Analisis Vektor untuk Pendidikan Matematika PDF

Preview

Summary

ANALISIS VEKTOR Untuk Pendidikan Matematika YUNIS SULISTYORINI DIAN FITRI ARGARINI NOK IZATUL YAZIDAH ERA DEWI KARTIKA I K I P B U D I U T OANALISIS MO VEKTOR untuk Pendidikan Matematika | MALANG ANALISIS VEKTOR Untuk Pendidikan Matematika ANALISIS VEKTOR untuk Pendidikan Matematika | i KATA PENGANT...

Description

ANALISIS VEKTOR Untuk Pendidikan Matematika

YUNIS SULISTYORINI DIAN FITRI ARGARINI NOK IZATUL YAZIDAH ERA DEWI KARTIKA VEKTOR untuk Pendidikan Matematika | I K I P B U D I U T OANALISIS MO MALANG

ANALISIS VEKTOR Untuk Pendidikan Matematika

ANALISIS VEKTOR untuk Pendidikan Matematika | i

KATA PENGANTAR

Alhamdulillah, penulis panjatkan puji syukur ke hadirat Allah SWT atas segala nikmat dan karunia-Nya dapat menyelesaikan buku ANALISIS VEKTOR untuk Pendidikan Matematika dengan baik. Buku ini merupakan buku penunjang mata kuliah analisis vektor bagi mahasiswa pendidikan mattematika. Penyajian buku ANALISIS VEKTOR untuk Pendidikan Matematika ini dapat dijelaskan sebagai berikut, ✓ Penyampaian materi secara lengkap berdasarkan capaian pembelajaran yang diharapkan. ✓ Pemberian contoh soal sesuai materi dan kontekstual berdasarkan permasalahan sehari-hari ✓ Pemberian latihan soal dan dilengkapi kunci jawaban soal terpilih . Buku ini dapat tersusun dengan baik berkat bantuan berbagai pihak. Oleh karena itu, penulis mengucapkan terima kasih kepada pihak-pihak terkait, yang telah membantu mewujudkan buku ini. Semoga buku ini membawa manfaat yang luar biasa bagi pembaca khususnya mahasiswa pendidikan matematika. Pada akhirnya penulis tetap mengharapkan kritik dan saran dari para pembaca mengenai materi, cara penyajian, atau soal latihan untuk memperbaiki mutu buku ini.

Malang, 18 November 2017

Yunis Sulistyorini Dian Fitri Argarini Nok Izatul Yazidah Era Dewi Kartika

ANALISIS VEKTOR untuk Pendidikan Matematika | ii

PETUNJUK PENGGUNAAN MODUL

1.

Modul terdiri dari sajian materi, contoh soal dan latihan soal

2.

3.

Pelajari materi dan contoh soal yang disajikan terlebih dahulu.

Lanjutkan dengan latihan soal yang diberikan.

4.

Pemahaman materi dalam suatu bab menjadi prasyarat dalam memahami materi dalam bab berikutnya

5. Tanyakan kepada dosen atau teman jika mengalami kesulitan 6. .

ANALISIS VEKTOR untuk Pendidikan Matematika | iii

DAFTAR ISI

HALAMAN SAMPUL ................................................................................ i KATA PENGANTAR ................................................................................. ii PETUNJUK PENGGUNAAN MODUL ..................................................... iii

