Aplicaciones de la integral definida PDF

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Summary

En esta práctica se analizan los temas de las aplicaciones de las integrales definidas, área bajo la curva, área entre curvas, longitud de curvas, sólidos de revolución, centroides, también para corroborar la información se uso GeoGebra ya que es un programa fácil de usar, se presentan todos los cál...

Description

COBAED #20 Área: Especialidad en Nutrición

CÁLCULO INTEGRAL UNIDAD 3

Práctica Aplicaciones de la integral definida Equipo conformado por: Joel García García Blanca Castillo Arguijo Maestra: M.E. María Luisa Valdés Lares Fecha de entrega: 21/05/2018

1

índice Introducción...............................................................................................................1 Marco teórico.............................................................................................................2 Aplicaciones de la integral definida........................................................................2 GeoGebra...............................................................................................................6 Funciones de GeoGebra aplicadas al cálculo integral..........................................6 Desarrollo...................................................................................................................8 Área bajo la curva..................................................................................................8 Área entre curvas.................................................................................................10 Longitud de curvas...............................................................................................12 Volúmenes de sólidos de revolución....................................................................14 Cálculo de centroides...........................................................................................20 Resultados...............................................................................................................22 Conclusiones...........................................................................................................23 Bibliografía...............................................................................................................24

Introducción

Esta práctica se elaboró con el fin de familiarizarse con las diversas aplicaciones de la integral definida y el uso de softwares para interpretar los resultados de los problemas planteados. El principal objetivo fue utilizar un software, que en el caso de esta práctica fue GeoGebra para elaborar las gráficas de las integrales e interpretar los resultados que se obtuvieron en el proceso matemático. El marco teórico se elaboró para dar un preámbulo al tema y explicar cuáles son las aplicaciones de la integral definida, qué fórmulas se deben utilizar al resolver los problemas, la importancia de conocer el tema y las funciones con las que cuenta GeoGebra que ayudan a resolver las integrales. Se hicieron las operaciones manualmente, desde las aplicaciones más sencillas como área bajo la curva hasta la construcción de sólidos de revolución, las cuales posteriormente se comprobaron graficando las funciones y obteniendo los resultados con el software elegido para realizar una comparación. Se especificó la manera en la que se deben introducir las funciones a GeoGebra para no obtener errores. Se observó que existen diferentes formas de resolver un problema. El reporte fue dividido en subtítulos que especifican el tipo de operación que se analiza en la sección correspondiente, cada sección cuenta con imágenes ilustrativas de los casos estudiados. En los resultados se respondieron diversas cuestiones acerca del uso y funcionamiento de GeoGebra. Al analizar los resultados de la práctica se obtuvieron conclusiones que se especifican en la sección correspondiente, conclusiones relacionadas al contexto del uso del software en la materia de cálculo integral.

1

Marco teórico Aplicaciones de la integral definida La integral definida es una herramienta útil en las ciencias físicas y sociales, ya que muchas cantidades de interés en dichas ciencias pueden definirse mediante el tipo de suma que se presenta en la integral definida [ CITATION Dom10 \l 2058 ]. Área bajo la gráfica de una función Sí f es continua y no negativa en un intervalo cerrado [a, b], el área de la región limitada por la gráfica de f, el eje x y las rectas verticales x = a y x = b viene dada por:

Imagen 1.1 (Interpretación del área bajo la curva)

Área entre las gráficas de funciones Para estas regiones en particular, no se es dado los límites de integración, que serían los puntos de corte entre dos gráficas. Más bien, para encontrarlos, basta hallar los x (o los y) para los cuales f-g [ CITATION Lui11 \l 2058 ]. Dadas f y g positivas y continuas en un intervalo cerrado [b,a] con, f(x) > g(y), el área de la región R está dada por:

Fórmula 1 (Para obtener el área entre dos gráficas)

2

Longitud del arco En matemática, la longitud de arco, también llamada rectificación de una curva es la medida de la distancia o camino recorrido a lo largo de una curva o dimensión lineal. Históricamente, ha sido difícil determinar esta longitud en segmentos irregulares; aunque fueron usados varios métodos para curvas específicas, la llegada del cálculo trajo consigo la fórmula general para obtener soluciones cerradas para algunos casos.

