Anualidades con pagos variables y constantes en progresiones geométricas y aritméticas PDF

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Trabajo sobre anualidades con pagos variables y constantes...

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Facultad de Ciencias Económicas y Administrativas

Tema: Pagos variables en progresiones aritméticas y geométricas Anualidades con pagos constantes y variables en progresión aritmética y geométrica.

Curso: EC – 03 – 01

Materia: Matemáticas Financieras

Docente: Ing. Miguel Pulla

Período Académico: Marzo 2017 – Agosto 2017

Universidad de Cuenca Facultad de Ciencias Económicas y Administrativas

Int Intro ro rodu du ducció cció cción: n: El siguiente trabajo caracteriza y ejemplifica los temas de pagos variables con progresiones aritméticas y progresiones geométricas dentro de anualidades. Los ejercicios que se presentaran en el siguiente documento abarcaran series de pagos, cuyos comportamientos varían; estos pueden ser crecientes o decrecientes, con tasas o cantidades constantes de variación.

Se analizará los pagos variables con progresión aritmética en los cuales existe una diferencia constante entre los pagos ya sea, esta diferencia creciente o decreciente, así como los pagos variables con progresión geométrica que se caracterizan por tener una variación porcentual constante entre los pagos, variación que puede ser creciente o decreciente; en ambos temas se incluye diferentes fórmulas para el cálculo de las anualidades, fórmulas que dependerán de las tasas de interés y las tasas de variación.

Además como último tema se plantea una combinación de anualidades de pagos constantes y pagos variables, tema que será descrito mediante ejemplos.

Asp Aspect ect ectos os a con consid sid side era rarr Proggres resión ritm ética Pro ión aarit rit méti ca Se puede definir como una sucesión de números tales que cada uno de ellos es igual al anterior más un número fijo, llamado diferencia.

𝑎𝑛 = 𝑎1 + ( 𝑛 − 1) ∗ 𝑑

Fórmula para encontrar un término n en una progresión aritmética 𝑎𝑛 ∶ 𝑇é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜 𝑛

𝑎1 ∶ 𝑃𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜 𝑛

𝑛−1

Suma consecutivos en una progresión aritmética 𝑑 = 𝑎 de − n𝑎 términos ∶ 𝐷𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎

(𝑎 𝑎 )𝑛 𝑆 = 2 𝑛

1+ 𝑛

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Pro ion es ggeo eo mé tr ic as Proggres resion ione eomé métr tric icas Este tipo de sucesiones se obtiene el término siguiente cuando se multiplica el término anterior por una cantidad fija llamada razón. 𝑟 ∶ Razón

𝑎𝑛 : Término n

𝑟=

𝑎𝑛 𝑎𝑛−1

𝑎𝑛−1 : Término anterior a n Fórmula para encontrar un término n en una progresión geométrica

𝑎𝑛 : Término n

𝑎1 : Primer término

𝑎 𝑛 = 𝑎1 ∗ 𝑟 𝑛−1

𝑟 ∶ Razón

Suma de n términos consecutivos en una progresión geométrica 𝑎𝑛 ∗ 𝑟 − 𝑎1 𝑆𝑛 = 𝑟−1

Pag Pagos os var variab iab iable le less Se refiere a una serie de pagos que se incrementan o decrecen, ya sea en una determinada cantidad monetaria o determinado porcentaje, con el objetivo de liquidar una deuda (valor actual) o acumular determinado valor en un futuro (valor futuro o monto).

Clasificación: 

Pagos variables en progresión aritmética (crecientes o decrecientes): aumentan o disminuyen según una diferencia (en una cantidad constante).



Pagos variables en progresión geométrica (crecientes o decrecientes): aumentan o disminuyen según una razón (en un porcentaje).

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Sim Simbo bo bolo lo logía gía gía..         