DAFTAR ISI ................................................................................................ iv PETA KONSEP ........................................................................................... vi BAB I VEKTOR DAN SKALAR Vektor .......................................................................................................... 2 Skalar ........................................................................................................... 2 Aljabar Vektor.............................................................................................. 2 Hukum-hukum aljabar vektor ...................................................................... 4 Vektor Satuan............................................................................................... 5 Vektor-vektor satuan tegak lurus 𝑖Ԧ, 𝑗Ԧ, 𝑘ሬԦ ....................................................... 5 Komponen-komponen sebuah vektor .......................................................... 6 Medan Skalar ............................................................................................... 7 Medan Vektor .............................................................................................. 8 BAB II HASIL KALI VEKTOR Hasil Kali Titik............................................................................................. 14 Hasil Kali Silang Vektor .............................................................................. 14 Hasil Kali Triple........................................................................................... 15 Himpunan Vektor Kebalikan ....................................................................... 16 BAB III DIFERENSIASI VEKTOR Turunan Biasa Vektor .................................................................................. 20 Kurva Ruang ................................................................................................ 21 Kekontinuan dan Keterdiferensialan ............................................................ 22 Rumus Diferensiasi ...................................................................................... 22 Turunan Parsial dari Vektor ......................................................................... 23 Turunan Vektor ............................................................................................ 24 Turunan Geometri ........................................................................................ 24 Mekanika...................................................................................................... 25 BAB IV GRADIEN, DIVERGENSI, DAN CURL Operator Diferensial Vektor Del .................................................................. 30 Gradien ......................................................................................................... 30 Divergensi .................................................................................................... 31 Curl .............................................................................................................. 31 Rumus-rumus yang mengandung ∇ ............................................................. 31 ANALISIS VEKTOR untuk Pendidikan Matematika | iv

Invarians ....................................................................................................... 32 BAB V INTEGRASI VEKTOR Integral Biasa dari Vektor ............................................................................ 38 Integral Garis................................................................................................ 38 Teorema ....................................................................................................... 39 Integral Permukaan ...................................................................................... 40 Integral Volume ........................................................................................... 41 KUNCI JAWABAN .................................................................................... 44 DAFTAR PUSTAKA .................................................................................. 52

ANALISIS VEKTOR untuk Pendidikan Matematika | v

PETA KONSEP

Vektor dan Skalar

Analisis Vektor

Hasil Kali Vektor

Diferensiasi Vektor

Gradien, Divergensi, dan Curl

Integrasi Vektor

ANALISIS VEKTOR untuk Pendidikan Matematika | vi

BAB I VEKTOR DAN SKALAR

Indikator : ✓ Menemukan definisi vektor dan skalar ✓ Membedakan vektor dan skalar ✓ Mengaplikasikan vektor dan skalar pada geometri dan fisika ✓ Menyusun persamaan vektor garis lurus

ANALISIS VEKTOR untuk Pendidikan Matematika | 1

BAB I VEKTOR DAN SKALAR

MATERI-MATERI ➢ VEKTOR Adalah besaran yang mempunyai besar dan arah. Contoh dari besaran vektor antara lain yaitu perpindahan (displacement), kecepatan, gaya, dan percepatan. Secara grafis, vektor digambarkan oleh sebuah anak panah OP (bisa dilihat pada Gambar 1) yang mendefinisikan arahnya sedangkan besarnya dinyatakan oleh panjang anak panah. Ujung pangkal O dari anak panah disebut titik pangkal vektor dan ujung kepala P disebut titik ujung. Secara analisis, vektor dilambangkan oleh sebuah huruf dengan arah panah di atasnya, seperti 𝐴Ԧ dalam Gambar 1 dan besarnya dinyatakan oleh |𝐴Ԧ|. Untuk selanjutnya pada modul ini penulisan vektor akan dinyatakan dengan lambang 𝐴Ԧ sedangkan |𝐴Ԧ| menyatakan besarnya. Dalam modul ini kami akan pergunakan notasi ሬሬሬሬሬԦ, dalam hal ini huruf dengan cetakan tebal ini. Vektor OP juga dinyatakan sebagai 𝑂𝑃 ሬሬሬሬሬԦ|. maka besarnya akan kita nyatakan dengan |𝑂𝑃 ➢ SKALAR Adalah besaran yang mempunyai besar tetapi tidak memiliki arah. Contoh dari besaran skalar sendiri adalah massa, panjang, waktu, suhu, dan sebarang bilangan riil. Skalar dinyatakan oleh huruf-huruf biasa seperti dalam aljabar elementer. Operasioperasi dengan skalar mengikuti aturan-aturan yang sama seperti halnya dalam aljabar elementer. ➢ ALJABAR VEKTOR Operasi-operasi penjumlahan, pengurangan, dan perkalian yang lazim dalam aljabar dari bilangan-bilangan atau skalar-skalar, dengan definisi yang sesuai, dapat ANALISIS VEKTOR untuk Pendidikan Matematika | 2

diperluas ke dalam aljabar dari vektor-vektor. Berikut adalah definisi-definisi yang harus diperhatikan: ሬԦ sama jika mereka memiliki besar dana rah yang sama 1. Dua buah vektor 𝐴Ԧ dan 𝐵 ሬԦ. Definisi ini bisa tanpa memandang kedudukan titik-titik awalnya. Jadi 𝐴Ԧ = 𝐵 diilustrasikan pada Gambar 2.