Imagen 1.3 (Caso 1 para medir la longitud de una curva)

Imagen 1.4 (Caso 2 para medir la longitud de una curva)

Cálculo de centroides Cuando una placa sólida es de espesor constante y homogéneo, su masa es directamente proporcional a su área, en donde la proporcionalidad depende del espesor de la placa y la densidad del material[ CITATION Dom10 \l 2058 ].

Imagen 1.5 (Figura amorfa)

3

Definición: Las coordenadas del centro de masa de una placa plana delimitada por la superficie A, se definen como:

Fórmula 2 (Para encontrar centroides)

En donde la A bajo las integrales implica que éstas se realizan para toda la superficie,

ym y xm

corresponde con el punto medio del elemento

dA .

Cuando A está delimitada por f (x ) y g(x ), y f ( x )> g(x )en[ a , b] :

Fórmula 3 (Para encontrar centroides)

[ CITATION Lui11 \l 2058 ]

Volúmenes de sólidos de revolución Definición: El volumen de un sólido con área transversal conocida e integrable: A(x) desde x = a hasta x = b, es:

Fórmula 4 (Para encontrar el volumen de un sólido de revolución)

4

[ CITATION Lui11 \l 2058 ] Comúnmente a esta integración se le denomina “método de las rebanadas”. Si una gráfica de una función continua f(x) en el intervalo [a,b] se hace girar sobre el eje x, a la superficie bajo la curva se le denomina “área generatriz”, a la superficie delimitada por f(x) al girar se le llama “superficie de revolución” y al volumen delimitado por la superficie de revolución se le llama “sólido de revolución”. La rotación no necesariamente se debe de efectuar sobre el eje x, pero sin pérdida de generalidad el eje siempre se puede ubicar en esa posición[ CITATION Dom10 \l 2058 ]. Volumen de un sólido de revolución (método de los discos): El volumen de un sólido generado alrededor del eje x la región bajo la curva de f(x)en el intervalo [a,b] en que f(x) es continua es:

Fórmula 5 (Para encontrar el volumen de un sólido de revolución)

Imagen 1.6 (Método de los discos)

El “disco” señalado en azul en la figura tiene radio f(x) de ahí empleando el área del círculo se obtiene la expresión previa. Si el volumen se genera por una superficie entre curvas, se generaliza el método de los discos y se le denomina

5

método de las arandelas , en este caso si f(x)≥g(x) en [a,b] limitan la superficie [ CITATION Lui11 \l 2058 ].

GeoGebra GeoGebra es un Programa Dinámico para la Enseñanza y Aprendizaje de las Matemáticas para educación en todos sus niveles. Combina dinámicamente, geometría, álgebra, análisis y estadística en un único conjunto tan sencillo a nivel operativo como potente. Ofrece representaciones diversas de los objetos desde cada una de sus posibles perspectivas: vistas gráficas, algebraicas, estadísticas y de organización en tablas y planillas, y hojas de datos dinámicamente vinculadas [CITATION Mig97 \l 2058 ].

Imagen 4.7 (Interfaz de GeoGebra)

Funciones de GeoGebra aplicadas al cálculo integral Comando integral 

Integral( )

Da como resultado la integral indefinida con respecto a la variable principal. Ejemplo: Integral ( x3 )

devuelve x 4∗0.25 .

6



Integral( , )

Da como resultado la integral con respecto a la variable indicada. Ejemplo: Integral(x ³ +3 x y , x )



devuelve

1 4 3 2 x + x y . 4 2

Integral( , , )

Da como resultado la integral definida en el intervalo [Extremo inferior del intervalo, Extremo superior del intervalo] con respecto a la variable principal. Nota: Este comando también sombrea el área entre la gráfica de la función y el eje x. 