𝑉𝐹𝑝𝑎 = 𝑀𝑜𝑛𝑡𝑜 𝑜 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑢𝑛𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑔𝑟𝑒𝑠𝑖ó𝑛 𝑎𝑟𝑖𝑡𝑚é𝑡𝑖𝑐𝑎

𝑉𝐹𝑝𝑔 = 𝑀𝑜𝑛𝑡𝑜 𝑜 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑢𝑛𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑔𝑟𝑒𝑠𝑖ó𝑛 𝑔𝑒𝑜𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎

𝑉𝐴𝑝𝑎 = 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑎𝑐𝑡𝑢𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑢𝑛𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑔𝑟𝑒𝑠𝑖ó𝑛 𝑎𝑟𝑖𝑡𝑚é𝑡𝑖𝑐𝑎

𝑉𝐴𝑝𝑔 = 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑎𝑐𝑡𝑢𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑢𝑛𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑔𝑟𝑒𝑠𝑖ó𝑛 𝑔𝑒𝑜𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎

𝐴1 = 𝑃𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟 𝑝𝑎𝑔𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑠𝑒𝑟𝑖𝑒 (𝑎𝑛𝑢𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑) 𝑖 = 𝑇𝑎𝑠𝑎 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑒𝑠

𝑑 = 𝐷𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑑𝑜𝑠 𝑝𝑎𝑔𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑒𝑐𝑢𝑡𝑖𝑣𝑜𝑠 𝑖𝑟 = 𝑇𝑎𝑠𝑎 𝑑𝑒 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑝𝑎𝑔𝑜𝑠

𝑛 = 𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑝𝑎𝑔𝑜𝑠

Pag Pagos os var variab iab iable le less een n pr progr ogr ogresió esió esión n ar aritm itm itméti éti ética ca Los pagos varían según una serie aritmética que recibe el nombre de gradiente aritmético, esto es, cada pago es igual al anterior, en más o menos una cantidad constante. Dependiendo de la cantidad constante, los pagos serán decrecientes cuando ésta sea negativa y serán crecientes cuando ésta sea positiva. Del siguiente diagrama, A representa el valor del primer pago y D es la cantidad constante a la que, dependiendo del signo, aumenta o disminuye.

0

A

A+d

A+2d

A+(n-1)d

1

2

3

n

Tomando como fecha focal el momento cero, se tiene como valor actual de la serie de pagos variables en progresión aritmética creciente lo siguiente:

𝑉𝐴

𝑝𝑎

=𝐴 ∗[ 1

−𝑛

1 − (1 + 𝑖)

]+

𝑑

∗[

−𝑛

1 − (1 + 𝑖)

−𝑛

− 𝑛 ∗ (1 + 𝑖) ]

𝑖

𝑖

𝑖

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De la misma forma si se desea saber el valor final o monto de esta serie de pagos variables en progresión aritmética creciente en el período n, se tiene lo siguiente: 𝑉𝐹𝑝𝑎 = 𝐴1 ∗ [

(1 + 𝑖 )𝑛 − 1 𝑑 (1 + 𝑖 )𝑛 − 1 ]+ ∗[ − 𝑛] 𝑖 𝑖 𝑖

Para el caso del valor actual y valor futuro de los pagos variables en progresión aritmética decreciente, basta cambiar el signo del segundo término, o a su vez tomar a d como una diferencia negativa entre los pagos. 𝑉𝐴 𝑝𝑎

𝑑 1 − (1 + 𝑖 )−𝑛 1 − (1 + 𝑖 )−𝑛 ]− ∗[ = 𝐴1 ∗ [ − 𝑛 ∗ (1 + 𝑖)−𝑛 ] 𝑖 𝑖 𝑖 𝑉𝐹𝑝𝑎

(1 + 𝑖 )𝑛 − 1 𝑑 (1 + 𝑖 )𝑛 − 1 = 𝐴1 ∗ [ ]− ∗[ − 𝑛] 𝑖 𝑖 𝑖

Ejemplo 1: Pagos variables en progresión aritmética creciente.

Un señor contrae una deuda el día de hoy y firma un documento en el que se acuerda saldar en un año con pagos mensuales vencidos y una tasa de interés de 30% nominal capitalizable mensualmente. Si el primer pago mensual es de $1300 y los pagos sucesivos aumentan $200 cada mes, ¿cuánto es el valor de la deuda en su inicio y cuánto termina pagando el señor? Resolución: Este problema trata de una serie de pagos variables en progresión aritmética creciente, cuyo primer pago es de $1300, el segundo de $1500, sucesivamente hasta llegar al pago 12° cuyo valor es de 𝐴12 = 1300 + (12 − 1) ∗ 200 = $3500, por lo que para calcular el valor de la deuda en su inicio aplicamos la fórmula del valor actual. 𝑝𝑎