𝐴Ԧ ሬԦ 𝐵

Gambar 2 2. Sebuah vektor yang arahnya berlawanan dengan vektor 𝐴Ԧ tetapi memiliki besar yang sama dinyatakan oleh −𝐴Ԧ. Definisi ini bisa dilihat pada gambar 3.

𝐴Ԧ -𝐴Ԧ

Gambar 3

ሬԦ adalah sebuah vektor 𝐶Ԧ yang 3. Jumlah atau resultan dari vektor-vektor 𝐴Ԧ dan 𝐵 ሬԦ ada titik ujung dari 𝐴Ԧ dan dibentuk dengan menempatkan titik pangkal dari 𝐵 ሬԦ (Gambar kemudian menghubungkan titik pangkal dari 𝐴Ԧ dengan titik ujung dari 𝐵 ሬԦ, yakni 𝐶Ԧ = 𝐴Ԧ + 𝐵 ሬԦ. 4). Jumlah ini ditulis 𝐴Ԧ + 𝐵 Definisi ini ekuivalen dengan hukum jajaran genjang untuk penjumlahan vektor. Perluasan ke dalam penjumlahan lebih daripada dua buah vektor adalah langsung.

ANALISIS VEKTOR untuk Pendidikan Matematika | 3

ሬԦ 𝐵

𝐴Ԧ ሬԦ 𝐵

𝐴Ԧ

Gambar 4 ሬԦ yang dinyatakan oleh 𝐴Ԧ – 𝐵 ሬԦ, adalah vektor 𝐶Ԧ 4. Selisih dari vektor-vektor 𝐴Ԧ dan 𝐵 ሬԦ menghasilkan vektor 𝐴Ԧ. Secara ekuivalen 𝐴Ԧ – yang apabila ditambahkan pada 𝐵 ሬԦ dapat didefinisikan sebagai jumlah 𝐴Ԧ + (-𝐵 ሬԦ). 𝐵 ሬԦ, maka 𝐴Ԧ – 𝐵 ሬԦ didefinisikan sebagai vektor nol atau vektor kosong dan Jika 𝐴Ԧ = 𝐵 dinyatakan oleh symbol ሬ0Ԧ atau secara singat 0. Besarnya nol dan tak memiliki arah yang tertentu. Vektor yang tak nol adalah vektor sejati (proper vector). Semua vektor akan dipandangsejati kecuali bila ada pernyataan lainnya. 5. Hasil kali sebuah vektor 𝐴Ԧ dengan sebuah skalar m adalah sebuah vektor m𝐴Ԧ yang besarnya |𝑚| positif atau negative. Jika m = 0 maka m𝐴Ԧ adalah sebuah vektor nol. ➢ HUKUM-HUKUM ALJABAR VEKTOR ሬԦ, dan 𝐶Ԧ adalah vektor-vektor dan m dan n skalar-skalar maka: Jika 𝐴Ԧ, 𝐵 1.

Hukum Komutatif untuk Penjumlahan, dinyatakan dengan: ሬԦ = 𝐵 ሬԦ + 𝐴Ԧ 𝐴Ԧ + 𝐵

2.

Hukum Asosiatif untuk Penjumlahan, dinyatakan dengan: ሬԦ + 𝐶Ԧ) = (𝐴Ԧ + 𝐵 ሬԦ) + ሬሬሬԦ 𝐴Ԧ + (𝐵 𝐶

3.

Hukum Komutatif untuk Perkalian, dinyatakan dengan: 𝑚𝐴Ԧ = 𝐴Ԧ𝑚

4.

Hukum Asosiatif untuk Perkalian, dapat dinyatakan dengan 𝑚 (𝑛𝐴Ԧ) = (𝑚𝑛)𝐴Ԧ

5.

