analisis vektor PDF

Preview

Summary

KATA PENGANTAR Materi Kuliah Analisis Vektor yang meliputi Vektor Konstan, Fungsi Vektor, Diferensial Vektor dan Integral Vektor mempunyai peranan yang sangat penting bagi para fisikawan dan rekayasawan untuk membantu menyelesaikan permasalahannya. Oleh sebab itu mahasiswa teknik perlu mendapat peng...

Description

KATA PENGANTAR Materi Kuliah Analisis Vektor yang meliputi Vektor Konstan, Fungsi Vektor, Diferensial Vektor dan Integral Vektor mempunyai peranan yang sangat penting bagi para fisikawan dan rekayasawan untuk membantu menyelesaikan permasalahannya. Oleh sebab itu mahasiswa teknik perlu mendapat pengetahuan tentang materi ini, sebagai salah satu bagian dasar untuk melatih kemampuan rekayasa mereka. Buku ajar yang berjudul Analisis Vektor ini disusun untuk membantu mahasiswa dalam memahami pokok bahasan di atas, sehingga proses belajar mengajar mata kuliah yang dimaksud bisa berjalan dengan lebih baik. Penyajian dan pembahasan materi dalam Buku Ajar ini diharapkan dapat dengan mudah diikuti dan dipahami oleh semua mahasiswa. Untuk itu, dalam setiap pokok bahasan, penyusun berusaha memberikan beberapa contoh soal yang dapat diselesaikan mahasiswa sebagai latihan. Di bagian akhir dari diktat ini diberikan daftar pustaka untuk membantu bagi yang ingin mempelajari lebih lanjut, agar mendapatkan pemahaman yang lebih mendalam. Buku Ajar ini tentu saja memiliki banyak kekurangan, untuk itu penyusun sangat mengharapkan saran dan kritik yang membangun dari pemakai

Buku

Ajar

ini

untuk

lebih

menyempurnakan

penyajian

selanjutnya. Akhirnya, penyusun berharap agar Buku Ajar ini dapat benarbenar bermanfaat.

Malang, Agustus 2003

Penyusun

DAFTAR ISI KATA PENGANTAR DAFTAR ISI

i

ii

BAB I : VEKTOR KONSTAN

1

1.1

Pengertian Tentang Vektor dan Notasi Vektor

1.2

Aljabar Vektor

1.3

Vektor Posisi Dalam Bidang dan Ruang

1.4

Perkalian Antar Vektor

1.5

Penggunaan Vektor Dalam Geometri

2

BAB II : FUNGSI VEKTOR

4

10 20

28

2.1

Fungsi Vektor

28

2.2

Kurva Vektor

29

BAB III : DIFERENSIAL VEKTOR

34

3.1

Derivatif atau Turunan dari Fungsi Vektor

3.2

Interpretasi Dari Derivatif Vektor

3.3

Gradien, Difergensi dan Curl

3.4

Penggunaan Gradien, Difergensi dan Curl

BAB IV : INTEGRAL VEKTOR 4.1

Integral Garis

4.2

Teorema Green

4.3

Medan Gaya Konservatif

4.4

Integral Luasan

4.5

Teorema Divergensi Gauss

4.6

Teorema Stokes

DAFTAR PUSTAKA

1

35 38

56

56 69 76

84 106

111

34

100

41

DIKTAT ANALISIS VEKTOR Oleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw BAB I

VEKTOR KONSTAN POKOK BAHASAN : ! Pengertian tentang vektor dan notasi vektor ! Aljabar vektor ! Vektor posisi dalam bidang dan ruang ! Perkalian antar vektor ! Penggunaan vektor dalam geometri 1.1. Pengertian Tentang Vektor dan Notasi Vektor Beberapa besaran (quantities) dalam fisika mempunyai besar (magnitude) dan arah (direction), sebagai contoh misalnya lintasan dan kecepatan sebuah obyek yang bergerak, gaya yang bekerja pada suatu benda, medan listrik maupun medan magnet suatu titik dan lain sebagainya. Besaran yang mempunyai besar dan arah disebut dengan vektor (vector). Sementara besaran yang hanya mempunyai besar (magnitude) saja seperti massa, waktu maupun temperatur disebut dengan skalar (scalar). Notasi vektor dan teknik-teknik dengan menggunakan analisis vektor sangat berguna untuk menjelaskan hukum-hukum fisika dan aplikasinya baik dalam bidang (dimensi dua = R2) maupun ruang (dimensi tiga = R3).Dalam penyajiannya sebuah vektor biasa digambarkan sebagai segmen atau ruas garis yang berarah sebagai berikut :

B v

v

=

AB = AB = AB

A

=

titik pangkal (initial point)

B

=

titik ujung (terminal point)

A

Panjang vektor v =

v

= AB

:

menyatakan besarnya vektor atau panjangnya vektor v

dan tanda panah dalam AB menyatakan arah vektor.

