Rentas y anualidades Teoria PDF

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TEORÍA DE LAS RENTAS O ANUALIDADESINTRODUCCIONLa renta juega un papel importante en todos los problemas económicos; por ella existe el capital, por ella se ejerce el trabajo y es distribución de lo que constituye la desigualdad de ricos y pobres.Es factible decir que, las rentas son susceptibles de ...

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TEORÍA DE LAS RENTAS O ANUALIDADES INTRODUCCION La renta juega un papel importante en todos los problemas económicos; por ella existe el capital, por ella se ejerce el trabajo y es distribución de lo que constituye la desigualdad de ricos y pobres. Es factible decir que, las rentas son susceptibles de descomponerse en dos partes consecutivas: una destinada a los consumos de los perceptores de ella; y, otra, destinada a la reposición del capital, con el fin de evitar su agotamiento. Sin embargo, no es posible pensar sólo en la limitación que impone la reposición pura y simple, ya que, si así fuera, equivaldría a suponer una economía estacionaria. Considerando así a las rentas, llegamos fácilmente a las nociones de constitución de capitales. Las rentas o anualidades, se denominan así, a toda sucesión de pagos o depósitos que tienen lugar en períodos regulares de tiempo, con una determinada finalidad que puede ser constituir un capital, saldar una deuda, etc. Esos pagos o depósitos que se hacen reciben el nombre de cuotas. Los períodos o intervalos de tiempo en que se realizan son de un año por lo general (de aquí el nombre de «anualidades»), pero, pueden ser inferiores o superiores a dicho período. La palabra «anualidad», generalmente se usa para indicar el pago de una suma fija a intervalos regulares de tiempo, incluso para períodos inferiores a un año. Como ejemplos de anualidades tenemos: los salarios, los sueldos, los cupones de obligaciones, los dividendos sobre acciones preferentes, los fondos de amortización y depreciación, los pagos a plazos, los pagos periódicos efectuados por las compañías de seguros de vida a sus asegurados, las rentas producidas por los fondos de fideicomiso y todo asunto de amortización en general. Así como el cálculo de las rentas o anualidades descansan directamente sobre las fórmulas de interés compuesto (como se verá más adelante), todas las materias que son estudiadas en Matemática Financiera como las amortizaciones y los fondos de amortización, las acciones y obligaciones, la Depreciación, la constitución de capitales, etc., se basan virtualmente en la Teoría de las Rentas, por este motivo es de mucha importancia el estudio de las Rentas o Anualidades. DEFINICION DE RENTA O ANUALIDAD La Renta o Anualidad se define como un flujo de dinero que es obtenido o pagado en forma periódica (anual, semestral, trimestral, etc.) y pueden ser estos pagos constantes o variables, al comienzo o al final de cada período. Cada depósito o pago está sujeto al interés compuesto por el tiempo que permanece colocado o por el período de descuento. CLASIFICACION DE LAS RENTAS En términos generales, todas las rentas caen dentro de dos clases: Las eventuales o Contingentes y las Ciertas. A. Anualidades Eventuales o Contingentes.- Pertenecen a este grupo aquellas anualidades en las que el comienzo o fin de la serie de pagos es impreciso y depende de un acontecimiento externo. Ejemplo: Un contrato hecho por una Compañía de Seguros de Vida, en el que se obliga a pagar una cierta cantidad de dinero a una persona mientras esta viva. El importe de los pagos en dinero es cierto, pero la duración del tiempo que aquellos habrán de hacerse es altamente incierta. Las Anualidades Eventuales a su vez se dividen en Vitalicias y Temporales. 1. Anualidades Contingentes Vitalicias.- Es una anualidad cuyo pago continua mientras el rentista esté con vida. Según como se hagan los pagos pueden ser: a) Vitalicias Vencidas u Ordinarias. b) Vitalicias Anticipadas. c) Vitalicias Diferidas. 2. Anualidades Contingentes Temporales.- Difiere de una Anualidad Vitalicia en que termina después de un número especificado de pagos, aún cuando el rentista continúe con vida. Pueden ser:

a) Temporal Ordinaria. b) Temporal Anticipada. c) Temporal Diferida. B. Anualidades Ciertas.- Son aquellas en las que la duración de la serie de pagos no depende de alguna eventualidad externa, sino que se estipula en términos concretos por adelantado. A su vez éstas pueden dividirse en dos grupos: A plazo y perpetuas. 1. Anualidades a Plazo.- Son aquellas que tienen un plazo preciso o definido. 2. Anualidades Perpetuas.- Denominadas también perpetuidades, son aquellas que tienen una duración ilimitada. Tanto las Anualidades a Plazo como las Perpetuas, pueden ser: a) Anualidades Vencidas u Ordinarias.- Una renta o anualidad ordinaria o vencida, consiste en una serie de pagos cada uno de los cuales se hace al final de los sucesivas períodos de renta. Ejemplo: Los cupones semestrales de intereses de las obligaciones. b) Anualidades Anticipadas.- Una renta o anualidad anticipada es una serie de pagos, cada uno de los cuales se hace al comienzo de los sucesivos períodos de renta. Ejemplo: Los pagos (adelantados) sobre alquileres. c) Anualidades Diferidas.- Tanto las anualidades vencidas o anticipadas pueden comenzar inmediatamente o en alguna fecha futura. Siempre que una anualidad no empieza a correr hasta alguna fecha futura recibe el nombre de anualidad diferida. Antes de que se pueda hacer algún cálculo concerniente al valor de una anualidad diferida es necesario conocer la duración de este intervalo preliminar denominado «intervalo del diferido», medido en número de períodos de renta a que equivale. Las anualidades o rentas diferidas pueden ser pagaderas al final de cada período de renta (en cuyo caso recibe el nombre de anualidad diferida vencida), o al comienzo del mismo (anualidad diferida anticipada). CONCEPTOS Renta o Anualidad Cualquiera sea la clase de anualidad, el valor de cada pago periódico recibe el nombre de RENTA o simplemente ANUALIDAD. Período de Renta Se denomina período de renta a la unidad de tiempo en que se hace cada pago o cuota. Se le denomina también período de pago. Renta Anual Se llama renta anual a la suma de los pagos hechos durante un año. Tasa de Interés de una Renta Es la tasa de interés usada para calcular el importe del pago correspondiente a un período de renta. Esta tasa es a menudo una tasa nominal. Valor de una Renta o Anualidad

El valor de una anualidad depende si se calcula al terminar la serie de pagos, al empezar la serie de pagos o en algún punto intermedio. cuando se calcula el valor de una renta al final de la serie de pagos obtenemos el monto de la misma. Cuando se evalúa a su comienzo obtenemos su valor actual; y, si realizamos la valuación en algún punto intermedio tenemos que efectuar dos operaciones por lo menos. Primeramente, se halla el monto de la parte vencida de la anualidad y después se suma el valor actual de la parte no vencida de la misma. El valor de una renta o anualidad depende no sólo de la época en que se calcula su valor, sino también de la renta periódica, del plazo de la anualidad y de la tasa de interés usada para calcular el monto o bien el valor actual. En consecuencia, son cuatro las variables que intervienen para calcular el valor de una renta o anualidad: 1. La fecha de valuación. 2. El importe de la renta. 3. El plazo. 4. La tasa de interés. El plazo (o número de períodos de renta) y la tasa de interés se usan para compilar las Tablas Financieras. Monto de una Renta o Anualidad El monto de una anualidad es el valor que se forma como consecuencia de la suma de los pagos o cobros capitalizados durante el tiempo que falta desde el momento que se hace el pago o cobro hasta aquel en que finaliza el plazo de la renta. La capitalización de cada pago o cobro se hace mediante el «factor de capitalización (1+i)n, en donde «n» depende del número de períodos que faltan para finalizar el plazo de la renta. Dicho de otra manera, el monto de una renta o anualidad es «La suma de los montos compuesto de los distintos pagos o cobros, cada uno acumulado hasta el término del plazo». Valor Actual de una Renta o Anualidad El valor actual o presente de una renta o anualidad, se forma cuando cada uno de los importes se «actualizan» mediante el factor: Vn =

-n 1 = (1 + i) n ( 1+i )

por el tiempo que dista entre el momento actual y el pago o cobro. También podemos definir al valor actual de una Renta como: «la suma de los valores presentes de los distintos pagos, cada uno descontadas al principio del plazo». Valor de una renta o anualidad en un punto intermedio Suelen presentarse casos en las que es necesario hallar el valor de una renta o anualidad en alguna fecha intermedia. El caso más simple es aquel en que la fecha intermedia coincide con la de algún pago de la anualidad, sólo nos ocuparemos de este caso. En efecto, la valuación de una anualidad en alguna fecha intermedia implica tres operaciones: 1. Hallar el monto de aquella parte de la renta que es anterior a la fecha elegida. 2. Sumar el monto hallado al pago de la renta que vence en la fecha de valuación. 3. Añadir a la suma así obtenida el valor actual de aquellos pagos que vencen después de la fecha de valuación. Como consecuencia de estas tres operaciones tenemos el valor de la renta en el punto intermedio estipulado.

RENTAS CIERTAS A PLAZO VENCIDAS U ORDINARIAS Definición Una renta o anualidad vencida es aquella en la cual los pagos o cobros son efectuados al final de cada período de renta. Es decir que el primer pago tiene que hacerse al final del primer período de pago, el segundo al final del segundo período de pago, y así, sucesivamente.

0

1 R

2 R

3 R

Plazo 4 Períodos de Renta R Importe de Renta

Simbología¡Error! Marcador no definido. Los símbolos a utilizarse en esta parte son los siguientes: R = Pago periódico de una renta o anualidad. Renta anual. S = Monto de una renta o anualidad, en este caso vencida u ordinaria. A = Valor actual o presente de la renta vencida. n = Número de períodos de renta que constituye el plazo de la misma. i

= Tasa de interés efectiva.

j

= Tasa de interés nominal.

m = Frecuencia de capitalización de la tasa nominal. p = Frecuencia de pagos de la renta. j(m)

= Tasa de interés nominal capitalizable «m» veces por año.

j(p)

= Tasa de interés nominal pagadera «p» veces por año.