Hukum Distributif penjumlahan terhadap perkalian, dinyatakan dengan: (𝑚 + 𝑛) 𝐴Ԧ = 𝑚𝐴Ԧ + 𝑛𝐴Ԧ

ANALISIS VEKTOR untuk Pendidikan Matematika | 4

6.

Hukum Distributif perkalian terhadap penjumlahan, dinyatakan denga: ሬԦ) = 𝑚𝐴Ԧ + 𝑚𝐵 ሬԦ 𝑚 (𝐴Ԧ + 𝐵

Perhatikan bahwa dalam hokum-hukum ini hanya perkalian sebuah vektor dengan satu atau lebih skalar-skalar yang digunakan. Dalam Bab 2, akan didefinisikan hasil kali dari vektor-vektor. Hukum-hukum ini memungkinkan kita memperlakukan persamaan-persamaan vektor dengan cara yang sama seperti persamaan-persamaan ሬԦ = 𝐶Ԧ dengan menukarkan tempat 𝐴Ԧ = 𝐶Ԧ – 𝐵 ሬԦ. aljabar biasa. Misal penyelesaian 𝐴Ԧ + 𝐵 ➢ VEKTOR SATUAN Adalah sebuah vektor yang besarnya satu. Jika 𝐴Ԧ adalah sebuah vektor yang besarnya 𝐴Ԧ ≠ 0, maka

𝐴Ԧ |𝐴Ԧ|

adalah sebuah vektor satuan yang arahnya sama dengan 𝐴Ԧ.

Setiap vektor 𝐴Ԧ dapat dinyatakan oleh sebuah vektor satuan 𝑎Ԧ dalam arah 𝐴Ԧ dikalikan dengan besarnya |𝐴Ԧ|. Dalam simbol, 𝐴Ԧ = |𝐴Ԧ|𝑎Ԧ.

➢ VEKTOR-VEKTOR SATUAN TEGAK LURUS 𝒊Ԧ, 𝒋Ԧ, ሬ𝒌Ԧ Himpunan vektor-vektor satuan yang penting adalah yang arahnya menurut sumbu-sumbu x, y, dan z positif dari system koordinat tegak lurus ruang tiga dimensi. masing-masingnya dinyatakan oleh 𝑖Ԧ, 𝑗Ԧ, dan 𝑘ሬԦ (Gambar 5). z

𝑘ሬԦ 𝑗Ԧ 𝑖Ԧ

x

o

y

Gambar 5 ANALISIS VEKTOR untuk Pendidikan Matematika | 5

Kita akan menggunakan system koordinat tegak lurus aturan tangan kanan kecuali ada pernyataan lainnya. Sistem demikian dinamakan dari kenyataan bahwa sebuah sekerup bergulir kanan yang diputar 90° dari Ox ke Oy akan maju dalam arah sumbu z positif, seperti dalam Gambar 5 di atas. ሬԦ, dan 𝐶Ԧ yang titik-titik pangkalnya Pada umumnya, tiga buah vektor 𝐴Ԧ, 𝐵 berimpit dan tak-koplanar (coplanar), yakni tidak terletak pada atau sejajar bidang yang sama disebut membentuk sebuah system tangan kanan atau sistem dekstral jika sebuah sekerup bergalur kanan yang diputar dengan sudut yang lebih kecil daripada ሬԦ akan maju dalam arah 𝐶Ԧ seperti diperlihatkan dalam Gambar 6. 180° dari 𝐴Ԧ ke 𝐵

𝐶Ԧ

ሬԦ 𝐵

𝐴Ԧ

Gambar 6

➢ KOMPONEN-KOMPONEN SEBUAH VEKTOR Setiap vektor 𝐴Ԧ dalam ruang 3 dimensi dapat digambarkan dengan titik pangkal pada titik asal O dari system koordinat tegak lurus (Gambar 7). Misalkan (𝐴1 , 𝐴2 , 𝐴3 ) koordinat-koordinat tegak lurus titik terminal dari vektor 𝐴Ԧ dengan titik asal pada O. Vektor-vektor A1𝑖Ԧ, A2 𝑗Ԧ dan A3𝑘ሬԦ disebut vektor-vektor komponen tegak lurus atau secara singkat vektor-vektor komponen dari A berturut-turut dalam arah-arah x, y, dan z.

