Notas de Clases. Integral Definida. Suma de Riemann PDF

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se hace una introducción a la integral definida por el método de suma de riemann...

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UNIVERSIDAD DEL MAGDALENA – FACULTAD DE INGENIERÍA CÁLCULO INTEGRAL Notas de Clase LA INTEGRAL DEFINIDA

Una de los problemas que históricamente motivaron el desarrollo del cálculo fue el de hallar el área de regiones acotadas entre curvas. La integral definida se presenta como una respuesta a este problema, definiéndola como el límite de una suma de Riemann La Integral Definida como Área En esta sección se considerará uno de los problemas que contribuyó con la profundización del estudio del Cálculo. Se trata del problema de determinar el área de una región en el plano. Exploración 1. Un método utilizado en la antigüedad por los griegos, en especial por Arquímedes (287 – 212 a. C.), para calcular áreas de regiones limitadas por elipses, segmentos parabólicos, entre otros, fue el de exhaución. ¿En qué consiste este método? 2. Utilice el Software GEOGEBRA y realice las siguientes acciones: a) grafica la siguiente función: 𝑓 (𝑥 ) = 𝑥 2 b) Sombree la región acotada por la gráfica de la función y por las rectas 𝑥 = 0 y 𝑥 = 2. c) Dibuje rectángulos inscritos en la región definida en el paso b). d) Utilice la aplicación de deslizador y observe que sucede cuando se utilizan 10, 20, 100 rectángulos. e) ¿Qué puede concluir?

Área de una región plana como límite de Suma de Riemann Considere una función 𝑓 continua y no negativa definida en un intervalo cerrado [𝑎, 𝑏]. El problema a resolver consiste en calcular el área de la región acotada por la gráfica de 𝑓 , el eje 𝑥 y las rectas verticales 𝑥 = 𝑎 y 𝑥 = 𝑏. Inicialmente, suponga una partición 𝑃 del intervalo [𝑎, 𝑏] en 𝑛 subintervalos, los cuales se considerarán de igual 𝑏−𝑎 amplitud ∆𝑥 = 𝑛 (Partición Regular). Para hacer la partición del intervalo [𝑎, 𝑏], se eligen 𝑛 − 1 puntos {𝑥1,𝑥2,𝑥3, … , 𝑥𝑛−1} entre 𝑎 y 𝑏 , que satisfagan 𝑎 < 𝑥1 < 𝑥2 < ⋯ < 𝑥𝑛−1 < 𝑏. Se denota 𝑎 mediante 𝑥0 y 𝑏 mediante 𝑥𝑛 , de manera que 𝑎 = 𝑥0 < 𝑥1 < 𝑥2 < ⋯ < 𝑥𝑛−1 < 𝑥𝑛 = 𝑏. El conjunto 𝑃 = {𝑥0,𝑥1,𝑥2, … , 𝑥𝑛−1, 𝑥𝑛 } se llama partición de [𝑎, 𝑏]. La partición regular P divide [𝑎, 𝑏] en 𝑛 subintervalos cerrados de igual amplitud ∆𝑥 , es decir, [𝑥0 , 𝑥1 ], [𝑥1 , 𝑥2 ], … , [𝑥𝑖−1, 𝑥𝑖 ], … , [𝑥𝑛−1, 𝑥𝑛 ]. El primero de estos subintervalos es [𝑥0 , 𝑥1 ], el segundo es [𝑥1 , 𝑥2 ], y el i-ésimo subintervalo de P es [𝑥𝑖−1 , 𝑥𝑖 ] para 𝑖 entre 1 y 𝑛. En cada subintervalo se puede construir un rectángulo vertical a partir del eje x hasta tocar la curva en (𝑥𝑖∗, 𝑓(𝑥𝑖∗)), donde 𝑥𝑖∗ es un punto del intervalo [𝑥𝑖−1 , 𝑥𝑖 ]. En el caso de rectángulos

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inscritos se tiene que 𝑥𝑖∗ = 𝑥𝑖 , donde 𝑥𝑖 = 𝑎 + 𝑖∆𝑥 y la región queadaría cubierta por rectangulos como se muestra en la Figura.