( 1+i )n = Factor de capitalización, acumulación o de conversión. ( 1+i )-n = Factor de actualización. Monto de una Renta Vencida de la Unidad Monetaria Para dar solución a los problemas sobre rentas se han construido Tablas Financieras, que son de mucha utilidad práctica, aunque ahora se cuenta también con las calculadoras que nos ayudan a operar fácilmente, para nuestros casos utilizaremos las dos herramientas según nos convenga. La primera Tabla Financiera que veremos (se presenta en el anexo correspondiente) corresponde a la que da el monto en la fecha del último pago, de cualquier número de pagos de la unidad monetaria, suponiendo que cada uno de los pagos parciales se invierte a un tipo de interés especificado, al recibirlo al final de cada período. El monto de una renta de la Unidad Monetaria para cualquier número de años « n» a cualquier tasa de interés «i», se designa por el símbolo:

Sn i que se lee «S sub n a la tasa i». Realizamos a continuación una deducción práctica de la fórmula del monto de una renta vencida de la unidad monetaria.

Ejemplo 01 Consideraremos una anualidad ordinaria de s/. 1 anuales durante cuatro años al 5 % de interés anual. Solución:

0

s/. 1

1

1

1

1 R

2 R

3 R

4 años R

Aplicando la definición del monto de una renta, se tiene

Sn i

= 1(1+0,05)3 + 1(1+0,05)2 + 1(1+0,05) + 1

Podemos escribir la expresión anterior de la siguiente manera: Sn i = 1 + 1(1,05) + 1(1,05)2 + 1(1,05)3 De donde:

Sn i

= 1 [1 + (1,05) + (1,05)2 + (1,05)3]

Como se puede observar dentro del corchete se tiene la suma de cuatro términos de una progresió n geométrica con término inicial 1 y con una razón 1,05 mayor que 1. Luego en la fórmula:

S g=

a (q n 1) (cuando q > 1 ) q 1

que es la fórmula de la suma geométrica de «n» términos de una progresión geométrica, donde: a = primer término q = razón n = número de términos Reemplazando valores:

Sn i

=

(1,05)4  1 (1,05) 4  1   4,310125 1,05  1 0,05

Teniendo presente la expresión: (1,05) 4  1  0,05

Sn i

donde: n=4;

i = 0,05

Por lo tanto escribiendo simbólicamente, tenemos la siguiente expresión: n   S n i   1 i  1



i

(1)



Fórmula para calcular el monto de una renta o anualidad ordinaria de la unidad monetaria. Y es además uno de los factores financieros de la Matemática Financiera por su aplicación práctica en la Teoría de la

Constitución de Capitales; y, en base a él se calculan valores haciendo variar la tasa de interés y el número de períodos con los cuales se ha logrado compilar la tabla financiera para dicho factor, como se puede apreciar en el anexo correspondiente. FÓRMULA PARA CALCULAR EL MONTO DE UNA RENTA O ANUALIDAD VENCIDA U ORDINARIA DE R POR PERÍODO. Como su nombre lo indica para obtener esta fórmula basta con multiplicar el importe de la renta o anualidad R por el factor financiero correspondiente, es decir: S = R*

(2)

Sn i

o también:

 1  i  n  1    i  

S=R*

(3)

Donde: S R n i

= = = =

Monto de la renta vencida. Importe del "pago" por período de renta. Número de períodos de renta que constituyen el plazo de la anualidad. Tasa de interés por período de renta.

Valor actual o presente de una renta o anualidad vencida u ordinaria de la unidad monetaria El valor actual o presente de una renta vencida de la unidad monetaria para cualquier número de años « n» a la tasa de interés «i», lo designamos por el símbolo:

an

i

que se lee «a sub n a la tasa i». De manera análoga como se dedujo la fórmula para el monto, deduciremos la fórmula para calcular el valor actual o presente de una renta vencida u ordinaria de la unidad monetaria por período. Ejemplo 02 Consideremos una anualidad ordinaria de s/. 1 anuales durante 4 años a la tasa del 5 % de interés anual. Hallar el valor actual de la renta o anualidad. Solución: En este caso tendríamos:

0

s/. 1

1

1

1

1 R

2 R

3 R

4 años R

Aplicando la definición del valor actual de una renta, se tiene: = 1(1+0,05)-1 +1(1+0,05) -2 + 1(1+0,05) -3+ 1(1+0,05)-4 n i

a an

i

= (1,05)-1 + (1,05)-2 + (1,05)-3 + (1,05)-4

Como se puede apreciar en la expresión anterior se presenta la suma de cuatro términos de una progresión geométrica donde: a = primer término = (1,05)-1 q = razón geométrica = (1,05)-1 ;

q...