ANALISIS VEKTOR untuk Pendidikan Matematika | 6

z

𝐴Ԧ

A1𝑖Ԧ

o

A3 𝑘ሬԦ

y

A2ሬԦ𝑗 x

Gambar 7

A1 , A2 , A3 disebut komponen-komponen tegak lurus atau secara sigat komponen-komponen dari 𝐴Ԧ berturut-turut dalam arah x, y, dan z. Jumlah atau resultan dari A1 𝑖Ԧ, A2 𝑗Ԧ dan A3 𝑘ሬԦ adalah vektor 𝐴Ԧ sehingga kita dapat menulis: 𝐴Ԧ = 𝐴1 𝑖Ԧ + 𝐴2 𝑗Ԧ + 𝐴3 𝑘ሬԦ Sedangkan besar dari 𝐴Ԧ sendiri dapat dinyatakan: |𝐴Ԧ| = √𝐴1 2 + 𝐴2 2 + 𝐴3 2 Pada khususnya, vektor posisi atau vektor jejari (Radius vector) 𝑟Ԧ dari O ke titik (x, y, z) ditulis: 𝑟Ԧ = 𝑥𝑖Ԧ + 𝑦𝑗Ԧ + 𝑧𝑘ሬԦ Dan besarnya: |𝑟Ԧ| = √𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 ➢ MEDAN SKALAR Jika pada tiap-tiap titik (x, y, z) dari suatu daerah R dalam ruang dikaitkan sebuah bilangan atau skalar 𝜙(𝑥, 𝑦, 𝑧) maka 𝜙 disebut fungsi skalar dari kedudukan atau fungsi titik skalar (scalar point function) dan kita mengatakan bahwa sebuah medan skalar 𝜙 telah didefinisikan dalam R. ANALISIS VEKTOR untuk Pendidikan Matematika | 7

Contoh-contoh: (1) Temperatur pada setiap titik di dalam atau di atas permukaan bumi pada suatu saat tertentu mendefinisikan sebuah medan skalar (2) 𝜙(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥 3 𝑦 − 𝑧 2 mendefinisikan sebuah medan skalar. Sebuah medan salar yang tak bergantung pada waktu disebut medan skalar stationer. ➢ MEDAN VEKTOR Jika pada tiap-tiap titik (x, y, z) dari suatu daerah R dalam ruang dikaitkan sebuh ሬԦ (x, y, z), maka 𝑉 ሬԦ disebut fungsi vektor dari kedudukan atau fungsi titik vektor vektor 𝑉 ሬԦ telah (vector point function) dan kita mengatakan bahwa sebuah medan vektor 𝑉 didefinisikan dalam R. Contoh-contoh: (1) Jika kecepatan pada setiap titik (x, y, z) dalam sebuah fluida yang sedang bergerakdiketahui pada suatu saat tertentu, maka medan vektor terdefinisikan. ሬԦ (𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥𝑦 2 𝑖Ԧ − 2𝑦𝑧 3 𝑗Ԧ + 𝑥 2 𝑧𝑘ሬԦ mendefinisikan sebuah medan vektor. (2) 𝑉 Sebuah medan vektor yang tak bergantung pada waktu disebut sebuah medan vektorstasioner atau keadaan.

CONTOH SOAL 1. Diketahui dua buah vektor 𝑎Ԧ dan 𝑏ሬԦ yang tak-konilier, carilah suatu pernyataan untuk sebarang vektor 𝑟Ԧ yang terletak dalam bidang yang dibentuk oleh 𝑎Ԧ dan 𝑏ሬԦ. Vektor-vektor tak-kolinier adalah vektor-vektor yang tak sejajar dengan garis yang sama. Oleh karena itu, apabila titik-titik pangkalnya berimpitan, mereka menentukan sebuah bidang. Misalkan 𝑟Ԧ sebarang vektor yang terletak dalam bidang dari 𝑎Ԧ dan 𝑏ሬԦ dan titik pangkalnya berimpit dengan titik-titik pangkalnya 𝑎Ԧ dan 𝑏ሬԦ di 𝑂. Dari titik terminal 𝑅ሬԦ vektor 𝑟Ԧ, gambarkan garis-garis yang sejajar vektor-vektor 𝑎Ԧ dan 𝑏ሬԦ dan lengkapi jajar genjang 𝑂𝐷𝑅𝐶 dengan memperpanjang garis-garis kerja dari 𝑎Ԧ dan 𝑏ሬԦ bila perlu. Dari gambar di samping