Figura En general, el área del i-ésimo rectángulo es donde 𝑓(𝑥𝑖∗) es la altura del rectángulo y ∆𝑥 es su base. Una aproximación del área de la región acotada por la gráfica de 𝑓 , el eje 𝑥 y las rectas verticales 𝑥 = 𝑎 y 𝑥 = 𝑏 es la suma de las áreas (𝐴1 , 𝐴2 , 𝐴3 , … , 𝐴𝑛 ) de los 𝑛 rectángulos, es decir: 𝐴 = 𝐴1 + 𝐴2 + 𝐴3 + ⋯ + 𝐴𝑛 𝐴 = 𝑓(𝑥∗1 )∆𝑥 + 𝑓(𝑥∗2 )∆𝑥 + 𝑓(𝑥∗3)∆𝑥 + ⋯ + 𝑓 (𝑥∗𝑛 )∆𝑥 𝑓(𝑥𝑖∗)∆𝑥,

𝑛

𝐴 = ∑ 𝑓(𝑥𝑖∗) ∆𝑥 𝑖=1

A la suma

𝑛

∑ 𝑓(𝑥𝑖∗) ∆𝑥 𝑖=1

se le llama suma de Riemann para 𝑓 correspondiente a la partición P. De acuerdo con la partición P que se elija y de la elección de los puntos en los subintervalos, existirá una infinidad de estas sumas. Finalmente, el área de la región definida en este problema estará determinada en la medida que 𝑛 sea muy grande, 𝑛 → ∞, o de forma equivalente ∆𝑥 sea muy pequeño, ∆𝑥 → ∞. Por lo tanto, el área A de la región se puede escribir como: 𝑛

𝐴 = 𝑙𝑖𝑚 ∑ 𝑓(𝑥𝑖∗ )∆𝑥 𝑛→∞

𝑖=1

La integral definida como límite de suma de Riemann Definición 1. Integral definida. Sea 𝑓 una función definida en un intervalo cerrado [𝑎, 𝑏]. La integral definida de 𝒇 entre 𝑎 𝑦 𝑏 se denota por 𝑏 ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 y está dada por: 𝑏

𝑛

∫ 𝑓(𝑥 )𝑑𝑥 = lim ∑ 𝑓(𝑥𝑖∗)∆𝑥𝑖 𝑎

‖𝑃‖→0

𝑖=1

siempre y cuando el límite exista. Si existe la integral definida de 𝑓 entre a y b, entonces se dice que f es integrable en [𝑎, 𝑏]. El símbolo 𝑏 ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥, en la definición de la integral definida, se lee como “la integral de a a b de f de x, de x”, o también, como “la integral de a a b de f de x respecto de x”. Los números a y b se llaman extremos (o límites) de integración, siendo a el extremo inferior y b el extremo superior. Página 2 de 6

𝑏−𝑎

Para el caso de rectángulos inscritos donde todos los subintervalos tenían la misma anchura ∆𝑥 = 𝑛 , se tiene que la norma de la partición sería ∆𝑥 , es decir, ‖𝑃‖ = ∆𝑥 . Para este caso ‖𝑃‖ → 0 es equivalente a ∆𝑥 → 0, lo cual también equivale a 𝑛 → ∞, de tal manera que la definición de integral definida se puede expresar como: 𝑛

𝑏

Donde ∆𝑥 =

𝑏−𝑎 𝑛

y 𝑥𝑖 = 𝑎 + 𝑖∆𝑥.