Program Semi Que Fakultas Teknik Jurusan Mesin Universitas Brawijaya

1

DIKTAT ANALISIS VEKTOR Oleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw Ada 3 jenis vektor : a. Vektor Bebas (free vector) : vektor yang boleh digeser sejajar dirinya dengan panjang dan arah tetap. b. Vektor meluncur (sliding vector) : vektor yang boleh digeser sepanjang garis kerjanya, misalnya gaya yang bekerja sepanjang garis lurus. c. Vektor terikat (binding vector) : vektor yang terikat pada sistem koordinat yang menunjukkan posisi tertentu. Kecuali bila digunakan untuk menyatakan letak atau posisi, pada umumnya orang bekerja dengan vektor bebas. 1.2. Aljabar Vektor Vektor nol (null vector) Ditulis 0 adalah vektor yang panjangnya nol sehingga arahnya tak tentu (karena ujung dan pangkalnya berimpit) Kesamaan 2 vektor Dua vektor dikatakan sama jika mempunyai panjang dan arah yang sama. Kesejajaran 2 vektor Dua vektor dikatakan sejajar atau paralel jika garis-garisnya sejajar, arahnya bisa sama atau berlawanan. Vektor-vektor yang segaris merupakan vektor-vektor yang paralel. Penjumlahan vektor Penjumlahan vektor bisa dilakukan dengan mengikuti aturan jajaran genjang atau aturan segi banyak (poligon) Misalnya: a.

A

A

B

A+B=C B

C

atau

A

C

B Program Semi Que Fakultas Teknik Jurusan Mesin Universitas Brawijaya

2

DIKTAT ANALISIS VEKTOR Oleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw

A B

B ⇒

b.

C

D

C E = A + B+ C + D

A D

E

B

A

C

c.

A + B+ C + D + E = 0

E D

Jumlah dari vektor-vektor yang merupakan sisi-sisi dari sebuah segi banyak tertutup selalu nol jika arah sisi-sisi tersebut berurutan. Penggandaan vektor dengan skalar Jika m = besaran skalar dan A = vektor yang panjangnya | A | maka : m A = vektor yang panjangnya m kali panjangnya A dan arahnya sama dengan vektor A jika m positif, atau berlawanan dengan arah vektor A jika m negatif Pengurangan vektor Pengurangan vektor dilakukan dengan menambahkan lawan dari vektor yang mengurangi

Program Semi Que Fakultas Teknik Jurusan Mesin Universitas Brawijaya

3

DIKTAT ANALISIS VEKTOR Oleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw Jadi:

A

A − B = A + (− B) A ⇒

B

⇒

−B

B C = A −− B

A

Jika A = B maka A − B = 0 Hukum-hukum yang berlaku dalam Aljabar Vektor Jika A, B, C adalah vektor dan m, n adalah skalar maka 1. A + B = B + A

(komutatif terhadap jumlahan)

2. A + (B + C) = (A + B) + C

(asosiatif terhadap jumlahan)

3. Terdapat vektor 0 sehingga: A + 0 = 0 + A = A

(ada elemen netral)

4. Terdapat vektor − A sehingga: A + (− A ) = 0

(ada elemen invers)

5. (mn) A = n (m A )

(asosiatif terhadap perkalian)

6. m(A + B) = m A + m B

(distributif terhadap perkalian)

7. (m + n) A = m A + n A

(distributif terhadap perkalian)

8. 1 (A ) = A

(ada invers dalam perkalian)

2.3. Vektor Posisi dalam Bidang dan Ruang Teorema Dasar Dalam Vektor : Setiap vektor C pada bidang dapat ditulis secara tunggal sebagai kombinasi linier sembarang 2 vektor A dan B yang tidak paralel dan bukan vektor nol. Atau:

C = m A + n B dengan m, n adalah skalar yang tunggal

Program Semi Que Fakultas Teknik Jurusan Mesin Universitas Brawijaya

4

DIKTAT ANALISIS VEKTOR Oleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw Bukti :

P1

P C = OP = OP1 + OP 2

C A O

B

P2

OP1 paralel dengan A sehingga OP1 = m A C = mA + n B OP 2 paralel dengan B sehingga OP 2 = m B Dalam hal ini m, n adalah skalar yang tunggal. Karena jika tidak tunggal maka C akan bisa ditulis sebagai berikut :

C = m1 A + n1 B = C = m2 A + n2 B (m1 - m2) A + (n1 - n2 ) B = 0 Karena A dan B bukan vektor nol dan tidak paralel maka,

→ m1 = m2 m1 - m2 = 0  n1 - n2 = 0  → n1 = n2 Teorema dasar ini juga berlaku untuk vektor-vektor dalam ruang (R3), sehingga untuk sembarang vektor D dapat ditulis :

D = m1 A + m2 B + m3 C dengan A , B dan C adalah vektor-vektor yang tidak paralel, bukan vektor nol dan tidak sebidang. Dua vektor A dan B dikatakan saling bergantung secara linier (dependent linear) jika terdapat skalar m dan n yang tidak nol dan m A + n B = 0 Kejadian ini akan terjadi jika : 1. A dan B merupakan vektor nol atau 2. A dan B paralel (sejajar)

Program Semi Que Fakultas Teknik Jurusan Mesin Universitas Brawijaya

5

DIKTAT ANALISIS VEKTOR Oleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw Contoh : Buktikan bahwa garis yang menghubungkan titik tengah dua sisi sebuah segitiga adalah sejajar dengan sisi ketiga dan panjangnya sama dengan 1/2 dari panjang sisi ketiga tersebut. M titik tengah AC

C

N titik tengah CB

AB = AC + CB

N

M

MN = MC + CN = 12 AC + 12 CB = 12 (AC + CB) B

A

= 12 AB

sehingga MN // AB dan panjang MN = ½ panjang AB Vektor satuan (unit vector) Vektor satuan adalah vektor dengan panjang 1 satuan panjang.

a=

A = vektor satuan dari A A

dan A = A a Vektor basis satuan Perhatikan suatu sistem koordinat XOY dalam R2 dan pilih 2 vektor satuan i dan j sebagai basis yang masing-masing sejajar dan searah dengan sumbu x dan

y positif dan berpangkal di O. y

j O

i

x

maka vektor i dan j disebut dengan vektor-vektor basis di R2 Di R3 : sebagai vektor basis yang sejajar dan searah dengan sumbu z dinyatakan dengan vektor k. Program Semi Que Fakultas Teknik Jurusan Mesin Universitas Brawijaya

6

DIKTAT ANALISIS VEKTOR Oleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw z

k i

j

y

x Vektor posisi a. Vektor Posisi dalam R2 Jika i dan j adalah vektor-vektor basis di R2 yaitu vektor satuan yang masing-masing sejajar dan searah dengan sumbu X dan sumbu Y dan berpangkal di titik 0 dalam R2. Maka sembarang vektor r dari titik 0 ke titik P(x,y) dalam bidang XOY selalu bisa dinyatakan sebagai kombinasi linier dari vektor basis i dan j . y ry j = y j

P(X,Y)

r j O

i

rx i = x i

x

Sehingga : r = rx i + ry j = x i + y j rx i = x i

;

ry j = y j disebut vektor-vektor komponen

rx = x

 → komponen vektor r pada sumbu X (proyeksi r ke sumbu X)

ry = y

 → komponen vektor r pada sumbu Y (proyeksi r ke sumbu

X) Vektor r = x i + y j disebut vektor posisi titik P , karena komponenkomponennya merupakan koordinat yang menunjukkan posisi titik P. Panjang dari r = | r | =

x2 + y2

Program Semi Que Fakultas Teknik Jurusan Mesin Universitas Brawijaya

7

DIKTAT ANALISIS VEKTOR Oleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw b. Vektor Posisi dalam R3 : Vektor-vektor basis dalam R3 adalah vektor-vektor satuan i , j dan k yang masing-masing berimpit dan searah dengan sumbu-sumbu X, Y dan Z positif dan berpangkal di titik 0. . z P(x,y,z)

r k j

y

i O

x

r =xi+yj+zk

merupakan vektor posisi dari titik P(x,y,z)

x = proyeksi OP ke sumbu X y = proyeksi OP ke sumbu Y z = proyeksi OP ke sumbu Z Panjang dari r = | r | =

x2 + y2 + z2

Secara umum untuk sembarang vektor A = Ax i + Ay j + Az k dalam R3 , berlaku : z 2

