apabila ingin menyelesaikan masalah model linier programming.jika masalah tidak dapat memeuhi asumsi tersebut, persoalan tersebut dapat diselesaikan dengan program matematik yang lain seperti; integer programming, goal programming, nonlinier programming, dan dynamic programming.

2.2. Formulasi Model Linier Programming Untuk membuat Fomulasi model linier programming atau sering juga disebut model matematik linier programming,terdapat tiga langkah utama yang harus dilakukan, yaitu; a. Tentukan variabel keputusan atau variabel yang ingin diketahui dan gambarkan dalam simbul matematik. b. Tentukan tujuan dan gambarkan dalam satu sel fungsi linier dari variabel keputusan yang dapat berbentuk maksimum atau minimum. c. Tentukan kendala dan gambar dalam bentuk persamaan linier atau ketidaksamaan linier dari variabel keputusan. Di dalam model linier programming dikenal dua macam fungsi yaitu fungsi tujuan (objective function) dan fungsi batasan (Constraint function). Fungsi tujuan adalah fungsi yang menggambarkan tujuan atau sasaran didalam permasalahan linier programming yang berkaitan dengan pengaturan secara optimal

) !

&

'.

sumber daya agar dip eroleh keuntungan maksimal atau biaya yang minimal. Pada umumnya nilai yang akan dioptimalkan dinyatakan sebagai Z Dalam pembahasan simbol sebagai berikut :

model

linier

programming

digunakan

simbol-

m : macam batasan-batasan sumber atau fasilitas yang tersedia n : macam kegiatan yang menggunakan sumber atau fasilitas tersebut i : nomor setiap macam sumber atau fasilitas yang tesedia(i : 1,2,3,….,m) j : nomor setiap macam kegiatan yang menggunakan sumber ataufasilitas yang tersedia (j : 1,2,3,…,n) x j : tingkat kegiatan ke j (j : 1,2,3,…,n) aij : banyak sumber diperlukan untuk menghasilkan setiap unit keluaran atau output kegiatan j (i : 1,2,3,…,m dan j : 1,2,3,…,n) bi : banyak sumber ( fasilitas ) i yang tersedia untuk dialokasikan ke setiap unit kegiatan (i : 1,2,3,…,n) Z : nilai yang dioptimalkan ( maksimum atau minimum) Cj : kenaikan nilai Z apabila ada pertambahan tingkat kegiatan dengan satu satuan atau merupakan sumbangan setiap satuan keluaran kegiatan j terhadap nilai Z Tabel data untuk model linier programming

) !

&

'/

Atas dasar pengertian diatas maka dapat dirumuskan model matematis sebagai berikut : Fungsi tujuan, Maksimasi Z = C1X1 + 2X2 + C3X3 + …. + CnXn Minimasi

...............( 1 )

Z = C1X1 + C2X2 + C3X3 + …. + CnXn.............( 2 )

Batasan-batasan : a. a11x1 + a12x2 + a13x3 + …. + a1mXn < b1

...............( 3 )

b. a21x1 + a22x2 + a23x3 + …. + a2mXn < b2

................( 4 )

c. am1x1 + am2x2 + am3x3 + … .+ amnXn < bm ................ ( 5 ) x1 > 0, x2 > 0 Langkah – langkah menyelesaikan kasus LP ini dapat dilakukan dengan : • •

Metode Grafik Metode Simplek

2.3. Linier Programming Maximal Soal 1: Sebuah perusahaan sepatu “Bengkulen Shoes” membuat 2 macam sepatu. Macam pertama merek I1, dengan sol dari karet, dan macam kedua merek I2 dengan sol dari kulit. Untuk membuat sepatu-sepatu itu perusahaan memiliki 3 macam mesin. Mesin 1 khusus membuat sol dari karet, mesin 2 khusus membuat sol dari kulit, dan mesin 3 membuat bagian atas sepatu dan melakukan assembling bagian atas dengan sol. Setiap lusin sepatu merek I1 mula-mula dikerjakan di mesin 1 selama 2 jam, kemudian tanpa melalui mesin 2 terus dikerjakan di mesin 3 selama 6 jam. Sedang untuk sepatu merek I2 tidak diproses di mesin 1, tetapi pertama kali dikerjakan di mesin 2 selama 3 jam kemudian di mesin 3 selama 5 jam. Jam kerja maksimum setiap hari untuk mesin 1 = 8 jam, mesin 2 = 15 jam, dan mesin 3 = 30 jam. Sumbangan terhadap laba untuk setiap lusin sepatu merek I1 = Rp.30.000,sedang merek I2 = Rp.50.000,-. Masalahnya adalah menentukan berapa lusin sebaiknya sepatu merek I1 dan merek I2 yang dibuat agar bisa memaksimumkan laba ? Jawaban:

) !

&

'0

a) Tabel Data / Matrik Persoalan, sebagai berikut: Mesin Mesin 1 Mesin 2 Mesin 3 Kontribusi laba ( X Rp. 10.000,-)

Merek Sepatu I1 (X1) I2 (X2) 2 0 0 3 5 6 3 5

Kapasitas Maksimum Mesin 8 15 30

b). Fungsi tujuan, kendala dan penegasan Fungsi tujuan: Z maksimum= 3X1 + 5X2 Kendala Batasan:

1) 2X1 ≤

8

2) 3X2 ≤ 15 3) 6X1 + 5X2 ≤ 30 Penegasan:

4) X1 ≥ 0 (non negatif) 5) X2 ≥ 0 (non negatif)

c) Solusi Grafis Persaman kendala 1: 2X1 ≤

8 dirubah menjadi 2X1 =8

0 4 X1 X2 0 0 Persaman kendala 2: 3X2 ≤ 15 dirubah menjadi 3X2 = 15 Titik potong

Titik potong

X1 0 0 X2 0 5 Persaman kendala 3: 6X1 + 5X2 ≤ 30 dirubah menjadi 6X1 + 5X2 = 30 Titik potong

X1 X2

0 6

5 0

Grafiknya:

) !