∫ 𝑓(𝑥 )𝑑𝑥 = lim ∑ 𝑓(𝑥𝑖∗)∆𝑥 𝑛→∞

𝑎

𝑖=1

Teorema 1. Si una función ƒ es continua en el intervalo cerrado [a, b], entonces ƒ es integrable en [a, b]. Es decir, 𝑏

∫ 𝑓(𝑥 )𝑑𝑥 𝑎

existe.

Teorema 2. Si ƒ es continua y no negativa en el intervalo cerrado [a, b], entonces el área de la región acotada por la gráfica de 𝑓 , el eje 𝑥 y las rectas verticales 𝑥 = 𝑎 y 𝑥 = 𝑏 está dada por 𝑏

Á𝑟𝑒𝑎 = ∫ 𝑓(𝑥 )𝑑𝑥 𝑎

La determinación del área de una región es sólo una de las muchas aplicaciones que involucra el límite de una suma de Riemann, o bien, de la integral definida. Otras aplicaciones de la integral definida, como determinar longitudes de arco, volúmenes y áreas de superficies, serán tratadas más adelante en el tercer seguimiento de este curso.

Ejemplo Utilice la definición de integral definida y calcule las siguientes integrales: 6

𝑎. ∫ 8𝑑𝑥 2 2

𝑏. ∫ (𝑥 2 + 1)𝑑𝑥 1

6

Solución.

𝑎. ∫ 8𝑑𝑥 2

La integral definida viene dada por:

𝑏

𝑛

∫ 𝑓(𝑥 )𝑑𝑥 = lim ∑ 𝑓(𝑥𝑖∗)∆𝑥 𝑎

𝑛→∞

𝑖=1

Tomando una partición regular para el intervalo [2, 6] con n subintervalos, se tiene que la anchura de cada subintervalo es: 𝑏−𝑎 6−2 4 ∆𝑥 = = = 𝑛 𝑛 𝑛 Para rectángulos inscritos se elige 4𝑖 𝑥𝑖 = 𝑎 + 𝑖∆𝑥 = 2 + 𝑛 Página 3 de 6

Reemplazando en la definición de integral definida: 6

∫ 8𝑑𝑥 2

𝑛

= 𝑛→∞ lim ∑ 𝑓(𝑥𝑖 )∆𝑥 ∗

𝑖=1 𝑛

= lim ∑ 8 (4 ) 𝑛 𝑛→∞ 𝑖=1 𝑛

= lim ∑ 𝑛→∞

32 𝑛

𝑖=1

𝑛

1 = lim ∑ 32 𝑛→∞ 𝑛 1 𝑛→∞ 𝑛

= lim

6

𝑖=1

32 𝑛

∫ 8𝑑𝑥 = 32 2

2

𝑏. ∫ (𝑥 2 + 1)𝑑𝑥 1

Solución.

La integral definida viene dada por:

𝑛

𝑏

∫ 𝑓(𝑥 )𝑑𝑥 = lim ∑ 𝑓(𝑥𝑖∗)∆𝑥 𝑛→∞

𝑎

𝑖=1

Tomando una partición regular para el intervalo [1, 2] con n subintervalos, se tiene que la anchura de cada subintervalo es: 𝑏−𝑎 2−1 1 ∆𝑥 = = = 𝑛 𝑛 𝑛 Para rectángulos inscritos se elige 𝑖 𝑥𝑖 = 𝑎 + 𝑖∆𝑥 = 1 + 𝑛 Reemplazando en la definición de integral definida: 2

𝑛

∫ (𝑥 + 1)𝑑𝑥 = lim ∑ 𝑓(𝑥𝑖∗)∆𝑥 1

2

𝑛→∞

𝑖=1 𝑛

= lim∑ (( 𝑛→∞

𝑖=1 𝑛

= lim∑ ( 𝑛→∞

𝑖=1 𝑛

= lim∑ ( 𝑛→∞

𝑖=1 1

= lim( 𝑛→∞

𝑛3

𝑖

𝑛

2

+ 1) + 1)