Integral( , , , )

Da como resultado la integral definida en el intervalo [Extremo inferior del intervalo, Extremo superior del intervalo] con respecto a la variable principal y sombrea la región relacionada si Evaluar o no tiene como valor true (verdadero. En caso de que Evaluar o no sea false (falso) la región relacionada se sombrea, pero el valor de la integral no se calcula.  En la

Sintaxis CAS Vista CAS las variables indeterminadas también son permitidas como

entradas. Ejemplo: Integral(cos(a t),t )

da por resultado

sen ( at ) +c . a

Además, el siguiente comando solamente está disponible en la

Vista CAS: 7



Integral( , , , )

Da como resultado la integral definida en el intervalo [Extremo inferior del intervalo, Extremo superior del intervalo] con respecto a la variable indicada. Ejemplo: Integral(cos(t),t , a ,b)

da por resultado −sen ( a ) + sen(b) . [ CITATION Geo19 \l 2058 ]

8

Desarrollo Área bajo la curva Problema 1.- Calcular el área del recinto limitado por la curva eje x . 4

[

2 Solución: A=∫ ( 4 x − x 2 ) dx= 2 x − 0

y =4 x − x

2

y el

]

x3 4 32 2 = u 3 0 3

Gráfica:

Imagen 1 (Gráfica de la solución del problema 1 de área bajo la curva elaborada en GeoGebra)

Problema 2.- Calcular el área del recinto limitado por la curva x . 4

[

3

y = x 2−4 x y el eje

]

2 x 4 =−32 =|A|= 32 u2 Solución: A=∫ ( −4 x +x 2 ) dx= −2 x + 3 3 3 0 0

Gráfica:

9

Imagen 2 (Gráfica de la solución del problema 2 de área bajo la curva elaborada en GeoGebra)

Problema 3.- Calcular el área de las regiones del plano limitada por la curva f (x)=x 3 −6 x 2 +8 x y el eje x . Solución: x 3−6 x 2+ 8 x (¿ )dx 4

∫¿ 2

¿

( x 3−6 x 2+ 8 x ) dx+¿ 2

A=∫ ¿ 0 2

[

]

4 A=2∫ ( x 3−6 x 2 +8 x ) dx=2 x −2 x 3 +4 x 2 2 =8 u2 4 0 0

Gráfica:

Imagen 3 (Gráfica de la solución del problema 3 de área bajo la curva elaborada en GeoGebra)

Problema 4.- Hallar el área limitada por la curva π / 2 y 3 π / 2.

y=cosx

y el eje

x entre

Solución: 10

3π 2

A= ∫ π 2

sen

3π cosxdx=[ senx ] 2 =¿ π 2

3π π 2 −sen =−1−1 =−2= | A|=2 u 2 2

Gráfica:

Imagen 4 (Gráfica de la solución del problema 4 de área bajo la curva elaborada en GeoGebra)

Área entre curvas Problema 1.- Calcular el área limitada por la curva y=2 x .

2

y = x −5 x +6

y la recta

Solución: De x=1a x=6, la recta queda por encima de la parábola. 6

6

A=∫ ( 2 x − x + x− ) dx=∫ ( −x 2+ x− ) dx= 2

1

[

] (

)(

)

1 −x 3 7 x 2 −6 3 7∗62 −1 + + − x 6= −36 − +3.5− 6 = 3

Gráfica:

11

Imagen 5 (Gráfica de la solución del problema 1 de área entre curvas elaborada en GeoGebra)

Problema 2.- Calcular el área limitada por la parábola y=x .

2

y =4 x

y la recta

Solución: De x=0 a x=4, la parábola queda por encima de la recta . 4

4

4

0

0

0

A=∫ √ 4 x dx −∫ xdx=∫ (√ 4 x−x ) dx=

[

3 2

]

x2 4 8 2 4x = u − 3 2 0 3

Gráfica:

Imagen 6 (Gráfica de la solución del problema 2 de área entre curvas elaborada en GeoGebra)

Problema 3.- Calcular el área limitada por las gráficas de las funciones e y=−x 2 +4 x .