ANALISIS VEKTOR untuk Pendidikan Matematika | 8

ሬሬሬሬሬሬԦ = 𝑥(𝑂𝐴 ሬሬሬሬሬԦ) = 𝑥𝑎Ԧ, dimana 𝑥 sebuah skalar 𝑂𝐷 ሬሬሬሬሬԦ ሬሬሬሬሬԦ ) = 𝑦𝑏ሬԦ, dimana 𝑦 sebuah skalar 𝑂𝐶 = 𝑦(𝑂𝐵 Tetapi menurut hukum jajar genjang dari penjumlahan vektor ሬሬሬሬሬԦ = 𝑂𝐷 ሬሬሬሬሬሬԦ + 𝑂𝐶 ሬሬሬሬሬԦ atau 𝑟Ԧ = 𝑥𝑎Ԧ + 𝑦𝑏ሬԦ 𝑂𝑅 yang mana adalah pernyataan yang diinginkan. Vektor-vektor 𝑥𝑎Ԧ dan 𝑦𝑏ሬԦ disebut komponen-komponen vektor 𝑟Ԧ masing-masing dalam arah 𝑎Ԧ dan 𝑏ሬԦ. Skalar-skalar 𝑥 dan 𝑦 dapat berharga positif atau negatif tergantung pada orientasi-orientasi relatif dari vektor-vektor. Dari cara penggambaran ini, jelaslah bahwa 𝑥 dan 𝑦 adalah unik untuk 𝑎, ሬሬሬԦ 𝑏ሬԦ dan 𝑟Ԧ yang diberikan. Vektor-vektor 𝑎Ԧ dan 𝑏ሬԦ disebut vektorvektor basis dalam bidang. 2. Diketahui tiga buah vektor 𝑎, ሬሬሬԦ 𝑏ሬԦ dan 𝑐Ԧ yang tak-koplanar, carilah suatu pernyataan untuk sebarang vektor 𝑟Ԧ dalam ruang tiga dimensi. Vektor-vektor yang tak-koplanar adalah vektor-vektor yang tak sejajar dengan bidang yang sama. Jadi apabila titik pangkalnya berimpitan maka mereka tidak terletak dalam bidang yang sama. Misalkan 𝑟Ԧ sebarang vektor dalam ruang yang titik pangkalnya berimpitan dengan titik-titik pangkal 𝑎, ሬሬሬԦ 𝑏ሬԦ dan 𝑐Ԧ di 𝑂. Melalui titik terminal 𝑟Ԧ gambarkan bidang-bidang yang masing-masingnya sejajar dengan bidang-bidang yang ditentukan oleh 𝑎Ԧ dan 𝑏ሬԦ, 𝑏ሬԦ dan 𝑐Ԧ, dan 𝑎Ԧ dan 𝑐Ԧ; dan lengkapi jajar genjang ruang 𝑃𝑄𝑅𝑆𝑇𝑈𝑉 dengan memperpanjang garis-garis kerja dari 𝑎, ሬሬሬԦ 𝑏ሬԦ dan 𝑐Ԧ bila perlu. Dari gambar di samping, ሬሬሬሬሬԦ ሬሬሬሬሬԦ) = 𝑥𝑎Ԧ, dimana 𝑥 sebuah skalar 𝑂𝑉 = 𝑥(𝑂𝐴 ሬሬሬሬሬԦ = 𝑦(𝑂𝐵 ሬሬሬሬሬԦ) = 𝑦𝑏ሬԦ, dimana 𝑦 sebuah skalar 𝑂𝑃 ሬሬሬሬሬԦ = 𝑧(𝑂𝐶 ሬሬሬሬሬԦ ) = 𝑧𝑐Ԧ, dimana 𝑧 sebuah skalar 𝑂𝑇 Tetapi ሬሬሬሬሬԦ 𝑂𝑅 = ሬሬሬሬሬԦ 𝑂𝑉 + ሬሬሬሬሬԦ 𝑉𝑄 + ሬሬሬሬሬԦ 𝑄𝑅 = ሬሬሬሬሬԦ 𝑂𝑉 + ሬሬሬሬሬԦ 𝑂𝑃 + ሬሬሬሬሬԦ 𝑂𝑇 atau 𝑟Ԧ = 𝑥𝑎Ԧ + 𝑦𝑏ሬԦ + 𝑧𝑐Ԧ Dari cara menggambarkan, jelas bahwa 𝑥, 𝑦 dan 𝑧 adalah unik untuk 𝑎, ሬሬሬԦ 𝑏ሬԦ, 𝑐Ԧ dan 𝑟Ԧ yang diberikan. Vektor-vektor 𝑥𝑎Ԧ,𝑦𝑏ሬԦ dan 𝑧𝑐Ԧ disebut komponen-komponen vektor