&

'1

d). Tabel Alternatif solusi Titik A: X1=0, X2=0, maka Z=0. Titik B: X1=4, X2=0, maka Z=3(4) + 0 = 12 Titik C: X1=4, X2=6/5, maka Z=3(4) + 5(6/5) =18 Titik D: X1=5/6, X2=5, maka Z=3(5/6)) + 5(5) =27 1/2 Titik E: X1=0, X2=5, maka Z=3(0) + 5(5) =25

Fungsi tujuan maksimalkan laba: Z maksimum= 3X1 + 5X2 Alternatif di Nilai X1 Nilai X2 Nilai Z Keterangan titik A 0 0 0 B 4 0 12 C 4 6/5 18 Maksimum, optimal D 5/6 5 27 1/2 E 0 5 25 e) Simpulan Berdasarkan perhitungan nilai Z maksimum (optimum) sebesar 27 ½ tercapai pada X1 = 5/6 dan X2 = 5. Jadi keputusannya, sepatu merek I1 dibuat 5/6 lusin atau 10 pasang (5/6 x 12 = 10), dan sepatu merek I2 dibuat 5 lusin atau 60 pasang (5 x 12) setiap hari, dengan laba setiap harinya sebesar Rp. 275.000,-.

) !

&

' (2

Soal 2: PT B & J menghasilkan dua jenis produk yaitu P1 dan P2, masing-masing memerlukan 2 macam bahan baku, A dan B. Harga jual tiap satuan P1 adalah Rp. 150,- dan P2 adalah Rp. 100,-. Bahan baku A yang tersedia adalah sebanyak 600 satuan dan B sebanyak 1000 satuan. Satu satuan P1 memerlukan satu satuan A dan dua satuan B, sedang P2 memerlukan satu satuan A dan satu satuan B. Persoalannya adalah menentukan alokasi bahan A dan B sebaik mungkin atau dengan kata lain menentukan jumlah produksi P1 dan P2 sedemikian rupa sehingga tercapai tujuan perusahaan yaitu meraih keuntungan semaksimal mungkin semaksimal mungkin. Jawaban: a) Tabel Data / Matrik Persoalan, sebagai berikut: Bahan mentah

Jenis Produksi P1 (X1) P2 (X2) 1 1 2 1 150 100

A B Harga jual (Rp.)

Bahan yg tersedia 600 1000

b). Fungsi tujuan, batasan dan penegasan Fungsi Tujuan: Z = 150X1 + 100X2 Batasan:

Penegasan:

1)

X1 + X2 ≤ 600

2)

2X1 + X2 ≤ 1000

3) X1 ≥ 0 4) X2 ≥ 0

c) Solusi Grafis Persaman kendala 1: X1 + X2 ≤ 600 dirubah menjadi X1 + X2 = 600 Titik potong

X1 X2

0 600

600 0

Persaman kendala 2: 2X1 + X2 ≤ 1000 dirubah menjadi 2X1 + X2=1000 Titik potong

X1 X2

0 1000

500 0

Grafiknya:

) !

&

' ((

d). Tabel Alternatif solusi Titik A: X1=0, X2=0, maka Z=0. Titik B:X1=500, X2=0, maka Z= Z= 1500(500) + 0= 75000 Titik C:X1=400, X2=200, maka Z= Z= 1500(400) + 100(200)=80000 Titik D:X1=0, X2=600, maka Z=1500(0) + 100(600)= 60000 Fungsi tujuan maksimalkan laba:Z maksimum= 1500X1 + 100X2 Alternatif di titik A B C D

Nilai X1

Nilai X2

Nilai Z

0 500 400 0

0 0 200 600

0 75.000 80.000 60.000

Keterangan

Maksimum, optimal

e) Simpulan Berdasarkan perhitungan nilai Z maksimum (optimum) sebesar 80.000 tercapai pada X1 = 400 dan X2 = 200. Jadi keputusannya, Produk P1 dibuat 400 buah, dan Produk P2 dibuat 200 buah setiap hari, dengan pendapatan setiapharinya sebesar Rp. 80.000,.

) !

&

' (*

Metode Matematika Soal 1: PT ANISA TOYS adalah sebuah perusahaan yang bergerak pada bidang mainan anak-anak. Perusahaan ini memproduksi dua buah mainan yang terbuat dari kayu, yaitu boneka dan kereta api. Untuk memperoleh sejumlah keuntungan perusahaan tersebut menjual boneka sebesar Rp 27.000,- dan Kereta Api sebesar Rp 21.000,-. Modal Pembuatan Mainan 1.

Boneka

Material Rp 10.000,- dan Pekerja Rp 14.000,-

2.

Kereta Api

Material Rp 9.000,- dan Pekerja Rp 10.000,-

Untuk pengerjaan mainan harus melewati 2 tahapan, yaitu pemolesan dan tukang kayu. Untuk pemolesan maksimal waktu sebanyak 100 Jam sedangkan untuk tukang kayu maksimal waktu sebanyak 80 jam. Untuk pengerjaan 1 lusin boneka memerlukan waktu 2 jam pemolesan dan 1 jam tukang kayu, sedangkan untuk kereta api memerlukan waktu 1 jam pemolesan dan 1 jam tukang kayu. Untuk produksi boneka diproduksi paling banyak 40 lusin sedangkan produksi kereta api tidak terbatas. Pertanyaan 1. Buatlah fungsi tujuan agar keuntungan dapat diperoleh secara m...