3 y= x

2

Solución: Los puntos de intersección son : ( 0,0) y (3,3) 3

(

A=∫ −x 2 0

Gráfica:

12

Problema 4.- Calcular el área de la3 figura planacurvas limitada porenlas parábolas Imagen 7 (Gráfica de la solución del problema de área entre elaborada GeoGebra) 2 2 y = x −2 x , y=−x + 4 x . 2

Solución:

A 1=∫ ( x 2−2 x )dx= 0 3

A 2=∫ (− x 2 +4 x) dx= 0 3

A 3=∫ ( x 2−2 x )dx= 2

[

[

[

3

] ]

−4 x 2 =| A 1|= 4 u2 −x 2= 3 3 3 0

−x 3 2 +2 x 2 3 =9 A 2=9 u 3 0

]

x3 2 3 4 4 2 −x = A 3= u A=| A 1|+ A 2−A 3=9 u2 3 3 2 3

Gráfica:

Imagen 8 (Gráfica de la solución del problema 4 de área entre curvas elaborada en GeoGebra)

Longitud de curvas Problema 1.- Hallar la longitud del arco de curva 1

' Solución: y =

√

( )

3

en el intervalo [ 0,1].

y=x 2 1

√

2 3 3 x L= 9 1+ √ x dx=∫ 1+ x dx √ ∫ 2 4 2 0 0

13

8 9 2 9 1+ x=t dx=2 tdt dx= tdt 4 4 9 x=0 x=1 t =1 t = √13

[]

2

3 L= ∫ t 8 t dt= 8 t 9 3 9 1

√ 13

√ 13 2

(

)

8 13 √ 13 −1 u 2 = 27 8 1

Gráfica:

Imagen 9 (Gráfica de la solución del problema 1 de longitud de curvas elaborada en GeoGebra)

Problema 2.- Determinar la longitud de curva de la función

y=

x5 +1/10 x3 , en el 6

intervalo [1,2] . Solución: y=

dy 5 x5 3 1 → = x 4− x− 4 + 3 10 dx 6 6 10 x

( )

1+

(

2 dy =1+ 25 8 1 9 −8 25 8 1 9 x −8 = 5 4 3 x−4 x = x + + x− + x + 10 dx 2 100 36 2 100 36 6 2

L=∫

√(

)

2

(

) [

)

2

]

5 4 3 −4 2 5 4 3 −4 1 5 1 −3 x + x dx=∫ x + x dx = x − x 2 10 10 10 6 6 6 1

Gráfica:

14

( 3 ) ( √ y ) ( y −3)

1 Imagen 10 (Gráfica de la solución del problema 2 de longitud de curvas elaborada en

Problema 3.- Determinar la longitudGeoGebra) de curva de la función x=

en

el intervalo [1,9] . 1

1

3

1 1 Solución: x= 1 √ y ( y −3 )= 1 y 2 − y 2 → dx = y2 − y 2 3 dy 2 3

(

( )

1+ 9

L=∫ 1

(

1

−1 2

→

1

−1 2

1 2 1 y+ y 2 2

)

dy=

[

3

1

)

−1 2

dx 2 1 1 1 1 1 1 1 1 =1+ y − + y−1= y + + y −1 = y 2 + y 2 2 2 dy 2 4 4 2 4 4

] ( ) ( )

1 2 2 8 1 64 32 1 y +2 y 2 9 = 24− = = u 2 3 3 2 3 3 2 1

Gráfica:

Imagen 11 (Gráfica de la solución del problema 3 de longitud de curvas elaborada en GeoGebra)

Volúmenes de sólidos de revolución Problema 1.- Calcular el volumen del cilindro engendrado por el rectángulo limitado por las rectas y =2, x =1 y x=4 , y el eje x al girar alrededor de este eje. 15

Solución: 4

V =π ∫ 22 dx=4 π [ x ] 4 1 1 V =4 π ( 4−1 )=12 π u3 V =37.7 u3

Gráfica:

Imagen 12 (Gráfica de la solución del problema 1 de sólidos de revolución elaborada en GeoGebra)

16

r , partiendo de que la Problema Calcular el de volumen degenerado una esfera de radio Imagen 13 2.(Vista del sólido revolución del problema 1 elaborado en GeoGebra) 2 2 2 ecuación de la circunferencia es x + y =r y al girar el semicírculo en torno al eje de abscisas se obtiene una esfera. r

( √ r 2−x 2 ) dx=π ∫ ( r 2−x 2) dx=¿ 2

−r r

Solución:

V =π ∫ ¿ −r

[

2 ¿ π r x−

]

(

)

2r 3 2r 3 4 3 x3 r =π = πr + 3 3 −r 3 3

Gráfica:

Imagen 14 (Gráfica de la solución del problema 2 de sólidos de revolución elaborada en GeoGebra)

17

Imagen 15 (Vista del sólido de revolución generado del problema 2 elaborado en GeoGebra)

Problema 3.- Calcule el volumen del sólido generado al rotar la región definida por y = x 3 , y=8 y x =0 con respecto al eje y . Solución: A ( y )= π x3 =π

2

( 3√ y) =π y 3 2

2

A ( y ) ∆ y=π y 3 ∆ y y= 0, y = 8 8

8

0

0

2

V =∫ A ( y ) dy=∫ π y 3 dy = π

[ ] 5

3 3 8 96 π 3 = y u 5 5 0

Gráfica:

Imagen 16 (Gráfica de la solución del problema 3 de sólidos de revolución elaborada en GeoGebra)

18

Imagen 17 (Vista del sólido de revolución generado del problema 3 elaborado en GeoGebra) Problema 4.- Hallar el volumen del tronco de cono engendrado por la rotación alrededor de x del área limitado por y =6−x , y =0, x =0, x =4. 4

[

2 Solución: V =π ∫ ( 6−x )2 dx = π 36 x−6 x + 0

]

x 3 4 208 π 3 = u 3 0 3

Gráfica:

Imagen 18 (Gráfica de la solución del problema 4 de sólidos de revolución elaborada en GeoGebra)

19

Imagen 19 (Vista del sólido el de revolución del problema 4 elaborado en GeoGebra) Problema 5.- Calcular volumen generado engendrado al girar alrededor del eje x el 2 y=−x +2 recinto limitado por las gráficas de y =2 x − x , .

Solución: La parábola está por encima de la recta en el intervalo de integración 2

2

V =π ∫ [ ( 2 x − x 2 ) − (−x +2) 2 ] dx=π ∫ ( x 4−4 x 3+3 x 2 +4 x −4 ) dx 2

1

1

¿π

[

]

1 5 4 3 π 3 x −x + x +2 x 2−4 x 2 = u 5 1 5

Gráfica:

Imagen 20 (Gráfica de la solución del problema 5 de sólidos de revolución elaborada en GeoGebra)

20

Imagen 21 (Vista del sólido de revolución generado del problema 5 elaborado en GeoGebra)

Cálculo de centroides Problema 1.- Calcular la ubicación del centroide de la región acotada por y y=x . 1

2 Solución: A=∫ ( x−x ) dx= 0

( x 2− x 3) dx x ' =¿ 6

(

y=x 2

)

x2 x3 1 1 1 1 − = − = 2 3 0 2 3 6

( 13 − 41 )=6 ( 121 )= 21

1

∫x ( x − x 2) dx '

x=

0

1 6

b

1

=6 ∫ ¿ 0

1

1 1 2 2 [ x 2−x 4 ] dx [ f ( x ) −g ( x ) ] dx ∫ ∫ 2 0 2 a y'= = A 1 6 y´ =3

(

) ( )

x3 x5 1 2 =2 − =3 3 5 0 15 5

Gráfica

21

Imagen 22 (Gráfica de la solución del problema 1 de cálculo de centroides el...