ANALISIS VEKTOR untuk Pendidikan Matematika | 9

𝑟Ԧ masing-masing dalam arah 𝑎Ԧ, 𝑏ሬԦ dan 𝑐Ԧ. Vektor-vektor 𝑎Ԧ, 𝑏ሬԦ dan 𝑐Ԧ disebut vektorvektor basis dalam ruang tiga dimensi. Secara khusus, jika 𝑎Ԧ, 𝑏ሬԦ dan 𝑐Ԧ adalah vektor satuan 𝑖Ԧ, 𝑗Ԧ dan 𝑘ሬԦ yang saling tegak lurus , kita melihat bahwa sebarang vektor 𝑟Ԧ dapat dinyatakan secara unik dalam 𝑖Ԧ, 𝑗Ԧ dan 𝑘ሬԦ melalui pernyataan 𝑟Ԧ = 𝑥𝑖Ԧ + 𝑦𝑗Ԧ + 𝑧𝑘ሬԦ. Selain itu, jika 𝑐Ԧ = ሬ0Ԧ maka 𝑟Ԧ haruslah terletak pada bidang 𝑎Ԧ dan 𝑏ሬԦ sehingga diperoleh hasil tentang vektorvektor basis dalam bidang. ሬԦ, dan 𝐶Ԧ. Gambarkan 𝐴Ԧ − 𝐵 ሬԦ + 2𝐶Ԧ 3. Diketahui vektor-vektor 𝐴Ԧ, 𝐵 Jawab: ሬԦ, dan 𝐶Ԧ sebagai berikut: Misal vektor 𝐴Ԧ, 𝐵

𝐴Ԧ

ሬԦ 𝐵 𝐶Ԧ

ሬԦ + 2𝐶Ԧ adalah sebagai berikut: Maka 𝐴Ԧ − 𝐵

ሬԦ −𝐵

𝐴Ԧ

ANALISIS VEKTOR untuk Pendidikan Matematika | 10

LATIHAN SOAL

1.

Manakah dari besaran berikut yang merupakan skalar dan manakah yang termasuk vektor!

2.

a. Jarak

g. kecepatan

b. berat

h. gaya sentrifugal

c. temperatur

i.

intensitas medan magnetik

d. kalori

j.

frekuensi

e. panas jenis

k. volume

f. energi

l.

usaha

Gambarkan secara grafis:Sebuah sepeda motor bergerak ke arah utara sejauh 3 km, kemudian 5 km ke arah barat laut. Gambarkan perpindahan ini secara grafis dan tentukan vektor perpindahan resultannya (a) secara grafis; (b) secara analitis.

3.

ሬԦ = 𝐵 ሬԦ + 𝐴Ԧ. Buktikan bahwa penjumlahan vektor adalah komutatif, yaitu 𝐴Ԧ + 𝐵

4.

ሬԦ + 𝐶Ԧ) = Buktikan bahwa penjumlahan v...