𝑖2 2𝑖 1 + + 2) 2 𝑛 𝑛 𝑛 𝑖2 2𝑖 2 + 2+ ) 3 𝑛 𝑛 𝑛 ∑𝑛𝑖=1 𝑖 2 +

2

𝑛2

1 𝑛

1

∑ 𝑛𝑖=1 𝑖 + ∑ 𝑛𝑖=12 ) 𝑛

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= lim 1 𝑛3 𝑛2 𝑛 2 𝑛] 2 𝑛2 𝑛 [ 3 ( + + )+ 2 ( + )+ 𝑛 2 2 2 6 𝑛 =𝑛→∞ lim 𝑛1 3 1 1 1 + 2) 𝑛 ( + + +1+ 1 3 2𝑛 6𝑛2 𝑛→∞ = +1+2 3 2 10 ∫ (𝑥 2 + 1)𝑑𝑥 = 3 1 LECTURA RECOMENDADA Lee y analiza las secciones 4.2 y 4.3 del libro de Larson, R., y Edwards B. (2010). Cálculo 1 de una variable. México: Editorial McGraw – Hill. Los temas encontrados en esta sección puedes complementarlos consultando otros libros, como los sugeridos en la bibliografía del microdiseño de este curso.

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CONCEPTOS BÁSICOS Suma y Notación Sigma Notación La suma de los términos 𝑎1 , 𝑎2 , … , 𝑎𝑛 se escribe usando el símbolo ∑

(sigma) como

𝑛

𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + 𝑎4 + ⋯ + 𝑎𝑛 = ∑ 𝑎𝑖 𝑖=1

Donde 𝑖 se conoce como el índice de la suma, 𝑎𝑖 es el sumando 𝑖 − é𝑠𝑖𝑚𝑜, y los límites inferior y superior son, respectivamente 1 y 𝑛. Considere la suma: 12 + 22 + 32 + 42 + ⋯ + 1002 Para indicar esta suma en una forma compacta, la escribimos como: 12

+ 22

+ 32

+ 42

+⋯+

1002

100

= ∑ 𝑖2 𝑖=1

Algunas de las propiedades de la suma son las siguientes Si 𝒌 es una constante, entonces: 1) 𝒏

∑(𝒂

2)

𝒊=𝟏

𝒊

𝒏

𝒏

𝒊=𝟏

𝒊=𝟏

5)

𝒏

𝒏

𝒊=𝟏

𝒊=𝟏

𝒏

∑𝒊 = 𝟏+ 𝟐+𝟑…+𝒏 =

𝒏

∑ 𝒊𝟐 = 𝟏𝟐 + 𝟐𝟐 + 𝟑𝟐 + ⋯ + 𝒏𝟐 =

𝒊=𝟏

7)

∑(𝒂𝒊+𝟏 − 𝒂𝒊 ) = 𝒂𝒏+𝟏 − 𝒂𝟏

𝒊=𝟏

𝒏

∑𝒊

𝒊=𝟏

4) Suma telescópica a)

𝒊=𝟏

6)

∑ 𝒌 = 𝒏𝒌

𝒏

𝒏

± 𝒃𝒊 ) = ∑ 𝒂𝒊 ± ∑ 𝒃𝒊

∑ 𝒌𝒂𝒊 = 𝒌 ∑ 𝒂𝒊 3)

PROPIEDADES

𝒊=𝟏

𝟑

𝒏(𝒏 + 𝟏) 𝟐 𝒏(𝒏 + 𝟏)(𝟐𝒏 + 𝟏) 𝟔

𝒏(𝒏 + 𝟏) 𝟐 = 𝟏𝟑 + 𝟐𝟑 + 𝟑𝟑 + ⋯ + 𝒏𝟑 = [ ] 𝟐

b) 𝑛

∑[(𝑖 + 1)2 − 𝑖 2 ] = (𝑛 + 1)2 − 1 𝑖=1

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