2

Panjang A = A = A x + A y + A z

A zk i

Vektor satuan a =

γ β α

2

A 2

2

Ax + A y + Az

2

y Ayj

A xi

x

Program Semi Que Fakultas Teknik Jurusan Mesin Universitas Brawijaya

8

DIKTAT ANALISIS VEKTOR Oleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw Dengan : " Ax, Ay; Az disebut bilangan arah vektor A " Sudut-sudut α ; β ; γ yang dibentuk vektor A terhadap sumbu x, y, z positif disebut arah vektor A " Cosinus sudut-sudut tersebut disebut cosinus arah. dengan:

cos α =

cos β =

cos γ =

Ax 2

2

Ax + Ay + Az

2

Ay 2

2

2

2

2

Ax + Ay + Az Az 2

Ax + Ay + Az

=

=

=

Ax A Ay

cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = 1

A Az A

Menyatakan Suatu Vektor Dalam Koordinat Tegak

z

OP1 = x1i + y1j +z1k P1 (x1 , y1 , z1 )

OP 2 = x2i + y2j + z2k P2 (x 2 , y 2 , z 2 )

O

x

y

P1P2 = OP1 − OP 2 = (x2i + y2j z2k) – (x1i + y1j z1k) = (x2 – x1)i (y2 – y1)j + (z2 – z1)k Sembarang vektor P1P2 dalam sistem koordinat bisa dinyatakan

sebagai kombinasi linier dari vektor-vektor basis dengan komponenkomponennya adalah komponen vektor

posisi

titik ujung dikurangi

komponen vektor titik pangkalnya.

Program Semi Que Fakultas Teknik Jurusan Mesin Universitas Brawijaya

9

DIKTAT ANALISIS VEKTOR Oleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw

P1P2 = (x 2 − x1 ) 2 + (y 2 − y1 ) + (z 2 − z1 ) = panjang vektor P1P2

SOAL-SOAL 1. Tentukan vektor satuan yang sejajar dengan jumlah (resultan) dari vektor-vektor

r1 = 2i + 4j – 5k r2 = i + 2j + 3k 2. Tunjukkan bahwa vektor-vektor :

A

=

3i + 2j + k

B

=

i + 3j + 5k

C

=

2i + j – 4k

akan membentuk sebuah segitiga 3. Ambil sembarang segi 4 ABCD Titik-titik P, Q, R, S adalah titik-titik tengah sisi AB; BC; CD dan DA Buktikan bahwa PQRS menyusun suatu jajaran genjang. (Cukup dengan membuktikan bahwa PQ = RS atau QR = PS ) Q

B

"

C

" ∠

P

R

O

∠

!

S

!

D

1.4. Perkalian Antar Vektor a. Hasil Kali Skalar (Dot product / Scalar Product)

Ditulis: A ! B = A B cos θ Program Semi Que Fakultas Teknik Jurusan Mesin Universitas Brawijaya

; θ = sudut antara vektor A dan B

10

DIKTAT ANALISIS VEKTOR Oleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw

B

A θ

θ

B

A

A cos θ

B cos θ

Proyeksi A pada B

Proyeksi B pada A

• Sifat Hasil Kali Skalar : 1. A ! B = B ! A 2

2. A ! A = A cos 0 = A

2

3. A ! (B + C) = A ! B + A ! C 4. (A + B) ! C = A ! C + B ! C Dalam R3 :

z (krn //)

i ! j = j! k = k ! i = 0

(krn ⊥)

Karena :

k i

i ! i = j! j = k ! k = 1

y j

i ! i = i i cos 0 = 1 i ! j = i j cos 90° = 0

x Jika:

A

=

Axi + Ay j + Azk

B

=

Bxi + By j + Bzk

A ! B = (A x i + A y j + A z k ) ! (B x i + B y j + Bz k) A ! B = A x B x + A y B y + A z Bz • Sudut Antar 2 Vektor : Karena A ! B = A B cos θ

Program Semi Que Fakultas Teknik Jurusan Mesin Universitas Brawijaya

11

DIKTAT ANALISIS VEKTOR Oleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw

cos θ

=

A!B ==> AB

A! B AB

θ = arc cos

Contoh : A=

3i + 6j + 9k

B =

-2i + 3j + k

A ! B = 3(-2) + (6)(3) + (9(1) = 21

A = 32 + 6 2 + 9 2 = 3 14 B = 22 + 32 + 12 = 14 cos θ =

A!B 21 21 1 = = = A B 3 14 . 14 42 2

• Vektor-vektor Yang Tegak Lurus dan Vektor-vektor Yang Paralel □ Vektor-vektor yang tegak lurus (yaitu cos θ = 0) ––> A ! B atau A ⊥ B Atau jika : Ax Bx + Ay By + Az Bz = 0 □ Dua vektor paralel jika komponen-komponennya sebanding atau jika :

Ax Ay Az = = B x B y Bz

• Hasil Kali Skalar Untuk Menghitung Usaha Dalam fisika, usaha = gaya × jarak perpindahan Jika gaya dan jarak perpindahan tidak sejajar

W = F cos θ.d F

= F! d

θ

d F cos θ

d= d

Contoh : Diketahui :

F = 2i + 2j – 4k adalah gaya yang bekerja pada benda yang bergerak dari titik (1,0,1) ke titik (2,4,2) Tentukan besarnya usaha yang dilakukan oleh gaya F Program Semi Que Fakultas Teknik Jurusan Mesin Universitas Brawijaya

12

DIKTAT ANALISIS VEKTOR Oleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw Jawab:

W = F! d d

=

(2–1)i + (4–0)j + 2(2–1)k = 2i + 4j + k

W

=

(2i + 2j – 4k) ! (2i + 4j + k) = 4 + 8 – 4 = 8 satuan usaha

b. Hasil Kali vektor (Cross Product / Vector Product Ditulis: A × B = C hasilnya berupa vektor

A×B

Dengan A × B = A B sin θ

A C

θ

A

B B

B θ A

C B× A

Arah dari A × B ditentukan berdasarkan aturan tangan kanan atau sekrup putar kanan. Sifat hasil kali vektor: "

A×B≠B×A A × B = –(B × A)

anti komutatif

"

(kA) × B = k(A × B) = A (kB)

"

A × (B + C) = (A × B) + (A × C) (A + B) × C = (A × C) + (B × C)

Dalam R3

z

i × i = i i sin θ dengan cara yang sama

k i

y

j

i×i=j×j=k×k=0

i × j = i j sin 90° = 1

x

Program Semi Que Fakultas Teknik Jurusan Mesin Universitas Brawijaya

13

DIKTAT ANALISIS VEKTOR Oleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw sehingga:

Jika :

i×j=k

;

j × k = i;

k×i=j

j × i = -k

;

k × j = -i

;

A

=

Ax i + Ay j + Az k

B

=

Bx i + By j + Bz k

A×B = =

i × k = -j

(Ax i + Ay j + Azk) × (Bx i + By j + Bzk) (AyBz – AzBy) i – (AxBz – AzBx) j + (AxBy – AyBx) k

atau:

A×B =

i Ax Bx

j Ay By

k Az Bz

dan

A × B = A B sin θ =

(A ! A )(B ! B)− (A ! B)

2

Contoh :

A = 2i – j + k B = i – 3j + 4k A ! A = 22 + 32 + 42 = 6 B! B = 2 + 3 + 4 = 9 i j k = i (−4 + 3) − j(8 − 1) + k (−6 + 1) A × B = 2 - 1 1 = i − 7 j − 5k 1 -3 4 A × B = 12 + 7 2 + 5 2 = 1 + 49 + 25 = 75 Aplikasi dari Hasil Kali Vektor "

Menghitung Torsi/Momen Dalam mekanika momen/torsi dari gaya F terhadap titik Q didefinisikan sebagai:

Program Semi Que Fakultas Teknik Jurusan Mesin Universitas Brawijaya

14

DIKTAT ANALISIS ...