𝑉𝐴

−12

1 − (1 + 0,3/12) = 1300 ∗ [ 0,3/12

−12

200 1 − (1 + 0,3/12) ] + 0,3/12 ∗ [ 0,3/12

−12

− 12 ∗ (1 + 0,3/12)

]

𝑉𝐴𝑝𝑎 = $24015,84

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Para encontrar el valor que termina pagando el señor, es decir, dentro de un año, aplicamos la fórmula del monto o valor final. (1 + 0,3/12 )12 − 1 (1 + 0,3/12)12 − 1 200 𝑉𝐹𝑝𝑎 = 1300 ∗ [ ]+ ∗[ − 12] 0,3/12 0,3/12 0,3/12 𝑉𝐹𝑝𝑎 = $32298,64

Ejemplo 2: Pagos variables en progresión aritmética decreciente.

Una compañía ha firmado una letra de cambio según la cual tiene que hacer los siguientes pagos: $100000 al final del primer trimestre; $80000 al final del segundo; $60000 al final del tercero; $40000 al final del cuarto y $ 20000 al final del quinto trimestre. ¿Qué cantidad de dinero debe invertir la compañía en un fondo especial que gana 12% capitalizable en forma trimestral, para hacer los pagos indicados? ¿Cuál es el valor de la letra de cambio al final del período?

Resolución: Para realizar los pagos correspondientes, la compañía tiene que saber cuál es el valor actual del documento firmado, según la tasa de capitalización, para así depositar en el fondo. La tasa trimestral resulta ser: 0,12/4 = 0,03 𝑉𝐴 𝑝𝑎

1 − (1 + 0,03 )−5 20000 1 − (1 + 0,03 )−5 = 100000 ∗ [ ]− ∗[ − 5 ∗ (1 + 0,03 )−5] 0,03 0,03 0,03 𝑉𝐴𝑝𝑎 = $ 280195,21

Por otra parte, para encontrar el valor de la letra de cambio, aplicamos la fórmula respectiva del monto o valor final: 5

𝑉𝐹

𝑝𝑎

5

(1 + 0,03) − 1 20000 (1 + 0,03) − 1 = 100000 ∗ [ ]− ∗[ − 5] 0,03 0,03 0,03

𝑉𝐹 = $ 324823,04 𝑝𝑎

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Pag Pagos os variab variable le less en prog progresión resión geom geométr étr étrica ica En este tipo de anualidades hay un porcentaje o razón constante, llamado gradiente geométrico, y que puede ser creciente o decreciente aplicado para cada cuota, siempre con todos los términos positivos. Según Haeussler, (1992); en términos más generales si una progresión geométrica tiene n términos, de manera que el primero de ellos es a y la razón común es la constante r, entonces la progresión tiene la forma: a, ar, ar2 , ar3, . . . . , ar n-1, en donde a es ≠ 0 Dependiendo del gradiente geométrico, (𝑖𝑟 = 𝐴

− 1) si 𝑖 𝑟 > 0, los pagos serán

𝐴𝑛

𝑛−1

crecientes; mientras que si 𝑖𝑟 < 0, los pagos serán decrecientes. En el siguiente diagrama, A

representa el primer pago de la progresión geométrica e 𝑖𝑟 representa la razón a la que

aumenta o disminuye los pagos.

0

A

𝐴 (𝑖𝑟 )

1

2

𝐴 (𝑖𝑟 )2

𝐴 (𝑖 𝑟 )𝑛−1

3

n

Pa gos vari abl es een np rogr es ión ggeo eo mét rica crec ie nt e. Pagos variabl ables progr rogres esión eom étrica crecie ient nte.

Resulta cuando la tasa de variación (𝑖𝑟 ) es una cantidad positiva.

Con tasa de variación (𝒊𝒓 ) de los pagos sucesivos diferente a la tasa de interés (𝒊). En el diagrama anterior, haciendo referencia como fecha focal el momento cero, se

tiene como valor actual de la serie de pagos variables en progresión geométrica creciente lo siguiente:

𝑝𝑔

𝑖

𝑛

−𝑛

(1 + 𝑖 ) ∗ (1 + 𝑖) 𝑟

−1

𝑉𝐴

=𝐴 ∗[

𝑖 −𝑖 𝑟

]...